TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN


VŨ THỊ HUỆ

ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP NEWTON VÀ
PHƢƠNG PHÁP DÂY CUNG GIẢI GẦN
ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2015


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN


VŨ THỊ HUỆ

ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP NEWTON VÀ
PHƢƠNG PHÁP DÂY CUNG GIẢI GẦN
ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS. Khuất Văn Ninh

Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Huệ


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................. 1
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN .............................................. 3
1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối ....................................... 3
1.1.1 Số gần đúng ...................................................................................... 3
1.1.2 Sai số tuyệt đối ................................................................................. 3
1.1.3 Sai số tƣơng đối................................................................................ 3
1.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số ............................................ 4
1.2.1 Làm tròn số ...................................................................................... 4
1.2.2 Sai số của phép làm tròn số.............................................................. 5
1.3 Cách viết số xấp xỉ .................................................................................. 5
1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc ........................................................... 5
1.3.2 Chữ số đáng tin ................................................................................ 5
1.3.3 Cách viết số xấp xỉ ........................................................................... 6
1.4 Sự tồn tại nghiệm thực và khoảng tách nghiệm của phƣơng trình. ........ 6
1.4.1 Sự tồn tại nghiệm thực của phƣơng trình......................................... 6
1.4.2 Khoảng tách nghiệm (khoảng phân li nghiệm) ................................ 7
1.5 Đạo hàm và vi phân của toán tử ............................................................. 8
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG PHÁP NEWTON ..................................................... 9
2.1 Mô tả phƣơng pháp ................................................................................ 9
2.2 Mô tả phƣơng pháp bằng hình học ...................................................... 11

nghiệm gần đúng của phƣơng trình tuyến tính thay thế sẽ hội tụ đến nghiệm
của phƣơng trình phi tuyến nói trên.
Dƣới góc độ của một sinh viên sƣ phạm chuyên ngành Toán và trong
phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết
của mình về vấn đề:
“Ứng dụng phƣơng pháp Newton và phƣơng pháp dây cung giải
gần đúng phƣơng trình phi tuyến”
2. Mục đích nghiên cứu
Hiểu và lắm vững hai phƣơng pháp giải gần đúng phƣơng trình phi
tuyến, tìm nghiệm của phƣơng trình với độ chính xác cần thiết hoặc sai số cho
phép.
Áp dụng phần mềm Toán học nhƣ: Maple và Pascal vào để giải quyết
một số bài toán.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu Phƣơng pháp Newton và phƣơng pháp dây cung giải
phƣơng trình f(x) = 0, trong f là hàm số một biến số thực; ứng dụng các
phƣơng pháp đó giải một số phƣơng trình phi tuyến cụ thể.
4. Đối tƣợng nghiên cứu.
Phƣơng trình phi tuyến tính.
Các cách giải và bài tập áp dụng.
Giải toán trên Maple và trên Pascal.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Tra cứu và tham khảo tài liệu.
Viết thuật toán chạy chƣơng trình.
Đƣa ra và giải các ví dụ minh họa cho từng phƣơng pháp.


Tỷ số

𝛿 q = qq

(1.1.2)

gọi là sai số tƣơng đối của q.

3


Ta suy ra q = q. 𝛿 q

(1.1.3)

Do đó (1.1.1) có thể viết thành:
q* = q(1 ± 𝛿 q)
Công thức (1.1.2) và (1.1.3) cho ta hệ thức liên hệ giữa sai số tuyệt đối
và sai số tƣơng đối.
Nhận xét:
Độ chính xác của một phép đo thƣờng đƣợc phản ánh qua sai số tƣơng
đối.
1.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số
1.2.1 Làm tròn số
Xét số thập phân dạng tổng quát:
q = ± (qp.10p +…+ qi.10i +…+ qp-s.10p-s)

(1.2.1)

Với qj  ℕ, j , qp  0, 0  qj  9

4


1.2.2 Sai số của phép làm tròn số
Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn số là q, nhƣ vậy q  0 là số thỏa
mãn điều kiện:
q - 𝑞 q
Vì

q = qp.10p +…+ qi.10i +

Còn 𝑞 = qp.10p +…+ qi+1.10i+1 +…+ 𝑞i.10i
1

nên q - 𝑞=(𝑞𝑖 - 𝑞i).10𝑖 + < . 10𝑖
2

sau khi thu gọn sai số tuyệt đối tăng lên:
q* - q q* - q +q - 𝑞  q + q
tức là sau khi làm tròn số thì sai số tuyệt đối tăng thêm q
1.3 Cách viết số xấp xỉ
1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
+ Xét số q có dạng (1.2.1) nghĩa là đƣợc viết dƣới dạng số thập phân.
Khi đó, chữ số có nghĩa là một số khác 0 và những số không bị kẹp giữa hai
chữ số khác 0 hoặc nó là những số 0 hoặc nó là những số 0 ở hàng đƣợc giữ
lại.
+ Xét số q ở dạng (1.2.1).
q = ± (qp.10p +…+ qi.10i +…+ qp-s.10p-s) ,
chữ số qi ở (1.2.1) của chữ số q là chữ số chắc nếu: q  .10i ( là
tham số cho trƣớc).

số xấp xỉ q
Cách 1: Viết kèm sai số theo công thức (1.1.1)
Cách 2: Viết theo quy ƣớc mọi chữ số có nghĩa đáng tin
Một số viết theo cách viết thứ 2 có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối không
lớn hơn một nửa đơn vị hàng cuối cùng.
1.4 Sự tồn tại nghiệm thực và khoảng tách nghiệm của phƣơng trình.
1.4.1 Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình
Xét phƣơng trình: f(x) = 0

(1.4.1)

Định lí (1.4.1)
Nếu có hai số thực a và b (a < b) sao cho f(a).f(b) < 0, đồng thời f(x)
liên tục trên 𝑎, 𝑏 thì tồn tại ít nhất một nghiệm thực của phương trình (1.4.1)
ở trong khoảng 𝑎, 𝑏 .

6


1.4.2 Khoảng tách nghiệm (khoảng phân li nghiệm)
Định nghĩa:
Khảng 𝑎, 𝑏 nào đó đƣợc gọi là khoảng phân li nghiệm của phƣơng
trình (1.4.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phƣơng trình đó.
Để tìm khoảng phân li nghiệm (khoảng tách nghiệm) ta có các định lí sau:

Định lí (1.4.2).
Hàm f(x) liên tục, đơn điệu trên 𝑎, 𝑏 và f(a).f(b) < 0 thì 𝑎, 𝑏 là
khoảng tách nghiệm của phương trình (1.4.1)

Định lí (1.4.3).

Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn F: X  Y, xác định trên
tập con mở B nào đó của không gian X, ta nói ánh xạ đó khả vi tại x  B nếu
tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn L(x)  L (X, Y) sao cho
F(x + h) – F(x) = L(x)h + (x, h) , hY

(1.5.1)

Trong đó
(𝑥,𝑕)
𝑕

𝑕  0

 0 khi

Cũng có thể viết tắt là:
F(x + h) – F(x) = L(x)h + 0( 𝑕 )
Từ (1.5.1) suy ra một ánh xạ khả vi tại x sẽ liên tục tại điểm đó. Biểu
thức L(x)h (rõ ràng là phần tử của không gian Y với mọi h thuộc X đƣợc gọi là
vi phân mạnh hay vi phân Frechet) của ánh xạ F tại điểm x. Toán tử L(x) đƣợc
gọi là đạo hàm chính xác hơn là đạo hàm mạnh của ánh xạ F tại x kí hiệu:
F ' ( x) . Nếu F khả vi tại điểm x thì đạo hàm tƣơng ứng đƣợc xác định duy nhất.

Thật vậy, đẳng thức:
𝐿1 𝑕 − 𝐿2 𝑕 = 0(h)
đối với toán tử Li  L(X, Y); i = 1, 2 chỉ xảy ra khi L1 = L2
Một số tính chất:
 Nếu F(x) = y0 = const thì F ' ( x) = 0 ( F ' ( x) là toán tử không)
 Đạo hàm của ánh xạ tuyến tính liên tục L chính là ánh xạ đó
L' ( x) = L. Thật vậy, theo định nghĩa ta có L (x+h) – L(x) = L(h).

Khi đó công thức sau đây gọi là khai triển Taylor bậc n của P(x) tại x0:
P( x)  P( x0 )  ( x  x0 ).P ' ( x0) ) 
.P ( n ) ( x0 ) 

( x  x0 ) 2 "
( x  x0 ) n
.P ( x0 )  ... 
2!
n!

( x  x0 ) n 1 ( n 1)
.P
(c )
n 1

c = x0 + (x – x0), 0 <  < 1 ( c là số trung gian giữa x và x0)
Xét phƣơng trình (2.1.1), giả thiết nó có nghiệm thực  duy nhất ở
'
trong 𝑎, 𝑏 . Giả sử hàm f có đạo hàm f ( x)  0 tại x  𝑎, 𝑏 và đạo hàm cấp

9


''
hai f ( x) tại x 𝑎, 𝑏 . Ta chọn x0 ∈ 𝑎, 𝑏 rồi viết khai triển Taylor bậc nhất

của f(x) tại x0:
f(x) = 𝑓 𝑥0 +

𝑓 ′ 𝑥0

Nhƣ vậy, ta đã thay phƣơng trình (2.1.1) bằng phƣơng trình (2.1.2) đơn
giản hơn nhiều và (2.1.2) tuyến tính đối với x.
'
Gọi x1 là nghiệm của (2.1.2) do đó ta có: f(x0) + (x1 – x0). f ( x0 ) 0

𝑓 𝑥0
𝑥0

 x1 = 𝑥0 − 𝑓 ′

Từ x1 ta tính đƣợc bằng cách tƣơng tự ra x2,… và một cách tổng quát
khi đã biết xn ta tính xn+1 theo công thức:
xn+1 = xn -

𝑓 𝑥𝑛
𝑓 ′ 𝑥𝑛

; n = 0, 1, 2,..

x0 chọn trƣớc thuộc 𝑎, 𝑏

(2.1.3)

(2.1.4) và xem xn là một giá trị gần đúng

của nghiệm .
Phƣơng pháp tính xn theo (2.1.3) và (2.1.4) gọi là phƣơng pháp
Newton.
Chú ý:
Phƣơng trình (2.1.2) dùng để thay cho phƣơng trình (2.1.1) là tuyến

Từ đó có các trƣờng hợp đƣợc mô tả nhƣ sau:

A

11


2.3 Bậc hội tụ
Định nghĩa
Số   ,  > 0 gọi là bậc hội tụ của dãy xn đến giới hạn x* nếu tồn tại
hằng số c  0 sao cho:

lim
n 

xn 1  x*
xn  x

*

c

2.4 Tốc độ hội tụ của phƣơng pháp Newton
Cho r là nghiệm của phƣơng trình f(x) = 0 và xn là giá trị xấp xỉ thứ n
của r, ta xác định một số n nhƣ sau: n = r - xn.
Nếu với n đủ lớn thì chúng ta có mối quan hệ xấp xỉ nhƣ sau:

 n1  k  n

p


(2.4.1)

n

Ta sử dụng khai triển Taylor trong lân cận của nghiệm r, f(r) = 0.
Ta có:

1
f ( xn )  f (r )   xn  r  f ' (r )  ( xn  r )2 f '' (r )  ...,
2
1
  n f ' (r )   n 2 f '' (r )  ...;
2
1
f ' ( xn )  f ' (r )  ( xn  r ) f '' (r )  ( xn  r )2 f ''' (r )  ...,
2
1
 f ' (r )   n f '' (r )   n 2 f ''' (r )  ...,
2
Ta sử dụng công thức khai triển Maclaurin của hàm
1
 1     2  ...,
1 

(2.4.2)

1
, ta đƣợc:
1 

f (r )
n 
f '' (r )
1  n
 ...
f ' (r )

13




1
f '' (r )
f '' (r )
  n    n   n2
 ... (1   n
 ...)
'
'


2
f (r )
f (r )






Khi n   thì k  1 f (r ) , điều kiện f (r ) > 0
2 f ' (r )

Vậy bậc hội tụ của phƣơng pháp Newton là p = 2.
2.5 Sai số của phƣơng pháp Newton
Ta có:

 − 𝑥𝑛 ≤

𝑓 𝑥𝑛
𝑚

0 < 𝑚 ≥ 𝑓′ 𝑥 , 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
Ngoài ra ta có công thức đánh giá sai số khác là:
𝑀

 − 𝑥𝑛 ≤ 2𝑚 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 +1

2

, với 𝑓 ′′ 𝑥

≤𝑀

Vì đạo hàm 𝑓 ′ , 𝑓 ′′ không đổi dấu trên 𝑎, 𝑏 nên ta có:
𝑚 = 𝑚𝑖𝑛 𝑓 ′ 𝑎 . 𝑓 ′ 𝑏
2.6 Một số ví dụ
a) Ví dụ
Ví dụ 2.6.1: Giải phƣơng trình bằng phƣơng pháp Newton:
𝑥2 − 𝑒 𝑥 − 1 = 0

f ’(xn)

f(xn).f ‘(xn)-1

0

-1.1

-0.122871084

-2.532871084

0.048510595

1

-1.148510595

1,96786636.10-3

-0.99803467

-1.97174148.10-3

2

-1.146538884

-3.18317218.10-3


[> fsolve(x^2-exp(x)-1,{x});
{x = -1.147757632}
Đồ thị của phƣơng trình là:

15


Bảng đánh giá sai số của ví dụ 2.6.1 với nghiệm:
x* -1.147757632:

n

0

1

2

n

-1.1

-1.148510595

-1.146538884

0.047757632

0.000752963


16


Progam Giaividu2.6.1;
Uses crt;
Var x0, x1, w, e : real; i: byte;
x: array 1..10 of real;
functionf (x: real): real;
begin
f: = sqt(x)–exp(x) - 1;
end;
funtion Dhf(x: real): real;
begin
Dhf: = 2*x –exp(x);
end;
Begin
write(' nhap sai so w = '); readln(w);
write(' chon xap xi ban dau x0 = '); readln(x0);
writeln(' cac xap xi tiep theo la: ');
i: = 1; e: = 0;
repeat
begin
x1:= x0 - f(x0)/Dhf(x0);
writeln (' x', i ,' = ', x1: 2: 9);
e: = abs(x1 - x0);
x0: = x1;
i: = i + 1;
end;
until (e < w);
writeln(' vay nghiem xap xi cua phuong trinh la: ', x i : 2: 9);

Theo phƣơng pháp Newton, dãy xấp xỉ liên tiếp đƣợc xây dựng nhƣ
sau:
𝑥𝑛 +1 = 𝑥𝑛 −

𝑓 𝑥𝑛
; 𝑛 = 0, 1, 2, …
𝑓 ′ 𝑥𝑛

Chọn xấp xỉ ban đầu là x0 = 1.2
𝑥1 = 𝑥0 −

𝑓(𝑥0 )
𝑓(1.2)
=
1.2
−
≈ 1.169222886
𝑓 ′ (𝑥0 )
𝑓 ′ (1.2)

18


𝑥2 = 𝑥1 −
𝑥3 = 𝑥2 −

𝑓(𝑥1 )
≈ 1.16731102
𝑓 ′ (𝑥1 )



1.16731102

1.167303979

0.032696022

1.918908.10-3

7.042.10-6

0.00000001

n = |xn - x*|

19