Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết hội nghị lần thứ 2 Ban chấp hành Trung ơng Đảng cộng sản
Việt Nam (Khoá VIII, 1997) khẳng định: phải đổi mới phơng pháp giáo dục -
Đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp t duy sáng tạo cho
ngời học .
Điều 24- Luật Giáo dục nớc Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (năm
1998) quy định: phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,
môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào
thực tiễn
Chơng trình môn Toán trờng Trung học phổ thông (năm 2002) cũng đã chỉ
rõ: " Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ,
hình thành khả năng suy luận đặc trng của Toán học cần thiết cho cuộc sống; ;
rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải các bài toán đơn
giản của thực tiễn; phát triển khả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình
huống cụ thể, khả năng tiếp nhận và biểu đạt các vấn đề một cách chính xác ".
Theo Từ điển tiếng Việt: Trí tuệ là khả năng nhận thức lí tính đạt đến một
trình độ nhất định" [68, tr. 999]. Khả năng nhận thức của mỗi con ngời đạt đến
trình độ nào, điều này phụ thuộc vào khả năng của mỗi ngời và môi trờng giáo
dục. Vì vậy, phát triển trí tuệ là một vấn đề rất khó khăn và rất quan trọng.
Trong th gửi các bạn trẻ yêu Toán ngày 10 tháng 10 năm 1967. Cố Thủ t-
ớng Phạm Văn Đồng đã viết " Trong các môn khoa học và kỹ thuật, Toán học
giữ một vai trò nổi bật. Nó có tác dụng lớn đối với nhiều ngành khoa học khác,
đối với kỹ thuật, đối với sản xuất và chiến đấu. Nó còn là môn thể thao của trí tuệ,
giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng pháp suy
luận, phơng pháp học tập, phơng pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn trí
1
thông minh sáng tạo ". Ngoài ra, khá nhiều bài toán việc giải có thành công hay
không phụ thuộc chính ở chỗ: các hoạt động trí tuệ đợc tiến hành trong quá trình
giải bài toán đó có hiệu quả hay không.

- Hớng tới dạy học sinh phát triển năng lực không chỉ đơn giản là tích luỹ tri
thức mà năng lực giải quyết vấn đề phải là then chốt;
- Làm phong phú hơn nữa hình thức tổ chức dạy học, không đơn điệu cứng
nhắc, (Tạp chí giáo dục, số 119, 2005).
Khi nói về việc rèn luyện phẩm chất trí tuệ cho học sinh. Giáo s Hoàng
Chúng viết: "Trong việc giảng dạy Toán, cần thờng xuyên rèn luyện cho học sinh
các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn đối với việc học tập, công tác và cuộc sống của
học sinh [4, tr. 27].
Đề cập về tình hình thực tế của việc rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh
ở nhà trờng, tác giả Nguyễn Hữu Lơng đa ra nhận định: "Trong chơng trình giảng
dạy ở nhà trờng lâu nay, việc dạy phơng pháp hoạt động trí óc không đợc đặt ra một
cách tờng minh, mà chỉ đợc thực hiện một cách tiềm ẩn đàng sau việc giảng dạy
kiến thức. Nhiều trờng hợp giáo viên cha ý thức đầy đủ nên cha thực hiện đợc yêu
cầu rèn phơng pháp làm việc trí óc cho học sinh" [37, tr. 52].
Cho đến nay cha có công trình nào nghiên cứu một cách đầy đủ về các hoạt
động trí tuệ trong giải Toán. Lý thuyết của P. Ia. Galpêrin về các bớc hình thành các
hoạt động trí tuệ theo giai đoạn là một trong các cơ sở để nghiên cứu của đề tài, và
lời chỉ giáo của V. I. Lênin: Không có chân lý trừu tợng, chân lý bao giờ cũng cụ
thể (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr. 2) là những tiền đề rất quan trọng để
chúng tôi đề xuất các quan điểm mang tính thực tiễn về việc rèn luyện kỹ năng tiến
hành các hoạt động trí tuệ trong giải Toán ở Chơng 2.
3
Đồng thời Luận văn sẽ có những phân tích, nhận định về vấn đề nghiên cứu
mối quan hệ giữa dạy học kiến thức Toán học với sự phát triển trí tuệ của học sinh,
vấn đề này ngày càng đợc chú trọng và ứng dụng rộng rãi trên thế giới.
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là:
Rèn luyện cho học sinh THPT kỹ năng tiến hành các hoạt động trí tuệ trong
giải Toán Đại số và Giải tích .
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của Luận văn là làm sáng tỏ những vấn đề cơ sở lý luận

tiến hành hợp lí các hoạt động trí tuệ trong giải Toán.
6.3. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán THPT.
7. Cấu trúc luận văn
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài.
2. Mục đích nghiên cứu.
3. Giả thuyết khoa học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
5. Phơng pháp nghiên cứu.
6. Đóng góp của Luận văn.
Chơng 1
Những vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn
5
1.1. Hoạt động. Hành động. Thao tác.
1.2. Các quan điểm về những hoạt động trí tuệ.
1.2.1. Quan điểm về việc phân loại các hoạt động trí tuệ.
1.2.2. Một số cách phân loại về các hoạt động trí tuệ.
1.2.2.1. Quan điểm của Nguyễn Bá Kim.
1.2.2.2. Quan điểm của Phạm Văn Hoàn và đồng tác giả.
1.2.2.3. Quan điểm của G. Pôlia.
1.2.2.4. Một số nhận định.
1.3. Kết luận Chơng 1.
Chơng 2
Rèn luyện cho học sinh THPT các
hoạt động trí tuệ trong giải toán
2.1. Xác định các hoạt động trí tuệ.
2.1.1. Hoạt động dự đoán.
2.1.2. Hoạt động nhận dạng và thể hiện.
2.1.3. Hoạt động suy luận lôgic.
2.1.4. Hoạt động phân chia khái niệm.

Quan điểm của chúng tôi trong Luận văn là không có sự phân biệt rạch ròi ba
mức độ. Trớc hết chúng tôi xin dẫn ra quan điểm của A. N. Leonchev, nhà tâm lý
học Xô viết, Tiến sĩ Tâm lý học, Giáo s, Viện sĩ viện Hàn lâm KH Liên Xô.
Hoạt động: Hoạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hoá lẫn nhau
giữa hai cực: chủ thể - khách thể. Theo nghĩa rộng, nó là đơn vị phân tử, chứ
không phải là đơn vị cộng thành của đời sống chủ thể. Đời sống của con ngời là
một hệ thống (một dòng) các hoạt động thay thế nhau.
Hoạt động theo nghĩa hẹp hơn, tức là ở cấp độ tâm lý học, là đơn vị của đời
sống, mà khâu trung gian là phản ánh tâm lý, các chức năng hớng dẫn chủ thể
trong thế giới đối tợng [41, tr. 579].
Hành động: Hành động đợc A. N. Lêônchev định nghĩa là quá trình bị chi
phối bởi biểu tợng về kết quả phải đạt đợc, nghĩa là quá trình nhằm một đối tợng
đợc ý thức cần phải chiếm lĩnh [41, tr. 592].
Thao tác: Thao tác là cơ cấu kỹ thuật của hành động, là phơng thức triển
khai của hành động [41, tr. 579].
Nh vậy qua cách định nghĩa trên, thoạt tiên ta có cảm giác nh hoạt động và
hành động là hoàn toàn rạch ròi, nhng trong thực tế có những "động tác" tởng
chừng nh là hoạt động lại là hành động, chẳng hạn: "Động tác vẽ tranh của ngời
hoạ sỹ là hoạt động hay hành động? Điều này phải căn cứ vào chức năng của đối
tợng (tranh vẽ). Nếu bức tranh đó đợc vẽ với t cách là thoả mãn nhu cầu sáng tạo
nghệ thuật thì đó là hoạt động. Lúc đó nảy sinh hàng loạt các hành động bộ phận
8
nh tìm phong cảnh mẫu, quan sát Còn nếu việc vẽ tranh nhằm mục đích trả bài
thi tốt nghiệp hoặc nhằm phục vụ cho việc quảng cáo, mua bán v.v , thì nó là
hành động, nhằm hớng tới động cơ không cùng mục đích vẽ bức tranh (điểm thi,
kiếm tiền)" [41, tr. 591].
Nh vậy trong tình huống trên, có ngời cho việc vẽ tranh là thoả mãn nhu
cầu sáng tạo nghệ thuật, để rồi khẳng định là hoạt động. Nhng có ngời lại cho
việc vẽ tranh là phục vụ cho việc quảng cáo mua bán v.v , để khẳng định là hành
động thì cũng đều đợc.

bộ phận thứ hai là cái phải tìm. Muốn giải đợc bất cứ bài toán nào học sinh cũng
phải xác định chính xác hai bộ phận đó. Hay nói cách khác học sinh cần phải làm
tờng minh sự tách bạch đó. Tuy nhiên trong bài toán cụ thể sự tách bạch không
phải lúc nào cũng dễ dàng phát hiện.
Cần tập trung t duy vào những từ quan trọng của đề toán, từ nào cha hiểu
hết ý nghĩa thì phải tìm hiểu ý nghĩa của nó.
Học sinh cần phân biệt rõ những gì thuộc về bản chất của đề toán, những
gì không thuộc về bản chất của đề toán để hớng sự chú ý của mình vào những chỗ
cần thiết. Điều này theo G. Pôlia quan niệm là "Khu vực tìm tòi" [46, tr. 308].
Tóm tắt đề toán: Bằng sơ đồ, hình vẽ hoặc ngôn ngữ, kí hiệu ngắn gọn.
Phân tích bài toán để tìm cách giải: ở đây, cần suy nghĩ xem: "Muốn trả lời
câu hỏi của bài toán thì cần phải biết những gì, cần phải làm những phép tính gì?.
Trong những điều ấy cái gì đã biết, cái gì cha biết ?. Muốn tìm cái cha biết ấy thì lại
phải biết những gì, phải làm tính gì? Cứ nh thế ta đi dần tới những điều đã cho trong
đề toán" [44, tr. 20]
Giải bài toán và thử lại kết quả
10
Dựa vào kết qủa phân tích bài toán ở bớc 3, xuất phát từ những điều đã cho
trong đề toán, ta lần lợt thực hiện các phép tính để tìm ra đáp số, cần chú ý thử lại
sau khi làm xong từng phép tính, cũng nh thử lại đáp số xem có phù hợp với đề
toán không. Cũng cần soát lại các câu trả lời cho phép tính xem đã đủ ý và gãy
gọn cha?
Khai thác bài toán (Bớc dành cho học sinh khá, giỏi)
Sau khi giải xong bài toán, cần suy nghĩ xem:
Còn có thể giải bài toán bằng các cách khác không?
Từ bài toán này có thể rút ra nhận xét gì, kinh nghiệm gì?
Từ bài toán này có thể đặt ra các bài toán khác nh thế nào? Giải chúng ra sao?
Các kỹ năng giải
Về bản chất kỹ năng là thuộc tính kỹ thuật của hành động, luôn có sự kiểm
soát của ý thức, phản ánh mức độ của phơng tiện thực hiện một hành động nào

Tiến trình giải một bài toán gồm 5 bớc cơ bản sau:
Các bớc sau đây không phải là tuyệt đối cho tất cả các bài toán, mà chỉ
mang tính chất tơng đối.
Bớc 1: Tiếp nhận Bài toán.
Tạo tâm lý hứng thú, thu hút tâm trí vào việc giải toán, khêu gợi trí tò mò,
lòng ham thích giải toán, khát vọng, quyết tâm giải bài toán.
Tiếp cận với kế hoạch giải bài toán. Hiểu và phân tích bài toán, làm rõ mối
quan hệ giữa ẩn số, điều kiện, giả thiết và kết luận. Phân tích gạt bỏ những yếu tố
không bản chất, chỉ giữ lại quan hệ toán học trong bài, từ đó chuyển sang ký hiệu
toán học, thực chất là giữ lại mô hình toán học.
Bớc 2: Xây dựng kế hoạch giải Bài toán.
12
Đây là giai đoạn bừng sáng của quá trình sáng tạo trong giải toán. Phát biểu
các mối quan hệ định tính và định lợng đợc thể hiện trong kế hoạch giải bài toán.
Bớc 3: Thực hiện kế hoạch giải Bài toán.
Kế hoạch giải khi mới thiết lập vẫn còn ở dạng ý nghĩ tổng quát, do đó đòi
hỏi học sinh phải đa vào thực hiện qua hệ thống hành động giải Toán và hoàn
thiện những chi tiết phù hợp với nó.
Bớc 4: Kiểm tra tiến trình giải Toán.
Bớc này phải trở thành thói quen của học sinh, đợc tiến hành trong suốt
tiến trình giải Toán.
Kiểm tra kết qủa bằng định tính và định lợng, kiểm tra giá trị chân lý của
lời giải, kiểm tra cách suy luận và kỹ thuật tính toán .
Phát hiện và xử lý những sai lầm về hình thức, về lôgic hay khái niệm để tiến
trình giải toán mang tính tối u. Vấn đề này chúng tôi sẽ trình bày kỹ hơn ở Chơng 2.
Bớc 5: Thu nhận, hợp thức hoá Bài toán.
Nghiên cứu lời giải Bài toán, có thể tìm tòi bài toán bằng cách độc đáo,
mới lạ. Nhìn bài toán theo quan điểm toàn diện ở nhiều góc độ khác nhau để từ
đó chọn cách giải tốt nhất và sáng tạo cho Bài toán.
1.2. Các quan điểm về những hoạt động trí tuệ.

Sự cân bằng là một sự bù đắp của cơ thể đối với những xáo trộn ở bên ngoài.
Trí tuệ là sự thích nghi tiêu biểu nhất, sự cân đối giữa đồng hoá và liên tục
của các sự vật vào hoạt động riêng và sự điều ứng những sơ đồ đồng hoá ấy vào
bản thân những đồ vật.
14
Trí tuệ là một hình thái nhất định của sự cân bằng, mà mọi cấu trúc đợc
hình thành trên cơ sở của những tri giác, kỷ xảo và các cơ chế cảm giác vận động
đơn giản đều hớng vào hình thành thái độ [41, tr. 389].
"Theo Nguyễn Khắc Viện (1991): Trí tuệ là khả năng thích nghi nhng
thiên về t duy trừu tợng. Một số nhà nghiên cứu ở Việt Nam: Phạm Hoàng Gia
(1979), Nguyễn Kế Hào (1985) coi trí thông minh là một phẩm chất cao của trí
tuệ, mà cốt lõi là tính chủ động, linh hoạt và sáng tạo của t duy để giải quyết tối u
vấn đề nào đó trong những tình huống mới, phức tạp. Nh vậy, qua các giải thích
trên có thể quy các thuật ngữ trí khôn, trí tuệ, trí thông minh vào khái niệm trí tuệ
và chúng thể hiện các mức độ khác nhau của khái niệm này" [40, tr. 41].
Cũng theo khẳng định của nhóm tác giả này: "Giống nh nhiều lĩnh vực
khác trong Tâm lí học, có bao nhiêu nhà nghiên cứu trí tuệ thì có bấy nhiêu định
nghĩa về nó. Vì vậy, khó có thể áp đặt một định nghĩa chung cho mọi ngời. Tuy
nhiên, có thể khái quát một cách tơng đối các quan niệm đã có về trí tuệ thành 3
nhóm chính:
a) Coi trí tuệ là khả năng hoạt động lao động và học tập của cá nhân;
b) Đồng nhất trí tuệ với năng lực t duy trừu tợng của cá nhân;
c) Trí tuệ là năng lực thích ứng tích cực của cá nhân" [40, tr. 41].
Cùng với 3 nhóm trí tuệ này là lý thuyết của P. Ia. Galperin về các bớc
hình thành các hoạt động trí tuệ theo giai đoạn và sự tích hợp một số mô hình cấu
trúc trí tuệ của: N. A. Menchinxcaia; L. L. Thurstone; J. P. Guilford; R. J.
Sternberg; D. N. Perkins; L. X. Vgôtxki; H. Gardner [40, tr. 43 - 71], chúng tôi
sẽ thống nhất và đề xuất một số quan điểm để rèn luyện cho học sinh THPT các
hoạt động trí tuệ trong giải Toán Đại số và Giải tích ở Mục 2.2 của Chơng 2.
1.2.2. Một số cách phân loại về các hoạt động trí tuệ.

* Dẫn dắt cho học sinh kiến tạo tri thức, đặc bịêt là tri thức phơng pháp nh
phơng tiện và kết quả của hoạt động;
* Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học [35, tr. 124].
Những t tởng chủ đạo này sẽ giúp thầy giáo điều khiển quá trình học tập
của học sinh, quan tâm đến: "mục tiêu, động cơ, đến tri thức phơng pháp, đến trải
nghiệm thành công, nhờ đó đảm bảo đợc tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng
tạo của hoạt động, một yếu tố không thể thiếu của sự phát triển nói chung và của
hoạt động nói riêng" [35, tr. 125].
Từ những t tởng chủ đạo trên chúng ta thấy quan điểm của tác giả là sự
phân chia một hoạt động thành những hoạt động nhỏ hơn, mà thao tác giả là "h-
ớng vào việc tập luyện cho học sinh những hoạt động và hoạt động thành phần",
mà không đề cập đến hành động hay thao tác và sự phân chia đó gọi là thành tố
cơ sở của phơng pháp dạy học bao gồm:
* Hoạt động và hoạt động thành phần
- Phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung;
Cơ sở của vấn đề là: "mỗi nội dung học đều liên hệ với những hoạt động
nhất định
Từ đó, một hoạt động của ngời học gọi là tơng thích với nội dung dạy học
nếu nó có tác động góp phần kiến tạo hoặc củng cố, ứng dụng những tri thức đợc
bao hàm trong nội dung đó hoặc rèn luyện kĩ năng, hình thành thái độ liên quan.
Mặc dù "ứng dụng" một tri thức cũng có thể diễn ra nh một hình thức "củng cố",
nhng nó còn có tác động tới toàn bộ việc học tri thức đó" [35, tr. 128].
Ví dụ 1: Đối với khái niệm cần hình thành theo con đờng quy nạp nh khái
niệm hàm số thì những hoạt động phân tích, so sánh những đối tợng riêng lẻ
thích hợp, trừu tợng hoá tách ra các đặc điểm đặc trng của một lớp đối tợng là t-
ơng thích với khái niệm đó và chúng góp phần tác động để ngời học kiến tạo khái
niệm này. Tơng thích với khái niệm này còn có những hoạt động khác nữa nh
17
nhận dạng, thể hiện, xét mối liên hệ giữa khái niệm đó với những khái niệm
khác, bởi vì những hoạt động đó góp phần củng cố và ứng dụng khái niệm hàm

những khái niệm, định lí và phơng pháp toán học , những hoạt động toán học
phức hợp nh định nghĩa chứng minh. Tuy nhiên các hoạt động còn lại không bị
xem nhẹ.
* Động cơ hoạt động
Tác giả khẳng định: "Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo
đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo đợc động lực ben
trong thúc đẩy bản thân họ hoạt động để đạt các mục tiêu đó" [35, tr. 131]. Điều
này thực hiện đợc nhờ vào việc gợi động cơ.
"Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạt
động và của đối tợng hoạt động. Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu s
phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân học sinh, chứ không phải chỉ là sự
vào bài, đặt vấn đề một cách hình thức" [35, tr. 131]. Tác giả nhấn mạnh
rằng:"Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri
thức nào đó (thờng là một bài học), mà phải xuyên suốt quá trình dạy học. Vì vậy
có thể phân biệt gợi động cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết
thúc" [35, tr. 132].
- Gợi động cơ mở đầu: Có thể gợi động mở đầu xuất phát từ thực tế hoặc từ
nội bộ Toán học. Khi gợi động cơ xuất phát từ thực tế, có thể nêu lên:
+ Thực tế gần gũi xung quanh học sinh;
+ Thực tế xã hội rộng lớn (kinh tế, kĩ thuật, quốc phòng, )
+ Thực tế ở những môn học và khoa học khác.
Trong việc gợi động cơ xuất phát từ thực tế, ta cần chú ý những điều kiện sau:
19
+ Vấn đề đặt ra cần đảm bảo tính chân thực, đơng nhiên có thể đơn giản
hoá vì lí do s phạm trong trờng hợp cần thiết.
+ Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều tri thức bổ sung.
+ Con đờng từ lúc nêu cho tới khi giải quyết vấn đề càng ngắn càng tốt
[35, tr. 133].
Ví dụ 2: Tập hợp số tự nhiên
Ơ

{ }
1; 2; 3;
20
Trong nội bộ toán học: Phép trừ không luân thực hiện đợc: 2- 1 = 1; 1 - 2 = ?. Từ
đó phải mở rộng từ tập hợp số tự nhiên
Ơ
lên tập hợp các số nguyên
Â
=
{ }
; 3; 2; 1; 0;1; 2; 3;
nhằm giải quyết những mâu thuẫn của tập hợp số tự nhiên .
Tuy nhiên trong nội bộ tập hợp các số nguyên
Â
lại xuất hiện những hạn
chế mới, đó là: Phép chia không luôn thực hiện đợc 9 : 3 = 3; 5 : 3 = ?. Điều này
thể hiện rằng mâu thuẫn này mất đi, thì mâu thuẫn khác lại hình thành. Để xoá
bỏ mâu thuẫn này buộc phải mở rộng tập
Â
thành tập
Ô
các số hữu tỷ
Ô
=
:
a
a, b , b 0
b
Có những khái niệm mà học sinh đã biết nhng trớc kia cha thể có định
nghĩa chính xác; tới một thời điểm nào đó có đủ điều kiện thì thầy giáo gợi lại
vấn đề và giúp học sinh chính xác hoá khái niệm đó.
iv) Hớng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống.
v) Lật ngợc vấn đề.
Sau khi đã chứng minh đợc một định lí, một câu hỏi rất tự nhiên thờng đợc
đặt ra là liệu mệnh đề đảo của định lí đó có đúng hay không.
vi) Xét tơng tự;
21
vii) Khái quát hoá;
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a, b, c
dơng thì
ab cd (a c)(b d)+ + +
Thông qua giải Bài toán này, từ đó cho học sinh giải bài toán tơng tự và
yêu cầu học sinh khái quát hoá thành bài toán tổng quát.
Ta có:
ab cd
1
(a c)(b d) (a c)(b d)
+
+ + + +
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta đợc:
ab cd 1 a b 1 c d
(a c)(b d) (a c)(b d) 2 a c b a 2 a c b d

ữ ữ

+ + + +
+ + + + + + + +


3
3
abc 1.1.1
1
(1 a)(1 b)(1 c) (1 a)(1 b)(1 c)
+
+ + + + + +
Từ giả thiết, học sinh dễ dàng chứng minh đợc Bài toán. Bằng sự phân tích,
so sánh, tổng hợp học sinh có thể đa ra Bài toán tổng quát nh sau:
Bài toán tổng quát:
i i
a , b 0 (i 1, n) > =
. Chứng minh rằng:
n n
n

n n n n
1 2 1 2 1 1 2 2
a a a b b b (a b )(a b ) (a b )+ + + +
22
viii) Tìm sự liên hệ và phụ thuộc;
- Gợi động cơ trung gian
Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bớc trung gian hoặc cho
những hoạt động tiến hành trong những bớc đó để đạt đợc mục tiêu, gợi động cơ
trung gian có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn
đề [35, tr. 138].
Các cách thờng dùng để gợi động cơ trung gian:
i) Hớng đích;
Tác giả cho rằng: Hớng đích cho học sinh là hớng vào những mục tiêu đặt

2
t 5
x 2x
2

=
. Khi đó ta đợc phơng trình:
2
t 1
t 6t 5 0
t 5



=
+ =
=
.
Việc tìm nghiệm trở nên đơn giản.
Cách 2: Đặt
2
2
u x 2x 5
v 2x 4x 5





= +

2
2 2
y 3 z 3
x y x z
2 4 2 4

+ + + + +
ữ ữ

Xét vectơ
y 3
u x ; y
2 2

= +
ữ

r
,
z 3
v x ; z
2 2

=
ữ

r
.
Khi đó:
y z 3

iv) Khái quát hoá;
24
Trong hoạt động gợi động cơ mở đầu tác giả củng đã đề cập đến cách này.
Điều này thể hiện quan điểm của tác giả là rất quan tâm đến việc tập luyện cho
học sinh khả năng mở rộng nhãn quan toán học trên cơ sở t duy cao độ.
v) Xét sự biến thiên và phụ thuộc;
Ví dụ 8: Giải phơng trình:
2 3
x
x=
Rõ ràng học sinh không thể giải bài toán này theo cách thông thờng, mà
phải giải theo cách sau:
Dễ thấy x= 1 là một nghiệm của
phơng trình. Vấn đề đặt ra là ngoài
nghiệm này, phơng trình còn có nghiệm
khác nữa không ?.
Bằng đồ thị có thể thấy đây là nghiệm duy nhất.
Tuy nhiên cần làm cho học sinh thấy đợc sự biến thiên của x và sự phụ thuộc của
các số trị.
Với x > 1 ta có:
1
2 2 2
x
> =
và 3 - x < 3 - 1 = 2
2 3
x
x >
. Tức là
1x >