BÀI TẬP: SUY DIỄN THỐNG KÊ
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN
Bài 6.31 (tr.139)
Một ngẫu nhiên kích thước n = 64 được rút ra từ tổng thể phân phối
chuẩn với trung bình là 50 và độ lệch chuẩn là 4. Tìm xác suất để trung bình
mẫu nằm trong khoảng 48,5 đến 51,5.
BL:
Gọi X là biến ngẫu nhiên tổng thể. Theo bài ra: X ~ N (µ = 50, σ = 4).
Mẫu kích thước n = 64, ta cần tìm P (48,5 < X < 51,5) = ?
Cách 1:
Công thức cần sử dụng là:
P( μ −

σ
n

uα1 < X < μ +

σ
n

uα 2 ) = 1 − α

Ta có:
μ−
μ+

σ
n

σ


1
= )
64 4

48,5 − 50
51,5 − 50

4 2

⇔ uα 2 = 2,5

Tra bảng giá trị tới hạn (bảng 6) uα ta có: uα = uα = 2,5 = u0,0062
1

Vậy: α1 = α 2 = 0,0062

2

⇒ α = α1 + α 2 = 0,0124

⇒ P (35 < X < 45) = 1 − 0,0124 = 0,9876

Cách 2: Gọi X là kích thước chi tiết (đơn vị: mm)
Theo đề bài ra, ta có X ~ N ( μ = 40, σ 2 = 42 ), kích thước mẫu n = 4
Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm P (35 < X < 45)
σ2

42
Ta có X ~ N ( μ = 40,
=
= 4)
4
4
35 − 40
45 − 40
P (35 < X < 45) = P (

uα 2 ) = 1 − α

Ta có: 1 − α = 0,954 ⇔ α = α1 + α 2 = 1 − 0,954 = 0,046
a. P ( μ − 10 < X < μ + 10) = 0,954
Ta có:
10
10
uα1 =
uα = 10 ⇔ uα1 = uα 2 = n
n
n 2

Suy ra: α1 = α 2 =

α
2

=

0,046
= 0,023
2

Tra bảng giá trị tới hạn (bảng 6) uα ta có: uα = uα = 2 = u0,023
1

2

⇒ n =2⇔n=4


= 2 ⇔ n = 4 Vậy n = 16
2

c. P ( μ − 2 < X < μ + 2) = 0,954
Ta có:

n
10
10
uα1 =
uα 2 = 2 ⇔ uα1 = uα 2 =
5
n
n

Suy ra: α1 = α 2 =

α
2

=

0,046
= 0,023
2

2


Tra bảng giá trị tới hạn (bảng 6) uα ta có: uα = uα = 2 = u0,023

n

) = 1 – 2.p(U>

m n
)
10

a. Với m =10, ta có:
1 – 2.p(U>

10 n
)= 0.954 Æ
10

n =2→n=4

b. Với m = 5
1 – 2.p(U>

5 n
)= 0.954 Æ
10

n = 4 → n = 16

c. Với m = 2
1 – 2.p(U>

2 n


50 1
= )
100 100 2
σ 2 40 2
X2 ~ N ( μ , σ 2 2 = 40 ) kích thước mẫu = 100 Æ X 2 ~ N ( μ , 2 =
= )
100 100 5

X1 ~ N ( μ , σ 1 2 = 50 ), kích thước mẫu = 100 Æ X 1 ~ N ( μ ,

Suy ra X 1 − X 2 ~ N ( μ − μ = 0,

σ 12
100

+

σ 22
100

=

9
)
10

=



Với n1=40: X 1 ~ N ( μ1 = 70,

Khi đó: X 1 − X 2 ~ N ( μ1 − μ2 = 2,

=

σ 12
40

+

σ 22
50

= 6)

Yêu cầu bài toán: Tính P( X 1 − X 2 ≥ 5) = φ (+∞) − φ (
Ta có: P( X 1 − X 2 ≥ 5) = φ (+∞) − φ (

5−2
6

) = 0,5 − φ (

5−2

5−2
6

6

Bài 6.38 (tr.140)


Tỷ lệ đỗ tốt nghiệp trung học chung của cả nước là 70%. Vậy một trường
có 800 hs thi tốt nghiệp thì phải có tối thiểu bao nhiêu em đỗ thì sẽ được coi là
bình thường. Hãy KL với XS 0,95.
BL:
Gọi p là tỷ lệ đỗ tốt nghiệp chung của cả nước: p=0,7.
Gọi X là số hs đỗ TN của trường đã cho
Gọi f là tỷ lệ đỗ tốt nghiệp của trường đó. Ta có f =

X
800

Để tìm giá trị tối thiểu của X, bài toán đưa đến việc phải tìm giá trị tối
thiểu của f, tức là cần tìm ε sao cho: P( f ≥ ε ) = 0, 95
+) 1 − α = 0,95 Æ α = 0,05 Æ uα = u0,05 = 1,645
+) P = 0,7 ; n = 800
0,7.0,3
X
≥ 0,6733) = 0,95
.1,645 = 0,67333 ⇒ p( f =
800
800

⇒ ε = 0,7 −

→ p(X ≥ 0,6733. 800 = 538,46) = 0,95
Vậy với XS là 0,95 thì trường đó có tối thiểu 539 hs đỗ được coi là bt.
Bài 6.39

2

n

thai
p1 =0,65

và

p

và

2

n

=0,52

Cần tìm P(

f

1

-

f

n = 400>100

ta có :
( p1 - p2 ) -

uα s

f

= 0,16

uα = -0,8686

=>

=>

u

1−α

= 0,8686 => 1- α = 0,1922

Baì 6.41

0 025

0,95
3 24
χ 02,975 (10) = 3,247

Bài 6.42:

và

< 36,415)= ?
(n-1)

σ

uα ) = 1 - α
n
σ
31
uα = 172 => uα = ( 172 − 170 )
µ+
= 1,11 => α = 0,1335
10
n
=> P( X ≤ 172 ) = 1 − α = 1 − 0,1335 = 0,8665
b) Cần tìm xác suất P(S>15) = P (S2 > 225) =?
Áp dụng công thức suy diễn về phương sai mẫu ta có:
2

P(S >

σ2
n −1

χ1- α 2(n-1) ) = 1 - α


T a có

σ2

225.(31 − 1)

χ1- α
)=1-αÙP( 2 >
)=1-α
n −1
σ
n −1
Thay số với n=8; 1 - α = 0,05 => χ1- α 2(n-1) = χ0,05 2(7) = 14,07
χ 2(7) 14,07
S2
= 2,01; tức là P( 2 >2,01) = 0,05
a=
=
7
n −1
σ
b) P(a

+ ∞ và 2,01
6.45 Tỷ lệ người dân mua bảo hiểm nhân thọ của thành phố là : p=0,25
a) Mẫu n=120,cần tìm xác suất P(f > 0,28)=?
Áp dụng CT suy diễn thống kê về tần suất mẫu , có
p (1 − p )
uα ) = 1 - α
P(f > p −
n
Có:
p (1 − p )
0,25.0,75
uα =0,25 −
uα => uα = -0,76
0,28= p −
n
120
=> u1−α = 0,76 => P(f > 0,28)=1 - α = 0,2236
b) Mẫu n= 120. Cần tìm a sao cho P (f-p ≥a) =0,1 ÙP(f≤p+a)=0,9
Công thức suy diễn cần sử dụng:
p (1 − p )
uα ) = 1 - α
P(f ≤ p +
n


1 - α =0,9 => uα = u0,1 = 0,4602
p (1 − p )

=> a=


µ−

σ
n

uα 1 = 2,4 => uα 1 = 5 => α1 =0,00000029

σ

uα 2 = 2,6 => uα 2 =5 => α 2 = 0,00000029
n
=> P(2,4< X
cm thì có thể kết luận lô chi tiết đạt tiêu chuẩn