1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC VINH

TRỊNH QUANG TRUNG

VẬN DỤNG MỘT SỐ QUY LUẬT TRIẾT HỌC
DUY VẬT BIỆN CHỨNG VÀO DẠY HỌC TOÁN 8
GÓP PHẦN BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC
GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC


2
MỤC LỤC
Trang
1.1. Một số quy luật triết học duy vật biện chứng............................................9
1.2. Năng lực và năng lực giải toán................................................................25


3
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương pháp luận của duy vật biện chứng đóng vai trò hết sức quan
trọng và cần thiết trong dạy học Toán, đặc biệt là trong điều kiện hiện nay.
Phải kết hợp tư duy lôgic và tư duy biện chứng, cả tư duy hình tượng cũng
như tư duy khác và nhiều phẩm chất khác của con người, để đáp ứng nhu cầu
phát triển của xã hội. Nắm được phương pháp luận của phép duy vật biện
chứng, giúp cho học sinh hiểu sâu được cội nguồn của Toán học, từ đó vận

này GS-TS. Nguyễn Cảnh Toàn có các tác phẩm “Tập cho học sinh giỏi làm
quen dần với toán”, “Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy,
nghiên cứu toán học” được dùng tham khảo cho giáo viên, học viên cao học,
nghiên cứu sinh. Tác giả GS-TS. Đào Tam quan tâm với khía cạnh “Một số
cơ sở phương pháp luận của toán và việc vận dụng chúng trong dạy học
Toán ở trường phổ thông ” trong Nghiên cứu giáo dục số 09/1998. TS. Phạm
Đình Khương cũng quan tâm đến vấn đề này qua bài báo “Vận dụng cặp
phạm trù nội dung hình thức để hướng dẫn học sinh tìm lời giải trong hoạt
động giải toán”, tạp chí thông tin khoa học giáo dục số 106/2004...
1.3. Trong thực tế, cách dạy học phổ biến hiện nay là giáo viên với tư
cách là người điều khiển đưa ra kiến thức (khái niệm, định lí ) rồi giải thích,
chứng minh, sau đó đưa ra một số bài tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắng
tiếp thu nội dung khái niệm, định lí, hiểu chứng minh định lí và cố gắng vận
dụng công thức để tính toán... Rõ ràng với cách dạy và cách học như vậy thì
bản thân giáo viên cũng chưa thấy thoả mãn bài dạy của mình, học sinh cũng
thấy chưa hiểu được cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc,
theo kiểu “thầy đọc trò ghi” làm cho các em ít có cơ hội phát triển tư duy
sáng tạo, ít có cơ hội khai thác tìm tòi ra được cái mới.


5
1.4. Hiện nay việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông
trung học là phải tạo cho học sinh làm chủ được khả năng tiếp thu, chủ động
trong học tập. Vì vậy để rèn luyện tư duy toán học, khả năng tìm tòi ra cái
mới thì việc vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứng của tư duy
toán học, đóng vai trò hết sức quan trọng trong dạy học Toán. Việc vận dụng
một số quy luật triết học duy vật biện chứng trong quá trình dạy học cho học
sinh là một quá trình lâu dài, kéo dài suốt cả quá trình học tập, với nhiều hình
thức phong phú và mức độ từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp bằng
việc vận dụng các quy luật và các cặp phạm trù. Nâng cao được chất lượng dạy

6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu
về các vấn đề có liên quan đến đề tài luận văn.
6.2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn.
6.3. Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của đồng nghiệp và
bản thân trong quá trình dạy học Toán, đặc biệt là các kinh nghiệm của những
giáo viên am hiểu vấn đề nghiên cứu của đề tài.
6.4. Phương pháp thực nghiệm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem
xét tính khả thi và hiệu quả của các quan điểm chủ đạo đã đề xuất.
7. Dự kiến đóng góp của luận văn
7.1. Luận văn góp phần vào việc chỉ ra cơ sở lý luận và thực tiễn của
việc vận dụng một số quy luật triết học duy vật biện chứng nhằm bồi dưỡng
một số năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở vào dạy học Toán 8.
7.2. Luận văn đề xuất một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho
học sinh trung học cơ sở vào dạy học Toán lớp 8.
8. Dự kiến cấu trúc của luận văn


7
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
có 3 chương.
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số quy luật triết học duy vật biện chứng
1.1.1. Quy luật chuyển hóa từ những thay đổi về lượng thành những
thay đổi về chất và ngược lại
1.1.2. Quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập
1.1.3. Quy luật phủ định của phủ định
1.2. Năng lực và năng lực giải toán
1.2.1. Năng lực
1.2.2. Năng lực giải toán và cấu trúc năng lực toán học

2.2.2.6. Biện pháp 6: Tập luyện cho học sinh phát hiện và sửa chữa các
sai lầm trong lời giải bài toán
2.2.2.7. Biện pháp 7: Bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh theo các
mô hình
2.3. Kết luận chương 3
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Quá trình thực nghiệm
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
3.2.2.Nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.3.1. Nội dung đề kiểm tra
3.3.2. Phân tích sơ bộ về đề kiểm tra
3.3.3. Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm
KẾT LUẬN


9

Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số quy luật triết học duy vật biện chứng
1.1.1. Quy luật chuyển hóa từ những thay đổi về lượng thành
những thay đổi về chất và ngược lại
1.1.1.1. Trên cơ sở khái quát sự phát triển của mọi sự vật, hiện
tượng tồn tại trong hiện thực, quan điểm duy vật biện chứng khẳng định,
phát triển là một phạm trù triết học dùng để chỉ quá trình vận động tiến
lên từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp, từ kém hoàn thiện đến hoàn
thiện hơn của sự vật.

sự vật, hiện tượng nào của thế giới khách quan. Ngay cả các khái niệm, các
phạm trù phản ánh hiện thực cũng nằm trong quá trình vận động và phát
triển; chỉ trên cơ sở của sự phát triển, mọi hình thức của tư duy, nhất là các
khái niệm và các phạm trù, mới có thể phản ánh đúng đắn hiện thực luôn
vận động và phát triển.
- Sự phát triển còn có tính đa dạng, phong phú. Phát triển là khuynh
hướng chung của mọi sự vật, mọi hiện tượng, song mỗi sự vật, mỗi hiện
tượng lại có quá trình phát triển không giống nhau. Tồn tại ở không gian
khác nhau, ở thời gian khác nhau, sự vật phát triển sẽ khác nhau. Đồng thời
trong quá trình phát triển của mình, sự vật còn chịu sự tác động của các sự
vật, hiện tượng khác, của rất nhiều yếu tố, điều kiện. Sự tác động đó có thể
thúc đẩy hoặc kìm hãm sự phát triển của sự vật, đôi khi có thể làm thay đổi
chiều hướng phát triển của sự vật, thậm chí làm cho sự vật thụt lùi.
Chẳng hạn, nói chung, ngày nay trẻ em phát triển nhanh hơn cả về thể chất
lẫn trí tuệ so với trẻ em ở các thế hệ trước do chúng được thừa hưởng những
thành quả, những điều kiện thuận lợi mà xã hội mang lại.


11
1.1.1.3. Nguyên lý về sự phát triển cho thấy trong hoạt động nhận thức
và hoạt động thực tiễn con người phải tôn trọng quan điểm phát triển.
Quan điểm phát triển đòi hỏi khi nhận thức, khi giải quyết một vấn đề
nào đó con người phải đặt chúng ở trạng thái động, nằm trong khuynh hướng
chung là phát triển.
Quan điểm phát triển đòi hỏi không chỉ nắm bắt những cái hiện đang tồn
tại ở sự vật, mà còn phải thấy rõ khuynh hướng phát triển trong tương lai của
chúng, phải thấy được những biến đổi đi lên cũng như những biến đổi có tính
chất thụt lùi. Song điều cơ bản là phải khái quát thành quy luật vạch ra khuynh
hướng biến đổi chính của sự vật.
Xem xét sự vật theo quan điểm phát triển còn phải biết phân chia quá

đặc trưng biến thiên của hàm số. Có lẽ để học sinh tiếp thu một cách tường
minh đặc trưng này ngay sau khi vừa làm quen với khái niệm hàm số là một
việc khó, nó đòi hỏi ở một mức độ cao hơn khi học sinh đã nắm được những
vấn đề cơ bản về hàm số. Vì vậy, ở đây sách giáo khoa chưa đề cập tới sự
đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Ta thấy khái niệm hàm số ở đây được định nghĩa tương tự như định
nghĩa của các nhà toán học thế kỉ XIX chứ không dùng định nghĩa chặt chẽ
nhờ lý thuyết tập hợp như trước đây. Sách giáo khoa Đại Số 7 – Nhà xuất
bản Giáo dục năm 2001 trình bày định nghĩa về khái niệm hàm số theo quan
điểm của lý thuyết tập hợp, coi hàm số là một quy tắc tương ứng giữa hai
phân tử của hai tập hợp số.
Định nghĩa: (Sách giáo khoa Đại Số 7 – Nhà xuất bản Giáo dục năm
2001, trang 73) “Giả sử X và Y là hai tập hợp số. Một hàm số f từ X đến Y là
quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x ∈ X một và chỉ một giá trị y ∈ Y, mà ta kí
hiệu là y = f(x). Người ta viết: f: X → Y ; x 
với f(x)).

y = f(x) (đọc là x tương ứng


13
Theo cách diễn đạt này thì định nghĩa khái niệm hàm số chỉ đề cập đến
đặc trưng tương ứng và ẩn đi đặc trưng biến thiên và đặc trưng phụ thuộc của
hàm số. Nếu định nghĩa hàm số bằng thuật ngữ “ quy tắc tương ứng” có thể
gây cho học sinh khó hiểu vì học sinh chưa biết khái niệm “quy tắc tương
ứng” là gì mà việc trình bày định nghĩa theo cách đó cũng khá phức tạp đối
với học sinh trung học cơ sở mặc dù cách định nghĩa đó là chặt chẽ và chính
xác, tương tự cách định nghĩa của các nhà toán học thế kỉ XX.
Như vậy, cách định nghĩa về khái niệm hàm số trong sách giáo khoa
Toán 7 hiện hành là đơn giản, dễ hiểu đối với học sinh trung học cơ sở. Qua

- Cho góc nhọn α . Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn α . Ta có
thể vẽ như sau: Vẽ góc α , từ một điểm bất kì B trên một cạnh của góc α kẻ
đường vuông góc với cạnh kia, xác định cạnh đối và cạnh kề của góc α .
Nhận xét mở đầu:
Nêu được tính chất cơ bản:
Các tỉ số lượng giác của góc nhọn không phụ thuộc vào vị trí điểm B
B’

mà phụ thuộc vào độ lớn của góc.

B

Chẳng hạn, lấy điểm bất kì B’ ≠ B trên
Cy thì ta có:
CA CA' BA B ' A' BA B ' A'
=
=
=
,
,
.
CB CB' CB CB ' CA CA'

C

Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyềnđược
gọi là côsin của góc α , kí hiệu cos α ;
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi
là tang của góc α , kí hiệu tg α (hay tan α );

Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α , kí hiệu
cotg α (hay cot α ). Như vậy; sin α =

AB
AC
AB
AC
; cos α =
; tan α =
; cot α =
.
BC
BC
AC
AB

* Hạn chế: Các tỉ số lượng giác của góc nhọn được định nghĩa trong tam
giác vuông, dựa vào góc Hình học, đơn vị đo là độ, trong phạm vi góc:
00 < α < 900 và 0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1.
- Giá trị lượng giác của một góc bất kì.
∗ Định nghĩa: Với mỗi góc α (00 ≤ α ≤ 1800), ta xác định điểm M trên
ˆ =α .
nửa đường tròn đơn vị sao cho MOx

Giả sử điểm M có tọa độ (x; y). Khi đó:
Tung độ y của điểm M gọi là sin của
góc α , kí hiệu là sin α ;
Hoành độ x của điểm M gọi là côsin
của góc α , kí hiệu là cos α ;
Tỉ số


16
- Định nghĩa trong tam giác vuông phát triển thành định nghĩa trên nửa
đường tròn đơn vị trong hệ tọa độ Oxy.
- Phạm vi góc được mở rộng từ 00 < α < 900 thành 00 ≤ α ≤ 1800.
- Giá trị của sin α và cos α được mở rộng:
0 < sin α < 1 thành 0 ≤ sin α ≤ 1; 0< cos α < 1 thành −1 ≤ cos α ≤ 1.
∗ Hạn chế

- Dựa vào góc HH chưa phù hợp với góc quay trong thực tế.
- Đơn vị đo là độ chưa thể hiện tính thống nhất với định nghĩa hàm số
mà Đại số 10 đưa ra.
- Phạm vi góc trong giới hạn 00 ≤ α ≤ 1800.
- Giá trị của sin: 0 ≤ sin α ≤ 1.
- Định nghĩa mới chỉ trên nửa đường tròn đơn vị.
- Các hàm số lượng giác.
Khái niệm các hàm số lượng giác là sự phát triển đi tới hoàn chỉnh của
khái niệm tỉ số lượng giác của một góc bất kì.
- Các giá trị lượng giác của cung α :
Với mỗi số thực α , cung lượng giác có số đo α được biểu diễn bởi
một điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ AM = α .
∗ Định nghĩa: Tung độ y của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sin

α : sin α = y;

Hoành độ x của điểm M gọi là côsin
M

của α và kí hiệu là cos α : cos α = x;
tan α =


17
-

Các hàm số lượng giác của biến số thực:

• Hàm số sin:

sin:

R→ R
x  y = sinx.

• Hàm số côsin:

cos: R → R
x  y = cosx.
• Hàm số tan:

Gọi D1 = {x∈ R / x ≠
tan:

π
+ kπ , k ∈ Z}. Ta có:
2

D1 → R
x  y = tanx.

• Hàm số cot:

cho các công thức tính toán đơn giản hơn.
Chẳng hạn:
Đơn vị đo là độ
Đơn vị đo là radian

0
0

30
45
∏/6
∏/4
Bảng 1.1

60
∏/3

90
∏/2

∗ Sự phát triển có tính “kế thừa”

- Khi 00 ≤ α ≤ 1800 thì định nghĩa: Các giá trị lượng giác của cung α (Đại
số và Giải tích 11) trùng với định nghĩa: Giá trị lượng giác của một góc bất kì
(Hình học 10).
- Khi 00 < α < 900 thì định nghĩa: Giá trị lượng giác của một góc bất kì
(Hình học 10) trùng với định nghĩa: Giá trị lượng giác của góc nhọn (Hình
học 9).
Thật vậy, chẳng hạn:


Sự ra đời của hình học Lobasepxki xuất phát từ băn khoăn của
Lobasepxki về việc tại sao loài người trải qua hơn 2000 năm đeo đuổi việc
chứng minh tiên đề V của Euclide mà vẫn thất bại nên ông có nghi vấn: “Hay
là tiên đề Euclide không phải là hệ quả logic của các tiên đề khác?”. Nghiên
cứu của ông trước hết là nhằm sáng tỏ nghi vấn trên.


20
Số ảo cũng ra đời từ mối băn khoăn tại sao những phương trình bậc 3
có 3 nghiệm rõ ràng như x3 − x = 0 nhưng nếu giải bằng phương pháp
Cacdano lại dẫn đến một phương trình bậc 2 vô nghiệm thực x 2 +

1
=0.
27

Nếu cứ theo logic ấy, dựa theo quy luật mâu thuẫn, có thể dự đoán rằng
rồi sẽ có những lý thuyết nảy sinh từ mối băn khoăn rằng tại sao phương trình
Diophante x n + y n = z n lại không có nghiệm khi n > 2 ?
Như vậy là, quy luật mâu thuẫn, hạt nhân của phép biện chứng đã thể
hiện tính đúng đắn của nó ngay trong toán học. Mâu thuẫn chính là nguồn
gốc, động lực phát triển toán học.
Quy luật mâu thuẫn cũng đã góp phần thay đổi thế giới quan và định
hướng phương pháp luận cho các nhà toán học. Họ thấy rõ sự thống nhất biện
chứng giữa những khuynh hướng phát triển khoa học trái ngược nhau (chẳng
hạn đặc biệt hóa và khái quát hoá), những trường hợp khác nhau (chẳng hạn
n ≤ 4 và n > 4 )… để tìm ra con đường giải quyết mâu thuẫn, thúc đẩy sự phát

triển tiến lên của toán học.
Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn thông qua những bài báo và công trình

đang học.
Ví dụ 3: Tam giác và tam giác vuông
Xét tính chất sau của tam giác vuông:
Tính chất 1: Trong tam giác vuông, tổng các bình phương côsin các góc
bằng 1: cos2A + cos2B + cos2C = 1
Chứng minh:
Giả sử tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pitago ta có:
a2 = b2 + c2 (1)
Theo định lí hàm số Sin trong tam giác ta có:

a
b
c
=
=
= 2R
SinA SinB SinC


22
Suy ra: a= 2RsinA, b=2RsinB, c= 2RsinC

(2)

Thế (2) vào (10 ta có: 4R 2sin2A = 4R2sin2B+ 4R2sin2C,
Suy ra: sin 2A = sin2B + sin2C, mà: sin2A= sin2900=1
suy ra: sin2A + sin2B + sin2C = 2

(3)


- Để xuất hiện cos 2A, cos2B nhờ mối liên hệ: cos 2A + sin2A =1,
cos2B + sin2B =1. Thay sin 2A =1− cos2A , sin2B =1− cos2B vào (1) ta
được:
cos2 C = cos2A cos2B + (1− cos2A)( 1− cos2B) – 2cosA.cos B. sinA. sinB
= cos2A cos2B +1− cos2A− cos2B + cos2A cos2B– 2cosA.cos B.sinA.sinB
⇒ cos2A + cos2B + cos2C= 1 + 2cosA.cosB(cosA.cosB − sinA.sinB)
= 1+2cosA.cos B.cos(A+B) = 1 − 2cosA.cosB.cosC.
Như vậy học sinh sẽ tìm ra được:
Tính chất 2: Với mọi tam giác ABC, ta có:
cos2A + cos2B + cos2C=1− 2cosA.cosB.cosC.

(2)

Khi tam giác ABC vuông, thì đẳng thức (2) trở thành:
cos2A + cos2B + cos2C = 1 vì cosA = cos90 0=0, chứng tỏ tính chất 2
tổng quát hơn tính chất 1, tính chất 1 chỉ là trường hợp đặc biệt.
Nếu giáo viên biết cách hướng dẫn học sinh xem xét đối tượng toán học
dưới các góc độ khác nhau, trong sự mâu thuẫn và thống nhất, trong mối quan hệ
biện chứng giữa cái riêng và cái chung thì các em sẽ học toán chủ động và sáng
tạo hơn.
1.1.3. Quy luật phủ định của phủ định
Đây là quy luật phát triển vô cùng phổ biến của tự nhiên, lịch sử và tư
duy. Nó vạch ra xu hướng tất yếu đi lên của mọi sự vận động, phát triển cũng
như vạch ra xu hướng phát triển toán học.
Engen đã đánh giá tầm quan trọng của quy luật phủ định của phủ định
đối với khoa học tự nhiên: “Vậy phủ định của phủ định là cái gì? Là quy luật
phát triển của tự nhiên, của lịch sử và của tư duy vô cùng phổ biến và chính
vì vậy mà có một tầm quan trọng và một ý nghĩa vô cùng lớn, một quy luật có
giá trị đối với động vật và thực vật, đối với địa chất học, toán học, lịch sử…”


mâu thuẫn. Như vậy, ông đã phủ định x và y nhưng không phải phủ định đến
mức là không quan tâm gì đến nó nữa như lối phủ định của phép siêu hình mà
phủ định theo một lối tương ứng với trường hợp đã định. Như vậy là thay cho
x và y, ông đã có cái phủ định chúng, tức dx và dy. Lại tiếp tục làm tính coi
dx và dy là những số thực và phủ định cái phủ định nghĩa là chuyển công thức
vi phân thành tích phân và thay thế cho dx và dy ta lại có được những số thực
x và y nhưng lúc đó không phải là ông ở vào chỗ mà ông đã xuất phát: “Trái
lại tôi đã giải đáp được bài toán mà hình học và đại số học thông thường có
lẽ đã nát óc ra mà cũng không giải quyết nổi”.


25
Các nhà toán học nhiều khi đã sử dụng tư duy biện chứng và quy luật
phủ định của phủ định một cách không ý thức.
Lobasepxki khi phát minh ra hình học mang tên mình chỉ nghĩ là mình
đã phủ định hình học Euclide chứ không nghĩ là mình mở rộng hình học
Euclide. Những khái quát của ông và các tác giả cho thấy hình học
Lobasepxki phủ định hình học Euclide đồng thời là sự mở rộng hình học
Euclide. Như vậy một phát minh vĩ đại như hình học Lobasepxki cũng không
thoát khỏi quy luật phủ định của phủ định tức phủ định có tính kế thừa.
Quy luật phủ định của phủ định chỉ rõ xu hướng phát triển của toán
học. Toán học trải qua những lần phủ định liên tiếp trong đó quá trình phủ
định biện chứng xảy ra khách quan trên cơ sở kế thừa những nền toán học đã
có từ trước và những phát minh toán học ra đời không phải là sự phủ định
sạch trơn mà trên cơ sở những phát minh, những kết quả đã có từ lâu của các
nhà toán học tiền bối.
Quy luật của phủ định của phủ định cũng cho chúng ta thấy rằng trong
quá trình phủ định một kết quả toán học, chúng ta phải biết kế thừa có chọn
lọc, tiếp thu những cái tích cực của chúng để mở rộng, phát triển lên.
1.2. Năng lực và năng lực giải toán