TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

PHẠM QUỲNH THƠ

ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG
TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Thị Kiều Nga

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình làm khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ và chỉ bảo
rất tận tình của TS. Nguyễn Thị Kiều Nga. Em xin chân thành cảm ơn và bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô.
Em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Khoa Toán,
các thầy cô trong tổ Đại số và Thư viện Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều
kiện tốt nhất giúp em hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Phạm Quỳnh Thơ


LỜI CAM ĐOAN


1.3.1. Nghiệm bội

6

1.3.2. Định lý Bezout

6

1.3.3. Biểu diễn đa thức thông qua các nghiệm của nó

6

1.3.4. Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

6

1.4. Công thức Viete, lược đồ Hoocner

7

1.4.1. Công thức Viete

7

1.4.2. Lược đồ Hoocner

8

1.5. Đa thức đồng dư


2.2. Bài toán chia hết

13

2.3. Ứng dụng định lý Viete

15

2.3.1. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng K giữa các nghiệm

15

2.3.2. Dạng 2: Tìm miền giá trị của tham số để các nghiệm của
phương trình f  x,m   0 thỏa mãn điều kiện K nào đó

18


2.3.3. Dạng 3: Tìm mối quan hệ giữa các hệ số của một số phương
trình bậc 3, bậc 4 khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm và ngược lại

21

2.4. Phân tích đa thức thành nhân tử

24

Chƣơng 3. Ứng dụng của đa thức nhiều ẩn


KẾT LUẬN

52

TÀI LIỆU THAM KHẢO

53


MỞ ĐẦU
Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan
trọng. Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành
khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế. Môn toán
có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung,
rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy.
Đại số là một bộ phận lớn của toán học, trong đó đa thức là một khái
niệm cơ bản và quan trọng được sử dụng nhiều không những trong đại số mà
còn trong giải tích, toán cao cấp và toán ứng dụng.
Tuy nhiên cho đến nay, vấn đề đa thức và ứng dụng của nó trong việc
giải các bài toán sơ cấp mới chỉ được trình bày sơ lược, chưa được phân loại
và hệ thống một cách chi tiết. Tài liệu về đa thức còn ít, chưa được hệ thống
theo dạng toán cũng như phương pháp giải, cho nên việc nghiên cứu về đa
thức còn gặp nhiều khó khăn.
Với lý do trên, cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự giúp đỡ,
chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn Thị Kiều Nga em đã mạnh dạn chọn đề tài:
“Đa thức và ứng dụng trong giải các bài toán đại số sơ cấp” để làm khóa luận
tốt nghiệp, nhằm phân loại, hệ thống một số bài toán về đa thức và các ứng
dụng của nó trong môn toán ở nhà trường phổ thông.
Nội dung khóa luận được chia làm 3 chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

,a n ,

   b0 ,b 1,

,bn ,

  a 0  b0 ,a1  b1,

   b0 ,b 1,

,bn ,

  c0 ,c1,

,a n  bn ,

- Phép nhân:

 a 0 ,a1,

,a n ,

với ck 

 a b , k  0,1,

i  jk

i


x   0,1,0, ,0,  ,
x 2   0,0,1,0, ,0,  ,
x 3   0,0,0,1,0, ,0,  ,

...

x n   0,



,0,1,0,

,0,

n






Do đó, mỗi phần tử  P:

   a 0 ,a1, ,a k ,



Do a i  0 hầu hết nên tồn tại n 

4


 an xn

Thay cho P viết A  x  và gọi là vành đa thức của ẩn x, lấy hệ tử trong
A. Mỗi phần tử thuộc A  x  gọi là đa thức của ẩn x được ký hiệu là:

f  x  ,g  x  ,
1.2. Phép chia có dƣ
Cho A  x  là vành đa thức, A là một trường,

f  x  ,g  x  là hai đa thức của vành A x ,g  x   0
Khi đó, tồn tại duy nhất q  x  ; r  x   A  x  sao cho:

f x  gx  qx  r x
Nếu r  x   0 thì deg r  x   deg g  x  . Đa thức q  x  được gọi là
thương và r  x  được gọi là dư của phép chia f  x  cho g  x  .
Nếu r  x   0 thì f  x  g  x  trong A  x  .
1.3. Nghiệm của đa thức
* Định nghĩa:
Cho K là một vành chứa vành A. Phần tử  K gọi là nghiệm của đa
thức f  x   A  x  nếu và chỉ nếu f     0 .
Ta cũng có thể nói  là nghiệm của phương trình đại số f  x   0 trong K.
Nếu deg f  x   n thì phương trình f  x   0 gọi là phương trình đại số
bậc n  n  1 .

5


1.3.1. Nghiệm bội
Giả sử k là một số tự nhiên khác 0. Một phần tử  A gọi là nghiệm

với 1, 2 , , n

1.3.4. Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên
a) Nhận xét
Với mọi f  x   Q x  luôn tìm được a  Q* để f  x   a  f1  x  ; f1  x  
Do đó f  x   0 khi và chỉ khi f1  x   0 . Để tìm nghiệm hữu tỉ của
chuyển về tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên f1  x  .
b) Định lý 1
Cho f  x   a 0 x n  a1x n 1 
Nếu phân số tối giản

 a n 1x  a n 

x .

p
là nghiệm của đa thức f  x  thì:
q

6

x .
f  x  ta


p a n và q a 0 .
c) Định lý 2
Nếu phân số tối giản

p


 x  n  .

Đồng nhất các hệ tử của hai đa thức. Ta có:

1   2 

 n  

1 2  13 

a1
a0

  n 1 n 

a2
a0

...

1 2

 k 

  n k 1 n k 2

 n   1

n


 bn 2 x  bn 1 , bi  A, i  0,n  1 .

 an1x  an

 (x   )(b0 x n1  b1x n2  ...  bn2 x  bn1  f   .

Đồng nhất hệ số ta có bảng sau, gọi là lược đồ Horner.
a0



b0  a0

a1

...

b1  a1   b0

...

an
f ( )  an   bn1

1.5. Đa thức đồng dƣ
a) Định nghĩa:
Cho vành đa thức A[x], u  x  ,p  x  ,q  x   A  x  và u(x) là đa thức
khác không. Ta nói rằng đa thức p(x) và q(x) là đồng dư theo môđun đa thức
u(x) nếu  p( x)  q(x)  u( x) trong vành A[x].

Khi đó ta có vành An= A[x1, x2, ..., xn] là vành đa thức n ẩn x1, x2,...,xn.
Mỗi phần tử của vành A[x1,x2,...xn] kí hiệu là f(x1,x2,...,xn);
g(x1,x2,...,xn); gọi là các đa thức n ẩn x1,x2,...,xn lấy hệ tử trên A.
Cho đa thức f  x1,x 2 , ,x n   A  x1, ,x n  . Khi đó f  x1, x 2 ,
biểu diễn dưới dạng:

9

, xn 


f ( x1x2 ,..., xn )  c1 x1a11 x2a12 ...xna1n  c2 x1a21 x2a22 ...xna2 n ...  cm x1am1 x2 x1am 2 ...xnamn
trong đó ci  A và  ai1 , ai 2 ,..., ain   ; i  1, m

 ai1, ai 2 ,..., ain    a j1, a j 2 ,..., a jn  với mọi

i j

1.7. Đa thức đối xứng
1.7.1. Định nghĩa đa thức đối xứng
Đa thức f ( x1, x2 ,...xn )  A  x1, x2 ,...xn  được gọi là đa thức đối xứng
nếu f( x1, x2 ,...xn )  f ( xi1 , xi2 ,...xin ) với

1,2,

i1, i2 ,..., in 

là hoán vị bất kì của

,n . Nói cách khác, một đa thức là đa thức đối xứng nếu nó không

Sử dụng nguyên lý so sánh hệ số của hai đa thức.
Để chứng minh A = B, trong đó A, B là các biểu thức. Ta làm như sau:
Bước 1: Coi A, B là biểu thức của một biến x nào đó.
Bước 2: Biến đổi tương đương đưa đẳng thức A = B về dạng:

P  x   Q  x  , trong đó P  x  , Q  x  là 2 đa thức của biến x.
Bước 3: Xác định max

 deg P  x  ,deg Q  x    m .

Khi đó sẽ chỉ ra có nhiều hơn m số i sao cho:

P i   Q i  , i  1,2, ,n.

 n  m  1

Theo nguyên lý so sánh hệ số của hai đa thức ta có: P  x   Q  x  hay
A = B.
2.1.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức

 a  b  c bc  ca  ab   abc   b  c c  a a  b 

với a, b, c là

những số thực bất kỳ.
Lời giải
Ta coi một trong ba số a, b, c là ẩn x. Giả sử coi a là ẩn x.
Đặt P  x    x  b  c  bc  cx  xb   xbc



 C1n x  C0n .

Với x  0 ta có:

1  x 

n

 1
 x 1  
 x

n

n

1
1

 x n  Cnn n  Cnn 1 n 1 
x
 x

 Cnn  Cnn1x 

 C1n

1




  abc  1 a 2  b 2  c2  2abc  1 .

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi giá trị của x
a3
 c3

 x  b  x  c  x  d   b3  x  c  x  d  x  a 
 a  b  a  c  a  d 
 b  c  b  d  b  a 

 x  d  x  a  x  b   d3  x  a  x  b  x  c   x 3 .
 c  d  c  a  c  b 
 d  a  d  b  d  c 

Bài 3: Chứng minh đẳng thức
a) C1n  C3n 

 Cnn  2n1 (n lẻ)

b) C1n  C3n 

 Cnn1  2n1 (n chẵn)

2.2. Bài toán chia hết
a) Phương pháp chung
Để chứng minh hai đa thức chia hết cho nhau ta sử dụng:
- Định nghĩa và tính chất của phép chia hết.
- Đa thức đồng dư.


B  A  ( x9999  x9 )  ( x8888  x8 )  ( x7777  x7 )  ( x6666  x6 )  ...  ( x1111  x)
 x9 ( x10 )999  1  x8 ( x10 )888  1  x7 ( x10 )777  1  x6 ( x10 )666  1
 ...  x ( x10 )111  1
Ta thấy với mọi số tự nhiên k thì:
( x10 ) k 1  ( x10  1)  x10( k 1)  x10( k 2)  ...  x10  1 chia hết cho đa thức x10 - 1.

Mà x10  1  ( x  1)( x9  x8  x7  x6  ...  x  1) nên đa thức ( x10 )k  1
chia hết cho đa thức x9  x8  x 7  x 6  ...  x  1 .
Ví dụ 3: Với mọi p lẻ, chứng minh rằng đa thức

x pa0  x pa1  ...  x

pa p 1  p 1

chia hết cho đa thức

 x

x p1  x p2  ...  x  1 trong

Lời giải
Đặt p( x)  x pa0  x pa1  ...  x

pa p 1  p 1

 ( x)  x p1  x p2  ...  x  1
Ta có: x p  1  ( x  1)( x p1  x p2  ...  x  1)  0(mod ( x))

 x p  1 (mod ( x))


thì đa thức x 4 k  x 4 m1  x 4 n2  x 4l 3 chia hết cho x 3  x 2  x  1 .
Bài 3: Chứng minh rằng x  R, n 

*

thì

đa thức (1  xn )( x  1)  2nxn (1  x)  n2 xn (1  x)2 chia hết cho (1  x)3 .
2.3. Ứng dụng định lý Viete
2.3.1. Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng K giữa các nghiệm
2.3.1.1. Cơ sở lý luận
- Biểu thức K sẽ đưa được về biểu thức của các đa thức đối xứng cơ bản.
- Theo công thức Viete ta tính được các giá trị của đa thức đối xứng cơ
bản, thay vào ta tìm được K.
2.3.1.2. Thuật toán
Bƣớc 1: Thiết lập hệ thức Viete giữa các nghiệm của phương trình để
tìm các i .
Bƣớc 2: Biểu diễn các nghiệm của phương trình thông qua các đa thức
đối xứng cơ bản.
2.3.1.3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho x1, x 2 , x 3 là các nghiệm của phương trình:

15


x3  px 2  qx  r  0
Xác định:

A  x12  x 22  x32 ; B  x13  x32  x33 .


(1)
Giải

Gọi y1, y2 , y3 là độ dài các cạnh của tam giác.
x1, x 2 , x 3 là độ dài các đường cao tương ứng.

S là diện tích tam giác

16


Khi đó, ta có:

1
2S
S  yi x i , i  1.3  x i 
2
yi

(*)

Thay (*) vào (1) ta được:
3

2

 2S 
 2S 
 2S 

c

Từ (2) theo công thức Hêrông thì:
S2  p  p  y1  p  y 2   p  y3   p  f  p 

Với p 
S2 

y1  y2  y3 bS
là nửa chu vi.

2
c

bS  bS  S4
f    4 4ab 2c  b 4  8bc 2
c  c  c





 S  c 4ab c  b  8bc
4

2

4



x1 x 2 x 3

2.3.2. Dạng 2: Tìm miền giá trị của tham số để các nghiệm của phương
trình f  x,m   0 thỏa mãn điều kiện K nào đó.
2.3.2.1. Cơ sở lý luận
Áp dụng công thức Viete để giải toán.
2.3.2.2. Thuật toán
Bước 1: Giả sử phương trình có nghiệm, tìm mối liên hệ giữa các
nghiệm.
Bước 2: Biểu diễn điều kiện của tham số thông qua điều kiện K.
Bước 3: Tìm miền giá trị của tham số và kết luận.
2.3.2.3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Hãy tìm những giá trị của tham số m sao cho các nghiệm

x1, x2 , x3 , x4 của đa thức p( x)  x4  2 x3  6 x  mx  11 thỏa mãn điều kiện
x1  x2  x3  x4
Giải
Giả sử phương trình có bốn nghiệm x1, x2 , x3 , x4 .
Theo công thức Viete ta có:
x1  x2  x3  x4  2

(1)

x1 x2  x1 x3  x1 x4  x2 x3  x2 x4  x3 x4  6

(2)

x1 x2 x3  x1 x3 x4  x2 x3 x4  x1 x2 x4  m

(3)

 
x 2 x3 x 4
Giải

Theo công thức Viete ta có:

 x1  x2  x3  x4  3
x x  x x  x x  x x  x x  x x  6
 1 2
2 3
3 4
1 4
1 3
2 4

 x1 x2 x3  x2 x3 x4  x1x3 x4  x1x2 x4  m
 x1 x2 x3 x4  4
Theo giả thiết:

x1 

1 1 1
 
x2 x3 x4

Tương đương x1x2 x3 x4  x2 x3  x3 x4  x2 x4
Tương đương x2 x3  x3 x4  x2 x4  4
Từ x1  x2  x3  x4  3  x2  x3  x4   x1  3
Do: x1x2  x2 x3  x3 x4  x1x4  x1x3  x2 x4  6
Khi và chỉ khi x1 ( x2  x3  x4 )  ( x2 x3  x3 x4  x2 x4 )  6

 4 

 2  0 (với m≠12)
  3.
m  12
 m  12 

Khi và chỉ khi m 2  18m  80  0

m  8
Khi và chỉ khi 
 m  10
Vậy với m = 8; m = 10 thì thỏa mãn điều kiện bài toán.
2.3.2.4. Bài tập áp dụng
Bài tập 1: Tìm những giá trị của tham số m để phương trình:
x3  2 x 2  x  m  0

Có 3 nghiệm x1, x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12  x22  x32
Bài tập 2: Cho x1, x2 là nghiệm của phương trình x 2  2 x  2  0 .
Hãy tính x15  x25
Bài tập 3: Tìm m để những nghiệm x1, x2 , x3 của đa thức:

f ( x)  x3  mx2  10 x  5 thỏa mãn điều kiện x1  x2  x1x2

20


2.3.3. Dạng 3. Tìm mối quan hệ giữa các hệ số của một số phương
trình bậc 3, bậc 4 khi biết mối quan hệ giữa các nghiệm và ngược lại
2.3.3.1. Cơ sở lý luận

 x1 x2 x3  x2 x3 x4  x1 x3 x4  x1 x2 x4  c
x x x x  d
 1 2 3 4
 x1  x2  x3  x4  a

  x2 x3 ( x1  x4 )  x1 x4 ( x2  x3 )  c
 2
2
2
2
 y  ( x1 x2 )  ( x3 x4 )  d
 x1  x2  x3  x4   a

  y ( x1  x2  x3  x4 )  c
 2
2
2
2
 y  ( x1 x2 )  ( x3 x4 )  d
 c 2  da 2

* Điều kiện đủ
Giả sử x 4  ax3  bx 2  cx  d  0 có c 2  da 2 . Xét 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: Nếu d = 0 thì c = 0  x4  a x3  bx2  0 .
Khi đó (1)  x2 ( x2  ax  b)  0
x  0
 2
 x  ax  b  0

Phương trình đã cho có một nghiệm x=0

0


a2 x2
ax
ax
a


2

c 
c 
2c


  x    a x    b 
0
ax
ax
a





22