MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 1
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 6
1.1. Hoạt động của giáo viên và các thành tố cơ sở 6
của phương pháp dạy học
1.1.1. Hoạt động của giáo viên 6
1.1.2. Các thành tố cơ sở của phương pháp dạy học 10
1.2. Kiến thức trung gian 28
1.2.1. Bài toán 28
1.2.2. Chức năng của bài tập toán 30
1.2.3. Huy động và liên tưởng 33
1.3. Kết luận chương 1 41
Chương 2. NHỮNG VẤN ĐỀ CẦN QUAN TÂM ĐỐI VỚI
VIỆC THIẾT KẾ VÀ TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH HUY
ĐỘNG CÁC KIẾN THỨC TRUNG GIAN TRONG DẠY
HỌC GIẢI BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC
42
2.1. Coi trọng vai trò của dự đoán 42
2.2. Quan tâm các thao tác trí tuệ khi giải toán 48
2.3. Chú ý phát triển bài toán 59
2.4. Kết luận chương 2 83
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 84
3.1. Mục đích thực nghiệm 84
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 84
3.3. Đánh giá kết qủa thực nghiệm 88
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm 90
KẾT LUẬN 91
TÀI LIỆU THAM KHẢO 92
MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

lượng giác, vì vậy kỹ năng Toán lượng giác còn chưa tốt.
1.4. Nhà toán học G.Polya và nhiều công trình nghiên cứu đã khẳng
định sự cần thiết của hoạt động của người thầy: “ Nếu người thầy khêu
gợi được tính tò mò của học sinh bằng cách đưa ra cho học sinh những
bài tập hợp trình độ, giúp họ giải các bài toán bằng cách đặt ra câu hỏi
gợi ý, thì người thầy có thể mang lại cho họ các hứng thú của sự suy
nghĩ độc lập và những phương tiện để đạt được kết quả” [25, tr. 6]. Tuy
nhiên, trong thực tế dạy học, thường chỉ nặng về các hoạt động của thầy
mà chưa chú trọng đúng mức đến các hoạt động của học sinh trong quá
trình tìm tòi lời giải bài tập Toán.
Các tác giả trong nước như: Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, đã
bàn đến hoạt động điều khiển của thầy để giúp học sinh giải quyết các
vấn đề toán học. Tuy nhiên, do tính khái quát trong cách trình bày, nên
các tài liệu chưa có dịp đi sâu xem xét hoạt động điều khiển của thầy thể
hiện ở việc thiết kế và huy động các kiến thức trung gian nhằm giúp học
sinh giải quyết các vấn đề toán học.
Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan ít nhiều đến hoạt động
điều khiển của thầy, chẳng hạn Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học của
3
Nguyễn Xuân Đức (2004), Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học của Phạm Sỹ
Nam (2001), nhưng chưa có công trình nào nghiên cứu cách thức thiết
kế và huy động các kiến thức trung gian làm phương tiện giúp học sinh
giải quyết.
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn Đề tài nghiên cứu của Luận
văn là: “Thiết kế và huy động các kiến thức trung gian trong dạy học
giải bài tập Lượng giác”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu lý luận về hoạt động điều khiển và một số vấn đề liên
quan đến kiến thức trung gian.
Thiết kế và huy động các kiến thức trung gian trong dạy học giải

dạy học.
1.1.1. Hoạt động của giáo viên.
1.1.2. Các thành tố cơ sở của phương pháp dạy học.
1.2. Kiến thức trung gian.
1.2.1. Bài toán.
1.2.2. Chức năng của bài tập toán.
1.2.3. Huy động và liên tưởng.
1.3. Kết luận chương 1.
Chương 2: Những vấn đề cần quan tâm đối với việc thiết kế và
tập luyện cho học sinh huy động các kiến thức trung gian trong dạy
học giải bài tập Lượng giác
2.1. Coi trọng vai trò của dự đoán.
5
2.2. Quan tâm các thao tác trí tuệ khi giải toán.
2.3. Chú ý phát triển bài toán.
2.4. Kết luận chương 2.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm.
6
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Hoạt động của giáo viên và các thành tố cơ sở của phương
pháp dạy học
1.1.1. Hoạt động của giáo viên
Ta biết rằng việc phát huy tính tích cực hoạt động của học sinh đã
được đặt ra trong ngành giáo dục từ những năm 1960, phương châm:
“Biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo” đã được phát động.

Chiều thứ hai là con người có thể “lấy ra” những gì đã “gửi vào” sản
phẩm và trở thành tri thức, vốn liếng riêng cho chính mình để tiếp tục
vận dụng nó.
Như vậy, hoạt động là hệ toàn vẹn gồm hai thành phần cơ bản: chủ
thể và đối tượng, chúng có tác động lẫn nhau, thâm nhập vào nhau và
sinh thành ra nhau tạo ra sự phát triển của hoạt động. Hoạt động học là
yếu tố quan trọng và có tính chất quyết định. Khác với quá trình nhận
thức trong nghiên cứu khoa học, quá trình nhận thức trong học tập
không nhằm phát hiện những điều loài người chưa biết mà là lĩnh hội
một phần tri thức mà loài người đã tích luỹ được. Tuy nhiên, trong học
tập học sinh cũng phải “khám phá” ra những hiểu biết mới đối với bản
thân. Học sinh sẽ thông hiểu, ghi nhớ những gì đã nắm được qua hoạt
8
động chủ động, nỗ lực của chính mình. Đó là chưa nói, lên tới một trình
độ nhất định, sự học tập tích cực sẽ mang tính nghiên cứu khoa học và
người học cũng làm ra những tri thức mới cho khoa học. Hoạt động là
mắt xích, là điều kiện hình thành nên mối liên hệ hữu cơ giữa mục đích,
nội dung và phương pháp dạy học.
Trong công tác giáo dục theo hướng hoạt động hoá người học, giáo
viên không còn đơn thuần đóng vai trò là người truyền đạt tri thức, giáo
viên trở thành người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn cho học sinh tiến hành
hoạt động, tự lực chiếm lĩnh nội dung hoạt động, chủ động đạt các mục
tiêu kiến thức, kỹ năng, thái độ theo yêu cầu của chương trình. Trên lớp,
học sinh hoạt động là chính, giáo viên có vẻ nhàn nhã hơn, nhưng trước
đó, khi soạn giáo án, giáo viên đã phải đầu tư công sức, thời gian để có
thể thực hiện tốt mục đích giảng dạy với vai trò là người gợi mở, xúc tác
động viên, cố vấn, kích thích học sinh tham gia hoạt động tư duy tích
cực.
Theo Nguyễn Bá Kim: “Phương pháp học tập đổi mới coi học sinh
là trung tâm của quá trình dạy học; sự xác lập vị trí chủ thể của người

cách làm này là thầy thiết kế và điều khiển sao cho trò thực hiện và tập
luyện những hoạt động tương thích với nội dung và mục đích dạy học
trong điều kiện chủ thể được gợi động cơ, có hướng đích, có ý thức về
phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công. Điều đó cũng có
tác dụng thực hiện sự thống nhất giữa tính vững chắc của tri thức, kỹ
năng, kỹ xảo với tính mềm dẻo của tư duy.
10
Trên đây là một số vấn đề cần được coi trọng và thực hiện đúng
mức, nhằm phát huy tính tích cực của người học, cải tiến dần dần để
nâng cao chất lượng giáo dục phổ thông trong nhà trường hiện nay.
1.1.2. Các thành tố cơ sở của phương pháp dạy học
a. Tập luyện cho học sinh phát hiện các hoạt động và các hoạt động
thành phần tương thích với mục đích và nội dung dạy học
Một hoạt động gọi là tương thích với nội dung nếu nó góp phần đem
lại hiệu quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung chung đó.
Tức là có sự biến đổi, phát hiện bên trong chủ thể, đó là những tri thức
được kiến tạo, những kỹ năng được rèn luyện, là sự trưởng thành của
chủ thể trong quá trình hoạt động.
Việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung căn cứ
một phần quan trọng vào sự hiểu biết vào những hoạt động nhằm lĩnh
hội những nội dung khác nhau: khái niệm, định lý, hay là tri thức
phương pháp, về những con đường khác nhau để lĩnh hội từng nội dung.
Ví dụ: Con đường quy nạp hay suy diễn để xây dựng khái niệm, con
đường thuần tuý suy diễn hay có pha suy đoán để học tập định lý.
Trong việc phát hiện những hoạt động tương thích với nội dung, ta
cần chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau trên những bình
diện khác nhau, như:
- Nhận dạng và thể hiện;
- Những hoạt động toán học phức hợp;
- Những hoạt động trí tuệ chung và riêng đối với môn Toán;

−
) có đối nhau không? Nếu không thì mối quan hệ giữa chúng
như thế nào? Vận dụng kiến thức về giá trị lượng giác của cung
α
để
tìm mối quan hệ đó?
- Hoạt động nhận dạng và thể hiện: So sánh cos
0
45
và cos(
0
45−
);
cos
0
33
và cos
o
327
; tính tg(
0
60−
).
- Hoạt động phức hợp: cosx = cosy và x = y có tương đương với
nhau không? vì sao?
Cho cos
α
= 1, tìm
α
.

một chứng minh như thế nào, sắp xếp các dòng biến đổi đồng nhất ra
sao.
Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá, chẳng hạn:
“Toán học có vai trò quan trọng trong khoa học kỹ thuật cũng như trong
đời sống”, “Thực tiễn là nền tảng của nhận thức, là tiêu chuẩn của chân
lý”, “Khái quát hóa là một thao tác trí tuệ cần thiết cho mọi người”.
Trong dạy học Toán, người thầy cần coi trọng đúng mức các dạng
tri thức khác nhau, tạo cơ sở cho việc giáo dục toàn diện. Đặc biệt tri
thức giá trị liên hệ mật thiết với việc giáo dục tư tưởng chính trị và thế
giới quan, tri thức phương pháp ảnh hưởng trực tiếp đến việc rèn luyện
kỹ năng, là cơ sở định hướng trực tiếp cho hoạt động.
Có 3 cấp độ về truyền thụ tri thức phương pháp, đó là:
13
* Truyền thụ cho học sinh một cách tường minh các tri thức phương
pháp được quy định trong chương trình.
* Thông báo tri thức trong quá trình tiến hành một hoạt động.
* Tập luyện cho học sinh các hoạt động tương thích với các tri thức
phương pháp. Đặc biệt là các tri thức phương pháp không có trong nội
dung sách giáo khoa (các phương pháp tìm lời giải).
Những nguyên tắc cơ bản chỉ đạo hoạt động dạy học:
* Bắt đầu từ một nội dung dạy học, ta cần phát hiện ra những hoạt
động liên hệ với nó, rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập
luyện cho học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện được.
Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần giúp ta
tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với mức độ vừa sức với
họ, và đây là tư tưởng chủ đạo để đi đến xu hướng cho học sinh thực
hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần tương thích
với mục đích và nội dung dạy học.
* Sau mỗi quá trình học tập, người học sinh không chỉ đơn thuần
thu được những tri thức khoa học mà còn phải nắm được phương pháp

một thái độ cũng là nhằm giúp học sinh hoạt động trong học tập cũng như
trong đời sống. Như vậy, những mục đích thành phần được thống nhất
trong hoạt động, điều này thể hiện mối liên hệ hữu cơ giữa chúng với nhau.
Tri thức, kỹ năng, thái độ một mặt là điều kiện và mặt khác là đối tượng
biến đổi của hoạt động. Hướng vào hoạt động theo các tư tưởng chủ đạo
15
trên không hề làm phiến diện mục đích dạy học mà trái lại, còn đảm bảo
tính toàn diện của mục đích đó.
Những tư tưởng chủ đạo trên hướng vào việc tập luyện cho học sinh
những hoạt động và hoạt động thành phần, gợi động cơ hoạt động, xây
dựng tri thức mà đặc biệt là tri thức phương pháp, phân bậc hoạt động như
những thành tố cơ sở của phương pháp dạy học, đó là:
- Hoạt động và hoạt động thành phần;
- Động cơ hoạt động;
- Tri thức trong hoạt động;
c. Phân bậc hoạt động
Để điều khiển quá trình dạy học đạt hiệu quả cao ta phải xác định
mức độ, yêu cầu mà học sinh phải đạt được ở bước trung gian hay bước
cuối cùng của mỗi hoạt động. Đây chính là sự phân bậc hoạt động.
Mức độ hay yêu cầu của hoạt động có thể là dài lâu (một lớp, một
chương, một bài), ở đây ta chỉ xét trong phạm vi ngắn là một tiết dạy.
Việc phân bậc càng cụ thể, chi tiết, tránh được sự chung chung mơ hồ thì
chất lượng của hoạt động càng cao. Vì vậy, giáo viên phải nắm vững các
căn cứ khi phân bậc hoạt động.
- Sự phức tạp của đối tượng hoạt động, tức là nội dung kiến thức
Toán học cần truyền thụ cho học sinh.
Ví dụ:
* Sự phức tạp thể hiện ở một số yếu tố Toán học (biến số, tham
số, ). Với công thức sina + sinb, khi tập luyện cho học sinh công thức
này có thể phân bậc dựa vào sự phức tạp của biểu thức biểu thị đối số

10
+ cos
0
20
+ cos
0
30
+ + cos
0
180
.
- Sự phức tạp thể hiện ở độ phức hợp nội dung.
Ví dụ: Tính: A = cos
0
20
cos
0
40
cos
0
80
B = sin
0
6
sin
0
42
sin
0
66

cái con người cần làm ra, cần chiếm lĩnh và đó chính là động cơ. Vậy,
hoạt động luôn luôn hướng vào động cơ (nằm trong đối tượng), đó là
mục đích chung. Động cơ luôn thúc đẩy con người hoạt động nhằm tác
động vào khách thể để thay đổi nó biến thành sản phẩm hoặc tiếp nhận
nó chuyển vào đầu óc của mình, tạo nên một cấu tạo tâm lý mới, một
năng lực mới. Có thể nói, không có hoạt động nào mà không có động cơ.
Động cơ là sản phẩm vốn có của con người thể hiện qua sự khao
khát tìm hiểu tri thức khoa học, tìm hiểu thế giới xung quanh, động cơ
đó còn là vốn tri thức nhân loại, là vốn tri thức phương pháp mà người
học sinh có thể nắm vững được để từ đó tạo cho mình một phương tiện
để tiến hành các hoạt động tư duy khác. Ngoài ra, động cơ còn là những
cái từ bên ngoài mà thông qua hoạt động học tập mới chiếm lĩnh được
nó, có thể gọi đó là những động cơ xã hội như: Học sinh học tập tốt để
đạt điểm tốt, được bạn bè nể trọng, hay lên lớp trên học tốt là để vào đại
học,.…
18
Có thể nói, tính tích cực của nhận thức được đặc trưng bởi khát
vọng hiểu biết, sự cố gắng của trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình
chiếm lĩnh tri thức, có liên quan trước hết với động cơ học tập. Động cơ
tạo ra hứng thú, hứng thú là tiền đề của tự giác. Hứng thú và tự giác là
hai yếu tố tâm lý tạo nên tính tích cực. Tính tích cực sản sinh nếp tư duy
độc lập, suy nghĩ độc lập là mầm mống của sáng tạo. Ngược lại, phong
cách học tập tích cực, độc lập, sáng tạo sẽ phát triển tự giác, hứng thú,
bồi dưỡng động cơ học tập.
Để nâng cao chất lượng giáo dục thì vấn đề quan trọng là phải phát
huy được tính tích cực, tự giác học tập của học sinh. Để làm được điều đó,
không những đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục đích cần đạt
được, mà phải tạo ra động lực bên trong thúc đẩy bản thân họ hoạt động để
đạt được những mục đích đó. Đó chính là mục tiêu của gợi động cơ.
+ Vậy gợi động cơ là gì?

2
. Các cách thường dùng để gợi động cơ
+ Gợi động cơ mở đầu
Ta thường vận dụng gợi động cơ mở đầu khi bắt đầu một nội dung
có thể là một phân môn, một chương, một bài hoặc một phần nào đó của
bài. Gợi động cơ mở đầu có thể xuất phát từ thực tế hoặc từ nội bộ Toán
học.
Khi gợi động cơ xuất phát từ thực tế, có thể nêu lên:
- Thực tế gần gũi xung quanh học sinh;
- Thực tế xã hội rộng rãi (kinh tế, kỹ thuật, quốc phòng,…);
- Thực tế ở những môn học và khoa học khác;
20
Ta thường gợi động cơ xuất phát từ thực tế khi bắt đầu một nội dung
lớn, chẳng hạn một phân môn hoặc một chương. Việc xuất phát từ thực
tế giúp học sinh tri giác vấn đề dễ dàng hơn, bởi vì đó là những sự vật
mà học sinh tiếp xúc hàng ngày, cái mà học sinh đã quen thuộc. Đồng
thời qua đó cho học sinh thấy được sự liên hệ giữa thực tế và lý thuyết ở
trường. Từ đó, làm cho bài học trở nên hấp dẫn hơn, cuốn hút hơn và
đồng thời tạo cho học sinh ý thức vận dụng lý thuyết đã học để áp dụng
vào cải tạo thực tiễn.
Như vậy, việc xuất phát từ thực tế không những có tác dụng gợi
động cơ, mà còn góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng.
Nhờ đó, học sinh nhận rõ việc nhận thức và cải tạo thế giới đã đòi hỏi
phải suy nghĩ và giải quyết những vấn đề toán học như thế nào, tức là
nhận rõ Toán học bắt nguồn từ những nhu cầu của đời sống thực tế. Vì
vậy, cần khai thác triệt để mọi khả năng để gợi động cơ xuất phát từ thực
tế, đương nhiên phải chú ý các điều kiện sau:
- Vấn đề đặt ra phải đảm bảo tính chân thực, đương nhiên có thể
đơn giản hóa vì lí do sư phạm trong trường hợp cần thiết.
- Việc nêu vấn đề không đòi hỏi quá nhiều kiến thức phụ, vì nếu

góc a
0
với a thuộc R.
Tuy nhiên, nếu chỉ trình bày đơn giản như vậy thì việc xoá bỏ sự
hạn chế trong trường hợp này dường như chỉ là do ý muốn chủ quan,
người học không thấy được nhu cầu của việc này. Điều này có thể làm
rõ nếu ta biết khai thác từ thực tế. Trong thực tiễn còn có những góc lớn
hơn 360
0
. Chẳng hạn, bán kính OM của bánh xe quay 2 vòng, ta nói nó
quay một góc 2.360
0
= 720
0
. Mặt khác, bán kính OM có thể quay theo
hai chiều khác nhau. Ta quy ước chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là
chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm. Như vậy,
ta đã mở rộng khái niệm góc bằng cách đưa vào khái niệm góc lượng
giác có số đo là một số thực bất kỳ.
Lật ngược vấn đề: Gợi động cơ mở đầu bằng cách lật ngược vấn đề
nhằm giúp học sinh phát hiện ra những mệnh đề, những bài toán mới,
22
hoặc cũng có thể là nhằm mục đích khắc sâu, hiểu rõ hơn về một số vấn
đề.
Việc gợi động cơ theo hướng trên không chỉ cho hoạt động tìm kiếm
kiến thức, mà còn thực hiện mục đích kép hướng tới phát triển năng lực
tư duy thuận nghịch cho học sinh.
Ví dụ: Với bài toán “Cho tam giác ABC có a
4
= b

sinx.cosx.cos2x … cos2
n-1
x = sin2
n
x.
- Tìm sự liên hệ và phụ thuộc.
Ví dụ: Ta có thể đặt vấn đề xem xét ảnh hưởng của a, b với sự tồn
tại nghiệm phương trình asinx + bcosx = c.
Cách gợi động cơ xuất phát từ những phương thức tư duy và hoạt
động phổ biến trong Toán học như xét tương tự, khái quát hoa, xét sự
23
liên hệ và phụ thuộc, sự quen thuộc với các phương thức này không chỉ
là kết quả mà còn là điều kiện của việc gợi động cơ theo cách đó. Thật
vậy, việc xét tương tự, việc khái quát hóa, việc xét sự liên hệ và phụ
thuộc chỉ có tác dụng gợi động cơ khi người học sinh đã quen thuộc với
những cách xem xét này, đã trải nghiệm thành công nhiều lần làm việc
theo cách đó.
Ngoài ra, ta có thể gợi động cơ để hướng tới sự tiện lợi, hợp lý hóa
công việc hoặc hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống.
+ Gợi động cơ trung gian
Gợi động cơ trung gian là gợi động cơ cho những bước trung gian
hoặc cho những hoạt động tiến hành trong những bước đó để đạt được
mục tiêu.
Khi giải quyết một bài toán, để đi đến đích cuối cùng nhiều khi học
sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, tự bản thân khó mà giải quyết được,
nhưng nếu có sự gợi động cơ hợp lý của giáo viên thì các em có thể từng
bước giải quyết được vấn đề đặt ra. Và cũng thông qua hoạt động gợi
động cơ mà dần dần hình thành cho các em cách nghĩ về phương thức
giải quyết khi đứng trước một vấn đề. Chính vì vậy, gợi động cơ trung
gian có ý nghĩa to lớn tới sự phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn

Ví dụ: Sau khi đã giải được bài toán 1:
Chứng minh rằng: cosxcos2x.cos4x.cos8x =
sin8
8sin
x
x
với x ≠ kπ.
25