MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Dạy Toán là dạy hoạt động toán học, cho nên một trong những yêu cầu
của dạy Toán là phải khơi dậy được khả năng suy nghĩ và khám phá đối với
người học. Trước khi học một kiến thức nào đó thì học sinh cũng đã có một
vốn kiến thức nhất định rồi, làm sao có thể vận dụng tốt những cái đã biết
nhằm giải quyết những cái mới - đó chính là một trong những nhiệm vụ của
việc học.
Môn Toán có độ liên kết lôgíc giữa các chủ đề kiến thức, muốn học Toán
có chất lượng thì người học phải biết liên hệ, phải biết tích luỹ những kiến
thức để rồi khi cần thì đem ra mà sử dụng.
Liên tưởng và huy động kiến thức là những năng lực rất quan trọng, cần
phải rèn luyện cho học sinh. Nếu có năng lực liên tưởng tốt thì nhiều khi đứng
trước một bài toán rất khó, nhưng ta vẫn nghĩ tới được một kiến thức nào đó
liên quan, có vai trò quyết định trong việc tìm ra lời giải. Ngược lại, nếu ta
liên tưởng kém thì gặp một vấn đề nào đó ta chẳng biết đặt nó trong mối liên
hệ với các kiến thức đã biết, thành ra ta nhìn các vấn đề một cách cục bộ và
rời rạc. Trong khi đó, Toán học là một hệ thống các kiến thức có liên hệ khá
mật thiết với nhau.
Chưa có công trình nào nghiên cứu sâu việc rèn luyện cho học sinh khả
năng liên tưởng và huy động kiến thức, vì lý do đó chúng tôi chọn đề tài
“Góp phần rèn luyện cho học sinh THPT khả năng liên tưởng và huy động
kiến thức trong dạy học Đại số và Giải tích”.
2. Mục đích nghiên cứu
1
Mục đích của luận văn là nghiên cứu vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn về
liên tưởng và huy động kiến thức, từ đó tìm ra những giải pháp để rèn luyện
cho học sinh THPT những năng lực này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp những vấn sau đây:
- Liên tưởng và huy động kiến thức là gì?

Theo Từ điển tiếng Việt thì liên tưởng có nghĩa là: “Nhân sự vật, hiện
tượng nào đó mà nghĩ đến sự vật, hiện tượng khác có liên quan”.
1.1.2. Vai trò của liên tưởng dưới góc độ tâm lý học
Trong tâm lý học, trường phái tiếp cận liên tưởng vấn đề tư
duy(Đ.Ghatli, D.S.Milơ, H.Spenxơ, …) cho rằng: tư duy là quá trình thay đổi
tự do tập hợp các hình ảnh, là sự liên tưởng các biểu tượng.
Theo các nhà liên tưởng, có 4 loại liên tưởng:
Liên tưởng giống nhau, liên tưởng tương phản, liên tưởng gần nhau về
không gian và thời gian, liên tưởng nhân quả.
Liên tưởng nhân quả có vai trò đặc biệt quan trọng trong các quá trình trí
tuệ. Sự phát triển trí tuệ là quá trình tích luỹ các mối liên tưởng. Sự khác biệt
về trình độ trí tuệ được quy về sự khác nhau, về số lượng các mối liên tưởng,
về tốc độ hoá các liên tưởng đó.
Tác giả Bùi Văn Huệ chia liên tưởng thành 4 loại: liên tưởng gần nhau về
không gian và thời gian, liên tưởng giống nhau về hình thức hoặc nội dung,
liên tưởng trái ngược nhau, liên tưởng nhân quả.
3
Theo tác giả, liên tưởng có vai trò rất quan trọng khi ghi nhớ và nhớ lại.
Nhà tâm lý học P.A.Sêvarev đã nghiên cứu tỉ mỉ những mối liên tưởng khái
quát độc đáo và vai trò của chúng trong dạy học. Ông chỉ ra rằng: những mối
liên tưởng khái quát bao gồm 3 kiểu cơ bản, những liên tưởngđược biến đổi 1
nửa, những liên tưởng trừu tượng - biến thiên, những liên tưởng cụ thể - biến
thiên.
L.B.Itenxơn cho rằng: Tư duy tốt tức là tư duy đúng đắn và có hiệu quả,
biết thực hiên được những liên tưởng khái quát, những liên tưởng phù hợp với
bài toán cần giải. Vì vậy, để việc dạy tư duy có hiệu quả, không chỉ đòi hỏi
phải tìm hiểu những thuộc tính hay những quan hệ chung xác định của các đối
tượng, mà còn phải biết thuộc tính này là bản chất đối với những bài toán
nào".
K.K.Plantônôv xem tư duy như là một quá trình gồm nhiều giai đoạn kế

trình (có thể rất xa nhau), thì bài toán thường là rất khó.
Có người đã ví, quá trình giải một bài toán giống như quá trình xây một
ngôi nhà. Đầu tiên, phải thu thập những vật liệu cần thiết, sau đó phải kết cấu
những vật liệu rời rạc thành một cái toàn thể theo một mẫu thiết kế đã được
hình dung trước.
Thực ra, thường trước khi xây nhà ta đã hình dung được cần đến những
vật liệu nào, có chăng, nếu thiếu vật liệu gì thì sau đó cũng có thể dễ dàng bổ
sung cho đủ.
Trước khi giải bài toán, thường là chưa khẳng định được chắc chắn mình
sẽ dùng những kiến thức (định nghĩa, định lý, mệnh đề, quy tắc, công thức, )
nào, trừ khi đó là bài toán đã có thuật giải hoặc bài toán khá dễ. Sau khi giải
5
xong bài toán, người giải tự hỏi mình: thế mà ngay từ đầu tại sao mình lại
không nghĩ đến định lý này nhỉ? (mặc dầu trước đó họ phải mò mẫm, suy
nghĩ rất lâu mới biết cách sử dụng định lý này).
Ví dụ 1: Xét bài toán, Chứng minh rằng: với
ABC∀∆
ta luôn có

2 2 2
9
4
sin sin sinA B C
+ + ≤
Nếu bài toán yêu cầu học sinh giải khi chưa học về các công thức lượng
giác (công thức hạ bậc) nhưng đã học về định lý hàm số sin thì việc đưa ra bài
toán này vẫn hợp lý. Giáo viên dẫn dắt để học sinh liên tưởng đến việc áp
dụng định lý hàm số sin cho vế trái của bất đẳng thức, có thể nêu câu hỏi:
sinA, sinB, sinC gợi cho em liên tưởng đến một cái gì đó rất quen thuộc ở
phần giải tam giác thường sử dụng?

uuur uuur uuuruuur uuuruuur
6
Áp dụng tích vô hướng và định lý hàm số côsin ta có:

2 2 2 2 2
9 ( ) 0OH R a b c= − + + ≥
luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.
Như vậy trong bài toán này nếu học sinh liên tưởng được việc sử dụng
hàm số sin, tiếp theo đó liên tưởng đến công thức tích vô hướng và định lý hàm
số côsin bằng phương pháp hình học sẽ giải quyết được một cách dễ dàng.
Cũng đối với bài toán này, yêu cầu học sinh chứng minh khi đã học các
công thức lượng giác, thì việc giải quyết bài toán có thể đơn giản nếu học sinh
liên tưởng đến hạ bậc, rồi liên tưởng dùng tam thức bậc hai hoặc đánh giá.
Chẳng hạn (1) được biến đổi thành
1
2
(1 - cos 2A) =
1
2
(1 - cos 2B) + (1
- cos
2
C) ≤
9
4
nhờ sử dụng công thức hạ bậc và sin
2
C = 1 - cos
2

2
C + cos (A - B). cosC -
1
4
≤ 0 (*)
Đến đây ta có thể đặt câu hỏi cho học sinh:
Vế trái của bất đẳng thức (*) gợi cho em liên tưởng đến cái gì? Một cái
gì đó liên quan khi giải bất phương trình thường dùng?
- Ta mong đợi học sinh sẽ trả lời rằng:
Vế trái của (*) là tam thức bậc hai đối với cosC.
7
Sau đó giáo viên dẫn dắt học sinh phát hiện ra tam thức bậc hai này có
biệt thức ∆ chính là - sin
2
(A - B). Lúc này học sinh có thể kết luận vế trái của
(*) luôn không dương, và được điều cần chứng minh.
1.1.4. Vai trò của liên tưởng trong dạy học Toán
Dạy học toán bao gồm dạy học khái niệm, định lý, mệnh đề, giải bài tập
toán… Năng lực liên tưởng ở mỗi người một khác, khi đứng trước một vấn đề
cụ thể (bài toán, định lý, mệnh đề, khái niệm…). Có người liên tưởng được
nhiều định lý, mệnh đề, bài toán phụ, để hy vọng sẽ giúp cho việc giải quyết
vấn đề khá đơn giản. Nhưng có người không liên tưởng được hay chỉ liên
tưởng được ít định lý, mệnh đề, bài toán phụ thì vấn đề ấy sẽ bị bế tắc ngay.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
1
2

phải của các phương trình trong hệ có liên quan đến một công thức mà ta
gặp ở trong lượng giác. Vậy nên cần có sự thuyết trình, vấn đáp của giáo viên
bằng những câu hỏi, chẳng hạn:
Vế phải của các phương trình trong hệ trên gợi cho em liên tưởng đến
công thức lượng giác nào mà ta đã học ?
Ta mong đợi học sinh sẽ trả lời được công thức:
8

2
2tan
tan2 =
1-tan
α
α
α
Việc liên tưởng đến công thức trên quả là không dễ gì? Bước tiếp theo để
giải bài toán này cũng rất quan trọng, cần chuyển bài toán đại số sang lượng
giác. Như vậy lựa chọn cách đặt cho ẩn X, Y, Z là bước quan trọng.
Từ công thức:
2
2tan
tan2 =
1-tan
α
α
α
và hệ đã cho.
Đặt X= tanα suy ra Y= tan2α, Z = tan4α,
Thay vào hệ ta sẽ được phương trình: X = tan8α
Đến đây học sinh có thể tìm được số nghiệm của hệ phương trình là 7

C = ,
n
k!(n- k)!
(n ≥ k) (2)
k-1
k k
C +C =C
n n
n+1
(0 ≤ k ≤ n) (3)
n-k
k
C =C
n n
(0 ≤ k ≤ n) (4)
n!
k
A =
n
(n- k)!
(5)
k k
A = k!C
n n
(6)
Để chọn lọc những kiến thức thích hợp, ta nên sử dụng công thức (3) để
giải bước đầu, bất phương trình tương đương:
5
n 2
C > A

Ở đây, giả thiết bài toán cho ta một hệ thức giữa các góc thông qua các
hàm số lượng giác giữa chúng. Do vậy, để chứng minh tam giác ABC cân,
trong bài toán này ta sẽ chứng minh hai góc bằng nhau:
A = B
hoặc B = C
hoặc A = C
Do biểu thức đã cho trong giả thiết có tính đối xứng đối với sinA và sinB
(điều đó không xảy ra đối với sinA và sinC hoặc sinB và sinC). Từ đó, ta sẽ
chứng minh A = B hay A- B = 0.
Để chứng minh A - B = 0, ta đã biết các cách sau:
Chứng minh sin(A - B) = 0
(8)
Hoặc chứng minh cos(A - B) = 0 (9)
Ta chọn cách nào trong hai cách đó?
Từ biểu thức sinA.sinB trong giả thiết, ta thu được cos(A - B).
Vì sinA.sinB =
1
2
[cos(A - B) - cos(A + B)]. Toàn bộ giả thiết
không thể biến đổi để làm xuất hiện sin(A - B) được. Từ đó ta có được
cách giải bài toán.
Để làm xuất hiện liên tưởng, có khi ta phải biến đổi bài toán. Nói cách
khác, nếu giữ nguyên cách phát biểu của bài toán thì không làm xuất hiện liên
tưởng, nhưng biến đổi chút ít thì lập tức xuất hiện một liên tưởng có lợi cho
việc giải nó.
11
Chẳng hạn, xét bài toán: Chứng minh rằng nếu
0
2
a b

( )
( )
( )
f b f a
f c
b a
−
′
=
−
2
tan tan
1
cos
b a
b a
c
−
⇔ =
−
. vì
0
2
a c b
π
〈 〈 〈 〈
nên
0 cos cos cosb c a〈 〈 〈

2 2 2

không có chúng thì quá trình tư duy không nảy sinh được, đó là các kiến thức
về định nghĩa, định lí, định luật toán học mà người giải toán đã thu thập được
từ trước. Những kiến thức này cần thiết lập mối quan hệ logíc giữa điều kiện
và kết luận của bài toán.
Quá trình tư duy trong giải toán có tiến triển được hay không là tuỳ thuộc
ở chỗ giữa 2 loại kiến thức trên có thiết lập được mối quan hệ qua lại hay
không? Những mối quan hệ qua lại này được thực hiện thông qua những hành
động trí tuệ với những kiến thức thu nhận trực tiếp những điều kiện của bài
toán. Căn cứ vào lý thuyết những hành động trí tuệ mà xem xét, những liên
hội kiến thức trực tiếp cũng được thực hiện bằng hành động trí tuệ.
13
Những hành động trí tuệ này được rút gọn, trở nên tự động hoá, nên
người giải toán dường như không ý thức được chúng.
Mỗi đại lượng toán học được phản ánh trong một khái niệm có rất nhiều
mặt, nhiều vẻ, nhều khía cạnh, tạo lập những liên hội kiến thức khác nhau.
Trong quá trình giải một bài toán cụ thể nào đó, không cần huy động mọi kiến
thức mà người giải đã thu thập được, không cần xét đến liên hội kiến thức có
thể có, không cần thiết lập mọi mối liên hệ qua lại có thể có giữa 2 loại kiến
thức, cần huy động kiến thức nào, cần xem xét những mối liên hội kiến thức
nào, cần thiết lập những mối liên hệ qua lại nào giữa 2 loại kiến thức tất cả
phụ thuộc vào những hành động trí tuệ của người giải đã hướng tới với những
mặt nào, những khía cạnh nào của điều kiện của bài toán và phụ thuộc vào cơ
chế chung, của các hành động trí tuệ ấy.
Sự phát triển của các năng lực tư duy đòi hỏi sự phát triển cả mặt nội
dung (các kiến thức) lẫn hành động của tư duy (các hành động trí tuệ). Khái
niệm dạy toán ở trường phổ thông cho thấy nhiều học sinh có thói quen xấu là
chỉ nghe giảng qua loa ở lớp rồi lao vào làm bài tập toán ngay, vì kiến thức
chưa nắm vững, chưa có đầy đủ kiến thức đã thu thập từ trước nên không giải
được toán. Có nhiều học sinh chỉ học thuộc lòng kiến thức toán trong sách, ít
chịu giải bài tập, có hành động trí tuệ, ít được rèn dũa nên cũng không giải

còn phần nào không đúng, mặc dầu thật ra không phải lúc nào cũng quá sai
lầm. Trên cơ sở dự đoán ta có được cái toàn thể ban đầu.
Sơ đồ hoạt động trí tuệ trong giải toán của G.Pôlya:

15
Tách biệt
Tách biệt
Tổ chức Động viên
Kết hợp
Nhóm lại
Bổ sungNhớ lạiNhận biếtDự đoán
Trong tư duy đã diễn ra 2 hành động trí tuệ, động viên kiến thức và tổ
chức kiến thức.
Động viên kiến thức là lấy ra, tách ra từ trí nhớ những yếu tố có liên
quan đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu tố ấy lại với
nhau.
Thao tác phân tích - tổng hợp là cơ sở của hành động tổ chức động viên
nhận biết và nhớ lại hành động trí tuệ động viên kiến thức thường được bắt
đầu bằng thao tác nhận biết một yếu tố nào đó chứa đựng trong bài toán. Tiếp
tục bằng thao tác nhớ lại những kiến thức đã quen thuộc và có liên quan với
yếu tố vừa được nhận biết.
Hành động trí tuệ tổ chức gồm các thao tác bổ sung và nhóm lại.
Khi nghi cứu một đối tượng phức tạp có thể tách biệt một chi tiết, một bộ
phận cụ thể khỏi cái toàn thể. Sau đó lại kết hợp liên kết những chi tiết, những

cos
2
1 sin
2
x x
I dx
x
π
π
=
∫
+
−
Việc giải bài toán này đối với mỗi đối tượng học sinh một khác vì sức
liên tưởng và huy động kiến thức khác nhau.
Đối với học sinh dưới trung bình thì việc giải bài toán này là khó, vì khối
kiến thức ít và sức liên tưởng có hạn.
Đối với học sinh trung bình, có thể liên tưởng đến phương pháp đổi biến
số, nhưng việc giải đúng bài toán này theo phương pháp đổi biến số không phải
là đơn giản vì còn liên quan đến nhiều kiến thức khác trong quá trình giải.
17
Ta có:
/
2
cos
2
1 sin
2
x x
I dx

x x
dx
x
π
∫
+
−
Áp dụng phương pháp đổi biến số bằng cách
Đặt x = - t ⇒ dx = - dt
Đổi cận được I
1
=
0
2
1 sin
2
t cost
dt
t
π
∫
+
=
/2 /2
cos cos
2
1 sin
1 sin
0 0
t t x x

Vậy hàm số f(x) là hàm số lẻ.
Kết luận tích phân I = 0
Ví dụ 6:
Chứng minh rằng: 1 + 2007
1
n
C
+ 2007
2 2
n
C
+ + 2007
n-1 1- n
n +
C
+ 2007
n

= 2008
n
, với n ∈ N
*
18
Đây là một bài toán tổ hợp không phải là khó đối với mọi học sinh. Khi
gặp bài toán này học sinh phải có sự liên tưởng đến việc sử dụng công thức
khai triển Newton và phải huy động các công thức đã học về tổ hợp. Nhưng
việc lựa chọn đúng công tức và sử dụng khai triển nhị thức Newton như thế
nào để chứng minh được bài toán là một vấn đề không phải học sinh nào cũng
thực hiện được. Nếu lựa chọn và liên tưởng được:
Xét khai triển Newton ∀x, ∀n ∈ N

2007 2007 2007
n
n n
n n n
−
−
+ + + +
C C C
Trong giải toán Tổ hợp nhận thấy rằng nếu liên tưởng được sử dụng công
thức khái triển Newton, và lựa chọn đúng công thức thì việc giải quyết bài
toán không còn khó khăn nữa. Đây là những bài toán trong kỳ thi tốt nghiệp
phổ thông trung học và kỳ thi đại học thường gặp.
Mỗi người (học sinh) có sức liên tưởng và huy động kiến thức khác nhau
nên khi giải bài toán gặp những khó khăn ở mức độ khác nhau.
Hiện nay tình trang học sinh nhìn nhận về bài toán tổ hợp còn ít sự liên
hệ giữa các kiến thức với nhau và liên tưởng các kiến thức vận dụng giải bài
toán.
Khi dạy công thức nhị thức Newton giáo viên cần khắc sâu kiến thức,
thông qua các bài tập củng cố. Để từ đó học sinh ghi lại trong trí nhớ để rồi
khi gặp các bài toán tương tự đưa ra mà vận dụng.
Có thể tham khảo một số bài toán sau:
1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a.
0 1 2
2

6 6 6 7
n
n n
n n n n

0 2 4

2
+ + + + + = + + + + + =
2p-2 2p 1 3 5 2p-3 2p-1
2p-1
2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p 2p
C C C C C C C C C C
4. Tìm hệ số của x
5
trong khai triển nhị thức Newton của (1 + x)
n
, n ∈ N
*
,
biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển trên bằng 1024.
5. Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của
8
2
1 (1 )x x
 
+
 
1.5. Liên hệ với Phép duy vật biện chứng
Để góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng cho học sinh,
trong quá trình giảng dạy Toán cần chú ý lồng ghép, cài đặt một cách hợp lý
nhằm truyền thụ cho học sinh những kiến thức (thuộc về Phép biện chứng duy
vật). Nói như vậy không có nghĩa là chúng ta dạy Triết học trong môn Toán,

Đó chính là quy luật về tính toàn diện của tư duy biện chứng.
Trong Toán học có vô vàn những ví dụ làm sáng tỏ điều vừa nêu trên.
Thật vậy, ta thường xuyên phải nhìn những đối tượng Toán học dưới nhiều
đối tượng khác nhau, phải nhìn trong mỗi liên hệ qua lại giữa các bộ phận,
yếu tố, và nhìn trong mối liên hệ với các đối tượng khác.
Ví dụ: Ta cần làm cho học sinh nhìn mỗi đối tượng Toán học dưới nhìn
góc độ và trong nhiều mối quan hệ khác nhau. Chẳng hạn:
Giải và biện luận phương trình: x
4
- 2ax
2
+ a
2
- x - a = 0
(*)
21
Với sự liên tưởng và huy động kiến thức khác nhau của học sinh nên sẽ
có các lời giải khác nhau.
Cách 1: Phương trình (*) là phương trình bậc 4 ẩn x và tham số a nên sẽ
giải và biện luận (*) theo a.
(*) ⇔ (x
2
- a)
2
- x - a = 0
⇔ (x
2
- a)
2
- x

Ví dụ 7: Giải phương trình:

4 2 4 2
1 1 9 3 1
cos cos
16 2 16 2 2
x cos x x cos x+ − + + − =
Đây là một phương trình vô tỷ lượng giác, thoạt nhìn có lẽ ai cũng ái
ngại, song không vì thế mà không dám giải phương trình đó. Đập vào mắt ta
là các biểu thức dưới dấu căn, chúng có gì đặc biệt không?
Ta để ý thấy:

4 2 2
1 1 1
cos (cos )
16 2 4
x cos x x+ − = −

4 2 2
9 3 3
cos (cos )
16 2 4
x cos x x+ − = −
Như vậy, tính chất vô tỷ trong bài toán đó chỉ còn là cái áo ngụy trang
mà thôi, bởi vì do
2
A A=
, phương trình đã cho có dạng:
22


,
3
4
u −
là độ dài đoạn thẳng nối điểm M và
B, B có hoành độ
3
4
. Liên hợp các chi tiết này, phương trình (**) cho ta dưới
dạng mới:
MA + MB =
1
2
.
Bằng cách nhìn mới, bài toán được phát biểu lại là: Xác định vị trí của
điểm M trên trục số sao cho tổng khoảng cách đến A và B bằng
1
2
. Đến đây,
việc giải bài toán chỉ còn các bước có tính chất kỹ thuật mà thôi.
23
Có thể có nhiều cách giải nữa. Việc tìm ra mỗi cách giải phụ thuộc chính
sự liên tưởng, huy động kiến thức hoặc là việc nhìn bài toán ấy dưới những
góc độ khác nhau. Đó cũng chính là biểu hiện khả năng tư duy biện chứng.
Số liệu trong bài toán không thể là hoàn toàn ngẫu nhiên. Một cách tổng
quát thì ta đã gặp một số bài toán nếu sửa đi một con số thì không tài nào giải
được dù rằng trước đó có lời giải đẹp. Đó là những cặp phạm trù tất nhiên -
ngẫu nhiên.
Kết luận chương 1:
Trong chương này luận văn đã đưa ra các cơ sở khoa học lý luận và thực