MỞ ĐẦU....................................................................................................................................2
1. Lý do chọn đề tài....................................................................................................................2
+ Kết quả thu được như sau: .........................................................................................................9
Câu hỏi 1: Anh (chị) có hiểu nội dung kiến thức phần: Bất phương trình mũ và bất phương
trình logarit không ?.......................................................................................................................9
A. Rất hiểu: 02( 6.5%) ....................................................................................................................9
B. Bình thường: 5(16,2%)...............................................................................................................9
C. Khó hiểu: 24(77,3%)...................................................................................................................9
A. Rất thích: 03(9.7%)....................................................................................................................9
B. Bình thường: 13(41,9%)............................................................................................................9
C. Không thích: 15(48,4%).............................................................................................................9
A. Rất cần: 22(70,9%).....................................................................................................................9
B. Không cần: 02(6,5%).................................................................................................................9
C. Không quan tâm: 7(22,6%)........................................................................................................9
TT...................................................................................................................................................10
Các câu hỏi.....................................................................................................................................10
Số GV..............................................................................................................................................10
được hỏi..........................................................................................................................................10
Số GV

chọn.................................................................................................................................10

Tỉ lệ.................................................................................................................................................10
(%)..................................................................................................................................................10

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học có vị trí quan trọng trong trường phổ thông. Nó là công



quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy học nhiều nội dung môn Toán ở Trung
tâm GDTX.
Xuất phát từ những lý do trên tôi lựa chọn đề tài
Hình thành kĩ năng giải toán “Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit”
cho học viên lớp 12GDTX thông qua các dạng toán cụ thể.
2. Mục đích nghiên cứu
Xác định các kĩ năng cơ bản và đề xuất các dạng toán cụ thể để hình thành kĩ năng
giải toán bất phương trình mũ và bất phương trình logarit cho HV lớp 12 GDTX.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu lí thuyết về kĩ năng, kĩ năng giải toán và con đường hình thành kĩ
năng giải toán
- Nghiên cứu nội dung bất phương trình mũ và bất phương trình logarit, điều tra
thực trạng dạy học chủ đề này ở Trung tâm GDTX.
- Đề xuất dạng toán cụ thể nhằm hình thành kĩ năng giải bài toán bất phương trình
mũ và bất phương trình logarit.
- Thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
4. Giả thuyết khoa học:
Nếu chỉ ra được các kĩ năng cơ bản, phân loại từng dạng toán cụ thể và thực hiện
tốt giải pháp đã đề xuất thì có thể giúp HV hình thành được các kĩ năng giải toán bất
phương trình mũ và bất phương trình logarit, góp phần nâng cao chất lượng học toán
cho HV lớp 12 GDTX.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lý luận:
+ Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục liên quan đến đề tài.
+ Các tài liệu vể nội dung bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.
- Quan sát, điều tra:
+ Quan sát điều tra tình hình thực tiễn giảng dạy nội dung hàm số lũy thừa, hàm số
mũ và hàm số logarit ở Trung tâm GDTX. Dự giờ, tổng kết rút kinh nghiệm việc dạy

lý, phù hợp với điều kiện thực tiễn cho phép để thực hiện có kết quả một hành động
hay một hoạt động nào đó. Nói đến KN là nói đến cách thức, thủ thuật và trình tự
thực hiện các thao tác hành động để đạt được mục đích đã định. KN được hình thành
và phát triển dựa trên kiến thức, nó tiếp tục giúp củng cố kiến thức và có thể phát triển
thành kĩ năng mới phù hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu
cầu của cuộc sống. KN chính là kiến thức trong hành động, nó hình thành và phát
triển trong hoạt động và bằng hoạt động.

4


1.1.2. Kĩ năng giải toán.
KN giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải các bài tập Toán
học(tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh...).
KN giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến thức, kĩ năng,
phương pháp. HV sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố, đào
sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành, phát triển, đồng thời nó cũng góp phần củng
cố, cụ thể hóa tri thức Toán học.
Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt
động toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán. Kĩ năng có thể được rút
ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn luyện cho HV
nhừng kĩ năng trên những bình diện khác nhau:
+ Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán: Là sự thể hiện mức độ
thông hiểu tri thức Toán học. Một người hiểu những tri thức Toán học sẽ vận dụng
được để làm toán.
+ Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào các môn học khác : Kĩ năng trên bình
diện này thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, điều này
thể hiện tính liên môn giữa các môn học trong nhà trường, đòi hỏi người GV dạy Toán
cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn.

đã giúp HV ôn lại các KN cũ, hình thành KN mới, củng cố, khắc sâu kiến thức.
- Đánh giá: Kết quả đúng sai giúp HV đánh giá việc học.
- Thắc mắc: HV có thể thắc mắc khi chưa hiểu tường minh các bước thực hiện giải.
Khi dạy các KN, điều quan trọng là không dạy quá nhiều cùng một lúc. Sẽ tốt nhất
nếu mỗi bài tập phức tạp được chia thành một chuỗi các bước đi, các bước đó được
học một cách tách biệt nhau. Rồi mỗi bước đó được thực hành chậm rãi, chính xác cho
đến khi nào đạt được tốc độ cần thiết, sau đó các bước đi có thể xâu chuỗi lại để làm
nên bài tập phức tạp.
Để học được một KN, HV cần biết phải có khả năng làm gì và làm như thế nào cho
tốt, làm thế nào sẽ tốt nhất; các em phải biết tại sao cách làm này chưa hiệu quả, cách
làm kia sẽ tốt nhất. Các em phải có cơ hội thực hành (sử dụng), được kiểm tra và hiệu
chỉnh việc thực hành đó. Thực tế, bộ nhớ có thể xảy ra hiện tượng quên, do đó người
học cần có phương tiện để ghi nhớ và cơ hội ôn lại nội dung đã học, sử dụng lại khi
cần. Tất nhiên việc học của các em cần được đành giá và các em cần được nêu câu hỏi,
nêu những thắc mắc.
1.3. Thực trạng dạy và học nội dung “bất phương trình mũ và bất phương trình
logarit” ở Trung tâm GDTX.
- Về tài liệu hướng dẫn dạy học:
+ SGK, SGV rất ít đề cập đến PPDH nội dung này.
+ Tài liệu bồi dưỡng GV đã có nhưng chưa đủ, việc vận dụng cụ thể của nhiều
GV còn có những hạn chế nhất định.

7


- Thực tế dạy và học ở Trung tâm GDTX cho thấy quá trình tiếp thu kiến thức và
vận dụng kiến thức còn gặp khó khăn như:
+ HV chưa nắm vững được khái niệm
+ Khi sử dụng các hệ thức còn ít chú ý đến điều kiện liên quan
+ Không có phương pháp chung hay một thuật toán tổng quát để làm.

m≥

3−t
= f ( t ) có nghiệm t > 1 .
t +t +2
2

Sai lầm của HV do không phân biệt được khái niệm “có nghiệm” và khái niệm “đúng
với mọi”.
+ Việc giảng dạy trong thực tế nội dung này còn tùy thuộc vào mỗi GV, một số
GV chỉ dành nhiều thời gian vào những tiết dự giờ thao giảng, chú trọng đến việc
chấm điểm, chưa khuyến khích HV chủ động, sáng tạo trong học tập.
Phương tiện, thiết bị dạy học còn quá nghèo nàn, ... Do đó cũng không thuận lợi
cho việc áp dụng PPDH mới , nên cũng ảnh hưởng đến thái độ học tập, HV thụ động,
tính tự giác không cao,...
Để đánh giá chính xác thực trạng dạy - học nội dung này, tác giả đã phát phiếu
thăm dò đối với GV và HV ở Trung tâm GDTX tinh Bắc Kạn:
- Câu hỏi phỏng vấn đối với HV lớp 12 học chương trình toán ban cơ bản:
Câu hỏi 1: Em có hiểu nội dung kiến thức phần: Bất phương trình mũ và bất phương
trình logarit không ?
Câu hỏi 2: Em có thích giải các bài tập nội dung này không?
Câu hỏi 3: Có cần thiết phải điều chỉnh cách học và dạy nội dung trên để các em có
thể giải tốt các bài tập trong phần này không?
- Đối với 31 HV ở lớp 12 Trung tâm GDTX tỉnh Bắc Kạn.
+ Kết quả thu được như sau:
Câu hỏi 1: Anh (chị) có hiểu nội dung kiến thức phần: Bất phương trình mũ và bất
phương trình logarit không ?
A. Rất hiểu: 02( 6.5%)

B. Bình thường: 5(16,2%)

2

3
4

Các câu hỏi
Nội dung bất phương trình mũ và bất phương trinh
logarit là nội dung dễ dạy?
Trong thực tế giảng dạy thầy cô có thường xuyên suy
nghĩ và vận dụng những biện pháp giúp học sinh hình
thành kĩ năng giải bài tập nội dung này không?
HV yêu thích và ít gặp khó khăn khi giải bài tập nội
dung bất phương trình mũ và bất phương trình logarit?
Cần biên soạn tài liệu hướng dẫn cho GV giảng dạy nội
dung trên tại tỉnh Bắc Kạn.

Số GV

Số GV

Tỉ lệ

được hỏi

chọn

(%)

7


Phần 2 của đề tài tác giả đề xuất dạng toán cụ thể giúp HV hình thành KN giải toán
bất phương trình mũ và bất phương trình logarit cho HV lớp 12 GDTX.
Các dạng toán được đề xuất dựa trên nguyên tắc: Bám sát chương trình SGK Toán
lớp 12 (cơ bản); kiến thức phù hợp với đối tượng HV mà đề tài hướng tới. Các dạng
toán phải có tính khả thi khi đề tài được áp dụng trong thực tế giảng dạy.
Mỗi dạng toán cụ thể tác giả đề xuất đều có cấu trúc chung như sau:
1. Xác định các kiến thức cơ bản cho từng dạng toán.
2. Xác định kĩ năng cơ bản của từng dạng toán.
3. Phương pháp chung để giải từng dạng toán đó.
4. Đưa ra các bài tập vận dụng.
5. Cung cấp thêm một số bài tập để giáo viên rèn luyện cho HV.
2.1.1. Hình thành kĩ năng giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.
2.1.1.1. Kiến thức cơ bản.
- Điều kiện xác định của hàm số mũ, hàm số logarit.
- Tính đơn điệu của hàm số mũ, hàm số logarit.
- Các tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit.
- Kiến thức giải bất phương trình đại số thông thường.
2.1.1.2. Kĩ năng cơ bản.
- Kĩ năng tìm TXĐ của hàm số.
- Kĩ năng khảo sát sự đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, hàm số logarit.
- Kĩ năng biến đổi các biểu thức có chứa hàm số mũ, hàm số logarit.
- Kĩ năng giải bất phương trình bậc nhất, bậc hai,...
* Chú ý: Bài toán bất phương trình là bài toán tương đối khó, trong quá trình giảng
dạy, người GV có thể chia bài toán thành các dạng bài toán để HV dễ tiếp thu và có
thể nhận ra dạng và cách giải.
Khi giải một BPT ta cố gắng biến đổi nó về một BPT tương đương mà các biểu
thức mũ hay logarit cùng cơ số, sau đó lấy mũ hoá hoặc logarit hoá các vế để khử

11


⇔ a = 1
hoÆc 

(a-1)[f ( x ) − g( x )] ≤ 0
 0 < a < 1
  f ( x ) ≥ g( x )


2) Đối với bất phương trình logarit :
a > 1
0 < a ≠ 1

 f ( x) > 0
 0 < f ( x ) < g( x )


⇔
+ Dạng 1: loga f(x) < loga g(x) ⇔ 
0 < a < 1
 g( x ) > 0

(a -1)[f ( x ) − g( x )] < 0
  f ( x ) > g( x ) > 0
 a > 1

b
 0 < f (x) < a
log
f
(

 x > 1
 x > 1
 2


 x + 3 x + 2 < 0
2
 1< x
x
+
1
1< x

(x - 1)(3x - 1 - x 2 - 1) > 0

1
Vậy nghiệm của BPT là x ∈ ( ; 2) \ { 1} .
3

*) Chú ý: Giải bài toán BPT bằng PP biến đổi tương đương đòi hỏi học sinh phải có
sự cẩn thận và tỉ mỉ cao, bài toán luôn yêu cầu sự chính xác, đầy đủ các điều kiện sao
cho các bước biến đổi là tương đương. Dạng bài tập này có thể rèn luyện cho HV khả
năng giải nhiều bài toán khác, đó là bài toán tìm TXĐ của hàm số, bài toán về sự biến
thiên của hàm số, bài toán giải hệ PT, BPT...
Bài 2: Giải BPT: log x (5 x 2 − 8 x + 3) > 2 (1).
Bài giải:
 x > 1
 x > 1
 2
3

 2
 4 x − 8 x + 3 > 0
x>
2

5
x
−
8
x
+

−
8
x
+
3

1
2



log a f ( x )

  a > 1

b
 < 0 f ( x ) < a
a b
 ( x)

2.1.2.3. Bài tập tham khảo:
Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
a) 3x

2

+ 2x - 15

>0

c) 7x - 2 x + 2 ≤ 5.7x -2x - 1

2

+ 2x - 24



b)

log 1 x + l og 4 x ≥ 1
5

2
d) x log x 27. l og 9x > x + 4

2.1.3. Dạng 2: Phương pháp logarit hóa và đưa về cùng cơ số
2.1.3.1.Phương pháp chung:

14


1) Đối với phương trình mũ để chuyến ẩn số khỏi số mũ lũy thừa ta có thể logarit
theo cùng một cơ số cả hai vế của bất phương trình:

+ Dạng 1: a f ( x )

 a > 1

  f ( x ) < log a b
< b (với b > 0 ) ⇔ 
0 < a < 1

  f ( x ) > log a b

+ Dạng 2: a f ( x )


x

+ Cách 2: lấy logarit cơ số 2 hai vế ta có

log2 2 x > log2 5 x ⇔ x > x log 2 5 ⇔ x(log 2 5 − 1) < 0 ⇔ x < 0
Vậy nghiệm của BPT là: x < 0
Bài 2: Giải bất phương trình sau: l og 2 x > log 3x
Bài giải:
Điều kiện: x > 0. Biến đổi BPT về dạng
log3 2 log 3 2.log 2x ⇔ (1 − log 3 2) l og 2x > 0 ⇔ l og 2x


12

b)

Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau
a) 7.3 x +1 + 5 x + 3 ≤ 3x + 4 + 5 x + 2

b) 6 2 x + 3 < 2 x + 7.33 x −1

Bài tập 3: Giải các bất phương trình sau
a) l og3x > log 5x

l oga (35 - x3 )
>3
b)
l oga (5 - x)

2.1.4. Dạng 3: Sử dụng Phương pháp đặt ẩn phụ
Đây là cách chủ yếu khi giải BPT mũ, logarit, có rất nhiều bài tập được giải bằng
phương pháp này, Mục đích của PP này là chuyển các bài toán đã cho về BPT đại số
quen thuộc đặc biệt là BPT bậc hai hoặc các hệ BPT, PP này có thể theo các bước như
sau:
2.1.4.1. Phương pháp chung.
ϕ(x)

2
1 
8 
x 
2 
2

Bài giải:
Điều kiện: x > 0

 x3 
 32 
log 24 x - log 22-1  ÷+ 9 log 2  2 ÷ < 4 log 22−1 x
x 
 8 

⇔ log24 x - [log2 x 3 - log2 8]2 + 9[log 2 32 - log 2 x 2 ] < 4log 22 x
⇔ log24 x-[log2 x 3 - 3]2 + 9[5 - 2log 2 x ] < 4log 22 x
Đặt t = log 2 x ; t > 0 ta được:

t 4 - (3t - 3)2 + 9(5 - 2t) < 4t 2 ⇔ t 4 -13t 2 + 36 < 0 ⇔ 4 < t 2 < 9
1
1
 −3 < l og2 x < -2

c) log3 x - log2 (8x)log3x + log2 x < 0

17


2
b) 9x - 2(x + 5).3x +9(2x + 1) ≥ 0 d) log2 x - (x + 1)log 2 x + 2x - 2 > 0
x
Bài tập 3: cho bất phương trình: log 2 (2 + 2) + 2m log 2x +2 2 - 3 > 0

a) Giải bất phương trình với m = - 2
b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
2
Bài tập 4: Giải bất phương trình sau: log3 x + (x - 2)log 3 x + 3x -15 ≤ 0

ĐS:

1
≤ x≤3
27

2.1.5. Dạng 4: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ.
2.1.5.1. Phương pháp chung.
Bài toán này thường có dạng: “ Tìm m để BPT thỏa mãn điều kiện K?”. Với những
bài tập khác nhau ta có những hướng giải khác nhau, nhưng nhìn chung ta có thể thực
hiện theo ba bước:
+ Bước 1(Điều kiện cần): Giả sử điều kiện K được thỏa mãn, từ đó tìm được m.
+ Bước 2(Điều kiện đủ): Thử kết quả m tìm được vào BPT xem điều kiện K có thỏa
mãn không.
+ Bước 3: Kết luận.


lg (2 + x )(4 − x ) ≤ lg( x 2 − 2 x + m) (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ (−2;4)

18


Bài giải:

(2 + x )(4 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m (2)

Bất phương trình tương đương với:

Để (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ (−2;4) ⇔ (2) nghiệm đúng với mọi x ∈ ( −2;4)
+ Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm ∀x ∈ (−2;4) ⇒ x = 1 là nghiệm của (1). Khi
đó:

3 ≤ m − 1 ⇔ m ≥ 4 đó là điều kiên cần để BPT nghiệm đúng ∀x ∈ (−2;4)
+ Điều kiện đủ: giả sử m ≥ 4 , áp dụng bất đẳng thức Côsi cho VT của (2) ta được

VT = (2 + x )(4 − x ) ≤

(2 + x ) + (4 − x )
=3
2

Biến đổi VP của (2)về dạng: VP = x 2 − 2 x + m = ( x − 1)2 + m − 1 ≥ 3

⇒ (2 + x )(4 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m
Vậy với m ≥ 4 bất phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ (−2;4) .
2.1.5.3. Bài tập tham khảo:



3x −1 < 1
2
2
⇒ 3x −1 + ( x 2 − 1)3x +1 < 1 ⇒ (1) VN
+ x −1 < 0 ⇔ x < 1 ⇒  2
x +1
( x − 1)3 < 0
2

3x −1 ≥ 1
2
x
−
1
≥
0
⇔
x
≥
1
⇒
⇒ 3x −1 + ( x 2 − 1)3x +1 ≥ 1
+
 2
x +1
( x − 1)3 ≥ 0
2



b) logx + 1 (2x) ≤ 1 - log 2 x
2

2

Bài 3: Giải bất phương trình sau: 2sin x +2 cos x ≤ 2(sinx+cosx)
ĐS: x =

π
+ 2 k, k ∈ ¢
4

20


PHẦN 3. THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thử nghiệm.
Kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của các dạng toán đã đề xuất.
3.2. Nội dung thử nghiệm.
Tiến hành dạy một số tiết bài tập bất phương trình mũ và bất phương trình
logarit theo các dạng toán đã đề xuất ở phần 2, kiểm tra đánh giá kết quả.
3.3. Đối tượng thử nghiệm.
Đối tượng thử nghiệm là HV lớp 12 - Trung tâm GDTX tỉnh Bắc Kạn, mức độ
học lực là trung bình và yếu.
3.4. Kiểm tra đánh giá.
Đề
TRUNG TÂM GDTX TỈNH BẮC KẠN
PHÒNG BD&DVH



a/ x ≤ 0

b/ x ≤

b/ x ≥ 0

Đáp án
Câu 1: b ; Câu 2: a
2 − x > 0

Câu 3: log 4 (2 − x) > 2 ⇔ 

2 − x > 4

2

(2đ)

x < 2
⇔
 x < −14

(2đ)

⇔ x < −14

(2đ)

x ≤ 1,5

0
1
3
3
7
6
4
6
1
0
11
25
7

(%)
0
3.2
9.7
9.2
22.6
19.4
12.9
19,4
3.2
0
35.5
80.6
22.6
5.8



DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phan Văn Các (1992), Từ điển Hán – Việt, NXBGD.
[2] Hướng dẫn giáo viên thực hiện chương trình, SGK lớp 12 môn Toán, NXBGD,
2008.
[3] Theo G.Polya,(1976), Sáng tạo Toán học, NXBGD
[4] G.Polya: Giải bài toán như thế nào? NXBGD, 1997.
[5] Trần Bá Hoành: Đổi mới phương pháp dạy học, chương trình và SGK, NXB
ĐHSP, 2006.
[6] Nguyễn Bá Kim: Phương pháp dạy học môn Toán, NXB ĐHSP, 2006.
[7] Bùi Văn Nghị: Vận dụng lý luận dạy học trong dạy học môn Toán ở trường phổ
thông (Bài giảng chuyên đề Cao học Toán - K17) ĐHSP Hà Nội, 2008.
[8] Lê Anh Tuấn: Phát huy tính tích cực của học sinh qua môn Toán ( Bài giảng
chuyên đề giảng dạy CH Toán – K17), ĐHSP Hà nội, 2008.

24