TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
TRẦN THỊ DUYÊN
NGHIÊN CỨU CÁC PHƢƠNG PHÁP TOÁN HỌC TIÊN TIẾN TRONG
VIỆC NÂNG CAO CHẤT LƢỢNG KHÔI PHỤC ẢNH Y SINH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HÀ NỘI, 2015
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
TRẦN THỊ DUYÊN
NGHIÊN CỨU CÁC PHƢƠNG PHÁP TOÁN HỌC TIÊN TIẾN TRONG
VIỆC NÂNG CAO CHẤT LƢỢNG KHÔI PHỤC ẢNH Y SINH
Chuyên ngành: Vật lý kỹ thuật
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: ThS. Trần Quang Huy
HÀ NỘI, 2015
LỜI CẢM ƠN
Trƣớc tiên, tôi xin chân thành cảm ơn ThS. Trần Quang Huy, ngƣời đã
hƣớng dẫn tận tình, giúp tôi hoàn thành khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lý
khác và kết quả đạt đƣợc không trùng với kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Trần Thị Duyên
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Ultrasound/ Ultrasonography
Siêu âm
Tomography
Cắt lớp
Ultrasound tomography
Siêu âm cắt lớp
Least squared error
Lỗi bình phƣơng nhỏ nhất
Least Square Problem (LSP)
Bài toán bình phƣơng nhỏ nhất
Bài toán thuận
Inverse problems
Bài toán ngƣợc
Machine learning
Học máy
Singular Value Decomposition
(SVD)
Phân tích giá trị đơn
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1.1: Đồ thị phƣơng trình bậc nhất và các mẫu
........................... 11
Hình 2.1: Đồ thị mô tả 3 phƣơng trình của hệ ............................................ …24
Hình 3.1: Cấu hình hệ đo ................................................................................ 35
Hình 3.2: Hàm mục tiêu lí tƣởng .................................................................... 39
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ ..1
Chƣơng 1. Một số kiến thức toán cơ bản ứng dụng trong kĩ thuật siêu âm
2.2.3. Liên quan đến phân tích giá trị đơn (SVD) và bộ lọc Wiener .............. 26
2.2.4. Xác định hệ số Tikhonov ...................................................................... 27
2.3. Phƣơng pháp L1 regularation .............................................................. 28
2.3.1.
-Regularized Least squares ................................................................ 28
2.3.2. -Regularized Least Squares ................................................................ 29
Chƣơng 3: Mô phỏng và kết quả ................................................................. 34
3.1. Mô hình phƣơng pháp lặp vi phân Born (DBIM)............................... 34
3.2. Chi tiết tính toán phƣơng pháp lặp vi phân Born (DBIM) ................ 34
3.3. Các phƣơng pháp toán học khôi phục ảnh và chƣơng trình mô phỏng
……………………………………………………………………………….37
3.4. Chƣơng trình code của các thuật toán ................................................. 37
3.4.1. Chƣơng trình code của phƣơng pháp Moo-PenPenrose Psedoinverse . 37
3.4.2. Chƣơng trình code của phƣơng pháp Tikhonov regularization ............ 38
3.4.3. Chƣơng trình code của phƣơng pháp L1 regularization ..................... 38
3.5. Kết quả mô phỏng .................................................................................. 39
3.5.1. Mô phỏng sử dụng phƣơng pháp Tikhonov .......................................... 39
3.5.2. Mô phỏng sử dụng phƣơng pháp L1. N2 = 484
............................... 40
3.5.3. Đánh giá kết quả sử dụng phƣơng pháp Tikhonov và phƣơng pháp
L1…………………………………………………………………………….41
3.6. Kết quả mô phỏng sử dụng phƣơng pháp Tikhonov regularization.42
3.7. Kết quả mô phỏng sử dụng phƣơng pháp L1 regularization ........... 47
KẾT LUẬN .................................................................................................... 54
1
Hiện nay, tạo ảnh siêu âm là một công cụ an toàn, không bị iôn hoá để
chẩn đoán lâm sàng. So với phƣơng pháp X-ray, MRI, … thì phƣơng pháp
siêu âm cắt lớp cho phép tạo ảnh có lợi thế hơn nhiều. Hoạt động của nó dựa
trên sự tán xạ ngƣợc và có khả năng giải quyết những cấu trúc nhỏ hơn bƣớc
sóng của sóng tới, nó trái ngƣợc với phƣơng pháp tạo ảnh truyền thống sử
dụng phƣơng pháp phản hồi. Một số tính chất vật liệu, nhƣ độ tƣơng phản âm,
mật độ, độ suy hao, đƣợc ứng dụng để tìm ra các đối tƣợng có kích thƣớc nhỏ.
Hai phƣơng pháp lặp Born (Born Iterative Method - BIM) và lặp vi phân
Born (Distorted Born Iterative Method - DBIM) là hai phƣơng pháp đƣợc cho
là tốt nhất hiện nay để tạo ảnh tán xạ.
Vì vậy, sau một thời gian học tập và nghiên cứu, chúng tôi đã lựa chọn
và nghiên cứu đề tài:
“Nghiên cứu các phương pháp toán học tiên tiến trong việc nâng cao
chất lượng khôi phục ảnh y sinh”
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu các phƣơng pháp toán học tiên tiến nhằm nâng cao chất lƣợng
khôi phục ảnh y sinh, cụ thể là ảnh siêu âm cắt lớp.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu nắm đƣợc các phƣơng pháp toán học tiên tiến thì đã bƣớc đầu tiếp
cận đƣợc việc nâng cao chất lƣợng khôi phục ảnh y sinh.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng: Các phƣơng pháp toán học tiên tiến ứng dụng trong y sinh.
- Phạm vi nghiên cứu: Xử lí tín hiệu y sinh.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số kiến thức toán cơ bản ứng dụng trong khôi phục
ảnh y sinh.
ở đây
]
là các số thực. Ma trận này có m hàng và n cột. Khi
trận cấp
ta có ma
và đƣợc gọi tắt là ma trận vuông cấp n.
Ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm ngoài đƣờng chéo chính bằng
0, tức là
đƣợc gọi là ma trận đường chéo. Nếu ma trận
với
đƣờng chéo có
thì ta gọi A là ma trận đơn vị và ta thƣờng ký hiệu là E
hoặc I.
Ma trận vuông A đƣợc gọi là ma trận tam giác trên, nếu A có dạng:
[
]
Tƣơng tự, ma trận vuông A đƣợc gọi là ma trận tam giác dưới, nếu A có
ngƣợc, tức là các giá trị
ngƣợc là chẵn thì ta gọi
Nếu
thì ta gọi cặp
là cặp
đƣợc sắp xếp ngƣợc với k, h. Nếu trong
là hoán vị chẵn, ngƣợc lại thì ta gọi
số cặp
là hoán vị lẻ.
Với mỗi ma trận vuông A cấp n:
[
]
tồn tại một số thực đƣợc gọi là định thức của ma trận A, ký hiệu là det A,
đƣợc xác định bởi công thức:
∑
(1.1)
trong tập tất cả các hoán vị của tập {1,2,...,n},
với
1.1.2.2. Phƣơng pháp tính định thức
Tính định thức bằng cách chuyển ma trận về dạng tam giác trên.
Ta sẽ biến đổi để đƣa ma trận A về dạng ma trận tam giác trên:
[
]
Vậy
1.1.3. Ma trận nghịch đảo
Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A cấp n là ma trận đƣợc ký
hiệu là
thoả mãn điều kiện:
6
Trong đó: E là ma trận đơn vị. Có thể chứng minh rằng để thỏa mãn
điều kiện trên thì bắt buộc
phải là ma trận vuông, và ma trận đảo nếu tồn
tại là duy nhất.
Điều kiện tồn tại của ma trận nghịch đảo: Ma trận vuông A cấp n có ma
trận nghịch đảo khi và chỉ khi
Cách tính ma trận nghịch đảo:
Gọi
là phần bù đại số của phần tử
| |‖ ‖ với mọi
‖
‖ ‖
.
.
‖ ‖ (Bất đẳng thức tam giác).
. Trong thực tế ngƣời ta hay sử
Cho vecto
dụng một số dạng chuẩn sau:
Chuẩn-p
Cho
là số thực, chuẩn-p đƣợc định nghĩa là:
7
‖ ‖
(∑‖ ‖ )
ta đƣợc các dạng chuẩn Manhattan, Euclide và
Với
ta đƣợc
√
√
Chuẩn Euclide còn đƣợc gọi là chuẩn
.
Chuẩn vô cực
Trong công thức chuẩn-p, khi
‖ ‖
| || |
ta đƣợc chuẩn cực đại
|
|
Ngoài ra ngƣời ta còn định nghĩa chuẩn cực tiểu, tƣơng ứng với
trƣờng hợp
:
‖ ‖
| || |
8
kí hiệu ‖ ‖ theo định
, chuẩn của
nghĩa là một số không âm thỏa mãn:
1. ‖ ‖
và‖ ‖
2. ‖
| |‖ ‖ với mọi .
3. ‖
‖
‖
‖ ‖
khi và chỉ khi
.
‖ ‖ (bất đẳng thức tam giác).
không giống nhƣ vecto, các dạng chuẩn đều đƣợc “phái sinh” từ một chuẩn
duy nhất là chuẩn-p, các dạng chuẩn của ma trận có thể xem nhƣ thuộc vào
một trong 3 “nguồn gốc” sau đây:
để tìm chuẩn này, ta cộng giá trị tuyệt đối của các phần tử trong cùng một cột,
sau đó lấy kết quả lớn nhất.
, chuẩn toán tử trở thành chuẩn cực đại theo dòng:
Với
‖ ‖
∑
và
Với
|
|
, ta đƣợc dạng chuẩn Euclide của ma trận,
đƣợc tính bằng giá trị lớn nhất trong các singular value của .
‖ ‖
Chuẩn từng phần tử
Áp dụng một cách trực tiếp chuẩn-p của vecto đối với từng phần
tử của ma trận, ta đƣợc loại chuẩn tƣơng đối trực quan này
‖ ‖
(∑ ∑|
là các singular value của A.
Để ý sự tƣơng tự giữa √
vecto √
là tổng các phần tử trên
và công thức chuẩn Euclide của
.
10
Chuẩn Schatten
‖ ‖
(∑
)
1.2. Phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất
Giả sử có một tập các điểm dữ liệu xác định, chúng ta cần biểu diễn
đƣờng dữ liệu theo một hàm có dạng đã biết. Thông thƣờng, các mẫu dữ liệu
có ảnh hƣởng của nhiễu, vì vậy các tham số của hàm để mô tả chính xác tất cả
các mẫu không thể xác định đƣợc. Do đó, chúng ta cần tìm ra các tham số mà
nó mô tả các mẫu tốt nhất. Phƣơng pháp lỗi bình phƣơng nhỏ nhất “least
squared error” là một phƣơng pháp phổ biến để ƣớc tính tốt nhất. Lỗi bình
phƣơng là tổng bình phƣơng của sự sai khác giữa mỗi mẫu và giá trị kì vọng.
Tham số để lỗi bình phƣơng nhỏ nhất là tham số ƣớc tính tốt nhất.
‖
giá trị nhiễu b là giá trị rất nhỏ không mong muốn. Trên thực tế, ta cần giảm
giá trị của b càng nhỏ càng tốt. Vì vậy, ta cần ƣớc tính ̂ sao cho ‖ ̂
‖
là nhỏ nhất.
Bài toán qui về tìm:
‖ ̂
‖
1.3. Argument của một hàm
Argument đƣợc gọi là đối số và nó đƣợc dùng trong khi chúng ta truyền
giá trị đầu vào khi gọi một hàm nào đó. Mỗi đối số ứng với một tham số nhất
định khi chúng ta khai báo hàm.
Arg min, đƣợc viết tắt từ argument of the minimum, và đƣợc kí hiệu:
arg min f ( x)
x
Biểu thức trên tính giá trị nhỏ nhất của hàm f(x), với giá trị xác định
của x.
Arg max, đƣợc viết tắt từ argument of the maximum, và đƣợc kí hiệu:
arg max f ( x)
x
Biểu thức trên tính giá trị lớn nhất của hàm f(x), với giá trị xác định của
x.
1.4. Bài toán giả định đúng và bài toán giả định sai
biệt, vấn đề này bao gồm các giả định bổ sung, chẳng hạn nhƣ độ mƣợt của
giải pháp (smoothness of solution). Quá trình này đƣợc biết nhƣ là Chuẩn tắc
(regularization). Chuẩn tắc Tikhonov là một trong những giải pháp đƣợc sử
dụng rộng rãi nhất cho bài toán giả định sai tuyến tính.
13
1.5. Bài toán ngƣợc
1.5.1. Giới thiệu chung
Bài toán ngƣợc đƣợc sử dụng để biến đổi phép đo quan sát thành thông
tin về đối tƣợng hoặc hệ thống vật lí. Ví dụ, nếu chúng ta có phép đo về
trƣờng hấp dẫn của trái đất, thì chúng ta có thể đặt câu hỏi rằng: “nếu chúng
ta có dữ liệu, chúng ta có thể nói gì về sự phân bố mật độ của trái đất ở khu
vực đó?”. Giải pháp đối với vấn đề này (tức là, phân bố mật độ phù hợp với
dữ liệu nhất) là rất cần thiết bởi vì nó chỉ cho chúng ta biết về tham số vật lí
mà chúng ta không thể quan sát trực tiếp. Vì vậy, bài toán ngƣợc là một trong
những bài toán đƣợc nghiên cứu sâu và quan trọng nhất trong khoa học và
toán học. Bài toán ngƣợc phát triển trong nhiều ngành, bao gồm, thị lực máy
tính, xử lí ngôn ngữ tự nhiên, học máy, thống kê, luận thống kê, địa lí, tạo ảnh
y sinh (chẳng hạn nhƣ chụp cắt lớp điện toán, EEG/ERP), viễn thám, siêu âm
cắt lớp đại dƣơng, kiểm tra không phá hủy, thiên văn học, vật lí và nhiều lĩnh
vực khác.
1.5.2. Khái niệm
Bài toán ngƣợc có thể đƣợc xây dựng nhƣ sau
Dữ liệu → Tham số mô hình
Bài toán ngƣợc đƣợc xem xét là “ngƣợc” đối với bài toán thuận, nó liên
quan tham số mô hình đối với dữ liệu mà chúng ta quan sát:
Tham số mô hình → Dữ liệu
Sự biến đổi từ dữ liệu đến tham số mô hình (hoặc ngƣợc lại) là kết quả
Từ trƣờng của trái đất
(ở bề mặt)
Phƣơng trình
Maxwell
Độ cảm từ
Từ trƣờng
Phƣơng trình sóng
Tốc độ
sóng (mật
độ)
Vận tốc hạt
Sóng địa chấn (do
động đất)
Đại số tuyến tính là công cụ hiệu quả trong việc tìm hiểu quá trình xây
dựng toán lí của bài toán ngƣợc, bởi vì sự hiện diện của sự biến đổi hoặc ánh
xạ (mapping) của dữ liệu đến tham số mô hình.
1.5.3. Bài toán ngƣợc
Mục tiêu của bài toán ngƣợc là tìm ra mô hình m tốt nhất (hoặc ít nhất
là xấp xỉ) mà
Trong đó G là một toán tử mô tả mối quan hệ rõ ràng giữa dữ liệu quan
sát d và tham số mô hình. Trong các bối cảnh khác nhau, toán tử G đƣợc gọi
là toán tử thuận, toán tử quan sát hay hàm quan sát. Trong bối cảnh chung
tuyến tính, liên quan đến 5 khối lƣợng chƣa biết, đối với 5 điểm dữ liệu nhƣ
sau:
16
Copyright: Tài liệu đại học ©