Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi có vai trò
quan trọng trong giải tích. Qua phép biến đổi Laplace, các phép toán giải
tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành các các
phép toán đại số. Nhờ một số tính chất riêng của nó mà biến đổi Laplace
đặc biệt hữu ích trong giải các phương trình vi phân thường, phương
trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân... Phép biến đổi Laplace
biến mỗi hàm gốc theo biến thành hàm ảnh theo biến. Với phép biến đổi
này việc tìm hàm gốc thỏa mãn các biểu thức chứa đạo hàm tích phân
(nghiệm của phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương tình
đạo hàm riêng) được quy về tính toán các biểu thức đại số trên các hàm
ảnh. Khi biết hàm ảnh ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm
hàm gốc.
Ngoài ra, phép biến đổi Laplace còn được nghiên cứu trong vật lý
và nhiều môn học khác.
Phương trình vi phân là một trong những lĩnh vực quan trọng của
toán học. Để giải trực tiếp loại phương trình này nói chung là rất khó, do
đó người ta đã sử dụng phép biến đổi Laplace để giải loại phương trình
này. Để tiếp cận với lý thuyết này và hiểu biết phần nào về những ứng
dụng của nó, được sự định hướng của thầy hướng dẫn em chọn đề tài
"Phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong việc giải phương trình vi
phân thường" để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành
Toán giải tích.

Vũ Thị Mai

1



Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Sơ lược về giải tích phức
1.1.1. Số phức
Định nghĩa. Một số phức là một biểu thức dạng x  iy , trong đó x
và y là những số thực và số i thỏa mãn i 2  1 . Kí hiệu số phức là z và
viết là z  x  iy .

i được gọi là đơn vị ảo, x được gọi là phần thực, y là phần ảo của
số phức z  x  iy .
Tập hợp các số phức được kí hiệu là
đồng nhất với mặt phẳng

2

. Tập hợp các số phức được

bởi phép tương ứng:
→

2

z  x  iy   x, y  

2

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo.

zz
; Im z 
2
2i

z 2 z z,

1
z
 2 , với z  0.
z z

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z  rei với r  0 là
module,  

được gọi là argument của số phức z (argument của số

phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của

2 ) và ei  cos  i sin  . Do ei  1 nên r  z và  là góc hợp bởi
chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi
qua điểm z .
Nếu z  rei và w  sei  thì zw  rsei (  ) .
1.1.2. Hàm số biến số phức
Cho hàm số f của một biến số phức z . Khi đó ta có thể viết dưới
dạng sau:

f  z   u  x, y   iv  x, y  , trong đó u, v là các hàm số 2 biến số thực.
Tính khả vi của hàm số biến số phức
Cho hàm số f xác định trong miền G 

. Khi đó hàm

f được gọi là hàm giải tích tại điểm z0 nếu hàm f khả vi trong một lân
cận nào đó của điểm z0 . Điểm mà tại đó hàm f không giải tích gọi là
điểm kì dị hay f được gọi là có điểm kì dị.
Nhận xét
Hàm f  z  giải tích tại điểm z0 thì khả vi tại điểm đó. Tuy nhiên
điều ngược lại nói chung không đúng.
Trên miền G mở hàm f  z  giải tích trên G khi và chỉ khi f khả
vi trên đó.
1.1.3. Khai triển Laurent
Tại một cực điểm cấp n ta có hàm
n

 z   z  a f  z

là hàm giải tích trong miền z  a   vì vậy ta khai triển được thành
chuỗi Taylor


z 

 k  z  a 
k 0

k



k

F x, y, y, y,..., y   0

(1.2)

trong đó F là hàm xác định trong một miền G nào đó của không gian
n2

gồm biến độc lập x và y là hàm của biến độc lập cùng các đạo

hàm cấp một đến cấp n của nó.
Cấp của phương trình vi phân thường được xác định bởi cấp cao
nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình đó.
Nếu từ phương trình (1.2) ta tìm được biểu diễn của đạo hàm cấp
cao nhất y  n  qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải được đối
với y  n  hoặc còn gọi là phương trình dạng chính tắc, tức là phương
trình (1.2) có dạng :



n
n 1
y    f x, y, y,..., y 



(1.3)

Nghiệm của phương trình (1.2) cũng như (1.3) là hàm y  y  x 
khả vi n lần trên khoảng  a, b  nào đó thỏa mãn các phương trình đó
với mọi x thuộc khoảng  a, b  .

y    f x, y, y, y,..., y 



Nếu vế phải của phương trình vi phân trên là một hàm liên tục của n  1
biến trong một miền nào đó của
và các đạo hàm riêng



 n 1 chứa điểm x , y , y ,..., y  n 1
0 0 0
0



f f
f
,
,..., ( n) liên tục thì tồn tại khoảng  a, b 
y y '
y

chứa điểm x0 để trên khoảng này tồn tại và duy nhất một hàm y  y  x 
khả vi n lần trên khoảng và thỏa mãn điều kiện đầu (1.4).

Vũ Thị Mai

7


Vậy   t  là hàm gốc.
Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng hàm số sau đây là hàm gốc

t 2 khi t  0
f (t )  t 2  (t )  
0 khi t  0.

Vũ Thị Mai

8

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Giải
Điều kiện  i  và  ii  rõ ràng được thỏa mãn.
Đối với điều kiện  iii  ta thấy rằng
et  1  t 

Nên khi t  0 rõ ràng et 

t2 t3
  ...
2! 3!

t2
hay t 2  2et .
2!

 

M ; 
2

Do đó điều kiện  iii  không được thỏa mãn và hàm f (t )  et  (t )
không là hàm gốc.

Vũ Thị Mai

9

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

2.1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace
Cho hàm số gốc f  t  ta gọi hàm số phức F  p  của biến số phức

p    i được xác định bằng công thức sau đây:


F ( p)   f (t )e pt
0

là hàm ảnh của hàm f  t  hay là phép biến đổi Laplace của hàm f  t  .
Kí hiệu là L  f (t )  F ( p).
Chú ý.
+) Hàm ảnh F ( p) chỉ xác định trong miền Re p  s  s0 và là hàm

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Giải
Biến đổi Laplace của  là:


F ( p)   e pt dt  
0

1  pt
e
p


0

với Re p  0.

Ví dụ 2.5. Tìm biến đổi Laplace của hàm số f (t )  e t .
Giải
Biến đổi Laplace của f  t  là:




 t  pt




F ( p) 



  pt

t e



dt 

0


0

e

u

u du
1

p p p 1





Fn   e pt f  t  dt ,
0

với Re p   0 , dãy  Fn n 1,2... hội tụ đều về F trên miền Re   0  2 ,
với   0 bất kì. Thật vậy, với mọi p thuộc miền Re   0  2 , ta có


Fn  p   F  p    e

 Re p t



 Re p t 0  t
f  t  dt  M  e 
e
dt

n

n


 M  e t dt 
n

M



 pt

e ht  1
lim
   tf  t  e pt dt .
ht
h 0
0

Theo định lý Weierstrass hàm f cũng giải tích trên miền Re p   0 .
2.1.3. Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Tính chất 2.1. Tính chất tuyến tính
Cho hàm gốc f k có các chỉ số tăng là  k , biến đổi Laplace là Fk ,

k  1,2... Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính của các
hàm f k

Vũ Thị Mai

12

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
n

f (t )   ck f k (t ) , ck là hằng số
k 1



0 k 1
n

 pt 

0
n



  ck



k 1

n

e pt f k  t  dt   ck Fk  p .
k 1

0

Ví dụ 2.7. Ta có biến đổi Laplace của các hàm thông dụng sau đây:
1
a) L e t  
, Re p  p     0.
  p 
1 



p2   2

,Re p  Im  .

, Re p  Re  .

,Re p  Re  .

13

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Tính chất 2.2. Tính chất đồng dạng
Cho hàm gốc f có chỉ số tăng là  0 , L  f   F và c  0 là hằng
số.

1  p
Khi đó L t  f (ct )  p  F   , Re p   0 .
c c

(2.2)

Chứng minh
 pu
c

n n

với

Re p  0.
Tính chất 2.3. Tính chất dời (Chuyển dịch ảnh)
Cho L  f   F , f có chỉ số tăng là  0 ,  là hằng số. Khi đó:

L  e t f  t    F  p   



Re p   0  Re 

(2.3)

Chứng minh


  p t
L et f (t )    e
f  t  dt  F  p    .


0

Ví dụ 2.9. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng sau đây:
p
f) L et cos  t  



khi t  
0
f  t   
 f  t    khi t   .
Khi đó L  f  p    e  p F  p  , Re p   0 .

(2.4)

Chứng minh



 pt

L  f  p     e



 pt

f  t  dt   e

0

 p u
f  t   dt   f  u  e  du  e p F  p  .

0



e
0

Vũ Thị Mai

 pt

1
sin  t dt  
p

15

2

 sin  t d  e

 pt



0

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1

 pt

cos t dt.

0

Ta tính
2


0

e pt cos t dt  

1
p

2

 cos t d  e

 pt



0

1
   e pt
p



Suy ra





1  e 2 p 
  2 p
 p   2 e
 1     p     p  
.

p 
p2   2

Theo công thức (2.5) suy ra:

1  e2 p  


L sin  t   F  p  
 2
.
2
2
2
2 p
p

16

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
n 1

f 0
f  0
f   0
n 

n

L f
 p F  p 

 ... 



p
p2
pn


 

ở đây f 


0

t 
t 0



  pe pt f  t  dt
0

 

 pF  p   f 0 .
Vậy công thức đúng với n  1.
Giả sử quy nạp đúng với n  1, N , khi đó

L f 


N 1 



N
 L  f    



N 1

  



 

L  f   pF  p   f 0
Suy ra
L f


N

f 0
f  0
f   0
 p N 1  F  p  

 ... 


p
p2
p N 1


 N 1 

 


e
 .
0
p
p

Thay vào phương trình đã cho ta được:

 p3  2 p2  p Y  p   4p  p 2  5
Suy ra Y  p   

p3  5 p  4
p 2  p  1

2



3 4
2
 2
p p
p 1

Vậy y  t   3  4t  3et là nghiệm cần tìm thỏa mãn điều kiện ban đầu.
Tính chất 2.7. Tính chất về đạo hàm của hàm ảnh
Cho hàm L  f   F , f có chỉ số tăng là

, ta có:


Bằng phép quy nạp ta suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2.12.

L t sin  t    L  t  sin  t   

d

2 p

dp p 2   2
p2   2

L tco s  t    L  t  co s  t   

L t s h t    L  t  s h t   

L tch t    L  t  ch t   





2

.

d
p
p2   2


dp p 2   2
2
2 2
p 





Tính chất 2.8. Tính chất tích phân của hàm gốc
t

Cho L  f   F và f liên tục khi đó ánh xạ t   f   d cũng là
0

hàm gốc (nếu như f liên tục thì ánh xạ này là nguyên hàm của f ) và

t
 F  p
L   f   d  
p
 0


(2.9)

Chứng minh
t

Đặt g  t    f   d thì g liên tục, suy ra đo được.



Khóa luận tốt nghiệp

Vậy g là hàm gốc.
Đặt G  L  g  thì F  L  f   L  g    pG  p 
 G ( p) 

F  p
.
p
t

Ví dụ 2.13. Tìm hàm ảnh của hàm  sin  d .
0

Giải

L sin   





p p2   2



t



f t 
.
t

Chứng minh
Đặt g  t  

f t 
, G  L  g  theo tính chất đạo hàm của hàm ảnh
t

thì

G  p   L  t  g  t     L  f    F
Vậy G là một nguyên hàm của F . Ngoài ra g là hàm gốc hiển
nhiên, g đo được trên  0,  .
Giả sử chỉ số tăng của nó là  có

Vũ Thị Mai

20

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp







và

G  p   G  p   lim G  z      F  u   du
Re z 

p



 f t  
 L
     F  u   du.
t

 p
t

Ví dụ 2.14. Tìm L  Si  với Si t  
0

sinx
dx.
x

Giải



Tính chất 2.10. Tính chất của tích chập
Giả sử L  f   F , L  g   G , f và g lần lượt là các hàm gốc có chỉ
số tăng là  0 và  0 liên tục trên mọi khoảng của

Vũ Thị Mai

21



. Nếu ta xem f và

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

, triệt tiêu trên  ,0  thì tích chập f  g cũng là

g xác định trên

hàm gốc có chỉ số tăng  0  max  0 , 0  và L  f  g   F .G.
Chứng minh

t ,   0 có:
t

t

 f  g  t    f  t  g  t    d   f   g  t    d

 pt

0

 f   g  t    d dt
0





  f   d  e pt g  t    dt


0


 G  p   e pt f   d  F  p  G  p 
0

Ví dụ 2.15.
a) Tìm hàm gốc của F  p  

Vũ Thị Mai

1

 p  1
2



Mà ta có tích chập
t

sin t  sin t   sin  t    sin  d
0
t

t

 sin t  cos sin d  cos  sin 2  d
0

0

 1 cos 2 t 
 t sin 2t 
 sin t  
 cost  


2
2 
2 
2



Suy ra F  p  


t

  t     t    e d  t  e
0

Mà L  t  

Vũ Thị Mai

1
p

;
2

1
L  et  
.
  p 1

23

K35D - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1 1
Nên theo định lí nhân Borel ta có L   t    L t  e   2


có hệ số thực và không bằng nhau.


Khi đó lim F  p   lim
p 

e
p 

 pt

f  t  dt  0.

0

Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại các hàm gốc f  t  từ
hàm ảnh F  p  .
Ví dụ 2.16. Ta có:

L  cos  t  =

L sin  t  

Vũ Thị Mai

p 
1 

cos



L s h t  =

 
1 

s
h

t

L
.

2
2
p2   2
p  

L  ch t  =

p 
1 

ch

t

L
.

Từ

Suy ra

1
p2  2 p  5



L[et sin 2t ] 

1

 p  12  4



1
2
2  p  12  4



2
t
1



e

Kết quả này được gọi là định lý Lerch. Nó có nghĩa là chúng ta hạn
chế việc đề cập tới các hàm liên tục trên  0,  thì biến đổi ngược
L1  F  p    f  t  ,

là xác định duy nhất.
Biến đổi Laplace ngược cũng có tính chất tuyến tính, tức là:
L1  aF  p   bG  p    af  t   bg  t 

với L1  F  p    f  t  , L1  G  p    g  t  . Điều này được suy ra từ tính
chất tuyến tính của L và đẳng thức được xác định trong miền chung của
F và G .

Vũ Thị Mai

25

K35D - SP Toán