CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

BÁO CÁO
Sáng kiến năm học 2014-2015

I. TÊN SÁNG KIẾN: Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải bài toán tìm x.
II. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN

Đa số học sinh đều rất ngại học toán so với các môn học khác, đặc biệt là
học sinh đầu cấp THCS. Do tiếp xúc với môi trường mới, phương pháp học khác
so với cấp tiểu học, các em vận dụng kiến thức để tư duy còn nhiều hạn chế, khả
năng suy luận chưa nhiều, khả năng phân tích chưa cao; do đó việc giải toán của
các em gặp nhiều khó khăn. Vì thế nhiều học sinh còn lúng túng khi giải các bài
toán dạng suy luận, hoặc chưa tin tưởng vào bài làm của mình, hoặc kết quả
đúng nhưng chưa chính xác, gọn gàng và hợp lí. Nhiều học sinh không phân biệt
được các thành phần của phép toán, chưa biết tìm thành phần trong mối quan hệ của
các phép toán cộng, trừ, nhân, chia.
Nhiều học sinh chưa thuộc quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân hai vế với một số
khác 0. Chưa biết phân tích tìm hướng giải, hoặc giải sai các bài toán dạng tìm x.
Đa số học sinh có mong muốn được học, nhưng khi học đến lớp 8, 9 thì kĩ
năng biến đổi tương đương của học sinh còn yếu, làm cho quá trình lĩnh hội kiến
thức mới và vận dụng nó gặp khó khăn. Cho thấy rằng sự cần thiết phải thành thạo
các kĩ năng này trong vận dụng vào phân tích và trình bày.
Ví dụ: Tìm số tự nhiên x, biết: 214 + x = 240
Trước hết, củng cố cho học sinh quan hệ phép toán cộng có trong bài, cách
tìm thành phần chưa biết (số hạng chưa biết).
Và nếu mở rộng bài toán thành 214 + (x – 2) = 240 thì cách làm như thế
nào? Sử dụng quan hệ nào trước, tìm thành phần nào trước?
HS giải vẫn thường mắc các sai lầm như:

Mặt khác trong quá trình giảng dạy giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở
mức độ truyền thụ kiến thức trên tinh thần của sách giáo khoa mà chưa có phân
loại dạng toán, chưa khái quát được cách giải mỗi dạng toán cho học sinh. Do đó
muốn bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh đặc biệt là dạng toán tìm x ta
phải diễn đạt mối quan hệ những dạng toán cơ bản đến dạng toán phức tạp.
Vì vậy nhiệm vụ của người thầy giáo không phải là giải bài tập cho học
sinh mà vấn đề đặt ra là người thầy là người định hướng, hướng dẫn cho học
sinh cách tiến hành giải bài toán, với những lí do đó tôi mạnh dạn chọn đề tài:
“Hướng dẫn học sinh lớp 6 giải bài toán tìm x”
2. Lý do khách quan:

2


Trên thực tế, ta thấy trong các đề kiểm tra hoặc các kì thi thường có dạng
toán tìm x. Ví dụ đổi với kì thi học kì toán lớp 8, lớp 9, dạng toán tìm x cơ bản (giải
phương trình, giải bài toán bằng cách lập phương trình, tìm số đo trong hình học,...)
chiếm khoảng 40%, còn dạng toán nâng cao (chứng minh, tìm giá trị nguyên,...)
chiếm khoảng 10%.
Ngoài ra khi học tốt dạng toán tìm x, học sinh được rèn nhiều về kĩ năng phân
tích, trình bày, khả năng suy luận logic; từ đó giúp học sinh phát triển và chiếm lĩnh
kiến thức mới một cách nhanh chóng. Khi đã có kiến thức, đó chính là động lực thôi
thúc các em học tập các dạng toán khác có liên quan.
III. NỘI DUNG SÁNG KIẾN

A. Dạng tìm số tự nhiên x trong quan hệ tập hợp, quan hệ ước bội
1. Kiến thức cần nắm:
- Tập hợp số tự nhiên (N), tập hợp số tự nhiên khác 0 (N *), cách viết tập
hợp, cách sử dụng các kí hiệu ∈ , M, N, N*, > , < , ≤ , ≥
- Hiểu quan hệ ước và bội: Nếu a chia hết cho b (b≠0) thì a là bội của b, b là

450 đến 500.
VD3: Tìm số tự nhiên x, biết: 72Mx ; 60Mx và x > 6
- Cũng với quan hệ chia hết, thể hiện mối quan hệ ước, bội, nhưng vì 72 và
60 cùng chia hết cho x, nên lúc này x là ước chung của 72 và 60. Sau khi tìm
được UC(72;60) ta tiếp tục sử dụng đến điều kiện x > 6 để lọc ra giá trị cần tìm
của x.
- Trình bày lời giải:
Vì 72Mx ; 60Mx => x ∈ ƯCLN(72;60)
72 = 23. 32
60 = 22. 3. 5
ƯCLN(72; 60) = 22.3 = 12
UC(72; 60) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Mà x > 6 nên x = 12.
Qua VD2 và VD3, trong đề bài vẫn là quan hệ chia hết, nhưng nếu học sinh
không tinh ý và không có sự đọc hiểu và phân tích kĩ đề bài thì sẽ dễ bị nhầm
lần, không phát hiện được x là ước hay bội trong mối quan hệ chia hết đó.

4


Cũng với quan hệ chia hết, nhưng lúc này đề bài lại cho điều kiện của x ở
dạng khó hơn, đòi hỏi học sinh phải phân tích thêm mới có được dạng toán quen
thuộc như ở VD2.
5 và 210 < 7.x < 280
VD4: Tìm số tự nhiên x, biết: x M
Dạng điều kiện 210 < 7.x < 280 chưa được tìm hiểu, tuy nhiên nếu linh hoạt
trong phân tích sẽ thấy được 7.x < 280, bằng câu hỏi gợi mở: 7 nhân với những
số nào để kết quả nhỏ hơn 280, học sinh sẽ có ngay kết quả “nhân với các số nhỏ
hơn 40” cũng tương tự như vậy với vế còn lại của điều kiện này. Từ đó học sinh
dễ dàng tìm ra hướng giải và cách trình bày bài toán sao cho khoa học.

=> x + 1 = 60
=> x = 59
Bài toán vẫn dùng quan hệ chia hết, nhưng số chia và số bị chia không cụ
thể, đòi hỏi học sinh phải đưa được về dạng quen thuộc bằng cách căn cứ vào
tính chất chia hết của tổng, hiệu, tích. Ta có thể rút ra phương pháp chung dựa
vào nhận xét: Nếu A MB thì (m.A + n.B) MB (m, n ∈ N*)
VD7: Tìm số tự nhiên x sao cho: (x + 2) M( x – 1)
VD8: Tìm số tự nhiên x sao cho: (2x +7) M(x + 1)
Công việc của học sinh là tách số bị chia sao cho làm triệt tiêu số hạng cần
tìm.
Nhưng đây là dạng toán nâng cao, học sinh mới được tiếp cận với phép chia
các biểu thức chứa chữ, do đó cần hướng dẫn cho học sinh kiến thức áp dụng là
tính chất chia hết của một tổng và cách làm xuất hiện các số hạng.
- Trình bày lời giải:
Ta có: (2x +7) M(x + 1) => [(2.x + 7) – 2.(x + 1)] M(x -1) => 5 M(x + 1)
Với x + 1 = 1 => x = 0
Với x + 1 = 5 => x = 4
Vậy 0 hoặc 4 là số cần tìm
VD9: Bằng suy luận hợp lý, từ hệ thống các dữ kiện sau đây em hãy xác
định số tự nhiên x:
 x là số tự nhiên lẻ, x là số có 2 chữ số
 x chia hết cho 5
 chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 2 số tự nhiên liên tiếp
 chữ số hàng chục chia hết cho 3
Ngoài sử dụng các kiến thức đã học, bằng cách phân tích các dữ kiện đề bài
cho, bài toán này đòi hỏi phải có suy luận hợp lý, chặt chẽ để có được kết quả.

6



Bài 9: Tìm số tự nhiên x sao cho: (5x -2) M(x - 1)
Đ/s: x =2 hoặc x =4
B. Dạng tìm số tự nhiên x trong quan hệ phép toán Cộng, trừ, nhân.
Chia, Lũy thừa đối với số tự nhiên.
1. Kiến thức cần nắm:

7


- Khi giải bài toán tìm x, học sinh thường giải theo cách của cấp tiểu học
bằng cách sử dụng quan hệ của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia theo quy tắc
đã học
+Tìm số hạng: lấy tổng trừ đi số hạng đã biết
+Tìm số bị trừ: lấy hiệu công với số trừ
+Tìm số trừ: lấy số bị trừ trừ đi hiệu
+Tìm thừa số: lấy tích chia cho thừa số đã biết
+Tìm số bị chia: lấy thương nhân với số chia
+Tìm số chia: Lấy số bị chia chia cho thương.
- Lũy thừa với số mũ tự nhiên: ax = a.a.a.a……a (n thừa số a)
- Các phép toán lũy thừa: am. an = am+n
am: an = am –n (với m ≥ n)
- Trong quá trình làm bài, một số bài cần phải sử dụng phương pháp chung
dựa vào nhận xét: Hai lũy thừa bằng nhau khi có cơ số bằng nhau và số mũ bằng
nhau. ax = an khi x = n
xa = ba khi x = b
2. Bài tập áp dụng kiến thức
- Với dạng toán này học sinh từ trung bình trở lên sẽ làm được khi sử dụng
các quan hệ trên một cách thành thạo, tuy nhiên không phải bài toán nào học
sinh cũng làm được ngay.
VD1: Tìm số tự nhiên x, biết: 214 + x = 240

VD3: Tìm số tự nhiên x, biết: 214 + 2.(x -2) = 240
HS giải:
2.x = 240 – 214

216.(x – 2) = 240

x = 240 – 214 : 2

2.x = 26 + 2

x = 240 – 216 + 2

x = 133

2.x= 28

x = 26

x = 133-2

x = 14
x = 131
HS không biết tổng HS vận dụng không HS không biết dùng dấu
quát phép toán cộng, linh hoạt thứ tự thực ngoặc khi biểu thị phép
không biết sử dụng hiện các phép tính.

toán

chia


x = 15
VD4: Tìm số tự nhiên x, biết: 125 – 3(x +2) = 35
- HS giải:
3.(x+2) = 125 + 35

HS không vận dụng được quan hệ phép toán trừ

3.(x+2) = 160
x+2 = 160:3

Kết quả không là số tự nhiên, đến đây học sinh

x+ 2 =
- Hướng dẫn HS giải:
3.(x+2) = 125 - 35

dừng lại.
(coi 3.(x+2) là số trừ cần tìm)

3.(x+2) = 90
x+2 = 90:3

(coi x + 2 là thừa số cần tìm)

x+ 2 = 30

(bài toán quen thuộc)

x = 28
Sau khi học sinh luyện tập tương đối thành thạo các bài toán tìm x dạng

Trong chương trình có bổ xung kiến thức: Lũy thừa với số mũ tự nhiên,
trong đó có phép chia lũy thừa, phép nhân lũy thừa. Do đó khi gặp bài toán tìm x

10


có chứa phép toán lũy thừa, học sinh sẽ gặp lúng túng, không biết nên giải quyết
như thế nào?
Với dạng toán có lũy thừa, cần hướng dẫn cho học sinh biết tính lũy thừa
trước nếu các lũy thừa không chứa x cần tìm ở cơ số hay số mũ: Tính ra số tự
nhiên hoặc sử dụng các phép toán nhân, chia hai lũy thừa cùng số mũ, tùy vào
bài toán cụ thể.
a) 9x - 22 = 53 :52
9x – 22 = 5

(Thực hiện phép tính lũy thừa trước)

9x = 27
x=3
Trường hợp x cần tìm có ở số mũ hay cơ số, thường sử dụng đến phép so sánh
bằng nhau của hai lũy thừa, do đó cần cung cấp thêm cho học sinh kiến thức:
hai lũy thừa bằng nhau khi có đủ hai yếu tố: số mũ bằng nhau và cơ số bằng
nhau. Từ đó dẫn dắt học sinh làm bài toán sau:
b) 4x = 64
Vế trái: Số mũ là x cần tìm
4x = 43

cơ số là 4 luôn không thay đổi

x=3


cần tìm nằm ở cơ số. Việc phân tích bài toán cũng tương

2

x–6=3

tự như câu b.

11


x=9
d) 5 x + 3 = 28

Để tìm x ở số mũ, cần đưa về dạng so sánh bằng nhau của

5 x = 28 – 3

hai lũy thừa, trước hết ta sử dụng quan hệ phép cộng để

5 x = 25

tìm số hạng 5x. sau đó đưa được về dạng quen thuộc ở câu

5 x = 52

b.

x=2


f. x =2750

g)

230-2(x-4) = 128

g. x =5

h)

10 + 2x = 45 : 43

h. x =3

i)

2 x = 32

i. x =5

j)

2x − 1 = 15

j. x =4

k)

2 x+1 = 8

của a.
- Giá trị tuyệt đối của một số nguyên:
+ Giá trị tuyệt đối của số 0 là số 0
+ Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó
+ Giá trị tuyệt đối của một số nguyên âm là số đối của nó (và là một số
nguyên dương)
2. Bài tập vận dụng: Tìm số tự nhiên x, biết:
Về cơ bản, khi học sinh được cung cấp thêm kiến thức số nguyên thì với bài
toán tìm x dạng quan hệ các phép toán chỉ có sự khác biệt đối với phép toán
cộng trừ, vì có thêm quy tắc chuyển vế và quy tắc dấu ngoặc.
VD1: Tim số nguyên x, biết: x – 2 = - 6
Nếu học sinh hiểu bài toán là tìm số bị trừ cũng không sai, tuy nhiên khi đã
được học số nguyên, cho nên có thể biểu thị các số dưới dạng số nguyên âm và
nguyên dương, do đó ta cần phải hướng học sinh áp dụng quy tắc “chuyển vế”
để thực hiện quy tắc này cho toàn bộ các bài tìm x chứa phép toán cộng, trừ.
- Trình bày lời giải: x – 2 = - 6
x = -6 + 2
x = -4
VD2: Tìm số nguyên x, biết: x – (-4) = 1
Ở bài toán này, cho học sinh trình bày theo hai cách khác nhau:
- Ấp dụng quy tắc “dấu ngoặc” sau đó quy tắc “chuyển vế”
- Chỉ áp dụng quy tắc chuyển vế.
x – (-4) = 1
x+4=1
x=1–4

x – (-4) = 1
x = 1 + (-4)
x = -3



-x = -17 – 4
-x = -21

Sử dụng tính chất của phép nhân

x = 21
4 – x = -5 – 12

Trong cách trình bày này, sử dụng tính

4 – x = -17

chất của đẳng thức nếu a = b thì b = a,

4 + 17 = x

khi đó không cần sử dụng tính chất của

x = 21

phép nhân, trong nhiều bài toán, khi
trình bày ta thường áp dụng tính chất này

b) 5 - 2x = - 4 + x
-2x –x = -4 – 5
x.(-2-1) = -9

Chuyển vế
Sử dụng t/c nhân phân phối với cộng


5

? Giá trị của x có thể là bao nhiêu?
- Trình bày lời giải: x =4 => x = 4 hoặc x = -4
Mở rộng bài toán, với biểu thức trong ngoặc có chứa phép toán. Áp dụng
với đối tượng học sinh khá giói.
 Ax = m
Tổng quát: Ax = m => 
, lưu ý với m là một số nguyên dương.
Ax= -m
b) x-3 =4
Học sinh thấy sự thay đổi của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
GV đặt câu hỏi, giá trị của x – 3 có thể là bao nhiêu? Từ đó dẫn đến sảy ra
hai trường hợp. (coi các biểu thức trong giá trị tuyệt đối đều thỏa mãn đk)
- Trình bày lời giải: x-3 =4
Trường hợp 1: x – 3 = 4

Trường hợp 2: x – 3 = -4

x=4+3

x=-4+3

x=7

x = -1

c) x-3 - 5 = 4
Gợi ý cho học sinh thấy sự thay đổi đó là có thêm quan hệ phép trừ, do đó

trên nhận xét trên ta có: tích bằng 0 khi

x=0–2

thừa số còn lại bằng 0.

x = -2
b) x(x + 2) = 0
- Trình bày lời giải:
x(x + 2) = 0

Dựa vào nhận xét: a.b = 0 khi a = 0

x = 0 hoặc x + 2 = 0 => x = -2

hoặc b = 0
Cụ thể coi a là: x
b là: x + 2
từ đó dẫn đến trình bày bài toán.

c) (x - 3)(x +2) = 0
- Trình bày lời giải:
(x - 3)(x +2) = 0
* x -3 = 0 => x = 3

Cụ thể coi a là: x -3
b là: x + 2

* x + 2 = 0 => x = -2
VD6: Tìm số nguyên x, y, biết: (x – 3)(y – 5 ) = 7

4
7
12

7
10
1
6

VD7: Tìm số nguyên x, biết:
a) 3x + 2 chia hết cho x – 1
b) x2 + 2x – 7 chia hết cho x + 2
Với bài toán dạng này, cần sử dụng quan hệ chia hết, vì số chia và số bị
chia chưa cụ thể còn chứa x cần tìm, nên cần phải biến đổi số bị chia thành tổng
(hiệu) trong đó có chứa số chia và một số nguyên. Từ đó áp dụng tính chất chia
hết của một tổng.
- Trình bày lời giải:
a) điều kiện x ≠ 1
3x + 2 chia hết cho x – 1 khi 3.(x -1) + 5 M(x – 1)
nên 5 Mx – 1, ta có:
x-1
-5
-1
x
-4
0
Vậy x bằng -4; 0; 2; 6

1
2

6 1
VD8: Tìm x, biết: x+ =
7 5
VD10: Tìm x, biết:

3 4
1
- .x =
8 7
4

VD9: Tìm x, biết:

4
4
.x=
5
7

VD11: Tìm x, biết:

VD12: Tìm số nguyên x sao cho phấn số

x 1 -3
= +
2 3 4

x
có giá trị bằng -4
19


Kết quả là hai phân số, cần đưa chúng về dạng có cùng mẫu thức, để tìm ra
giới hạn của x
2
2 
221 7
 2
+
+ .... +
VD14: Tìm x, biết: 
=
÷-x+4+
19.21 
231 3
 11.13 13.15
Dạng toán dành cho HS khá giỏi, trước hết cần cho học sinh nhận thấy
ngoài x cần tìm biểu thức còn chứa các thành phần nào khác: Dãy phép cộng
phân số có quy luật, các phép cộng số nguyên và phân số. HS sẽ nhận thấy cần
giải quyết bài toán cho gọn gàng từng phần. Đến khi về dạng cơ bản, dùng các
quan hệ phép toán, tính chất các phép toán, quy tắc chuyển vế để thực hiện tiếp.
- Trình bày lời giải:
Xét

2
2
2
1 1 1 1
1 1
+
+ .... +

x=

8
3

VD15: Tìm số nguyên x để biểu thức

7
sau có giá trị là số nguyên:
x-1

- Cho HS nhân thấy yêu cầu cần đạt của biểu thức
- HS phát hiện

7
x-1

7
là có dạng một phân số
x-1

- Phân số là số nguyên khi tử và mẫu có quan hệ gì ?
(Khi mẫu là ước của tử, hay tử là bội của mẫu)
3. Bài tập áp dụng kiến thức
Bài 1: Tìm số nguyên x, biết:
a) 3x + 17 = 2

a) Đ/s: x=-5

b) 6 + 2x = 54 – 4x

2 -9
a) x- =
7 7

Đ/s: x = -1

19


b)

5
1
- x = .7
12
8

Đ/s: x =

c)

18 35 42
.
=
55 27
x

Đ/s: x =99

1


Người viết

Nguyễn Phương Thùy

20