TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƢ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Đề tài:

RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY
CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC
BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Giáo viên hướng dẫn:
ThS. Nguyễn Văn Sáng

Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Phú Hào
MSSV: 1100096
Lớp:SP Toán – Tin K36

Cần Thơ, 04/2014


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
MỤC LỤC

NỘI DUNG
Trang
PHẦN MỞ ĐẦU…………………………………………………………….……... 1
Chƣơng 1: TƢ DUY TRONG HỌC TẬP TOÁN HỌC.............................................3


GVHD: Nguyễn Văn Sáng

i

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
Chƣơng 3: RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG
QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN……………………………..27
3.1 Vận dụng các thao tác tƣ duy vào giải toán……………….……………..27
3.2 Áp dụng các thao các tƣ duy vào bài toán cụ thể………….……………..40
Chƣơng 4: TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CƠ
BẢN VÀ NÂNG CAO CHỌN LỌC………………………………………………49
PHẦN KẾT LUẬN………………………………………………………………...79
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………….80

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

ii

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG

LỜI CẢM ƠN

Sau bốn năm đại học đã để lại trong tôi vô vàng những kỷ niệm về trƣờng lớp,


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG

PHẦN MỞ ĐẦU
---------1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn học gắn liền với tƣ duy và các thao tác tƣ duy là cách
giúp cho việc tiếp thu một kiến thức mới, giải một bài toán đƣợc dễ dàng hơn. Vì
vậy, để có thể học tốt đƣợc thì không chỉ phải hiểu và nắm rõ về các thao tác tƣ duy
mà còn phải vận dụng chúng một cách hợp lý.
Trong chƣơng trình học phổ thông nói chung và đối với môn toán nói riêng thì
hình học không gian vẫn là một phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh.
Giữa hình học phẳng và hình học không gian có nhiều đặc điểm giống nhau nhƣng
cũng có một số tính chất khác nhau nên có thể làm cho các em nhầm lẫn. Bên cạnh
đó, lại có thêm nhiều định nghĩa, khái niệm mới mà các em chƣa từng biết đến.Vì
vậy, để các em có thể tiếp thu và ghi nhớ áp dụng vào bài tập sẽ gặp rất nhiều khó
khăn. Đồng thời, việc tìm ra cách truyền đạt mảng kiến thức này sao cho dễ hiểu
cũng là vấn đề không nhỏ đối với một số giáo viên.
Trong các kì thi quốc gia những năm gần đây, những bài toán về hình học
không gian thƣờng đƣợc đƣa vào để đánh giá chất lƣợng của các em. Đặc biệt là các
bài toán về tính thể tích của khối đa diện, khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng hay
mặt phẳng,… Nhƣng để các em có thể giải quyết đƣợc thì đây là một vấn đề không
hề dễ dàng.
Với những lý do nhƣ vậy nên tôi quyết thực hiện bài luận văn của mình với đề
tài mang tên là: “RÈN LUYỆN CÁC THAO TÁC TƢ DUY CHO HỌC SINH
THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN”. Với luận văn
này tôi muốn thống kê lại một số phƣơng pháp để giải các bài toán hình học không
gian cơ bản. Đồng thời, phân tích một số bài toán theo các thao tác của tƣ duy nhằm
giúp các em có thể tiếp thu kiến thức theo một hƣớng mới. Bên cạnh đó, trong luận
này, tôi có tổng hợp lại một số bài tập về dạng toán tính thể tích cơ bản và nâng cao
để quý thầy cô cũng nhƣ các em học sinh ở các trƣờng phổ thông có thêm một

- Các phƣơng pháp giải toán cơ bản.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm bốn chƣơng:
- Chƣơng 1: Tƣ duy trong học tập toán học.
- Chƣơng 2: Phân loại một số dạng toán hình học không gian thƣờng gặp
trong chƣơng trình phổ thông và phƣơng pháp giải.
- Chƣơng 3: Rèn luyện các thao tác tƣ duy cho học sinh thông qua các
bài toán hình học không gian.
- Chƣơng 4: Tổng hợp một số bài toán hình học không gian cơ bản và
nâng cao chọn lọc.

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

2

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
Chƣơng 1
TƢ DUY TRONG HỌC TẬP TOÁN HỌC
---------1.1 Khái niệm về tƣ duy
Tƣ duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ có tính quy luật bên trong của sự vật, hiện tƣợng trong hiện thực
khách quan mà trƣớc đó ta chƣa biết.
Tƣ duy là hình thức cao nhất của sự phản ánh, là mức độ nhận thức mới
về chất so với cảm giác, tri giác. Có nghĩa là tƣ duy phản ánh những thuộc tính bản
chất bên trong, những mối liên hệ, quan hệ có tính chất quy luật của sự vật, hiện
tƣợng.
Ví dụ: Khi nhắc đến một hình tứ diện, thì thông qua nhận thức cảm tính

đƣợc cái gì đã biết, cái gì cần tìm và mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm nhƣ
thế nào để có thể chuyển thành nhiệm vụ của tƣ duy, giải quyết vấn đề đó.
Ví dụ: Trong bài “Hai đƣờng thẳng chéo nhau và hai đƣờng thẳng song
song” của chƣơng trình toán hình học 11 cơ bản có bài toán sau: “Cho hình chóp
S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Xác định giao tuyến của các mặt phẳng
(SAD) và (SBC).
(Ví dụ trang 58 SGK hình học 11 cơ bản)
d

S

A

D

C

B

Với những kiến thức đã biết, khi gặp bài toán này các em sẽ tìm xem có
thể xác định đƣợc điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) hay không? Để từ
đó tìm ra đƣợc giao tuyến. Nhƣng trong tình huống này, các em sẽ phải lúng túng.
Vì trong giả thiết bài toán, ta chỉ có thể tìm đƣợc một giao điểm là S, ngoài ra ta
không thể tìm đƣợc thêm một giao điểm nào khác. Do đó, ta không thể tìm giao
tuyến theo cách thông thƣờng đƣợc. Lúc này, đã xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề.
Khi đó, học sinh sẽ tìm kiến thức mới để vận dụng giải quyết vấn đề. Đó
chính là hệ quả của định lý 2 mà các em vừa học.
1.2.2 Tính gián tiếp của tƣ duy
Tƣ duy có khả năng phản ánh sự vật hiện tƣợng một cách gián tiếp thông
qua các dấu hiệu, kinh nghiệm, ngôn ngữ, công cụ,….

ngôn ngữ chỉ là một chuỗi âm thanh vô nghĩa, không có nội dung. Hay nói cách
khác, ngôn ngữ chính là phƣơng tiện của tƣ duy.
Tƣ duy và ngôn ngữ có mối quan giữa nội dung và hình thức với nhau.
1.2.5 Tƣ duy liên hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
Tuy tƣ duy có mức độ nhận thức cao hơn hẳn về chất so với nhận thức
cảm tính, nhƣng tƣ duy không tách rời nhận thức cảm tính.
Để giải một bài toán trƣớc hết ta dựa vào nhận thức cảm tính về yêu cầu
hay giả thuyết, đi đến nhận xét, kiểm tra bằng những hoạt động tƣ duy để đi đến kết
quả.

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

5

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình bình hành ABCD.
Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Chứng minh: ABMN là
hình thang.
S

M
N
B

C

A

Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG

1.3.2 Nhận thức vấn đề
Xuất hiện hoàn cảnh có vấn đề là một điều kiện quan trọng của tƣ duy.
Khi đó, ta cần nhận thức đƣợc vấn đề tức là xác định đƣợc vấn đề cần giải quyết ở
đây là gì? Chính vấn đề đƣợc xác định này quyết định toán bộ những việc giải quyết
sau đó: những dữ kiện ban đầu thành nhiệm vụ và việc biểu đạt vấn đề dƣới dạng
nhiệm vụ giải quyết sau đó của quá trình tƣ duy.
Đây là giai đoạn quan trọng nhất của quá trình tƣ duy.
1.3.3 Xuất hiện các liên tƣởng – huy động các tri thức, kinh nghiệm
Xuất hiện trong đầu những tri thức, kinh nghiệm, những liên tƣởng nhất
định có liên quan đến vấn đề đã đƣợc xác định.
Tùy thuộc vào từng nhiệm vụ mà ta cần phải huy động những tri thức,
kinh nghiệm,… phù hợp.
1.3.4 Sàng lọc các liên tƣởng và hình thành giả thuyết
Các tri thức, kinh nghiệm và liên tƣởng ban đầu còn mang tính chất rộng
rãi, bao trùm và chƣa thực sát với nhiệm vụ. Nên quá trình sàng lọc này sẽ hình
thành giả thuyết nghĩa là cách giải quyết phù hợp với nhiệm vụ của tƣ duy.
1.3.5 Kiểm tra giả thuyết
Chính sự đa dạng của giả thuyết mà ta cần phải kiểm tra xem giả thuyết
nào là tƣơng ứng với điều kiện và vấn đề đặt ra. Nếu giả thuyết đúng thì khẳng định

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

7

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG

-

Tìm một giao điểm và hai đƣờng thẳng chứa trong hai mặt
phẳng (BCD) và (CEF) song song với nhau.

+ Sàng lọc liên tƣởng và hình thành giả thuyết.
Ta thấy cách thứ hai sẽ dễ dàng hơn vì dễ nhận ra EF chính là đƣờng trung
bình của tam giác ABD. Nên EF // BD. Với điều kiện, C là giao điểm chung. Thì ta
sẽ nhanh chóng xác định đƣợc giao tuyến hơn cách thứ nhất là tìm thêm một giao
điểm thứ hai.
Ta dựng đƣờng thẳng d đi qua C và d // BD, d // EF.
+ Kiểm tra giả thuyết

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

8

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
E, F lần lƣợt là trung điểm của AB, AD
 EF là đƣờng trung bình của tam giác ABD
 EF // BD (1)

Mà:
 EF  (CEF )
(2)

 BD  ( BCD )

S

D

A

C

B

Phân tích:
Để chứng minh BD  (SAC), ta cần chứng minh BD vuông góc với hai
đƣờng thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng (SAC).
Lúc này, dựa vào giả thiết ta nhận ra rằng hai đƣờng thẳng cần tìm chứa
trong mặt phẳng (SAC) chính là SA và AC.
Nhƣ ta đã biết, do ABCD là hình vuông  AC  BD (1)
Theo giả thiết SA  (ABCD), BD  (ABCD)  SA  BD (2)
Tổng hợp kết quả từ (1) và (2) ta đƣợc: BD  (SAC). (đpcm)
1.4.2 So sánh
So sánh là sự xác định sự giống nhau hay khác nhau, sự đồng nhất hay
không đồng nhất của sự vật hiện tƣợng.
So sánh là cơ sở của mọi sự hiểu biết và tƣ duy. Nhờ có sự so sánh các
sự vật hiện tƣợng với nhau mà ta có thể lĩnh hội tất cả tính đa dạng độc đáo và phức
tạp của chúng.
Bên cạnh đó, so sánh cũng có mối quan hệ chặt chẽ với phân tích và tổng
hợp. Phân tích các dấu hiệu, thuộc tính của hai sự vật sau đó so sánh rồi tổng hợp lại
xem có gì giống nhau hay khác nhau.
1.4.3 Trừu tƣợng hóa và khái quát hóa
Trừu tƣợng hóa: Là quá trình gạt bỏ khỏi đối tƣợng những bộ phận,
thuộc tính quan hệ không cần thiết chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết để tƣ duy.


P

a)

a

P

b)

c)

Sau khi đã chứng minh đƣợc, ta có thể khái quát lên: Cách để chứng
minh một đƣờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng nhƣ sau:
-

Bƣớc 1: Trong mặt phẳng (P), ta xác định đƣờng thẳng a sao
cho d  a.

-

Bƣớc 2: Trong mặt phẳng (P), ta xác định đƣờng thẳng b sao
cho d  b.

-

Bƣớc 3: Hai đƣờng thẳng a và b cắt nhau tại M.

-

vô số đƣờng thẳng chứa trong một mặt phẳng. Nhƣng đối với ngƣời có quá trình tƣ
duy ở mức độ cao hơn, họ sẽ suy nghĩ đến việc để chứng minh mặt phẳng vuông
góc với một đƣờng thẳng, thì ta phải làm nhƣ thế nào?... Tìm một đƣờng thẳng chứa
trong mặt phẳng, vuông góc với đƣờng thẳng kia hay là tìm cách để chứng mình
toàn bộ đƣờng thẳng thuộc mặt phẳng đó đều vuông góc với đƣờng thẳng đã cho.
1.5.2 Phán đoán
Phán đoán là sự khẳng định hay phủ định về các sự vật hiện tƣợng hoặc
những mối quan hệ nào đó giữa các sự vật, hiện tƣợng trong hiện thực.
Ví dụ: Có một và chỉ một đƣờng thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho
trƣớc.
Phán đoán có thể là một nhận định đơn giản hay phức tạp. Nhƣng nó có
thể đúng cũng có thể sai. Vì vậy, kinh nghiệm càng phong phú, toàn diện thì việc
thực hiện các thao tác tƣ duy càng hợp lý, độ chính xác của phán đoán càng cao.
1.6 Vai trò của tƣ duy trong học tập toán học
Tƣ duy giúp ta khái quát đƣợc một phạm vi rộng lớn của thực tiễn tri thức và
nắm đƣợc mối quan hệ giữa nhiều lĩnh vực khác nhau. Mở rộng giới hạn của nhận
thức.
Một trong những mục đích rèn luyện các thao tác của tƣ duy đó là học tập toán
học. Tƣ duy trong toán học có thể chia ra hai cấp độ:
- Tái tạo: là năng lực học toán, gồm bai giai đoạn: tiếp thu kiến thức,
nhận dạng kiến thức đã học và thể hiện các mối quan hệ.

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

12

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG

đƣờng thẳng a. Lúc này, đƣờng thẳng b chính là giao tuyến của mặt phẳng (P) và
mặt phẳng (Q).
c) Chứng minh ba điểm thẳng hàng và ba đƣờng thẳng đồng quy
* Phương pháp giải:
- Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm đó cùng
thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Muốn chứn minh ba đƣờng thẳng đồng quy, ta chứng mình giao điểm của hai
đƣờng thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến chính là đƣờng
thẳng thứ ba.

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

14

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
d) Tìm tập hợp giao điểm của hai đƣờng thẳng di động
* Phương pháp giải: Muốn tìm giao điểm M của hai đƣờng thẳng d và d’ di động.
Ta tìm hai mặt phẳng cố định lần lƣợt chứa d và d’. Khi đó, điểm M sẽ di động trên
giao tuyến cố định của hai mặt phẳng đó.
* Chú ý: Nếu d di động nhƣng luôn đi qua một điểm A cố định nào đó và cắt đƣờng
thẳng d” cố định không đi qua A. Thì d luôn nằm trong mặt phẳng cố định (A, d”).
e) Tìm thiết diện do một mặt phẳng cắt hình chóp (hoặc tứ diện)
Thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng (P) là đa giác giới hạn bởi các
giao tuyến của các mặt hình chóp với mặt phẳng (P).
* Phương pháp: Ta xác định lần lƣợt các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt
của hình chóp bằng cách:
- Tìm giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng (P) với một mặt của hình chóp từ các

cần tìm giao tuyến).
- Giao tuyến là đƣờng thẳng đi qua điểm chung và song song với đƣờng thẳng
đó.
* Chú ý: Để tìm thiết diện của hình chóp, ta có thể kết hợp cả hai cách tìm giao
tuyến ở dạng 1 và dạng 2.
c) Tính góc giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau
* Phương pháp giải: Để tính góc giữa hai đƣờng thẳng a, b chéo nhau ta thực hiện
các bƣớc sau:
- Tìm một điểm M nào đó.
- Dựng hai đƣờng thẳng a’, b’ qua M sao cho a’ // a và b’ // b.
- Góc giữa a, b cũng chính là góc giữa a’, b’ (góc nhỏ hơn hoặc bằng 90o).
- Áp dụng công thức tỷ số lƣợng giác trong tam giác vuông hoặc định lý hàm
số cosin trong tam giác thƣờng để tính góc giữa a’ và b’.
2.1.3 Đƣờng thẳng song song với mặt phẳng
a) Chứng minh một đƣờng thẳng song song với một mặt phẳng
* Phương pháp giải: Muốn chứng minh đƣờng thẳng d song song với mặt phẳng
(P), ta chứng minh đƣờng thẳng d không thuộc mặt phẳng (P) và d song song với d’
chứa trong (P).
* Chú ý: Nếu d’ không có sẵn. Ta cần tìm một mặt phẳng (Q) chứa d, khi đó d’
chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
b) Chứng minh hai đƣờng thẳng song song. Tìm giao tuyến cắt bởi
một mặt phẳng song song với một đƣờng thẳng (dạng 3)
* Phương pháp giải:
- Áp dụng định lý: Cho đƣờng thẳng d song song mặt phẳng (P). Nếu một mặt
phẳng (Q) chứa d, cắt (P) theo giao tuyến d’, thì d song song d’.
- Từ đây xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng song song với
một (hoặc hai) đƣờng thẳng cho trƣớc theo phƣơng pháp đã biết.

GVHD: Nguyễn Văn Sáng


một trong hai cách sau:
- Chứng minh đƣờng thẳng a vuông góc với hai đƣờng thẳng b và c cắt
nhau thuộc (P).
- Chứng minh đƣờng thẳng a song song với đƣờng thẳng b, mà b vuông
góc với mặt phẳng (P).

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

17

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
+ Muốn chứng minh đƣờng thẳng a vuông góc đƣờng thẳng b: Ta chứng minh
a vuông góc với mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng b.
* Chú ý: Nếu a và b cắt nhau, ta có thể dùng các phƣơng pháp chứng minh đã học
trong hình học phẳng.
b) Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng
* Phương pháp giải: Muốn xác định góc giữa đƣờng thẳng d và mặt phẳng (P), ta
thực hiện các bƣớc sau:
- Xác định giao điểm M của a và (P).
- Trên đƣờng thẳng a chọn một điểm A (khác M). Dựng AH vuông góc với mặt
phẳng (P) (H thuộc (P)).
- Khi đó, góc giữa đƣờng thẳng a với mặt phẳng (P) chính là góc AMH.
c) Tìm thiết diện qua một điểm cho trƣớc và vuông góc với một
đƣờng thẳng cho trƣớc
Cho khối đa diện (S), xác định thiết diện của (S) tạo bởi mặt phẳng (P) đi qua
điểm M (cho trƣớc) và vuông góc với đƣờng thẳng d (cho trƣớc).
Nếu có hai đƣờng thẳng a và b cắt nhau (hoặc chéo nhau) cùng vuông góc với

- Nếu đã có một đƣờng thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta dựng Ax song
song với a, khi đó Ax chính là đƣờng thẳng cần tìm.
- Nếu AB song song với mặt phẳng (P) thì d(A,(P)) = d(B,(P)).
- Nếu AB cắt (P) tại I thì

d ( A, ( P)) IA

.
d ( B, ( P)) IB

b) Tìm tập hợp các hình chiếu của một điểm cố định trên một đƣờng
thẳng di động
* Phương pháp: Muốn tìm tập hợp hình chiếu vuông góc M của điểm A cố định trên
đƣờng thẳng d di động luôn đi qua O, chứa trong mặt phẳng (P) cố định. Ta thực
hiện các bƣớc sau:
- Dựng đƣờng thẳng AH vuông góc mặt phẳng (P) (H thuộc (P)). Khi đó, theo
định lý ba đƣờng vuông góc ta đƣợc HM vuông góc với d.
- Trong mặt phẳng (P), có góc HMO bằng 90o. Nên M thuộc đƣờng trong
đƣờng kính OH chứa trong (P).
c) Tìm tập hợp các hình chiếu của một điểm cố định trên mặt phẳng
di động
* Phương pháp: Muốn tìm tập hợp các hình chiếu vuông góc M của một điểm cố
định A trên mặt phẳng (P) di động luôn chứa một đƣờng thẳng d cố định, ta thực
hiện các bƣớc sau:
- Tìm một mặt phẳng (Q) chứa A và vuông góc với d.
- Xác định giao tuyến d’ của hai mặt phẳng (P) và (Q).

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

19

chứng minh một đƣờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng hay tính khoảng cách
từ một điểm đến mặt phẳng.
- Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn tâm O. Điểm M cách đều ba điểm A,
B, C. Khi đó, MO chính là trục của đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nên MO
vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC)).

GVHD: Nguyễn Văn Sáng

20

SVTH: Nguyễn Phú Hào


Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua các bài toán HHKG
- Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và hai điểm M, N sao cho MA, MB,
MC bằng nhau; NA, NB, NC bằng nhau. Thì MN chính là trục đƣờng tròn tâm O, đi
qua ba điểm A, B, C. Khi đó, MN vuông góc với (ABC) tại tâm O của đƣờng tròn.
2.2.3. Hai mặt phẳng vuông góc
Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng
bằng 90o.
a) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, đƣờng thẳng vuông góc
với mặt phẳng
+ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.
* Phương pháp giải:
- Cách 1: Muốn chứng minh mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng
(Q), ta tìm một đƣờng thẳng d chứa trong (P) và vuông góc với mặt phẳng (Q).
- Cách 2: Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 90o.
+ Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).
* Phương pháp giải:
- Cách 1: Chứng d vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau chứa trong