Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HOÀNG THỊ LIỄU

PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG L
L
U
U
Ậ

T
O
O
Á
Á
N
NH
H
Ọ
Ọ
C
C

Thái Nguyên - năm 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

NV
V
Ă
Ă
N
NT
T
H
H
Ạ
Ạ
C
CS
S
Ĩ
ĨT
T
O

✶ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥✳ ✹
✶✳✶ ❚❐♣ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✶✳✶ ❚æ ❤î♣ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✶✳✷ ❚❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✶✳✸ ◆ã♥ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✶✳✷ ❍➭♠ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸
✷ P❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉ ❧➟♥ t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣✳ ✶✽
✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ tÝ♥❤ ❝❤✃t✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✷✳✷ ❍×♥❤ ❝❤✐Õ✉ ❝ñ❛ ♠ét ➤✐Ó♠ ❧➟♥ ♠ét sè t❐♣ q✉❡♥ t❤✉é❝✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹
✸ ▼ét sè ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❝❤✐Õ✉✳ ✷✽
✸✳✶ ➜Þ♥❤ ❧ý t➳❝❤ t❐♣ ❧å✐✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽
✸✳✷ ❉➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸
✸✳✸ ●✐➯✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ờ ó
tí ồ ộ ủ tí ệ ứ ề t ồ
ồ ù ữ ề q ộ ó trò q trọ
tr ề ĩ ự ủ t ọ ứ ụ ệt tr tố
ó t tứ ế t
ột tr ữ ề q trọ ủ tí ồ ó é ế
ó ột ụ s é ể ứ
ề ị ý q trọ ị ý t ị ý ỉ t ồ ị ý ề
tồ t ệ ủ t tứ ế ữ ứ ự
é ế tờ tí t ế tết ợ ở ế ề ề

r ú t t tr ệ trì ị ĩ
ệ tí t ù ữ ứ ụ q trọ ủ é ế ự
ó ú t ớ tệ tt t ể tì ệ ủ t t

❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝æ ✈ò ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐
tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ◆❣➭② 28 t❤➳♥❣ 09 ♥➝♠ 2009
❍ä❝ ✈✐➟♥
❍♦➭♥❣ ❚❤Þ ▲✐Ô✉
✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
❈❤➢➡♥❣ ✶
❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥✳
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♥❤÷♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ tr♦♥❣ ❣✐➯✐
tÝ❝❤ ❧å✐ ❝ï♥❣ ✈í✐ ♥❤÷♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♥ã ♥❤➢ t❐♣ ❧å✐✱ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱
♥ã♥ ❧å✐✱ ❤➭♠ ❧å✐✳✳✳
✶✳✶ ❚❐♣ ❧å✐✳
◆❤÷♥❣ t❐♣ ❤î♣ q✉❡♥ t❤✉é❝ ♠➭ ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➲ ❜✐Õt ♥❤➢ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✱ s✐➟✉
♣❤➻♥❣✳✳✳ ➤Ò✉ ❧➭ t❐♣ ❧å✐✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò t❐♣ ❧å✐ ❝ã ♠ét ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣
❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛
t❐♣ ❧å✐✱ t❐♣ ❛✲♣❤✐♥✱ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥✱ ♥ã♥ ❧å✐✳✳✳
✶✳✶✳✶ ❚æ ❤î♣ ❧å✐✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳
• ▼ét ➤➢ê♥❣ t❤➻♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ➤✐Ó♠ ✭✈Ð❝t➡✮ a ✈➭ b tr♦♥❣ R
n
❧➭ t❐♣ ❤î♣ t✃t ❝➯
❝➳❝ ➤✐Ó♠ ✭✈Ð❝t➡✮ x ∈ R
n
❝ã ❞➵♥❣
{x ∈ R
n
| x = (1 − λ)a + λb, λ ∈ R}.
• ▼ét ➤♦➵♥ t❤➻♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ➤✐Ó♠ ✭✈Ð❝t➡✮ a ✈➭ b tr♦♥❣ R
n

n
, λ
i
≥ 0, ∀i = 1, . . . , k,
k

i=1
λ
i
= 1.
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳✸✳ ✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✮✳ ❚❐♣ C ⊆ R
n
❧➭ ❧å✐ ❦❤✐
✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ♥ã ❝❤ø❛ ♠ä✐ tæ ❤î♣ ❧å✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ñ❛ ♥ã✳ ❚ø❝ ❧➭✱ C ❧➭ ❧å✐ ❦❤✐
✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐
∀k ∈ N, ∀λ
1
, . . . , λ
k
> 0 :
k

i=1
λ
i
= 1, ∀x
1
, . . . , x
k
∈ C ⇒

> 0, ∀i = 1, . . . , k,
k

i=1
λ
i
= 1.
●✐➯ sö λ
k
> 0, ➤➷t ✿ α =
k−1

i=1
λ
i
✳ ❑❤✐ ➤ã 0 < α < 1 ✈➭
x =
k−1

i=1
λ
i
x
i
+ λ
k
x
k
= α
k−1

i=1
λ
i
α
x
i
∈ C.
❚❛ ❝ã ✿ x = αy + λ
k
x
k
. ❉♦ α > 0, λ
k
> 0 ✈➭ α + λ
k
=
k

i=1
λ
i
= 1 ♥➟♥
x ❧➭ tæ ❤î♣ ❧å✐ ❝ñ❛ y ✈➭ x
k
➤Ò✉ t❤✉é❝ C✳
❱❐② x ∈ C.
❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝ñ❛ t❐♣ ❧å✐✱ t❛ s✉② r❛ ❧í♣ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐ ❧➭ ➤ã♥❣ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ❣✐❛♦✱
♣❤Ð♣ ❝é♥❣ ➤➵✐ sè ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ tÝ❝❤ ❉❡❝❛st❡s✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✶✳✹✳ ✭ ①❡♠ ❬✷❪✱ ❈❤➢➡♥❣ ✶✱ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✮✳ ◆Õ✉ A, B ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❧å✐
tr♦♥❣ R

M = L + a.
ề ệ ủ ế M = L + a ớ a M L tì
x, y M, R, t ó
(1 )x + y = a + (1 )(x a) + (y a).
x a, y a L L
(1 )(x a) + (y a) L.
= (1 )x + y M.
M t
L ở tr t t ế M = L + a
M = L

+ a

, tr ó L, L

ữ a, a

M tì
L

= M a = L + a a

= L + (a a

).
a

M = a + L a

a L.

a ∈ M✳ ❱❐② L = M − a ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ ❧➭ r✳
❚❤❡♦ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ r ✲ ❝❤✐Ò✉ ♥➭② ❝ã ❞➵♥❣ ✿
L = {x | Ax = 0}
tr♦♥❣ ➤ã A ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝✃♣ m × n ✈➭ rank A = n − r. ❚õ M = L + a s✉② r❛
M = {x | A(x − a) = 0} = {x | Ax = Aa = b} .
➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ➤ñ✿ ◆Õ✉ M ➤➢î❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ✭✶✳✶✮ ✈í✐ a ∈ M✱ t❛ ❝ã Aa = b✱ ❞♦ ➤ã
M = {x | A(x − a) = 0} = a + L
✈í✐ L = {x | Ax = 0} .
❉♦ r❛♥❦A = n − r ♥➟♥ L ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝ã sè ❝❤✐Ò✉ r✳
❱❐② ❞✐♠ ▼ ❂ r✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✵✳
• ❙✐➟✉ ♣❤➻♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ R
n
❧➭ t❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝ã ❞➵♥❣
{x ∈ R
n
| a, x = α}
tr♦♥❣ ➤ã ✿ a ∈ R
n
\ {0} , α ∈ R.
❱Ð❝t➡ a ë tr➟♥ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈Ð❝t➡ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ❝ñ❛ s✐➟✉ ♣❤➻♥❣✳
•◆ö❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤ã♥❣ ❧➭ ♠ét t❐♣ ❤î♣ ❝ã ❞➵♥❣✿
{x | a, x ≤ α} , {x | a, x ≥ α}
✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
tr ó a R
n
\ {0} , R.
ử ở ột t ợ ó
{x | a, x > } , {x | a, x < } .

C.
ệ ề ệ ề ủ t
C t ồ tt ể ó
x =
1
x
1
+ . . . +
k
x
k
(1.2)
s x
i
C,
1
+ . . . +
k
= 1 k N.
ứ M t ợ ể ó
sử x, y M. ị ĩ ủ M t ó
x =
k

i=1

i
x
i
y =

i=1
(1 )
i
x
i
+
h

j=1
à
j
y
j
.

k

i=1
(1 )
i
+
h

j=1
à
j
= (1 ) + = 1
z = (1 )x + y M.
ừ ó s r M t C M.
t ễ t r ế x =

ó số ề tứ ế é t x
1
x
k
, . . . , x
k1
x
k
ộ tế tí
ệ q ồ M ủ t k ể ộ

x
1
, . . . , x
k

tr R
n
t (k 1) ề
ọ ể x M ó tể ể ễ t ớ
x =
k

i=1

i
x
i
,
k

(x + y) C
t t ó x + y C
ề ệ ủ sử t ó
ừ s r C ột ó sử x, y C [ 0, 1]
ừ s r x C (1 )y C ó x + (1 )y C
C ột ó ồ
ị ĩ C ột t ồ tr R
n
ột é t y = 0 ợ
ọ ớ ù ủ C ế ọ t t t từ ột ể t ỳ ủ C
t ớ y ề trọ tr C ứ y ớ ù ỉ
x + y C, x C, 0.
ợ ủ tt ớ ù ủ C ù ớ ể ố re C
ợ ợ ọ ó ù ủ C

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
ể ế C ột t ị tì re C ỉ ồ t ể ố
ú ý ế C t ồ ó tì tr ị ĩ tr t ì ò
ỏ ớ ọ x C ỉ ò ỏ ột ể x C
ệ ề ệ ề sử C ột t
ồ ồ ó ó ột ớ ù ủ C ỉ
x + y C, 0
ớ ột ể ó tộ C.
ứ sử x + y C, 0 ớ x C ế tì ớ u C
à > 0 C ồ t ó
x

=
à
+ à

C
(x)
ó ồ ó
ó ợ ọ ó tế ủ C t x N
C
(x) ợ
ọ ó tế tr ủ C t x
N
C
(x) = {w | w, y x 0 y C} .

S húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn
ột ó q trọ ó ố ự ợ ị ĩ s
C

= {w | w, x 0 x C} .
ũ ột ó ồ ó ứ ố
C t ồ rỗ x C ó d R
n
ột ớ
ợ ủ C ế t
0
> 0 s x + td C ớ ọ 0 t t
0

tt ớ ợ ột ó ồ ứ ố ọ ó
ợ ý ệ F
C
(x) ó ó tể ó t
ế ó t sẽ ợ ột ó ọ ó tế ú ủ C t

x R
n
| a
j
, x b
j
, j = 1, . . . , m

ớ x C t
J(x) =

j | a
j
, x = b
j

ọ t ỉ số tí ự t
ó
T
C
(x) =

x R
n
| a
j
, x 0, j J(x)

.
N

n
| f(x) < +∞} ,
epi f = {(x, µ) ∈ R
n
× R | f(x) ≤ µ} .
◗✉② ➢í❝ ♥Õ✉ λ = 0 t❤× λf(x) = 0 ✈í✐ ♠ä✐ ①✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✷✳ ❈❤♦ ∅ = C ⊆ R
n
❧å✐ ✈➭ f : C →
R✳ ❚❛ ♥ã✐ f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐
tr➟♥ C ♥Õ✉ ❡♣✐f ❧➭ ♠ét t❐♣ ❧å✐ tr♦♥❣ R
n+1
✳ ❍➭♠ f ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤➭♠ ❧â♠ tr➟♥
C ♥Õ✉ −f ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐ tr➟♥ C.
❙❛✉ ➤➞② ❝❤ñ ②Õ✉ t❛ ①Ðt ❤➭♠ f : R
n
→ R ∪ {+∞}. ❉Ô t❤✃② ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛
tr➟♥ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐✿
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y)
tr♦♥❣ ➤ã ∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0, 1).
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✸✳ ❍➭♠ f : R
n
→ R ∪ {+∞} ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ❝❤➷t tr➟♥ C
♥Õ✉
f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y)
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
❍➭♠ f : R
n
→ R ∪ {+∞} ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ♠➵♥❤ tr➟♥ C ✈í✐ ❤Ö sè η > 0 ♥Õ✉
f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y) −

m

j=1

j
= 1, t ó
f(
m

j=1

j
x
j
)
m

j=1

j
f(x
j
).
ệ ề ệ ề ột f : C R
ồ tr ỉ x, y C > f(x), > f(y), [ 0, 1] ,
t ó
f(x + (1 )y + (1 ).
ứ
ề ệ sử ồ ọ x, y, , tr ệ ề
ọ

(1 )(x, à) + (y, ) epi f.
ồ
ớ ột ị ĩ t ề ồ ồ ự
ệ ệ số ồ
ị ĩ f : R
n
R {+} t tết ồ
C R
n
ột t ồ rỗ ột số tự ó ệ số ồ
ủ f tr C ế ớ (0, 1), x, y C t ó
f(x + (1 )y) < f(x) + (1 )f(y)
1
2
(1 ) x y
2
.
ể ế = 0 tì f ồ tr C ế ó ệ số ồ tr C > 0
tì ồ tr C ớ ệ số .
ị ĩ ột f ợ ọ í tờ ế dom f =
f(x) > ớ ọ
f ợ ọ ó ế epi f ột t ó tr R
n+1
.
ú ý
ừ ị ĩ ủ epi f t t r ột ồ t ợ
ị ế ết epi f.
ế f ột ồ tr ột t ồ C tì ó tể t trể f t
t
f