Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG

- - - - - - - - - -

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
MỘT SỐ DẠNG TOÁN
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN
MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Họ và tên: Nguyễn Thị Lệ Thanh
Đơn vị: Trường THPT Tam Dương

Năm học 2013- 2014

LỜI GIỚI THIỆU
1


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

1. Lý do chọn chuyên đề:
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy không ít học sinh còn rất lúng túng
khi xác định phương pháp giải các bài toán hình học giải tích, mà đó là điều không
đáng mắc phải khi các em biết nhận dạng và định hình phương pháp giải quyết, từ

………………………………………………

Phần II - Nội Dung Của Chuyên Đề
2


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

A. Tóm Tắt Lý Thuyết
I,Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, phương trình mặt phẳng:
1, Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:
a, Định nghĩa:
r r
Một véc tơ n ≠ 0 được gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu nó có giá
vuông góc với mặt phẳn g (P).
b, Tính chất:
Một đường thẳng có vô số véc tơ pháp tuyến, các véc tơ này cùng
phương với nhau
r
r
Nếu véc tơ n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì k n ;k ≠ 0 cũng là véc tơ
pháp tuyến của mặt phẳng (P).
c, Chú ý:
r r
Nếu hai véc tơ a, b không cùng phương và có giá song song hoặc trùng mặt
r rr
phẳng (P) thì khi đó một véc tơ pháp tuyến của (P) là n =  a; b  .
2, Phương trình mặt phẳng

2
2
A1x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A1 + B1 + C1 > 0 ,

A 2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, A 22 + B22 + C22 > 0
A1 B1 C1 D1
=
=
≠
1, Hai mặt phẳng song song:
A2 B2 C2 D2
A1 B1 C1 D1
=
=
=
2, Hai mặt phẳng trùng nhau:
A2 B2 C2 D2
3, Hai mặt phẳng cắt nhau: A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
3


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

IV, Véc tơ chỉ phương của đường thẳng, phương trình đường thẳng:
1, Véc tơ chỉ phương của đường thẳng:
a, Định nghĩa:
r r
Một véc tơ u ≠ 0 được gọi là chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có giá song

 z = z + ct
0

x − x0 y − y0 z − z0
=
=
; abc ≠ 0
a
b
c
V, Vị trí tương đối của đường thẳng vàmặt phẳng:
Trong không gian cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d có phương trình lần lượt là:
 x = x0 + at

Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 > 0; d :  y = y0 + bt ; t ∈ R, a 2 + b 2 + c 2 > 0
 z = z + ct
0

rr
Gọi n; u lần lượt là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng và chỉ phương của đường
thẳng.
Ta có các
r rtrường hợp sau:
+ Nếu n.u ≠ 0 thì d cắt (P)
rr
n.u = 0
+ Nếu 
thì d nằm trên (P).
 M ∈ d ⇒ M ∈ ( P )
rr

Ta có các trường hợp sau:
ur uur r
 u1 , u2  = 0


+ Nếu  uuuur uur r thì hai đường thẳng trùng nhau
  MN , u2  = 0
ur uur r
 u1 , u2  = 0


+ Nếu  uuuur uur r thì hai đường thẳng song song
  MN , u2  ≠ 0
ur uur r
 u1 , u2  ≠ 0


+ Nếu  ur uur uuuur
thì hai đường thẳng cắt nhau.


 u1 , u2  MN ≠ 0
ur uur r
 u1 , u2  ≠ 0


+ nếu  ur uur uuuur
thì hai đường thẳng chéo nhau
 u1 , u2  MN = 0
VII, Khoảng cách


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

Trong không gian cho và đường thẳng d
và d’ có phương trình:
 x = x1 + a1t
 x = x2 + a2l


d :  y = y1 + b1t ; t ∈ R , a12 + b12 + c12 > 0; d ' :  y = y 2 + b2l ; l ∈ R , a2 2 + b2 2 + c2 2 > 0
z = z + c t
z = z + c l
1
1
2
2


ur uur
Gọi u1 ; u2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng.
ur uur uuuur
u1 , u2  .MN


; M ∈ d, N ∈ d'
Ta có: d ( d ; d ' ) =
ur uur
u1 , u2 


 x = x1 + a1t
 x = x2 + a2l


d :  y = y1 + b1t ; t ∈ R , a12 + b12 + c12 > 0; d ' :  y = y 2 + b2l ; l ∈ R , a2 2 + b2 2 + c2 2 > 0
z = z + c t
z = z + c l
1
1
2
2


ur uur
Gọi u1 ; u2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng.
ur uur
u1.u2
Ta có: sin ( d1; d 2 ) = ur uur ;
u1 u2

6


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

B. Một số bài toán liên quan đến lập phương trình mặt phẳng
I, Bài toán 1. Lập phương trình mặt phẳng biết một điểm thuộc mặt phẳng và



thời vuông góc với mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 1 = 0
5, Mặt phẳng đi qua

( P ) : x − 2z + 2 = 0

A ( 2; 2;1) , B ( 1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng

6, Mặt phẳng đi qua A ( 1; −2;1) , B ( 1;1;1) và song song với đường thẳng:

x = 1− t

d : y = t
z = 2 + t

x = t

7, Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d :  y = 1 − t và vuông góc với
 z = 2t


mặt phẳng ( Q ) : x + y + 2 z + 2 = 0
8, Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng:
( P ) : x − y + 2 z + 2 = 0; ( Q ) : x − z + 2 = 0 và song song với đường thẳng
x = 2 + t

d :  y = 1− t
z = t


ur
uur
2,Ta có n1 ( 1; 2; −1) , n2 ( 1;1; −2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 1; 2; −1) và có véc tơ
r ur uur
n
pháp tuyến =  n1 , n2  = ( −3;1; −1) , nên có phương trình là: −3x + y − z = 0
ur
uur
3, Ta có u1 ( 1; 2; −1) , u2 ( 1;1; −2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 0; 2; −1) và có véc tơ
r ur uur
n
pháp tuyến = u1 , u2  = ( −1;1;1) , nên có phương trình là: − x + y + z − 1 = 0
uur
r
4, Ta có u ( 1; −1; 2 ) , n ( 1;1; −2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 2; 2;1) và có véc tơ pháp
r uur r
n
tuyến = u , n  = ( 0; 4; 2 ) , nên có phương trình là: 2 y + z − 5 = 0
uuur
r
5,Ta có AB ( −1; −2;0 ) , n ( 1;0; −2 ) . Mặt phẳng cần tìm đi qua A ( 2; 2;1) và có véc tơ
r uuur r
pháp tuyến n =  AB, n  = ( 4; −2; 2 ) , nên có phương trình là: 2 x − y + z − 3 = 0
uuur
r
6, Ta có AB ( 0;3;0 ) , u ( −1;1;1) . Mặt phẳng cần tìm đi qua B ( 1;1;1) và có véc tơ pháp
r uuur r
tuyến n =  AB, n  = ( 3;0;3) , nên có phương trình là: x + z − 2 = 0
r
r

Mặt phẳng cần tìm qua H và có véc tơ pháp tuyến AH ( −1; −1;0 ) nên có phương
trình: x + y − 1 = 0
8


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

ur
r
10, chọn M ( 1;1;0 ) ∈ d1 , N ( 0; 2;1) ∈ d 2 ; u1 ( 0; −1;1) , u 2 ( 1;1;0 )
1 3 1
Mặt phẳng cần tìm đi qua trung điểm I  ; ; ÷ của MN và có véc tơ pháp
2 2 2
r
ur uur
tuyến n 1 = u1 , u2  = ( −1;1;1) nên có phương trình: 2 x − 2 y − 2 z + 3 = 0
Bài tập tương tự:
Trên hệ trục Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau:
1, Mặt phẳng đi qua ba điểm A ( 1; 0; 2 ) , B ( −2;1;0 ) , C ( 1;3;1)
2, Mặt phẳng đi qua

A ( 1; 2;0 )

( P ) : x + 2 y + 1 = 0; ( Q ) : y − 2 z + 2 = 0
3,Mặt phẳng đi qua A ( 2; 2;1) và

và vuông góc với hai mặt phẳng:
song

( P ) : x − y + 2z + 2 = 0

A ( 0; 2;1) , B ( 1;1;1) và vuông góc với mặt phẳng

6, Mặt phẳng đi qua A ( −1; 2;1) , B ( 3;1;1) và song song với đường thẳng:

x = t

d : y = 2 −t
z = 2 + t

x = 2 + t

7, Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d :  y = 1
và vuông góc với
 z = 2t


mặt phẳng ( Q ) : x − y + 2 z + 2 = 0
8, Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng:
( P ) : x + y − 2 z + 2 = 0; ( Q ) : x − y + z + 2 = 0 và song song với đường thẳng
x = 2 + t

d :  y = 1− t
z = t

9


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trên hệ trục Oxyz
1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua hình chiếu của M ( 2;1; −3) lên các trục tọa
độ
2, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác
ABC nhận điểm G ( 1; −1; 2 ) làm trọng tâm.
3, Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho tam giác
ABC nhận điểm H ( 2; −1; 2 ) làm trực tâm.
4, Viết phương trình mặt phẳng cắt tia dương của các trục tọa độ tại A, B, C có sao
cho OA = 2OB = 4OC và mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M ( 2;1;1)
Giải:
Giả sử mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm phân biệt
A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c ) thì khi đó phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn
x y z
chắn là; + + = 1 ,abc ≠ 0
a b c
1, Hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là:
A ( 2;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0; −3) .
x y z
= 1 ⇔ 3x + 6 y − 2 z − 6 = 0
Vậy phương trình mặt phẳng là: + +
2 1 −3

10


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

a + 0 + 0 = 3.1

 H ∈ ABC
(
)  2 − 1 + 2 = 1 b = −9

a b c
Vậy phương trình mặt phẳng là:
2x y 2z
− +
= 1 ⇔ 2x − y + 2z − 9 = 0
9 9 9
Cách 2:
Chứng minh trong tứ diện OABC thì OH ⊥ ( ABC ) . Vậy mặt phẳng cần tìm qua H
uuur
và nhận véc tơ OH ( 2; −1; 2 ) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình:
2x − y + 2z − 9 = 0

a = 2b
a = 8

b


⇔ b = 4
4, Theo đề ra ta có: OA = 2OB = 4OC ⇔ a = 2b = 4c ⇔ c =
2

c = 2

2 1 2
+

r uuuur uur
phẳng cần tìm đi qua A( hoặc M) có véc tơ pháp tuyến n =  AM ; u  .
Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz
 x = 2t

Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm A ( 1; 2; −1) và đường thẳng d :  y = t
z = 2 + t


Giải:
uuuur
Chọn M ( 0; 0; 2 ) ∈ d ⇒ AM ( −1; −2;3)

r uuuur ur
n
Mặt phẳng cần tìm qua A và có véc tơ pháp tuyến =  AM ; u1  = ( −5;7;3) nên có
phương trình là: −5 x + 7 y + 3 z − 6 = 0
3.2. Cho hai đường thẳng song song (d) và (d’).Viết phương trình mặt phẳng chứa
chúng:
Phương
r rpháp:
Gọi u1 ; u 2 lần lượt là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) và (d’).
M 1 , M 2 lần lượt là hai điểm nằm trên hai đường thẳng.

Khi đó mặt phẳng cần tìm đi qua một trong hai điểm M 1 , M 2 và có véc tơ pháp
r uuuuuur ur
n
tuyến =  M 1M 2 ; u1 
Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz
Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng:



Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

M 1 , M 2 lần lượt là hai điểm nằm trên hai đường thẳng.
Khi đó mặt phẳng cần tìm đi qua một trong hai điểm M 1 , M 2 và có véc tơ pháp
r ur uur
tuyến n = u1 ; u2 
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng:
x = 1
x = t


d1 :  y = 1 − t ; d 2 :  y = 1 − t
z = t
z = 1


Giải: ur
uur
Ta có: u1 = ( 0; −1;1) , M ( 1;1; 0 ) ∈ d1 , u2 = ( 0; 2;1)
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 , d 2 . Khi đó (P) đi qua M ( 1;1; 0 ) và có véc tơ pháp
r ur uur
n = u1 ; u2  = ( 1;1;1)
tuyến
nên
có
phương

 z = −2 − t


IV. Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và thỏa mãn tính
chất khác
4.1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ C
đến mặt phẳng là một số m cho trước.
Phương pháp:
2
2
2
Giả sử phương trình mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A + B + C > 0

13


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

A∈( P)

Theo đề ra ta có:  B ∈ ( P )

 d ( C ; ( P ) ) = m
Ví dụ: Trên hệ trục Oxyz
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 1;1;1) , B ( 0;1; 2 ) sao cho khoảng cách từ
1
điểm C ( 2; −1;1) bằng
.

 A∈ ( P)

Theo đề ra ta có:  B ∈ ( P )

cos ( ( P ) ; ( Q ) ) = cosα
Ví dụ 1: Trên hệ trục Oxyz
Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( −1;0;0 ) , B ( −1;1; −1) sao cho.góc giữa mặt
8
phẳng đó và mặt phẳng 2 x + y + 2 z − 3 = 0 thỏa mãn: cosα =
9
Giải:
( P ) : Ax + By + Cz + D = 0; A 2 + B 2 + C 2 > 0 .

14


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương



− A + D = 0
2 A = B

⇒
Theo đề ra ta có hệ: − A + B − C + D = 0
14 A = 47 B

2 A + B + 2C

⇔
Theo đề ra ta có hệ: 2 B + D = 0
C = − A

2
A
+
B
−
C
3
sin ( ( P); l ) =
=

2
6 A2 + B 2 + C 2
*) Chọn A = 1, B = 1, C =0, D = -2, khi đó phương trình mặt phẳng là:
x+ y−2=0
*) Chọn A = 1, B = 0, C =-1, D = 0, khi đó phương trình mặt phẳng là: x − z = 0
4.3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho khoảng cách từ C
và D đến mặt phẳng bằng nhau.
Phương pháp:
Cách1:
Giả
sử
phương
trình
mặt
phẳng
2

đề
ra
ta
có
hệ:
A+ B + C + D = 0
A−C = 0
A = C



⇔  D = −2C − B
⇔  3 A = − D
 B + 2C + D = 0
 2 A − B + C + D = 2C + D
 5 A + 2D = 2 A + D
  7 A = −3 D



*) Chọn A = 1, D = - 3, C =1, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là:
x+ y + z −3 = 0
*) Chọn A = 3, D = -7 , C =3, B = 1, khi đó phương trình mặt phẳng là:
3x + y + 3 z − 7 = 0
Cách 2.
1 3

Trường hợp 1. Gọi I là trung điểm CD ⇒ I 1; − ; ÷ . Mặt phẳng cần tìm qua
2 2


a = c ⇒ ( p) : x + y − 2 = 0
a = −c ⇒ ( p ) : x − y = 0

⇔a=± c

Bài tập tương tự:
Trên hệ trục Oxyz
16


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

1, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 1;1;1) , B ( 3;0;0 ) sao cho khoảng cách từ
3
điểm C ( 2; −1;1) bằng
.
5
2, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 0;0; −5 ) , B ( −1; −1; −3) sao cho.góc giữa

2
mặt phẳng đó và mặt phẳng 2 x − y + z − 3 = 0 thỏa mãn: cosα =
3
3, Viết phương trình mặt phẳng đi qua A ( 2;0;1) , B ( 0;1; 2 ) sao cho khoảng cách từ
điểm C ( 3; −1;1) , D ( −1;1;1) bằng nhau.

x = t

4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua d :  y = −t sao cho góc giữa mặt phẳng đó

 y = 1+ u

⇒ H ( 2; 2;1)
Tọa độ hình chiếu H là nghiệm hệ phương trình: 
z = u
 x + y + z − 5 = 0
17


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

b, Hình chiếu song song:
Phương pháp:
Giả sử cho điểm A và mặt phẳng (P). Để tìm hình chiếu của A lên (P) theo phương
chiếu l ta làm như sau:
Gọi d là đường thẳng qua A và song song với l
Hình chiếu H là giao điểm của d và (P)
Ví dụ:
Trong không gian cho A ( 1;1;0 ) ; ( P ) : x + y + z − 5 = 0 . Tìm hình chiếu song song
x = 2 + u

của A lên (P) theo phương chiếu l :  y = 1 − u .
z = u


Giải:
x = 1+ u


Giải:
Cách 1. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d, phương trình mặt phẳng
(P): x − z −1 = 0 .
x = t
y =1
1

1
⇒ H  ;1; − ÷
Tọa độ hình chiếu H là nghiệm hệ phương trình: 
2
2
 z = −t

 x − z −1 = 0
Cách 2. Giả sử H ∈ d ⇒ H ( t ;1; −t ) . H là hình chiếu của A lên d khi và chỉ khi

18


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

uuur r
 1 −1 
AH .u = 0 ⇔ H  ;1; ÷
2 
2


,(Q):2x+y+z-8=0
2
3
5

a, Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên (P)
b, Viết phương trình hình chiếu song song của d lên (P) theo phương
l:

x y + 1 z −1
=
=
2
1
−1

Giải:
a, Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).
r r uur
(Q) qua A và có véc tơ pháp tuyến n = u; nP  = ( 1; −4; 2 ) ⇒ ( P) : x − 4 y + 2 z − 8 = 0

19


Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

8 8
Khi đó d’ là giao tuyến (P), (Q) đi qua I  ;0; ÷ và có véc tơ chỉ phương


tuyến

Khi đó d’ là giao tuyến (P), (Q) đi qua I ( 0;0;8 ) và có véc tơ chỉ phương
x = t
r uur uur

u =  nQ ; nP  = ( 4;0; −8 ) có phương trình là: d ' :  y = 0

 z = 8 − 2t


Bài tập tương tự:
1, Trong không gian cho A ( 1;1; 2 ) ; ( P ) : x + y − z + 2 = 0 . Tìm hình chiếu vuông
góc của A lên (P).
2, Trong không gian cho A ( 2;1; −2 ) ; ( P ) : x + y + z − 5 = 0 . Tìm hình chiếu song
x = u

song của A lên (P) theo phương chiếu l :  y = 1 − u .
 z = 2u

x = 1 − t

3, Trong không gian cho A ( 1; 2;3) ; d :  y = 1 . Tìm hình chiếu vuông góc của A
z = −t


lên d.
4 Trong không gian cho d :



Giáo viên: Nguyễn Thị Lệ Thanh

Trường THPT Tam Dương

uuur
uuur
uuur
Giả sử trong không gian tồn tại điểm I sao cho: k1 IA1 + k 2 IA2 + ... + kn IAn ⇒ I
uuuur
uuuur
uuuur
M
=
k
MA
+
k
MA
+
...
+
k
MA
Theo
đề
ra
ta
có:
1

MB
+
MC
(
MI
+
IA
)
+
(
MI
+
IB
)
+
(
MI
+
IC
)
=
3
MI
M=
M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I lên (P)
x = 1+ t

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với (P): d :  y = −t
z = 3 + t



cho:

 a = −3
uur uur uur 
−3
3 

IA + 2 IB − IC ⇒ b =
⇒ I  −3; − ;5 ÷
2
2 


c = 5
uuur uuur uuur uur uur
uur uur
uur uur
uur
M = NA + 2 NB − NC = ( NI + IA) + 2( NI + IB) − ( NI + IC ) = 2 NI
M đạt giá trị nhỏ nhất khi N là hình chiếu của I lên (P)
 x = −3 + t

−3

−t
Gọi d là đường thẳng qua N và vuông góc với (P): d :  y =
2

 z = 5 + t


x + y + z − 4 = 0 . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho 2MA + 2MB − 3MC nhỏ nhất.
Giải:
Ta có:

uuur uuur uuuur
uuur uur uuur uur uuur uur uuur
2MA + 2 MB − 3MC = 2 MI + 2 IA + 2 MI + 2 IB − 3MI − 3IC = MI = IM
uuur uuur uuuur
Suy ra 2MA + 2MB − 3MC nhỏ nhất khi và chỉ khi IM ngắn nhất, do M thuộc (P) nên

IM ngắn nhất khi M là hình chiếu của I trên (P).
Tìm hình chiếu của I trên (P)
Giả sử M (a; b; c) ∈ ( P) là hình chiếu của I trên (P). Ta có
uuur
r

a + b + c = 4
uuu
r
r
(I)
IM
=
a
−
3;
b
+
7;

Giả sử trong không gian tồn tại điểm I sao cho: k1 IA1 + k 2 IA2 + ... + kn IAn ⇒ I
Theo

đề

ra
ta
có:
uuu
r
uu
r
uuu
r
uu
r
uuu
r
uu
r
2
2
2
k1MA12 + k2 MA22 + ... + k n MAn2 M = k1 MI + IA1 + k2 MI + IA2 + ... + k n MI + IA n

(

) (

= ( k1 + k2 + ... + kn ) MI 2 + k1 IA12 + k2 IA22 + ... + k n IAn2


x = t
 y = −t

 2 −2 5 
⇒M ; ; ÷
Khi đó tọa độ I là nghiệm của hệ: 
 3 3 3
z = 1+ t
 x − y + z − 3 = 0
2.3.Trong không gian cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P). Tìm điểm M trên (P)
sao cho tam giác ABC đều hoặc có diện tích bằng một số m cho trước.
Phương pháp:
Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. Khi đó điểm C thuộc đường thẳng
giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường giao tuyến dưới dạng tham số.
+ Nếu tam giác ABC đều thì AB =BC
+ Nếu tam giác ABC cân và có diện tích bằng số cho trước thì chọn C thuộc giao
1
tuyến và sử dụng công thưc: S = d ( C ; AB ) . AB = m .
2
Ví dụ 1:
Trong không gian cho A ( 0;0;1) , B ( 0;1;0 ) ;( P) : x + 2 y − z − 1 = 0 . Tìm điểm C
thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều.
Giải:
 1 1
Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. (Q) đi qua trung điểm I  0; ; ÷ và
 2 2
uuur
có véc tơ pháp tuyến AB ( 0;1; −1) nên có phương trình là: y − z = 0 .


Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 0; 1); B(-1; 1; 1). Tìm tọa độ điểm
Với t =

M ∈ ( Oxy ) sao cho ∆MAB cân tại M và có diện tích bằng

21
.
2

Giải:
Cách 1. Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. (Q) đi qua trung điểm
uuur
 1 
I  0; ;1÷ và có véc tơ pháp tuyến AB ( −2;1;0 ) nên có phương trình là:
 2 
4x − 2 y +1 = 0 .
x = t

1

Gọi d là giao tuyến của (Oxy) và (Q), phương trình đường thẳng d là:  y = + 2t
2

 z = 0
 1

M ∈ d ⇒ M  t ; + 2t ; 0 ÷ .
Vì
Theo
đề

  5 10 
Cách 2.
M ∈ (0 xy ) ⇒ M (a; b;0)

∆MAB : MA = MB ⇔ MA2 = MB 2
⇔ (1 − a) 2 + b2 + 1 = (−1 − a) 2 + (1 − b) 2 + 1 ⇔ 4a − 2b + 1 = 0 (1)
uuuur uuur 2
 a + 2b = 5 (2)
21
S ∆MAB =
⇔  AM , AB  = 21 ⇔ ... ⇔ (a + 2b − 1) 2 = 16 ⇔ 
2
 a + 2b = −3 (3)

4

a
=

5
Từ (1) và (2) ⇒ 
b = 21
 10
  4 21 
 M  5 ; 10 ;0 ÷


Vậy có 2 điểm : 
  −4 −11 
;0 ÷

Giải:
Cách 1: Phương trình mặt phẳng (P) qua A và có véc tơ pháp tuyến
r uuur r
n =  AB; n  = ( 1;1; −1) nên có phương trình: x + y − z − 5 = 0 .
C thuộc giao tuyến của (P) và (Q), gọi d là giao tuyến hai mặt phẳng này, phương
x = t

trình đường thẳng d :  y = 0
 z = −5 + t


C ∈ d ⇒ C ( t ;0; −5 + t )

1
Ta có:
2

uuur uuur
t = 5 C ( 5;0;0 )
 AB, AC  = 3 ⇔ t − 4 = 1 ⇔ 
⇒


t = 3 C ( 3;0; −2 )

Cách 2: Vì C ( a; b; c ) ∈ ( P) ⇒ a − 2b − c − 5 = 0 (1). Gọi (Q) là mặt phẳng chứa AB
uur

uuur uur


25