ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN TRỌNG HẢI

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG GÓP PHẦN
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN
(Qua giảng dạy chƣơng "Phƣơng pháp tọa độ
trong không gian")

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

http://www.lrc.tnu.edu.vn


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

NGUYỄN TRỌNG HẢI

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG GÓP PHẦN
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN
(Qua giảng dạy chƣơng "Phƣơng pháp tọa độ
trong không gian")
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán

Trong quá trình làm luận văn tác giả còn được sự giúp đỡ của các thầy cô
giáo trong tổ PPGD Toán - Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên,
Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trường THPT Nguyễn Tất Thành - Thành
phố Uông Bí - Tỉnh Quảng Ninh. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn
gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn động viên giúp đỡ để tác giả có
thêm nghị lực, tinh thần để hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, xin được cảm ơn mọi tấm lòng ưu ái đã dành cho tác giả.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

ii

http://www.lrc.tnu.edu.vn


MỤC LỤC
Lời cam đoan ........................................................................................................ i
Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii
Mục lục ............................................................................................................... iii
Chữ viết tắt trong luận văn ................................................................................. iv
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu ................................................................. 2
4. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 3
6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3
7. Đóng góp của luận văn .................................................................................... 4
8. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................... 4

1.5.2. Nội dung, tổ chức điều tra khảo sát ......................................................... 29
1.5.3. Kết quả điều tra khảo sát ......................................................................... 30
1.6. Kết luận chương 1....................................................................................... 31
Chƣơng 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ
DUY CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG GÓP PHẦN
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN QUA GIẢNG DẠY
CHƢƠNG "PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN"........... 33
2.1. Một số nguyên tắc cần quán triệt khi đề xuất các biện pháp. ..................... 33
2.2. Một số biện pháp rèn luyện các thao tác tư duy, góp phần phát triển
năng lực giải toán............................................................................................... 33
2.2.1. Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh khả năng phân tích bài toán đã
cho để tìm hướng giải và tổng hợp để trình bày lời giải bài toán ..................... 33
2.2.2. Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh biết phân tích bài toán đã cho
thành nhiều bài toán nhỏ và giải quyết các bài toán đó để có được lời giải
bài toán ban đầu ................................................................................................. 41
2.2.3. Biện pháp 3: Tập luyện cách nhìn bài toán dưới nhiều góc độ để tìm
được nhiều cách giải .......................................................................................... 47
2.2.4. Biện pháp 4: Tạo cơ hội cho học sinh luyện tập thao tác tương tự hóa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iv

http://www.lrc.tnu.edu.vn


trong quá trình giải toán..................................................................................... 57
2.2.5. Biện pháp 5: Rèn luyện cho học sinh thao tác khái quát hóa đề xuất
bài toán mới trên cơ sở khai thác bài toán đã cho ............................................. 64
2.3. Kết luận chương 2....................................................................................... 72
Chƣơng 3: THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM ......................................................... 74


Đường thẳng

GV

Giáo viên

HĐ

Hoạt động

HS

Học sinh

mp

Mặt phẳng

pt

Phương trình

PTTQ

Phương trình tổng quát

PTTS

Phương trình tham số

pháp toán học cơ bản, góp phần tạo nên vốn văn hóa của mỗi người, đồng thời
có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và giáo dục những đức tính,
phẩm chất của người lao động. Một trong những quan điểm chủ đạo về đổi mới
phương pháp dạy học ngày nay là xem quá trình học tập của học sinh là quá
trình hoạt động. Mọi kiến thức, kỹ năng, thái độ học sinh có được đều là kết
quả của quá trình hoạt động của học sinh mà nội dung chủ yếu là quá trình tư
duy. Chính sự tích cực, tự giác của học sinh trong việc tham gia các hoạt động
nhận thức tạo nên hiệu quả học tập. Trong hoạt động dạy học theo phương pháp
tích cực, giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói
quen chủ động. Muốn vậy giáo viên cần chỉ cho học sinh cách học, biết cách
suy luận, biết tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiện kiến
thức mới, nói cách khác cần rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như
phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự hóa. Việc nắm vững
các phương pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh có thể đọc hiểu được tài
liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu những kiến thức cơ bản đồng
thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản thân và từ đó có được niềm vui
trong học tập. Chỉ trong quá trình giải toán tiềm năng sáng tạo của học sinh mới
được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

1

http://www.lrc.tnu.edu.vn


những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi phải lý giải một vấn
đề, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi xử lý một tình huống.
Trong các phân môn của Toán học thì hình học không gian là một phần
khá quan trọng và thiết thực, bởi thông qua hình học không gian mà phát triển
ở người học trí tưởng tượng cao, khả năng phân tích, quan sát tốt. "Phương


3

http://www.lrc.tnu.edu.vn


Điều tra thực trạng tình hình rèn luyện các thao tác tư duy và phát triển
năng lực giải toán qua giảng dạy chương "Phương pháp tọa độ trong không
gian" (lớp 12 - Trung học phổ thông hiện nay).
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Tổ chức thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả
của các biện pháp đề xuất.
7. Đóng góp của luận văn
7.1. Góp phần làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các thao tác tư duy và phát
triển năng lực giải toán của học sinh.
7.2. Xây dựng được một số biện pháp rèn luyện các thao tác tư duy nhằm
góp phần bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông trong
quá trình giải bài tập chương "Phương pháp tọa độ trong không gian" (lớp 12 Trung học phổ thông hiện nay).
7.3. Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên
Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường trung học
phổ thông.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung luận văn được trình bày
trong 3 chương:
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề khái quát về tƣ duy và tƣ duy toán học
1.1.1. Khái niệm tư duy
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
1.1.3. Các thao tác tư duy

MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC GIẢI TOÁN QUA GIẢNG DẠY CHƢƠNG "PHƢƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN"
2.1. Một số nguyên tắc cần quán triệt khi đề xuất các biện pháp.
2.2. Một số biện pháp rèn luyện các thao tác tƣ duy, góp phần phát triển
năng lực giải toán.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

5

http://www.lrc.tnu.edu.vn


2.2.1. Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh khả năng phân tích bài toán đã cho
để tìm hướng giải và tổng hợp để trình bày lời giải bài toán
2.2.2. Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh biết phân tích bài toán đã cho
thành nhiều bài toán nhỏ và giải quyết các bài toán đó để có được lời giải bài
toán ban đầu.
2.2.3. Biện pháp 3: Tập luyện cách nhìn bài toán dưới nhiều góc độ để tìm được
nhiều cách giải.
2.2.4. Biện pháp 4: Tạo cơ hội cho học sinh luyện tập thao tác tương tự hóa
trong quá trình giải toán.
2.2.5. Biện pháp 5: Rèn luyện cho học sinh thao tác khái quát hóa đề xuất bài
toán mới trên cơ sở khai thác bài toán đã cho.
2.3. Kết luận chƣơng 2
Chƣơng 3
THỬ NGHIỆM SƢ PHẠM
3.1. Mục đích thử nghiệm sư phạm

tính cung cấp, không có nguyên liệu này thì quá trình tư duy không thể tiến
hành được. Tư duy được vận hành trên nền ngôn ngữ và biểu đạt kết quả bằng
ngôn ngữ. Ngoài ra tư duy của mỗi cá nhân đều dựa vào kết quả tư duy của loài
người, của các cá nhân khác.
- Tư duy của con người có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ:
Tư duy và ngôn ngữ là hai quá trình có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, tư
duy bắt đầu khi xuất hiện tình huống có vấn đề nhưng nhờ có ngôn ngữ mà con
người nhận thức được tình huống có vấn đề, nhờ có ngôn ngữ mà chủ thể tiến
hành được các thao tác tư duy, kết thúc quá trình tư duy đi đến những khái
niệm, phán đoán, suy lí phải được biểu đạt bằng ngôn ngữ, đó là các công thức,
từ, ngữ, mệnh đề, định lí …
- Tư duy có quan hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính:
Nhận thức cảm tính là cơ sở, là nơi cung cấp nguyên liệu cho tư duy. Tư
duy dựa vào nhận thức cảm tính, không tách rời nhận thức cảm tính và thường
bắt đầu bằng nhận thức cảm tính. Dù tư duy có khái quát đến đâu, có trừu
tượng đến đâu thì trong nội dung của nó cũng chứa đựng thành phẩm của nhận
thức cảm tính. Ngược lại, tư duy và sản phẩm của nó cũng có ảnh hưởng mạnh
mẽ, chi phối khả năng phản ánh của nhận thức cảm tính, làm cho nhận thức
cảm tính tinh vi, nhạy bén hơn, chính xác hơn, có sự lựa chọn và có ý nghĩa
hơn. Cả nhận thức cảm tính và tư duy đều nẩy sinh từ thực tiễn, lấy thực tiễn
làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

9

http://www.lrc.tnu.edu.vn


Tư duy là một quá trình: Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình
bao gồm bốn bước cơ bản sau [9], [10], [13]:

http://www.lrc.tnu.edu.vn


nghiên cứu các thao tác tư duy sau: Phân tích, tổng hợp, tương tự hóa, khái
quát hóa.
1.1.3.1. Phân tích, tổng hợp
Theo từ điển Tiếng Việt: "Phân tích là phân chia thật sự hay bằng tưởng
tượng một đối tượng nhận thức ra thành các yếu tố, trái với tổng hợp, tổng hợp
là tổ hợp bằng tưởng tượng hay thật sự các yếu tố riêng rẽ nào đó làm thành
một chỉnh thể, trái với phân tích" [19, tr.746,979].
Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Phân tích là chia một chỉnh thể ra thành nhiều
bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận. Tổng hợp là nhìn bao
quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữa các bộ
phận của chỉnh thể và của chính chỉnh thể đó với môi trường xung quanh. Phân
tích tạo điều kiện cho tổng hợp, tổng hợp lại chỉ ra phương hướng cho sự phân
tích tiếp theo [24, tr.122].
Theo Hoàng Chúng: "Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành
từng phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái
toàn thể đó". "Tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc
kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể
đó" [3, tr.16].
Theo Nguyễn Bá Kim: "Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống
thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ. Tổng hợp là liên
kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một
hệ thống" [15, tr.46].
Như vậy, "Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược
nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt
động cơ bản của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều được diễn
ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp" [15, tr.46].
Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ hữu cơ, không bao giờ tồn tại tách

Đây là bài toán lập phương trình đường thẳng trong không gian. Phương
pháp giải chung là ta tìm một điểm và một VTCP của đường thẳng đó. Bài toán
đã cho ta phương trình của mp (P), phương trình của đường thẳng d và mối
quan hệ giữa đường thẳng Δ cần lập với mp (P) và đường thẳng d.
Với giả thiết Δ nằm trong (P) và vuông góc với d, ta có thế xác định được
uur uur r
uur
r uur
uur r
n; ud nếu uΔ 0 trong đó u Δ , u d , n lần lượt là VTCP
VTCP của Δ là uΔ
của đường thẳng Δ , đường thẳng d và VTPT của mp (P) và vì Δ nằm trong (P) và
cắt đt d nên ta tìm một điểm nằm trên Δ chính là giao điểm của (P) và d.
- Hoạt động tổng hợp:

r
uur
Mp (P) có VTPT n 3; 1; 2 , đường thẳng d có VTCP ud 1;3; 1
r uur
5;5;10 .
Ta có n; ud
uur
uΔ
r
u

Do Δ
r uur
n; ud
1 uur

x 15 t

Từ đó ta lập được ptđt Δ : y 28 t
z

9 2t

Qua ví dụ trên ta nhận thấy rằng trong quá trình hướng dẫn HS giải
Toán, người GV cần chú trọng hướng dẫn HS phân tích, khai thác triệt để
những yếu tố đã cho trong giả thiết, tổng hợp động viên những kiến thức có
liên quan để từ đó HS có thể đề ra được đường lối giải đúng đắn.
1.1.3.2. So sánh, tương tự
Có nhiều định nghĩa về so sánh, chẳng hạn như:
"So sánh là quá trình dùng trí óc để xác định sự giống nhau hay khác
nhau, sự đồng nhất hay không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau
giữa các đối tượng nhận thức" [26, tr.116].
Theo Hoàng Chúng: "So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau
giữa các sự vật và hiện tượng. Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng) ta phải
phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính giữa chúng, đối chiếu các dấu hiệu, các
thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem hai sự vật (hiện tượng) đó có gì
giống và khác nhau" [2, tr.21].
Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tương tự là giống
nhau nhưng ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó được phản ánh bằng khái
niệm. [15, tr.19]
Trong "logic học", Đ.P.Goocki viết: "Tương tự là phép suy luận trong đó
từ chỗ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, ta rút ra kết luận rằng các
đối tượng này giống nhau ở các dấu hiệu khác. Nếu đối tượng A có dấu hiệu là
a, b, c, d và đối tượng B cũng có các dấu hiệu a, b, c thì ta rút ra kết luận giả
định rằng đối tượng B cũng có tính chất d. Ta có thể biểu diễn sơ đồ của phép
suy luận tương tự như sau:


phương trình mặt phẳng (P) song song với α và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Với bài tập này GV hướng dẫn HS chỉ ra được mặt cầu (S) có tâm
I 1; 2; 1 và bán kính R = 3.

Dựa vào giả thiết mp (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

14

d I ;( P)

R

3

http://www.lrc.tnu.edu.vn


Từ đây GV chỉ ra cho HS thấy được sự tương tự của bài toán với bài toán
đã có trong Ví dụ 1.2. Và bằng cách làm tương tự HS sẽ đưa ra được kết quả:
P : 2 x 2 y z 10 0 và P : 2 x 2 y z 8 0 .

Việc hướng dẫn HS giải bài toán theo một bài toán tương tự giúp HS giải
quyết bài toán dễ dàng hơn và tự nhiên hơn.
1.1.3.3. Khái quát hóa, đặc biệt hóa
Theo G.Polya " Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp
ban đầu" [8, tr.18].
Theo Hoàng Chúng: "Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra cái chung


lẻ đã biết

riêng lẻ chưa biết

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

16

http://www.lrc.tnu.edu.vn


Ví dụ 1.4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm
x 1
2

A 1; 1;2 , đường thẳng d :

y
1

Viết phương trình đường thẳng

z 2
và mặt phẳng (P): x
1

y 2z 5 0 .

cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là

5 0

2

.

M 3;2;4
Đường thẳng
x 1
2

đi qua A và M có phương trình:
y 1
3

z 2
.
2

Với bài tập trên GV gợi ý để HS mở rộng bài toán:
- GV: Về bản chất, công thức trung điểm là xuất phát từ đẳng thức véctơ

  
AM AN 0 . Vậy trong bài toán trên em có thể thay điều kiện A là trung
điểm của đoạn MN bởi một điều kiện nào khác không ?




- HS: Có, chẳng hạn như: 2 AM 3 AN