Mở Đầu
1. Lý do chọn đề tài
Dạy Toán là dạy hoạt động toán học, cho nên một trong những yêu cầu
của dạy Toán là phải khơi dậy đợc khả năng suy nghĩ và khám phá đối với ng-
ời học. Trớc khi học một kiến thức nào đó thì học sinh cũng đã có một vốn
kiến thức nhất định rồi, làm sao có thể vận dụng tốt những cái đã biết nhằm
giải quyết những cái mới - đó chính là một trong những nhiệm vụ của việc
học.
Môn Toán có độ liên kết lôgíc giữa các chủ đề kiến thức, muốn học Toán
có chất lợng thì ngời học phải biết liên hệ, phải biết tích luỹ những kiến thức
để rồi khi cần thì đem ra mà sử dụng.
Liên tởng và huy động kiến thức là những năng lực rất quan trọng, cần
phải rèn luyện cho học sinh. Nếu có năng lực liên tởng tốt thì nhiều khi đứng
trớc một bài toán rất khó, nhng ta vẫn nghĩ tới đợc một kiến thức nào đó liên
quan, có vai trò quyết định trong việc tìm ra lời giải. Ngợc lại, nếu ta liên tởng
kém thì gặp một vấn đề nào đó ta chẳng biết đặt nó trong mối liên hệ với các
kiến thức đã biết, thành ra ta nhìn các vấn đề một cách cục bộ và rời rạc.
Trong khi đó, Toán học là một hệ thống các kiến thức có liên hệ khá mật thiết
với nhau.
Cha có công trình nào nghiên cứu sâu việc rèn luyện cho học sinh khả
năng liên tởng và huy động kiến thức, vì lý do đó chúng tôi chọn đề tài Góp
phần rèn luyện cho học sinh THPT khả năng liên tởng và huy động kiến
thức trong dạy học Đại số và Giải tích.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn về
liên tởng và huy động kiến thức, từ đó tìm ra những giải pháp để rèn luyện cho
học sinh THPT những năng lực này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp những vấn sau đây:
- Liên tởng và huy động kiến thức là gì?
- Vì sao lại cần phải bồi dỡng cho học sinh khả năng liên tởng và huy

nào đó mà nghĩ đến sự vật, hiện tợng khác có liên quan.
1.1.2. Vai trò của liên tởng dới góc độ tâm lý học
Trong tâm lý học, trờng phái tiếp cận liên tởng vấn đề t duy(Đ.Ghatli,
D.S.Milơ, H.Spenxơ, ) cho rằng: t duy là quá trình thay đổi tự do tập hợp các
hình ảnh, là sự liên tởng các biểu tợng.
Theo các nhà liên tởng, có 4 loại liên tởng:
2
Liên tởng giống nhau, liên tởng tơng phản, liên tởng gần nhau về không
gian và thời gian, liên tởng nhân quả.
Liên tởng nhân quả có vai trò đặc biệt quan trọng trong các quá trình trí
tuệ. Sự phát triển trí tuệ là quá trình tích luỹ các mối liên tởng. Sự khác biệt về
trình độ trí tuệ đợc quy về sự khác nhau, về số lợng các mối liên tởng, về tốc
độ hoá các liên tởng đó.
Tác giả Bùi Văn Huệ chia liên tởng thành 4 loại: liên tởng gần nhau về
không gian và thời gian, liên tởng giống nhau về hình thức hoặc nội dung, liên
tởng trái ngợc nhau, liên tởng nhân quả.
Theo tác giả, liên tởng có vai trò rất quan trọng khi ghi nhớ và nhớ lại.
Nhà tâm lý học P.A.Sêvarev đã nghiên cứu tỉ mỉ những mối liên tởng khái quát
độc đáo và vai trò của chúng trong dạy học. Ông chỉ ra rằng: những mối liên t-
ởng khái quát bao gồm 3 kiểu cơ bản, những liên tởngđợc biến đổi 1 nửa,
những liên tởng trừu tợng - biến thiên, những liên tởng cụ thể - biến thiên.
L.B.Itenxơn cho rằng: T duy tốt tức là t duy đúng đắn và có hiệu quả, biết
thực hiên đợc những liên tởng khái quát, những liên tởng phù hợp với bài toán
cần giải. Vì vậy, để việc dạy t duy có hiệu quả, không chỉ đòi hỏi phải tìm
hiểu những thuộc tính hay những quan hệ chung xác định của các đối tợng,
mà còn phải biết thuộc tính này là bản chất đối với những bài toán nào".
K.K.Plantônôv xem t duy nh là một quá trình gồm nhiều giai đoạn kế tiếp
nhau, mà hai trong số các giai đoạn ấy là: xuất hiện liên tởng, sàng lọc liên t-
ởng và hình thành giả thuyết.
Theo tác giả Vũ Dơng Thuỵ: Trong dạy học, cần chú ý rèn cho học sinh

những vật liệu rời rạc thành một cái toàn thể theo một mẫu thiết kế đã đợc
hình dung trớc.
Thực ra, thờng trớc khi xây nhà ta đã hình dung đợc cần đến những vật
liệu nào, có chăng, nếu thiếu vật liệu gì thì sau đó cũng có thể dễ dàng bổ
sung cho đủ.
Trớc khi giải bài toán, thờng là cha khẳng định đợc chắc chắn mình sẽ
dùng những kiến thức (định nghĩa, định lý, mệnh đề, quy tắc, công thức, )
nào, trừ khi đó là bài toán đã có thuật giải hoặc bài toán khá dễ. Sau khi giải
xong bài toán, ngời giải tự hỏi mình: thế mà ngay từ đầu tại sao mình lại
không nghĩ đến định lý này nhỉ? (mặc dầu trớc đó họ phải mò mẫm, suy nghĩ
rất lâu mới biết cách sử dụng định lý này).
Ví dụ 1: Xét bài toán, Chứng minh rằng: với
ABC
ta luôn có

2 2 2
9
4
sin sin sinA B C
+ +
4
Nếu bài toán yêu cầu học sinh giải khi cha học về các công thức lợng
giác (công thức hạ bậc) nhng đã học về định lý hàm số sin thì việc đa ra bài
toán này vẫn hợp lý. Giáo viên dẫn dắt để học sinh liên tởng đến việc áp dụng
định lý hàm số sin cho vế trái của bất đẳng thức, có thể nêu câu hỏi: sinA,
sinB, sinC gợi cho em liên tởng đến một cái gì đó rất quen thuộc ở phần giải
tam giác thờng sử dụng?
Chúng ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng: đó là định lý hàm số sin.
Giáo viên dẫn dắt để học sinh phát hiện ra và đa bất đẳng thức về dạng:


2 2 2 2 2
9 ( ) 0OH R a b c= + +
luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.
Nh vậy trong bài toán này nếu học sinh liên tởng đợc việc sử dụng hàm số
sin, tiếp theo đó liên tởng đến công thức tích vô hớng và định lý hàm số côsin
bằng phơng pháp hình học sẽ giải quyết đợc một cách dễ dàng.
Cũng đối với bài toán này, yêu cầu học sinh chứng minh khi đã học các
công thức lợng giác, thì việc giải quyết bài toán có thể đơn giản nếu học sinh
liên tởng đến hạ bậc, rồi liên tởng dùng tam thức bậc hai hoặc đánh giá.
5
Chẳng hạn (1) đợc biến đổi thành
1
2
(1 - cos 2A) =
1
2
(1 - cos 2B) + (1 -
cos
2
C)
9
4
nhờ sử dụng công thức hạ bậc và sin
2
C = 1 - cos
2
C. Thực hiện các
phép biến đổi ta đợc:
1

4
0 (*)
Đến đây ta có thể đặt câu hỏi cho học sinh:
Vế trái của bất đẳng thức (*) gợi cho em liên tởng đến cái gì? Một cái gì
đó liên quan khi giải bất phơng trình thờng dùng?
- Ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng:
Vế trái của (*) là tam thức bậc hai đối với cosC.
Sau đó giáo viên dẫn dắt học sinh phát hiện ra tam thức bậc hai này có
biệt thức chính là - sin
2
(A - B). Lúc này học sinh có thể kết luận vế trái của
(*) luôn không dơng, và đợc điều cần chứng minh.
1.1.4. Vai trò của liên tởng trong dạy học Toán
Dạy học toán bao gồm dạy học khái niệm, định lý, mệnh đề, giải bài tập
toán Năng lực liên tởng ở mỗi ngời một khác, khi đứng trớc một vấn đề cụ
thể (bài toán, định lý, mệnh đề, khái niệm). Có ngời liên tởng đợc nhiều
định lý, mệnh đề, bài toán phụ, để hy vọng sẽ giúp cho việc giải quyết vấn đề
khá đơn giản. Nhng có ngời không liên tởng đợc hay chỉ liên tởng đợc ít định
lý, mệnh đề, bài toán phụ thì vấn đề ấy sẽ bị bế tắc ngay.
Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:
6
2
2
2
2
1
2
1
2
1

Vế phải của các phơng trình trong hệ trên gợi cho em liên tởng đến công
thức lợng giác nào mà ta đã học ?
Ta mong đợi học sinh sẽ trả lời đợc công thức:

2
2tan
tan2 =
1-tan



Việc liên tởng đến công thức trên quả là không dễ gì? Bớc tiếp theo để
giải bài toán này cũng rất quan trọng, cần chuyển bài toán đại số sang lợng
giác. Nh vậy lựa chọn cách đặt cho ẩn X, Y, Z là bớc quan trọng.
Từ công thức:
2
2tan
tan2 =
1-tan



và hệ đã cho.
Đặt X= tan suy ra Y= tan2, Z = tan4,
Thay vào hệ ta sẽ đợc phơng trình: X = tan8
Đến đây học sinh có thể tìm đợc số nghiệm của hệ phơng trình là 7
nghiệm.
1.2. Huy động kiến thức
1.2.1. Khái niệm huy động kiến thức
Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, lẽ đơng nhiên không cần

k-1
k k
C +C =C
n n
n+1
(0 k n) (3)
n-k
k
C =C
n n
(0 k n) (4)
n!
k
A =
n
(n-k)!
(5)
k k
A = k!C
n n
(6)
Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, ta nên sử dụng công thức (3) để
giải bớc đầu, bất phơng trình tơng đơng:
5
n 2
C > A
n
n+3
2
Sử dụng tiếp (2) và (5) đợc:

hoặc B = C
hoặc A = C
Do biểu thức đã cho trong giả thiết có tính đối xứng đối với sinA và sinB
(điều đó không xảy ra đối với sinA và sinC hoặc sinB và sinC). Từ đó, ta sẽ
chứng minh A = B hay A- B = 0.
Để chứng minh A - B = 0, ta đã biết các cách sau:
Chứng minh sin(A - B) = 0 (8)
Hoặc chứng minh cos(A - B) = 0 (9)
Ta chọn cách nào trong hai cách đó?
Từ biểu thức sinA.sinB trong giả thiết, ta thu đợc cos(A - B).
Vì sinA.sinB =
1
2
[cos(A - B) - cos(A + B)]. Toàn bộ giả thiết
không thể biến đổi để làm xuất hiện sin(A - B) đợc. Từ đó ta có đợc
cách giải bài toán.
Để làm xuất hiện liên tởng, có khi ta phải biến đổi bài toán. Nói cách
khác, nếu giữ nguyên cách phát biểu của bài toán thì không làm xuất hiện liên
tởng, nhng biến đổi chút ít thì lập tức xuất hiện một liên tởng có lợi cho việc
giải nó.
9
Chẳng hạn, xét bài toán: Chứng minh rằng nếu
0
2
a b


thì:
2 2
tan tan

b a


=

2
tan tan
1
cos
b a
b a
c

=

. vì
0
2
a c b


nên
0 cos cos cosb c a

2 2 2
1 1 1
cos cos cosa c b

Từ đó rút ra điều phải chứng minh.
Nh vậy, năng lực huy động và liên tởng kiến thức là rất quan trọng trong

chỗ giữa 2 loại kiến thức trên có thiết lập đợc mối quan hệ qua lại hay không?
Những mối quan hệ qua lại này đợc thực hiện thông qua những hành động trí
tuệ với những kiến thức thu nhận trực tiếp những điều kiện của bài toán. Căn
cứ vào lý thuyết những hành động trí tuệ mà xem xét, những liên hội kiến thức
trực tiếp cũng đợc thực hiện bằng hành động trí tuệ.
Những hành động trí tuệ này đợc rút gọn, trở nên tự động hoá, nên ngời
giải toán dờng nh không ý thức đợc chúng.
Mỗi đại lợng toán học đợc phản ánh trong một khái niệm có rất nhiều
mặt, nhiều vẻ, nhều khía cạnh, tạo lập những liên hội kiến thức khác nhau.
Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, không cần huy động mọi kiến
thức mà ngời giải đã thu thập đợc, không cần xét đến liên hội kiến thức có thể
có, không cần thiết lập mọi mối liên hệ qua lại có thể có giữa 2 loại kiến thức,
cần huy động kiến thức nào, cần xem xét những mối liên hội kiến thức nào,
cần thiết lập những mối liên hệ qua lại nào giữa 2 loại kiến thức tất cả phụ
thuộc vào những hành động trí tuệ của ngời giải đã hớng tới với những mặt
nào, những khía cạnh nào của điều kiện của bài toán và phụ thuộc vào cơ chế
chung, của các hành động trí tuệ ấy.
Sự phát triển của các năng lực t duy đòi hỏi sự phát triển cả mặt nội dung
(các kiến thức) lẫn hành động của t duy (các hành động trí tuệ). Khái niệm
11
dạy toán ở trờng phổ thông cho thấy nhiều học sinh có thói quen xấu là chỉ
nghe giảng qua loa ở lớp rồi lao vào làm bài tập toán ngay, vì kiến thức cha
nắm vững, cha có đầy đủ kiến thức đã thu thập từ trớc nên không giải đợc
toán. Có nhiều học sinh chỉ học thuộc lòng kiến thức toán trong sách, ít chịu
giải bài tập, có hành động trí tuệ, ít đợc rèn dũa nên cũng không giải đợc các
bài toán đòi hỏi phải động não chút ít.
Theo Pôlya thành phần căn bản của quá trình giải bất cứ bài toán nào là ý
muốn, khát vọng, quyết tâm giải bài toán đó. Bài toán mà anh có ý định giải,
mặc dầu đã hiểu nó, vẫn cha phải là hoàn toàn là bài toán của anh. Bài toán
chỉ thực sự trở thành bài toán của anh, thực tế chiếm lĩnh anh, khi anh đã có

kiến thức.
Động viên kiến thức là lấy ra, tách ra từ trí nhớ những yếu tố có liên quan
đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu tố ấy lại với nhau.
Thao tác phân tích - tổng hợp là cơ sở của hành động tổ chức động viên
nhận biết và nhớ lại hành động trí tuệ động viên kiến thức thờng đợc bắt đầu
bằng thao tác nhận biết một yếu tố nào đó chứa đựng trong bài toán. Tiếp tục
bằng thao tác nhớ lại những kiến thức đã quen thuộc và có liên quan với yếu
tố vừa đợc nhận biết.
Hành động trí tuệ tổ chức gồm các thao tác bổ sung và nhóm lại.
Khi nghi cứu một đối tợng phức tạp có thể tách biệt một chi tiết, một bộ
phận cụ thể khỏi cái toàn thể. Sau đó lại kết hợp liên kết những chi tiết, những
bộ phận đã đợc xem xét lại với nhau trong một cái toàn thể, đợc phản ánh đầy
đủ hơn trớc. Hành động tách biệt dẫn đến hành động kết hợp, hành động kết
hợp lại dẫn đến hành động tách biệt mới, tách biệt những chi tiết mới, những
bộ phận mới, đó là tiến trình suy nghĩ làm cho ngời giải hiểu bài toán và giải
đợc bài toán.
Hành động trí tuệ dự đoán đợc đặt ở trung tâm hình vuông, các cặp hành
động trí tuệ đối lập nhng thống nhất: động viên tổ chức, cách biệt đối lập đợc
đặt ở những đỉnh đối nhau của hình vuông, các thao trí tuệ đợc đặt trên các
cạnh của hình vuông, và khi đọc từ trái sang phải chúng ta tóm tắt quá trình trí
tuệ nh sau: từ những chi tiết đợc động viên đi đến một cái toàn thể có tổ chức,
một chi tiết vừa mới đợc phân biệt đợc tách biệt ra, đợc tập trung nghiên cứu,
có thể dẫn tới đợc thay đổi quan niệm của ngời về bài toán. Cũng nh vậy một
13
Tách biệt
Tách biệt
Tổ chức Động viên
Kết hợp
Nhóm lại
Bổ sungNhớ lại


=

+

Việc giải bài toán này đối với mỗi đối tợng học sinh một khác vì sức liên
tởng và huy động kiến thức khác nhau.
Đối với học sinh dới trung bình thì việc giải bài toán này là khó, vì khối
kiến thức ít và sức liên tởng có hạn.
Đối với học sinh trung bình, có thể liên tởng đến phơng pháp đổi biến số,
nhng việc giải đúng bài toán này theo phơng pháp đổi biến số không phải là
đơn giản vì còn liên quan đến nhiều kiến thức khác trong quá trình giải.
Ta có:
/
2
cos
2
1 sin
2
x x
I dx
x


=

+

0 /2
cos cos

Đặt x = - t dx = - dt
Đổi cận đợc I
1
=
0
2
1 sin
2
t cost
dt
t


+
=
/2 /2
cos cos
2
1 sin
1 sin
0 0
t t x x
dt dx
t
x

=

+
Thay I

2 2
n
C
+ + 2007
n-1 1-n
n +
C
+ 2007
n

= 2008
n
, với n N
*
Đây là một bài toán tổ hợp không phải là khó đối với mọi học sinh. Khi
gặp bài toán này học sinh phải có sự liên tởng đến việc sử dụng công thức khai
triển Newton và phải huy động các công thức đã học về tổ hợp. Nhng việc lựa
chọn đúng công tức và sử dụng khai triển nhị thức Newton nh thế nào để
chứng minh đợc bài toán là một vấn đề không phải học sinh nào cũng thực
hiện đợc. Nếu lựa chọn và liên tởng đợc:
Xét khai triển Newton x, n N
*
:
(1 + x)
n
=
0 2
1
4 2
.1

Trong giải toán Tổ hợp nhận thấy rằng nếu liên tởng đợc sử dụng công
thức khái triển Newton, và lựa chọn đúng công thức thì việc giải quyết bài
toán không còn khó khăn nữa. Đây là những bài toán trong kỳ thi tốt nghiệp
phổ thông trung học và kỳ thi đại học thờng gặp.
Mỗi ngời (học sinh) có sức liên tởng và huy động kiến thức khác nhau
nên khi giải bài toán gặp những khó khăn ở mức độ khác nhau.
Hiện nay tình trang học sinh nhìn nhận về bài toán tổ hợp còn ít sự liên
hệ giữa các kiến thức với nhau và liên tởng các kiến thức vận dụng giải bài
toán.
Khi dạy công thức nhị thức Newton giáo viên cần khắc sâu kiến thức,
thông qua các bài tập củng cố. Để từ đó học sinh ghi lại trong trí nhớ để rồi
khi gặp các bài toán tơng tự đa ra mà vận dụng.
Có thể tham khảo một số bài toán sau:
1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a.
0 1 2
2

6 6 6 7
n
n n
n n n n
+ + + + =
C C C C
b. 3
17

0 1 17
16 17
17

5
trong khai triển nhị thức Newton của (1 + x)
n
, n N
*
,
biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển trên bằng 1024.
5. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của
8
2
1 (1 )x x

+

1.5. Liên hệ với Phép duy vật biện chứng
Để góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh,
trong quá trình giảng dạy Toán cần chú ý lồng ghép, cài đặt một cách hợp lý
nhằm truyền thụ cho học sinh những kiến thức (thuộc về Phép biện chứng duy
vật). Nói nh vậy không có nghĩa là chúng ta dạy Triết học trong môn Toán, mà
quan trọng ở chỗ tình huống nào, thời điểm nào trong quá trình dạy Toán cho
học sinh, ngời thầy sẽ chốt lại về một cái gì đó để làm cho học sinh sáng tỏ
16
hơn nữa về Phép biện chứng duy vật, và khi nắm đợc những kiến thức về Phép
biện chứng duy vật thì học sinh có thêm những cơ sở để giải quyết các vấn đề
Toán học.
Quan điểm duy vật biện chứng không chỉ khẳng định bản chất vật chất,
tình thống nhất vật chất thế giới mà còn khẳng định các sự vật, hiện tợng trong
thế giới đó luôn luôn tồn tại trong sự liên hệ, trong sự vận động và phát triển

- 2ax
2
+ a
2
- x - a = 0
(*)
Với sự liên tởng và huy động kiến thức khác nhau của học sinh nên sẽ có
các lời giải khác nhau.
Cách 1: Phơng trình (*) là phơng trình bậc 4 ẩn x và tham số a nên sẽ
giải và biện luận (*) theo a.
(*) (x
2
- a)
2
- x - a = 0
(x
2
- a)
2
- x
2
+ x
2
- x - a = 0
(x
2
- a - x) (x
2
- a + x) + (x
2

Ta để ý thấy:

4 2 2
1 1 1
cos (cos )
16 2 4
x cos x x+ =

4 2 2
9 3 3
cos (cos )
16 2 4
x cos x x+ =
Nh vậy, tính chất vô tỷ trong bài toán đó chỉ còn là cái áo ngụy trang mà
thôi, bởi vì do
2
A A=
, phơng trình đã cho có dạng:

2 2
1 3 1
4 4 2
cos x cos x + =
(*)
18
Ta lại nói tiếp về phơng trình (*) là phơng trình lợng giác có dấu giá trị
tuyệt đối, các biểu thức dới dấu giá trị tuyệt đối và nhận thấy cả hai đều có
chứa cos
2
x. Do đó, ta có thể bổ sung ẩn phụ: u = cosx với

MA + MB =
1
2
.
Bằng cách nhìn mới, bài toán đợc phát biểu lại là: Xác định vị trí của
điểm M trên trục số sao cho tổng khoảng cách đến A và B bằng
1
2
. Đến đây,
việc giải bài toán chỉ còn các bớc có tính chất kỹ thuật mà thôi.
Có thể có nhiều cách giải nữa. Việc tìm ra mỗi cách giải phụ thuộc chính
sự liên tởng, huy động kiến thức hoặc là việc nhìn bài toán ấy dới những góc
độ khác nhau. Đó cũng chính là biểu hiện khả năng t duy biện chứng.
Số liệu trong bài toán không thể là hoàn toàn ngẫu nhiên. Một cách tổng
quát thì ta đã gặp một số bài toán nếu sửa đi một con số thì không tài nào giải
đợc dù rằng trớc đó có lời giải đẹp. Đó là những cặp phạm trù tất nhiên - ngẫu
nhiên.
19
Kết luận chơng 1:
Trong chơng này luận văn đã đa ra các cơ sở khoa học lý luận và thực
tiễn về liên tởng và huy động kiến thức, luận văn đã trình bày đợc vai trò, ý
nghĩa của liên tởng và huy động kiến thức trong Toán học. Khẳng định vị trí
của nó trong hoạt động trí tuệ khi giải toán. Thực tiễn s phạm cho thấy việc
rèn luyện cho học sinh khả năng liên tởng và huy động kiến thức trong dạy
học Đại số và Giải tích là rất phù hợp với thực trạng hiện nay và hết sức cần
thiết.
Chơng 2
Góp phần rèn luyện cho học sinh THPT khả năng
liên tởng và huy động kiến thức trong dạy học
Đại số và Giải tích

Phơng pháp chung:
Bằng việc xét hàm số f(x) trên đoạn [a; b], ta có:
Nếu f

(x) 0, x [a; b] hàm số f(x) đồng biến trên [a; b] f(a)
f(x) f(b).
21
Nếu f

(x) 0, x [a; b] hàm số f(x) nghịch biến trên [a; b] f(a)
f(x) f(b).
Chú ý trong nhiều trờng hợp cần sử dụng thêm các bất đẳng thức quen
thuộc nh bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki.
Ví dụ 8: Chứng minh rằng x > sin x trên khoảng (0;

2
).
Giáo viên hớng dẫn gợi ý cho học sinh giải bằng cách xét khoảng đơn
điệu của hàm số f(x) = x sinx trên khoảng (0;

2
).
- Xét hàm số f(x) = x - sinx (0 x <

2
), ta có f

(x) = 1 - cosx 0 (f(x) = 0
chỉ tại x = 0) nên theo định lý tính đơn điệu của hàm số ta có f(x) đồng biến
trên nửa khoảng [0;

2
với mọi x 0
22
4. sinx > x -
3
x
6
với mọi x > 0
5. sinx < x -
3
x
6
với mọi x < 0
6. sinx + tanx > 2x với mọi x (0;

2
).
ứng dụng của đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: (Đ3. Giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, Giải tích 12).
Dạng 1: Khảo sát trực tiếp, chẳng hạn:
Ví dụ 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = x
3
- 3x + 3 trên đoạn
3
3;
2




bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
- Tính f(x
1
), f(x
2
), , f(x
m
), f(a), f(b).
- So sánh các giá trị tìm đợc số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn
nhất của f(x) trên đoạn [a; b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ
nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
23
Sau khi giới thiệu cho học sinh ví dụ và cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của hàm số theo khảo sát lập bảng biến thiên hoặc cách so sánh các
giá trị f(x) trên đoạn [a; b], giáo viên đa ra một hệ thống bài tập yêu cầu về
nhà làm để khắc sâu phơng pháp này:
Tìm giá lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. f(x) =
3
3
x
+ 2x
2
+ 3x - 4 trên đoạn [-4; 0].
2. f(x) = x +
1
x
trên khoảng (0; + ).
3. f(x) = -x
2


(t) = 2t - 2 (1 - t) = 2 (2t - 1) = 0 t =
1
2
Bảng biến thiên:
t 0
1
2
1
f

- 0 +
f
1 1
1
2
Giá trị lớn nhất của hàm số f(t) = 1, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t) bằng
1
2
.
Vậy từ bài toán này đa ra các bài tập đề nghị sau:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1. y = 2sin
2
x + 2sinx - 1
24
2. y = cos
2
2x + sinx cosx +4
3. y = sin

hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối
hộp là lớn nhất.
25
a