BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO
HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy bộ môn Toán
Mã số: 62 14 01 11 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS. TS. TRẦN KIỀU
2. TS. NGUYỄN VĂN THUẬN
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 9
1.1. Một số vấn đề khái quát về tư duy và tư duy toán học 9
1.1.1. Khái niệm tư duy 9
1.1.2. Đặc điểm của tư duy 9
1.1.3. Một số vấn đề về tư duy toán học 11
1.2. Thao tác tư duy 12
1.2.1. Mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy 12
1.2.2. Phân tích - Tổng hợp 15
1.2.3. So sánh 22
1.2.4. Tương tự hóa 24
1.2.5. Trừu tượng hóa - Khái quát hóa 28
1.5.4. Kết quả khảo sát thực trạng 47
1.6. Kết luận chương 1 58
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN RÈN LUYỆN KỸ
NĂNG THỰC HIỆN CÁC THAO TÁC TƯ DUY CHO HỌC SINH TRONG
DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 60
2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp 60
2.2. Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư
duy cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích 60
2.2.1. Biện pháp 1: Tập luyện cho học sinh phân tích nội hàm và ngoại diên của
khái niệm toán học, cũng như khả năng vận dụng các khái niệm đó vào việc giải
quyết các vấn đề toán học 60
2.2.2. Biện pháp 2: Tập luyện cho học sinh làm rõ ý nghĩa của từng yếu tố được
cho trong giả thiết và tìm các khả năng vận dụng của định lý 69
2.2.3. Biện pháp 3: Tập luyện cho học sinh diễn đạt các định nghĩa, định lý và giải
các bài toán theo những cách khác nhau 80
2.2.4. Biện pháp 4: Hướng dẫn học sinh tìm ra dấu hiệu chung và bản chất của các
yếu tố và quan hệ trong một hoặc một lớp bài toán 97
2.2.5. Biện pháp 5: Tạo cơ hội cho học sinh luyện tập kỹ năng tương tự hóa trong
quá trình giải toán 111
2.2.6. Biện pháp 6: Khuyến khích học sinh đề xuất bài toán mới trên cơ sở khai thác
bài toán đã cho 117
1
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Để tồn tại và phát triển, con người có nhu cầu và yêu cầu phải nhận thức các
sự vật, hiện tượng và kể cả chính mình. Nói cách khác, con người cần phải tư duy.
Mỗi sự vật và hiện tượng đều có những dấu hiệu, thuộc tính, cần phải biết phân tích,
so sánh và tổng hợp để tìm được các dấu hiệu, thuộc tính bản chất của các sự vật và
hiện tượng hướng tới mục đích nhận thức. Quá trình nhận thức trên cũng phải tiến
hành các thao tác tư duy khác như tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc
biệt hóa để có được các tri thức đầy đủ, chính xác về các sự vật hay hiện tượng ấy.
Quá trình nhận thức nói trên là kết quả của tư duy.
Trong học tập nói chung, học tập toán nói riêng, để hình thành một khái
niệm, người học phải suy nghĩ, phân tích để tìm ra các thuộc tính của khái niệm,
thuộc tính nào là thuộc tính bản chất, thuộc tính nào là đặc trưng, phân chia khái
niệm thành các bộ phận theo các thuộc tính đó để hiểu khái niệm một cách đầy đủ,
sâu sắc hơn, Nhờ phân tích, con người tách ra các thuộc tính của các đối tượng,
còn nhờ tổng hợp, con người hợp nhất các thuộc tính bản chất, tách chúng ra khỏi
các thuộc tính còn lại, không bản chất, đưa các thuộc tính bản chất này vào một thể
thống nhất, đó là khái niệm. Để tiếp thu một định lý, HS phải biết phân tích được
giả thiết và kết luận của định lý, các cách chứng minh định lý và vận dụng định lý
dạy học khi thực hiện yêu cầu rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh.
Những vấn đề đặt ra về lý luận và từ thực tiễn nói trên cần được nghiên cứu
trong lĩnh vực phương pháp dạy học toán học.
Phân môn toán nào cũng đòi hỏi phải rèn luyện cho HS thực hiện các thao
tác tư duy, tuy nhiên trong luận án này, chúng tôi lựa chọn Đại số và Giải tích vì
những lý do chính sau đây:
- Đại số, đặc biệt là Giải tích ở trường THPT có nhiều khái niệm khó và quan
trọng gắn liền với phạm trù vô hạn, với đại lượng vô cùng bé như khái niệm giới
hạn của dãy số, giới hạn của hàm số, đạo hàm, nguyên hàm, Để hiểu được các
khái niệm này và mối quan hệ giữa chúng đòi hỏi học sinh phải biết phân tích nội
hàm và xác định rõ ngoại diên của chúng. Điều này cũng liên quan tới việc phát
hiện dấu hiệu chung và bản chất của khái niệm, nhận dạng khái niệm và hình thành
mối quan hệ của các khái niệm trong cùng một hệ thống.
- Một số định lý của Đại số và Giải tích có cấu trúc phức tạp, có nhiều ứng
dụng trong giải toán và trong thực tiễn, chẳng hạn định lý về dấu của tam thức bậc
hai, định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục, các định lý về giới hạn hữu hạn của
dãy số, hàm số, Dạy học những nội dung này đòi hỏi phải làm rõ ý nghĩa của từng
yếu tố được cho trong giả thiết, xác định cấu trúc lôgic và khả năng vận dụng của
định lý.
- Mạch toán ứng dụng đã được tăng cường ở trường THPT, đặc biệt là một
số yếu tố về đại số tổ hợp, xác suất và thống kê. Đối với HS, các khái niệm thuộc
chủ đề này còn mới và khó, các bài toán đếm đa dạng, phong phú trong đời sống
3
thực tiễn, có thể giải theo nhiều cách khác nhau, HS gặp nhiều sai lầm. Do đó, dạy
học chủ đề này thích hợp với việc phát hiện dấu hiệu chung và bản chất của bài
toán, nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, tìm nguyên nhân sai lầm trong lời giải và
4
Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, nhà tâm lý học X. L. Rubinstein đã
viết: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm
thành chỗ dựa cho tư duy”.
Tư duy là một quá trình tâm lý, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết
thúc. Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau được nhà tâm lý học
K. K. Platônôp minh họa bởi sơ đồ [102, tr. 116]: Tuy nhiên, tính giai đoạn của quá trình tư duy chỉ phản ánh được mặt bên ngoài,
cấu trúc bên ngoài của tư duy, còn nội dung bên trong mỗi giai đoạn của quá trình tư
duy lại là một quá trình phức tạp, diễn ra trên cơ sở của những thao tác tư duy, còn gọi
là thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc [107, tr. 116].
ởng
v
à
h
ình
th
ành
gi
ả
thuy
ết
Ki
ểm
t
ra
gi
ả
thuy
ết
Kh
ẳng
đ
ịnh
Phủ định
Ch
t
ư
duy m
ới
Xu
ất
hi
ện
c
ác
li
ê
n t
ư
ởng
5
trong giải toán, các thao tác phân tích và tổng hợp thường gắn bó khăng khít với
nhau. Trong phân tích có tổng hợp (tổng hợp thành phần) và trong quá trình tổng
hợp phải có phân tích (đảm bảo tính lôgic và tính định hướng của quá trình tổng
hợp).
M. N. Sácđacôp cho rằng: tư duy được thực hiện và phát triển trong những
6
2.3. Định hướng nghiên cứu của tác giả
- Đưa ra trật tự để tiến hành một số thao tác tư duy.
- Đưa ra một quan niệm về rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy
cho học sinh Trung học phổ thông.
- Tìm hiểu thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy của GV và HS
Trung học thông qua dạy học môn Đại số và Giải tích.
- Xây dựng một số biện pháp góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao
tác tư duy cho học sinh Trung học phổ thông.
- Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của các biện pháp đề xuất
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích của luận án là nghiên cứu để làm sáng tỏ các thao tác tư duy về các
khía cạnh: khái niệm, vai trò, tính phổ dụng trong nhận thức nói chung và trong
giáo dục toán học nói riêng, đồng thời nghiên cứu để xây dựng các biện pháp nhằm
rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện thao tác tư duy.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Luận án có nhiệm vụ làm sáng tỏ các vấn đề sau:
- Quan niệm về thao tác tư duy, các loại thao tác tư duy, sự cần thiết phải chú
ý rèn luyện chúng;
- Xem xét thao tác tư duy từ bình diện hoạt động;
- Các thao tác tư duy trong dạy học toán;
- Thực trạng rèn luyện các thao tác tư duy trong dạy học toán ở THPT;
- Đề xuất các biện pháp dạy học để rèn luyện cho HS kỹ năng thực hiện các
thao tác tư duy;
- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của các
biện pháp đã đề xuất.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
hiện các thao tác tư duy cho HS THPT.
7.2.2. Có thể sử dụng Luận án để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán
nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT.
8. NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢO VỆ
8.1. Quan niệm về các thao tác tư duy, trật tự để tiến hành một số thao tác.
8.2. Quan niệm về rèn luyện kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy cho HS
THPT.
8.3. Thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy ở Trường THPT.
8.4. Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các
thao tác tư duy cho HS THPT.
9. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung Luận án gồm
có 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Một số vấn đề khái quát về tư duy và tư duy toán học.
1.2. Thao tác tư duy.
1.3. Kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy.
1.4. Đặc điểm tâm lý của HS THPT.
8
1.5. Khảo sát thực trạng về việc thực hiện các thao tác tư duy trong dạy học ở
trường THPT.
1.6. Kết luận chương 1.
Chương 2: Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng thực
hiện các thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học Đại số và Giải tích
2.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp.
2.2. Một số biện pháp sư phạm góp phần rèn luyện kỹ năng thực hiện các
9
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề khái quát về tư duy và tư duy toán học
1.1.1. Khái niệm tư duy
Để tồn tại và phát triển trong cuộc sống, con người cần phải nhận thức các
hiện tượng, các sự vật, các quá trình của tự nhiên, của xã hội và của chính bản thân
để hiểu về bản chất, mối liên hệ, quan hệ có tính quy luật của chúng. Quá trình nhận
thức đó bao gồm nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính. Quá trình nhận thức lý
tính được gọi là tư duy.
Có nhiều định nghĩa, cách diễn đạt khác nhau về tư duy của các nhà tâm lý
học. X. L. Rubinstein cho rằng: "Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ
thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính
xuất hiện do tác động của khách thể" (dẫn theo [15, tr. 246]). Trong các tài liệu
[95], [106], [107], [108], các tác giả cho rằng: "Tư duy là quá trình nhận thức phản
ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật và
hiện tượng trong hiện thực khách quan". "Tư duy là một quá trình tâm lý liên quan
chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và sáng tạo cái chính yếu, quá trình phản
ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế trong khi phân tích và tổng hợp nó.
Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới
hạn của nó" (dẫn theo [93, tr. 8]).
1.1.2. Đặc điểm của tư duy
Theo [95], [106], [107], [108], tư duy có những đặc điểm cơ bản sau đây:
- Tính "có vấn đề" của tư duy.
Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống "có vấn
đề". Tình huống "có vấn đề" là tình huống chứa đựng một mục đích, một vấn đề
mới mà những hiểu biết cũ, phương pháp hành động cũ không đủ sức giải quyết.
Muốn giải quyết vấn đề mới đó, để đạt được mục đích mới đó, con người phải tìm
3
2
+=
thì phương trình ban đầu trở
thành phương trình
0
3
2
2
=−+
t
t
đã có thuật giải.
- Tính gián tiếp của tư duy.
Con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy. Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử
dụng các kết quả nhận thức (khái niệm, phán đoán, quy luật, ) vào quá trình tư duy
để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật, hiện tượng. Trong quá trình tư
duy, con người sử dụng những công cụ, phương tiện (đồng hồ, nhiệt kế, máy móc, )
để nhận thức đối tượng mà không thể trực tiếp tri giác chúng.
- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy.
Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính,
những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính chung, bản chất cho
nhiều sự vật và hiện tượng. Trên cơ sở đó mà khái quát những sự vật, hiện tượng
riêng lẻ, nhưng có những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại, một
phạm trù.
Ví dụ 1.2: Công thức tính diện tích tam giác
a
ahS
2
1
1.1.3. Một số vấn đề về tư duy toán học
Cũng như những lĩnh vực khác của đời sống xã hội, toán học với tư cách là
một khoa học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng vô cùng đa dạng, phong
phú trong thực tiễn với những đặc điểm về đối tượng và phương pháp nghiên cứu
cũng là một đối tượng của tư duy, và như là một tất yếu, xuất hiện tư duy toán học.
"Để nhận thức được mặt nội dung của hiện thực cần có tư duy biện chứng,
và để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có tư duy lôgic. Do đó, tư duy
toán học là sự thống nhất giữa tư duy biện chứng và tư duy lôgic. Theo đó, tư duy
toán học cũng có những cặp phạm trù quan trọng: cụ thể - trừu tượng, nhận thức
cảm tính - nhận thức lý tính, cái chung - cái riêng, cái bản chất - cái không bản
chất" [33, tr. 60-61]. Luận điểm nói trên cần được vận dụng một cách cụ thể và
thích hợp vào việc dạy học nhằm phát triển tư duy toán học cho học sinh.
Giáo dục toán học cho HS nhằm đạt các mục tiêu:
- Truyền thụ cho HS những kiến thức cơ bản được chọn lựa cho phù hợp với
đặc điểm của đối tượng Toán học một cách có hệ thống;
- Rèn luyện cho HS những kỹ năng, kỹ xảo toán học;
- Phát triển tư duy toán học cho HS (dẫn theo [93, tr. 12]).
Tư duy toán học là một mục tiêu quan trọng trong hoạt động toán học của
HS, nhưng nếu thiếu sự phát triển một cách có phương hướng thì không thể đạt
được mức độ mong muốn về kiến thức và kỹ năng trong quá trình dạy học toán.
Nhiều nhà toán học đã bày tỏ ý kiến về tư duy toán học như sau:
Viện sĩ B. V. Gơnhedencô đưa ra một số yêu cầu đối với tư duy toán học, đó
là:
- Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận;
- Thấy được sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;
- Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ;
- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận, sự cô đọng, sự chính xác của các ký
hiệu (dẫn theo [93, tr. 15]).
Nhà toán học A. Ia. Khinsin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tư
duy toán học là:
Nhiều nhà tâm lý học (trong đó có J. Piaget) cho rằng:
- Hành động (Action) là các ứng xử của cá nhân đối với sự tác động của các
yếu tố môi trường bên ngoài;
- Thao tác (Operations) là các hành động đã được chuyển vào bên trong (hành
động bên ngoài được nội hiện) và đã được rút gọn.
Đối tượng của thao tác tư duy không phải là sự vật có thực như của hành
động, mà là những hình ảnh, biểu tượng, ký hiệu. Như vậy, thao tác tư duy là hành
động tinh thần, chứ không phải là hành động thực, vật chất ở bên ngoài [68, tr. 73].
13
Cách giải thích của A. N. Lêônchiep và các nhà tâm lý học cùng xu hướng có
phần khác với cách hiểu trên khi xem xét tư duy từ bình diện hoạt động. Các nhà
tâm lý học này giải thích hành động và thao tác trong cấu trúc chung của hoạt động.
Sự giống nhau và khác nhau giữa chúng thể hiện như sau:
- Hành động tư duy được hiểu là hành động tâm lý trọn vẹn, chịu sự chi phối
bởi một mục đích được ý thức (hành động tâm lý có thể hiểu là làm một việc nào đó
có mục đích);
- Thao tác là phương tiện, là cơ cấu kỹ thuật, là phương thức hành động để
triển khai đến mục đích đó. Thao tác không có mục đích tâm lý riêng, nó chỉ là
phương tiện để thực hiện mục đích của một hành động nào đó;
- Thao tác và hành động có chung lôgic;
- Cấu trúc của thao tác được định hình trong các phương tiện (công cụ) kỹ
thuật. Vì vậy, quá trình hình thành thao tác thực chất là quá trình học cách sử dụng
các công cụ đó. Thời kỳ đầu, quá trình học này chính là hành động tâm lý. Sau đó,
hành động được luyện tập và kỹ thuật hoá để trở thành thao tác.
- Cùng một mục đích nhưng trong những điều kiện khác nhau, chủ thể hành
động phải có các thao tác khác nhau.
tư duy còn được gọi là quy luật bên trong của tư duy [107, tr. 116].
Thao tác tư duy không đồng nhất với tư duy. Quá trình tư duy là quá trình
thực hiện các thao tác tư duy để đạt được mục đích. Việc rèn luyện các thao tác tư
duy cuối cùng cũng nhằm vào mục đích chung là phát triển tư duy cho HS, một
trong các mục tiêu chính của việc dạy học. Có thể liệt kê, mô tả một số thao tác tư
duy cụ thể dưới đây của các nhà khoa học:
Theo M. N. Sácđacôp [82], tư duy được thực hiện và phát triển trong những
hình thức riêng của nó: phân tích, tổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát
hóa và cụ thể hóa; quy nạp, diễn dịch và tương tự; phát hiện những mối liên hệ và
quan hệ; hình thành những khái niệm, phân loại và hệ thống hóa chúng.
Theo G. Polya [77], thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh,
tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa.
Trong [95], [106], [10], [108], các tác giả cho rằng thao tác tư duy bao gồm:
phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và khái quát hóa.
Nguyễn Bá Kim trong [54] không gọi là thao tác tư duy mà gọi là các hoạt
động trí tuệ cơ bản, bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng
hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa.
Theo tác giả Hoàng Chúng [8], thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp,
so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa và cụ thể hóa.
Từ phân tích và tổng hợp các ý kiến nêu trên, có thể hiểu rằng thao tác tư
duy là một hành động tư duy được kỹ thuật hóa và đã rút gọn, có thể rèn luyện để
đạt được các mức độ nhất định. Việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh
chính là việc tập luyện các hành động tư duy. Trong luận án, chúng tôi tập trung
nghiên cứu các thao tác tư duy sau: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa,
trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa.
15
tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ"
[54, tr. 46]. "Phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ phận của những sự vật hoặc
hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, cũng như các mối
liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định. Quá trình đó nhằm mục
16
đích nghiên cứu chúng đầy đủ và sâu sắc hơn, và chính vì vậy mới nhận thức được
trọn vẹn các sự vật và hiện tượng" [82, tr. 88]. "Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn
thể ra thành từng phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm
trong cái toàn thể đó" [8, tr. 16]. "Phân tích là chia cái toàn thể ra từng phần, là phân
cái toàn thể ra từng bộ phận, là chia nhỏ, là tách ra hoặc trừu xuất hóa đi một mặt nào
đó những dấu hiệu và những phần riêng lẻ nào đó" [33, tr. 109]. "Phân tích là chia
một chỉnh thể ra thành nhiều bộ phận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận.
Sau khi đã chia ra như vậy, mỗi bộ phận đều phải được nghiên cứu để cho sự hiểu
biết sâu hơn, chi tiết hơn" [97, tr. 122].
Mỗi một đối tượng, mỗi một quan hệ mà chúng ta nghiên cứu đều có những
thuộc tính, trong số các thuộc tính này có những thuộc tính bản chất, thuộc tính
không bản chất, thuộc tính chung, thuộc tính đặc trưng. Trong [18], nhóm tác giả cho
rằng: Thuộc tính bản chất là thuộc tính gắn liền với một đối tượng. Nếu mất thuộc
tính bản chất thì đối tượng đã cho sẽ trở thành một đối tượng khác. Thuộc tính bản
chất là điều kiện cần thiết để phân biệt đối tượng này với đối tượng khác. Thuộc tính
đặc trưng là thuộc tính chỉ đối tượng đó mới có. Thuộc tính đặc trưng là điều kiện cần
và đủ của khái niệm. Thuộc tính chung là thuộc tính mà nhiều đối tượng cùng có.
Ví dụ 1.3: Phân tích khái niệm hình chữ nhật.
Nhìn hình chữ nhật là một tứ giác từ các thuộc tính của cạnh, góc, đường
chéo ta thấy:
- Nhìn từ yếu tố cạnh: Đa giác lồi có 4 cạnh (tứ giác); tứ giác có các cặp cạnh
Từ các quan niệm đã nêu, tuy có một vài điểm khác, nhưng tựu trung lại
phân tích thực chất là tìm cho ra cấu trúc của sự vật và hiện tượng bao gồm những
thành phần chủ yếu nào, quan hệ giữa các thành phần đó như thế nào, mỗi một
thành phần như vậy với tư cách là một bộ phận của cái chung lại bao gồm những gì.
Phân tích là làm nhiệm vụ tách cấu trúc, nhận thức cấu tạo của bộ phận, mối quan
hệ giữa các bộ phận, nhiệm vụ cuối cùng là hiểu được bản chất của đối tượng, sự
vật, hiện tượng. Trên cơ sở phân tích các định nghĩa đó, có thể quan niệm về phân
tích như sau: Phân tích là quá trình dùng trí óc tách cái toàn thể ra từng bộ phận
theo các dấu hiệu và thuộc tính của chúng nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ
và sâu sắc hơn.
Chúng ta có thể xem có hai hình thức phân tích như sau:
Hình thức thứ nhất, đó là tách vấn đề thành các bộ phận theo một tiêu chí.
Chẳng hạn như phân tích khái niệm số nguyên thành hai bộ phận: số chẵn và số lẻ;
phân tích khái niệm số nguyên thành ba bộ phận: chia cho 3 dư 1, chia cho 3 dư 2 và
chia hết cho 3; phân tích biệt thức
ac
b
4
2
−=∆
của tam thức bậc hai
(
)
(
)
0
2
≠++= acbxaxxf
(trong tập số thực) thành ba trường hợp:
0
ủ
a bài toán.
Hình th
ứ
c phân tích th
ứ
hai,
đ
ó là tách ra m
ộ
t thành ph
ầ
n, t
ậ
p trung chú ý
vào thành ph
ầ
n
đ
ó, thu th
ậ
p các thông tin t
ừ
vi
ệ
c nghiên c
ứ
u thành ph
ầ
n v
ừ
đ
ó
đư
a ra các thông
tin v
ề
bi
ể
u th
ứ
c này. Ti
ế
p t
ụ
c tách v
ế
trái c
ủ
a ph
ươ
ng trình và rút ra các thông tin
thu nh
ậ
n
đượ
c t
ừ
v
độ cạnh, góc, đường chéo và mối quan hệ giữa các đối tượng đó, tổng hợp lại chúng
ta có định nghĩa về khái niệm hình chữ nhật dựa trên các thuộc tính đặc trưng của
nó: "Hình chữ nhật là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau"; "hình chữ nhật
là hình bình hành có một góc vuông"; "hình chữ nhật là tứ giác có 4 góc vuông".
Mặc dù có nhiều định nghĩa khác nhau về tổng hợp nhưng đều thống nhất
rằng tổng hợp là kết hợp các thành phần đã được tách nhờ phân tích thành một
chỉnh thể nguyên vẹn, cuối cùng nhìn nhận lại để biết được các thuộc tính của đối
tượng, dấu hiệu bản chất của đối tượng. Trên cơ sở các định nghĩa trên, có thể thống
nhất quan niệm về tổng hợp: Tổng hợp là quá trình dùng trí óc liên kết những bộ
phận, những thuộc tính, những thành phần đã được tách nhờ phân tích thành một
chỉnh thể theo một mục đích xác định nhằm đem lại một kết quả mới, một sự hiểu
biết mới nào đó về hiện thực.
19
Tương ứng với hai hình thức của phân tích, có hai hình thức tổng hợp sau:
Hình thức tổng hợp thứ nhất đó là nhập các đối tượng vừa phân tích, chẳng
hạn như hợp nhất hai đối tượng số chẵn và số lẻ sẽ được khái niệm số nguyên. Hình
thức thứ hai là gắn một thông tin vừa thu nhận được từ việc tách một bộ phận ra
nghiên cứu vào cái toàn thể, chẳng hạn như từ việc nghiên cứu vế trái của phương
trình có thể đưa ra thông tin về vế trái là hàm số đồng biến, gắn thông tin này vào
cái toàn thể là phương trình, ta thu nhận được phương trình này có vế trái là một
hàm số đồng biến.
Ngoài hai hình thức tổng hợp trên, có thể có một hình thức khác của tổng
hợp, đó là trước tiên nhìn nhận sự vật hay hiện tượng trong sự toàn vẹn của nó một
cách bao quát để định hướng cho sự phân tích.
1.2.2.3. Mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp
Có nhiều luận điểm nói về mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp, chẳng
nhất định sẽ giúp ta có một nhận thức tổng hợp đầy đủ hơn và sâu sắc hơn về sự vật
và hiện tượng đó.
Đồng thời với sự tổng hợp trên, sự phân tích đi càng xa và càng sâu bao
nhiêu, thì sự tổng hợp càng trở nên đầy đủ bấy nhiêu, tri thức về sự vật hoặc hiện
tượng hoàn chỉnh càng được hiểu rõ và phong phú bấy nhiêu. Sự tổng hợp được
hoàn thiện sẽ ảnh hưởng đến chất lượng của sự phân tích tiếp sau và giúp cho việc
nghiên cứu đầy đủ và sâu sắc hơn sự vật và hiện tượng với các bộ phận của nó và
mối quan hệ giữa chúng. Như vậy, sự phân tích được hoàn thiện cùng với sự phát
triển tổng hợp của học sinh và việc hoàn thiện sự phân tích cũng dẫn đến hoàn thiện
sự tổng hợp [82].
Trong dạy học giải bài tập toán, Hoàng Chúng cho rằng: Trước tiên, phải tìm
hiểu bài toán một cách tổng hợp, tránh thói quen không tốt của một số học sinh là đi
vào ngay các chi tiết trước khi nhìn bài toán một cách tổng quát, hiểu bài toán một
cách toàn bộ. Sau đó, phân tích bài toán: cái gì chưa biết, phải tìm? những cái gì đã
cho? mối liên hệ giữa cái chưa biết và cái đã cho là gì? [8].
Từ các luận điểm trên, chúng ta có thể thống nhất rằng:
- Bất cứ hoạt động học tập nào cũng được thực hiện thông qua phân tích và tổng
hợp, vì suy cho cùng đó là việc thực hiện một nhiệm vụ nhận thức;
- Sự phân tích được tiến hành theo hướng tổng hợp, còn sự tổng hợp được
thực hiện theo kết quả của phân tích;
- Trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồng thời là
tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra từng phần cũng chỉ nhằm
mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy. Phân tích cái
toàn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn.
- Phân tích và tổng hợp là hai thao tác trái ngược nhau, không tách rời nhau
của một quá trình thống nhất vì chúng cùng một mục đích là phục vụ quá trình tư
duy. Sự thống nhất này còn thể hiện ở chỗ: cái toàn thể ban đầu (tổng hợp I) định
hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào. Kết quả của phân
tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp II).
đề. Phân tách cái toàn thể thành các bộ phận theo các quan hệ đã được xác định.
Các đối tượng, quan hệ cần thiết cho việc giải bất phương trình đó là: các
phương pháp thường dùng để giải bất phương trình vô tỷ, tập xác định của bất
phương trình, vế trái của bất phương trình, vế phải của bất phương trình, Phân
tích bất phương trình đã cho thành các thành phần theo các yếu tố vừa chỉ ra ở trên.
Bước 3: Xác định, nghiên cứu tính chất của các bộ phận vừa phân tách.
Các phương pháp thường dùng để giải bất phương trình vô tỷ là: bình
phương hai vế một cách thích hợp, đặt ẩn phụ, phân chia tập xác định của bất
phương trình thành các bộ phận và giải trên mỗi bộ phận đó, đánh giá,
Tập xác định của bất phương trình là
(
]
[
)
+∞
∪
∞
−
=
;51;D
.
Copyright: Tài liệu đại học ©