Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Lời cảm ơn
Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi bước đầu tập dượt nghiên
cứu đề tài khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô
giáo và các bạn trong khoa.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS.
GVCC Nguyễn Phụ Hy người đã trực tiếp hưỡng dẫn chỉ bảo tận tình để em
có thể hoàn thành bản khoá luận này.
Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ giải
tích, ban chủ nhiệm khoa Toán – Trường ĐHSP Hà Nội2, các cô chú trong
thư viện nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi để em có cơ hội để hoàn thành
công việc của mình.
Ngày

tháng 5 năm 2007
Sinh viên

Nguyễn Thị Khánh Ly

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp


2

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Chương 1: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên
không gian định chuẩn ¡ n .
.
Chương 2: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên
không gian định chuẩn lp (p ³ 1) .
Chương 3: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên
không gian định chuẩn c0.
Do thời gian nghiên cứu và năng lực có hạn nên một số vấn đề đặt ra
trong khoá luận còn chưa được giải quyết triệt để. Em rất mong được sự giúp
đỡ và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn để khoá luận này được
hoàn thiện hơn.
Ngày

tháng 5 năm 2007.
Sinh viên

Nguyễn Thị Khánh Ly

Trường ĐHSP Hà Nội 2

3


a x = (a x i )i = 1 .

Định lý 1.1.1
¡ n đóng kín với hai phép toán cộng và nhân xác định ở trên.

Chứng minh:
+) " x = (x i )in= 1 " y = (y i )in= 1 Î ¡ n ,ta có:

" i = 1, n , xi Î ¡ , yi Î ¡ Þ xi + yi Î ¡ , " i= 1, n Þ (xi + yi) in= 1 Î ¡
n

Þ x + y = (xi+ yi) i = 1

+) " x = (xi) in= 1 Î ¡ n , a Î P. Ta có:
a xi Î ¡ ,i= 1, n Þ

a x = ( a x i)

n
i= 1

Î ¡ n.

Vậy ¡ n đóng kín với 2 phép toán cộng và nhân xác định ở trên
Định lý 1.1.2.
¡ n cùng với hai phép toán cộng và nhân xác định ở trên lập thành một

không gian tuyến tính.
Chứng minh:

( a + b )xi= a xi + b xi , " i = 1, n
Þ ( a + b )x = a x + b x

7. " x = (xi) in= 1 Î ¡ n , " y = (yi)

(Tiên đề 6 thoả mãn).
n
i= 1

Î ¡ n , " a , b Î ¡ ,ta có:

a (xi+ yi) = a xi + b xi, " i = 1, n

Þ a (x + y) = a x + a y

8. " x = (xi)

n
i= 1

(Tiên đề 7 thoả mãn)

Î ¡ n , ta luôn có :

1. xi =xi ( 1 là đơn vị của ¡ ) , " i = 1, n
Þ 1. x = x , " x Î ¡

(Tiên đề 8 thoả mãn).

n

Chứng minh:
Nếu ab = 0 thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng.
Nếu a > 0 , b > 0 ta xét hàm số:
t p t- q
với t > 0
+
j (t) =
p
q

Ta có:
p-1

j ' (t) = t

- t-q-1= t-q-1(tp+q-1).

j ' (t) = 0 Û t = 1 ( với t > 0)

Bảng biến thiên :
1
0

0
t
j ' (t + ¥
)
j (t)

+¥


1
p

1

1

= 1 a q = b p a p = bq

B 1.1.2. ( Bt ng thc Holder)
1 1
+ = 1),1 Ê p < + Ơ
p q

Nu p,q l cp s m liờn hp ( tc
n

n

" x = (xi) i = 1 , y = (yi) i = 1 ẻ Ă
1

n

ồ

i= 1

n

ố i= 1
ứ

ổn
q ửq
; B = ỗỗỗồ yi ữữữ
ố i= 1
ứ

Nu A.B = 0 thỡ bt ng thc hin nhiờn ỳng.
Nu A > 0, B > 0,theo b 1.1.1 ta cú
p

q

xi yi
x
y
Ê i p+ i q
A.B P. A
q.B
n

ị

n

ồ

xi yi


ồ
+

q

i= 1

q

n

xi

i= 1

n

p

xi

p

n

ồ

ồ


n
ổn
ửq
p ửp ổ
ỗỗồ y q ữ
xi yi Ê AB = ỗỗồ xi ữ
ữ
i ữ
ữ
ữ
ỗố i= 1
ứ ốỗ i= 1
ứ

Trng HSP H Ni 2

7

K29E Toỏn


Lun Vn Tt Nghip

Nguyn Th Khỏnh Ly
1

Vy

n


ứ
i= 1

Chng minh:
pử
ổn
ổn
ữ
ỗỗ
ỗ
ữ
x
+
y
Ê
xi + yi
i ữ ỗồ
ỗỗồ i
ữ
ữ ỗố i= 1
ố i= 1
ứ

Ta cú:

p- 1

ử
ữ
ữ( xi + yi ) (1)

ữ
ữ
ứ

1

ổn
ửp
ỗỗồ x p ữ
i ữ
ữ
ốỗ i= 1
ứ

1

1

n
ổn
p ửq ổ
p ửp
= ỗỗỗồ xi + yi ữữữ ỗỗỗồ xi ữữữ
ố i= 1
ứ ố i= 1
ứ

ổn
ỗỗồ x + y
i

ổn
p ửq ổ
p ửp
= ỗỗỗồ xi + yi ữữữ ỗỗỗồ yi ữữữ
ố i= 1
ứ ố i= 1
ứ

(3)

T (1) , (2) v (3) ta cú:
n

ồ

xi + yi

i= 1

p

1 ộ
1
1ự
n
n
q ờ
p
pỳ
ổn

ổn
ổn
ửp ổ n
ửp
p ửp
ỗỗồ x p ữ
ỗỗồ y p ữ
ị ỗỗồ xi + yi ữ
Ê
+
ữ
ữ
i ữ
i ữ
ữ
ữ
ốỗ i= 1
ứ ốỗ i= 1
ứ ốỗ i= 1
ứ

nh lý 1.1.3
Trờn khụng gian tuyn tớnh Ă

n

ta xột ba ỏnh x i t Ă

n



Kiểm tra 3 tiên đề về chuẩn
n

1. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , ta có:
n

å

xi

2

³ 0Þ

x 1³ 0

i= 1
n

å

x 1= 0Û

2

x i = 0 Û x i = 0, " i = 1, n

Û x= q


n

3. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , y = (yi )i= 1 Î ¡

n

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovsky ta có
n

å

n

x i yi £

i= 1
n

Û

å

i= 1

å

xi .

i= 1


xi2 + 2

i= 1

n

å

Trường ĐHSP Hà Nội 2

yi 2

i= 1

x i 2 + 2 å x i yi + å yi 2 £

n

Û

n

2

n

xi +
2

å

÷
yi ÷
÷
÷
÷
ø
2

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

n

n

å

Û

n

å

(x i + yi ) 2 £

i= 1


2. " x = ( x1, x2,....xn) Î ¡ n , " l Î

¡ ,ta có:

max l x i = max ( l x i ) = l max x i
1£ i < n

1£ i < n

Þ

lx2= l x

1£ i < n

2

n

n

3. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , y = (yi )i= 1 Î ¡ n , ta có:
xi + yi

£

xi + yi

." i = 1, n


, " x, y Î ¡

n

cùng với chuẩn 2)là một không gian định chuẩn

c. Công thức 3) cho ta một chuẩn trên ¡ n , thật vậy:
n

1. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , ta có :
1

x i ³ 0 , " i = 1, n Þ

Trường ĐHSP Hà Nội 2

æn
öp
ççå x p ÷
i ÷
÷ ³ 0
çè i= 1
ø

10

hay

x
1
çè i= 1
ø
èç i= 1
ø
èç i= 1
ø

Û

x+ y

3

0) ,($ k 0 Î ¥ * ), (" m, k ³ k 0 ) .Ta có

x (m) - x (k) £ e
2

hay max xi (m) - xi (k) £ e Û xi(m) - xi(k) < e, " i = 1, n
1£ i< n

Trường ĐHSP Hà Nội 2

11

K29E – Toán
0) , ( $ k1 Î ¥ * ) ( " k ³ k1 ) ta luôn có
x i(k) - x i(0) < e Þ x (k) - x (0)

2


n

n

đều có hiểu diễn duy nhất dưới dạng

n

å

x i ei

i= 1

Lấy một phiến hàm bất kỳ f Î ( ¡ n )* ( ¡ n )* là không gian liên hợp của
¡ n ) ta có
" x = (xi)

n

i= 1 Î

¡ n;
n

f(x) = f ( å x i ei ) =
i= 1

Þ


, " x = (xi)

n
i= 1

Î ¡

n

ta có

i= 1
n

å

f (x) =

2

n

x i fi £

i= 1

å

n


fi 2

(1)

i= 1

fi

Chọn x0 = ( x i(0) )in= 1 , x(i 0) =

, " i = 1, n

n

å

fi

2

i= 1

Þ

x0 Î ¡

n

và x 0 = 1
fi2

f = sup f (x ) ³ f (x 0 ) =

å

f i2

(2)

i= 1

Từ (1) và (2) ta nhận được f =

n

å

fi 2

(3)

i= 1

Bất đẳng thức (1) chứng tỏ f bị chặn. Do đó f Î ( ¡ n )* và chuẩn trên
( ¡ n )* xác định bởi hệ thức (3)

2. Giả sử x 2 = max x i ,
i

n


n

ị

x 0 2 = 1 v f (x 0 ) =

n

ồ

(sign(fi )f i =

i= 1

ồ

fi

i= 1
n

Suy ra f = sup f (x)

f (x 0 ) =

ồ

fi

i= 1
1

i= 1

Khi ú " f ẻ ( Ă n )* ta cú


Trong ú:

1

1

n
q
p
ổn
ổn qử
p ửp ổ
qử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
Ê ỗỗồ x i ữ
.
f
=
x
.
fi
ữ ỗồ i ữ
ồ ứữữ
3 ỗ
ữ ốỗ i= 1
ữ

14

fi

q- 1

sign(f i )

ổn
ỗỗ f
ỗỗồ i
ố j= 1

1
q p

ửữ
ữ
ữ
ữ
ứ

K29E Toỏn


Luận Văn Tốt Nghiệp

p

Þ x0 =


.

n

å

q

n

1

i= 1

fi

q

å

q

fi = 1

i= 1

i= 1

n


fi

q- 1

sign(fi ),f i

æn
ççå f
çè i= 1 i

1
q p

å
=

ö
÷
÷
÷
ø

fi

q

i= 1
1


x =1
1

æn
q öq
Hay f ³ ççå f i ÷
÷
÷
çè i= 1
ø

(8)
1

æn
q öq
Từ (7) và (8) ta nhận được f = ççå fi ÷
÷
÷
çè i= 1
ø

Vậy chuẩn trên ( ¡ n )* cho bởi hệ thức

Trường ĐHSP Hà Nội 2

15

(9)
(9)

Ta gọi tích của 2 phân tử x và a , kí hiệu và a x là phân tử

a x = ( a xn)

¥
n= 1

Định lý: 2.1.1.
l p đóng kín đối với 2 phép toán cộng và nhân xác định ở trên .

Chứng minh:
+ " x = (xn)

¥
n= 1

; y = (yn)

¥
n= 1

Î l p, ta có:
p

p

x n + y n £ x n + y n Û x n + y n £ ( x n + y n , " n Î ¥ * (1)

Mặt khác


n= 1

ồ

(

p

2p x n + y n

p

)

n= 1

ổk
p
= 2p ỗỗồ x n +
ỗố n= 1

k

ồ

n= 1

pử
yn ữ
ữ


Ơ
n= 1

ẻ l p ta cú

K29E Toỏn


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

(xn + yn) + zn = xn + (yn + zn)

Þ (x + y) + z = x + (y + z )

" n = 1,2.....
( tiên đề 2 thoả mãn)

3. Xét phần tử q = (0,0...) Î l p, " x = (xn)
xn + 0 = 0 + xn

Þ

¥
n= 1

Î l p ta có



, Î l p ta có

" n = 1,2.....

a (xn + yn) = a xn + a yn,
Þ a (x + y) = a x + a y
6. " x = (xn)

¥
n= 1

(tiên đề 5 thoả mãn)

Î l p, " a , b Î p ta có

( a + b ) xn = a x n + b x n ,

" n = 1,2.....

Þ (a + b) x = a x + bx

7. " x = (xn)

¥
n= 1

(tiên đề 6 thoả mãn)

Î l p, " a , b Î p ta có

ửq
pử
ữ
ỗ
ỗỗồ y q ữ
Ê ỗồ x n ữ
.
n ữ
ữ ốỗ
ỗố n= 1
ứ
ứữ
n= 1

Ơ

x n .y n

n= 1

Chng minh:
1

1

ổƠ
p ửp
t A = ỗỗồ x n ữ
ữ
ữ


x n .yn
Ê

n= 1

A.B

ồ

xn

+

n= 1

p.A

k

p

p

ồ

yn

Ê


q

n= 1

q.Bq

Cho k đ Ơ ta cú
Ơ

ồ

x n .y n

Ơ

p

Ê

n= 1

B.A

ồ

xn

+

n= 1

ị

ồ

x n .y n

n= 1

Vy

1

Ơ

ồ

1

p ổƠ
ổƠ
ửq
pử
ữ
ỗ
ỗỗồ x q ữ
.
Ê A.B = ỗồ x n ữ
n ữ
ữ ỗố
ữ

Chng minh:
Do l p l mt khụng gian tuyn tớnh thc nờn " x, y ẻ l p suy ra
Ơ
n= 1

x + y = ( xn + yn)
Ơ

ị

ồ (x

n

+ yn

p

Ơ

p- 1 q

) =ồ

n= 1

Vi q :

ẻ l


( x n + yn ) (1)
ữ
ữ
ỗố n= 1
ứ

Mt khỏc, ỏp dng b 2.1.3. ta cú
1

Ơ

ồ

x n + yn

p- 1

xn

n= 1

ổƠ
ửp
(p- 1).q ữ
Ê ỗỗồ x n + y n
ữ
ữ
ỗố n= 1
ứ



n= 1

ổƠ
= ỗỗồ x n + y n
ỗố n= 1

1
q
p

ử
ữ
ữ
ữ
ứ

1

p ổƠ
ổƠ
(p- 1).q ử
p ửp
ữ
ỗ
Ê ỗồ x n + y n
ữ .ỗỗồ y n ữ
ữ
ữ ốỗ n= 1
ữ

1

1

p
ổƠ
ửp ổ Ơ
pử
ữ
ỗỗồ x p ữ
ỗ
+
y
n ữ
n ữ
ữ ốỗỗồ
ữ
ốỗ n= 1
ứ
ứ
n= 1

nh lý 2.1.3

Trng HSP H Ni 2

20

K29E Toỏn



Tho món cỏc tiờn v chun

Chng minh:
1

10. " x = (xn)

Ơ
n= 1

,ẻ l

p

ổƠ
p ửp
, x = ỗỗồ x n ữ
0
ữ
ữ
ỗố n= 1
ứ
1

ổƠ
p ửp
x = 0 ỗỗồ x n ữ
ữ
ữ =0

pử
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
x + y = ỗồ x n + y n ữ
Ê
x
+
y
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ ốỗồ n ứ
ữ ốỗồ n ứ
ữ
ỗố n= 1
ứ
n= 1
n= 1

( b 2.3.3)
Hay x + y Ê x + y
Vy ỏnh x

.



Tht vy theo nh ngha dóy c bn, ta cú

" e > 0 , $ n0 ẻ Ơ * " m, n n 0
ổ
ỗỗồ x (n) - x
ỗố k= 1 k
Ơ

hay

1
p
(m) p
k

ử
ữ
ữ
ữ
x (n)

- x

1
(m) p
k




Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Ta thấy, rõ ràng với mỗi n ³ n0 phần tử x – x (n) = (xk- xk(n)

¥
k= 1

là 1 phần

tử của không gian l p. Do đó x = x(n) + (x – x(n)) Î l p.
Từ (4) Þ x (n) - x < e

"n ³

lim x(n) = x trong l

n® ¥

n 0 hay

p

Vậy l p là không gian Banach ( hay không gian đầy).
2.2. Trường hợp p = + ¥
2.2.1. Định nghĩa

l ¥ là tập hợp gồm các dãy số thực bị chặn.


,Î l¥

x n + y n £ x n + y n £ sup x n + sup y n < + ¥
n

Þ sup x n + yn < + ¥

n

¥
Þ x + y = (xn + yn) n= 1 Î l ¥

n

+ " x = (xn) ¥n= 1 Î l ¥

Trường ĐHSP Hà Nội 2

,"aÎ ¡
23

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

a x = a . x n £ a .sup x n

ta có

" n = 1,2.....

xn + 0 = 0 + xn = x

(Tiên đề 3 thoảt mãn)

Þ x+ q = q + x = x

4. " x = (xn) ¥n= 1 , Î l ¥

ta có

, đặt y = (- xn)

¥
n= 1

,

Rõ ràng y Î l ¥ và xn+(-xn) =0 , " n=1,2...
(Tiên đề 4 thoảt mãn)

Þ x+y=q

5. " x = (xn) ¥n= 1 , Î l ¥ , " y = (yn) ¥n= 1 , Î l ¥ ta có

a (xn+yn) = a xn + a yn


a ( b xn) = ( a b xn)

" n = 1,2.....
(Tiên đề 7 thoả mãn)

Þ a ( b x) = ( a b )x

8. " x = (xn) ¥n= 1 Î l ¥

ta có

" n = 1,2.....

xn.1 = xn
Þ x.1 = x (Tiên đề 8 thoả mãn)

Vậy l ¥ là không gian tuyến tính thực.
2.2.3. Không gian định chuẩn l ¥
Định lý 2.2.3.
Cho không gian tuyến tính thực l ¥ ,ta đưa vào l ¥ chuẩn của phần tử x,
ký hiệu x , xác định như sau:

x = sup xn

(2.2.2)

n

Khi đó, l ¥ cùng với chuẩn xác định bởi (2.2.2) lập thành một không
gian định chuẩn.