Khoá luận tốt nghiệp
Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội 2
KHoa Toán
********

Trần thị la

khai thác bài tập toán phần công thức
biến đổi lƣợng giác

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S Nguyễn Văn Hà

Hà Nội - 2010

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

1


Khoá luận tốt nghiệp
LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tôi đã nhận được sự
giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo trong tổ phương pháp và các bạn sinh
viên trong khoa. Qua đây tôi muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo
trong tổ phương pháp , đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Hà người đã định hướng


1. Bài toán và lời giải bài toán.

5

2. Ý nghĩa của bài toán.

8

3. Phân loại bài toán.

12

4 Phương pháp tìm lời giải của bài toán: Dựa theo 4 bước của Polia

14

5. Các phép suy luận quy nạp trong toán học.

18

Chương II: Ứng dụng trong dạy học

21

1. Hệ thống hóa các kiến thức.

21

2. Các dạng bài tập.

90

3


Khoá luận tốt nghiệp

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình Toán ở trung học phổ thông, lượng giác là một trong
những mảng kiến thức rất cơ bản và quan trọng. Cuối chương trình Toán lớp
10 học sinh đã được học về phần lượng giác. Kiến thức cơ bản và đầu tiên học
sinh được học đó là một loạt các công thức biến đổi lượng giác như: công
thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức
biến đổi tích thành tổng. Song song cùng với nó, học sinh lần lượt được làm
quen với các dạng bài tập có liên quan chẳng hạn: tính giá trị lượng giác của
một góc, chứng minh đẳng thức, nhận dạng tam giác, rút gọn biểu thức. Sang
đến lớp 11 lại có thêm phần phương trình lượng giác, việc giải phương trình
lượng giác đôi khi cũng sử dụng các công thức biến đổi lượng giác. Nhằm
củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng sử dụng các công thức biến đổi lượng
giác thầy giáo đã đặt đề tài cho tôi là “ Khai thác bài tập toán phần công
thức biến đổi lƣợng giác ’’. Nội dung chủ yếu của đề tài là việc phân chia
các dạng bài tập có liên quan đến việc sử dụng các công thức biến đổi lượng
giác sin, cosin, và đưa ra một loạt các dạng bài tập giúp củng cố khắc sâu và
rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận về bài toán, việc phân loại bài toán và phương pháp
tìm lời giải bài toán nhằm mục đích xây dựng hệ thống bài tập đa dạng
phong phú, đáp ứng yêu cầu giảng dạy phần công thức biến đổi lượng
giác ở trường phổ thông.

- Tổng kết kinh nghiệm.
-

Thực nghiệm giáo dục.

5. Cấu trúc khóa luận
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
Bao gồm 2 chương là:
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Ứng dụng trong dạy học.
Phần 3: Kết luận.
Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

5


Khoá luận tốt nghiệp

PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG I:

Cơ cở lý

luận
1. Bài toán và lời giải của bài toán
1.1. Bài toán
Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có

. Mục đích của bài toán thể hiện qua: '' phương trình bậc 3: x3 + ax2 +
bx + c = 0 luôn có nghiệm ''
1.3. Lời giải của bài toán
Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện
để đạt tới mục đích đã đặt ra.
Như vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán.
Một bài toán có thể có :
. Một lời giải.
. Không có lời giải.
. Nhiều lời giải.
Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một
lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải
được bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.
Ví dụ: Bài toán có nhiều lời giải:
'' Trong giỏ vừa thỏ vừa gà
Một trăm cái cẳng bốn ba cái đầu
Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

7


Khoá luận tốt nghiệp
Hỏi có mấy gà mấy thỏ ?''
Cách 1: Phương trình 1 ẩn
Gọi x là số con gà (x nguyên dương). Do đó số con thỏ là 43-x.
Ta có phương trình là: 2.x + 4.(43 - x) = 100
Giải phương trình ta được x=36
Trả lời: Số gà là 36 con, số thỏ là 7 con.

Số chân dư ra là: 172 - 100 = 72 (chân)
Số chân dư ra so với điều kiện đã cho là do ta giả sử tất cả 43 con vật
đều là thỏ cả, tức là ta đã thêm vào cho mỗi con gà 2 chân.
Vậy số con gà là: 72 : 2 = 36 (con), số con chó là: 43 - 36 = 7 (con)
Trả lời: Số gà là 36 con, số thỏ là 7 con.
Cách 5: Giả thiết tạm
Giả sử cả 43 con vật gà cũng như thỏ đều 3 chân. Do đó số chân của 43
con vật sẽ là: 3  43 = 129 (chân).
Số chân dư ra là : 129 - 100 = 29 (chân)
Số chân dư ra 29 chân là do ta giả sử gà và chó đều 3 chân, tức là ta đã
tăng lên cho mỗi con gà 1 chân và đồng thời giảm đi mỗi con thỏ 1
chân. Vậy 29 chân dư ra số con gà lớn hơn số con thỏ là 29 con. Do đó
ta có:
Số con thỏ là : (43 - 29) : 2 = 7 (con)
Số con gà là :

7 + 29 = 36 (con)

Trả lời: Số gà là 36 con, số thỏ là 7 con.
2. ý nghĩa của bài toán

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

9


Khoá luận tốt nghiệp
2.1. Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

xúc

nhau:

1
cos 2 x  cosx  1
2
y  xsinx  m
y 

Giải
2 đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi:
1
 cos 2 x  cosx  1  xsinx  m
2

  cosxsinx  sinx  xcos x  sinx
1
 cos 2 x  cosx  1  xsinx  m
 2

cosx(x  sinx)  0

1
2
 2 cos x









1  xsinx  m



 x  2  2k
 
(k  Z)

m  1  (  2k )
2




 x  2  (2k  1)
Hoặc: 
(k  Z)

m  1 
 (2k  1)
2

Xét hàm số: f(x) = x + sinx , x  R
Ta có :

f’(x) = 1 + cosx với  x R

(C) và (D) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi 

 y  g ( x)

có nghiệm kép

2.2 Rèn luyện và phát triển tƣ duy cho học sinh
Đặc điểm nổi bật của toán học cũng như của môn toán là một khoa học
suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề. Do vậy nên lời giải
của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để
đi đến 1 mục đích rất rõ rệt. Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng
trực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận hợp lôgíc:
Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo qui tắc suy diễn, ...
Chúng ta biết rằng không thể có 1 phương pháp chung nào để giải được
mọi bài toán. Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra được
lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích: phải biết cách dự đoán
kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề
tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp khái quát hoá .....
Như vậy qua việc giải bài toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện
và phát triển.
2.3. Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học
sinh
Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ
của bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ, và vận dụng các kiến thức của bộ
môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải
quyết được các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

giải bài toán đó. Nói theo cách của G.POLIA là " Khát vọng và quyết
Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

13


Khoá luận tốt nghiệp
tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài
toán". Do vậy ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu
của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người.
3. Phân loại bài toán
Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được
mục đích nhất định, thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
3.1. Phân loại theo hình thức bài toán
Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho
hay chưa để phân chia bài toán ra thành 2 loại:
- Bài toán chứng minh: Là bài toán kết luận của nó đã được đưa ra một
cách rõ ràng trong đề bài toán.
- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn
trong đề bài toán.
3.2 . Phân loại theo phƣơng pháp giải bài toán
Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: Bài toán này có angôrit
giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại
- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo
một angôrit nào đó hoặc mang tích chất angôrit nào đó.
- Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của
nó không theo một angôrit nào hoặc không mang tính chất angôrit nào.
3.3. Phân loại theo nội dung bài toán

Những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

15


Khoá luận tốt nghiệp
Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, nhữngyếu tố thay
đổi, biến thiên của bài toán.
Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.
Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?
Bƣớc 2: Xây dựng chương trình giải.
Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây
dựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời cũng là bước khó
khăn nhất. Bước này đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã
biết để nhận xét, so sánh, bác bỏ, từ đó mối có thể tiếp cận tới lời giải
của bài toán.
Đối với những bài toán không có angôrit giải, chúng ta sẽ phải tiến hành
xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:
a. Phương pháp đi xuôi:
Xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề. Bằng suy
luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic của các tiền đề đó. Tiếp
tục chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài
toán làm tiền đề mới. Lại bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ
quả lôgic mới gần gũi hơn với kết luận.... Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng
ta tìm ra được hệ quả lôgic trùng với kết luận của bài toán. Khi ấy ta tìm
được lời giải của bài toán.


Chú ý: Thông thường trong nhiều trường hợp để tìm được lời giải của bài
toán ta thường kết hợp cả 2 phương pháp - đi xuôi và đi ngược.
Ví dụ: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:
'' Chứng minh rằng nếu ABC thoả mãn điều kiện a = 2bcosC thì
ABC là tam giác cân''
Hd:
Để chứng minh một tam giác là tam giác cân ta có nhiều cách: hoặc
chứng minh 2 cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh 2 góc nào đó
bằng nhau.
ở đây ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên hệ giữa góc
và cạnh, do đó ta có 2 hướng chứng minh đó là: chuyển về đẳng thức
liên hệ giữa góc và khi đó ta sẽ chứng minh tam giác đã cho có 2 góc
bằng nhau hoặc ta có thẻ chuyển về đẳng thức liên hệ giữa các cạnh và
khi đó ta sẽ chứng minh tam giác đã cho có 2 cạnh bằng nhau

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

17


Khoá luận tốt nghiệp
Để thực hiện được công việc chuyển đổi đó ta sẽ cần sủ dụng đến 2 định
lý sin và cosin.ta có 2 cách giải:
Cách 1: Sử dụng định lý sin
Ta có: a = 2bcosC



mà vẫn chưa tìm được lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần chuyển
Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

18


Khoá luận tốt nghiệp
hướng suy nghĩ theo một hướng khác, tạm gọi là phương pháp sử dụng
các phép suy luận qui nạp, nghĩa là: Suy nghĩ đến bài toán liên quan, có
tính chất gần giống với bài toán ta cần giải - Có thể là bài toán con, bài
toán tương tự, bài toán đặc biệt, đôi khi là bài toán khái quát.
Bằng cách phân tích sử dụng lời giải của các bài toán có liên quan
với bài toán đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải
của bài toán đã cho.
Theo G.POLIA chúng ta thường phải đặt ra các câu hỏi sau: " Anh có
biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?"; " Đây là một
bài toán gần giống với bài toán của anh đã giải được rồi. Anh có thể
dùng được nó làm gì không?"; " Nếu anh không giải được bài toán đã
cho, thì trước hết hãy giải bài toán gần giống với nó.
Bƣớc 3: Thực hiện chương trình giải.
Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta
dùng các phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các
mệnh đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân
biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra
được - chính là điều chứng minh được.
Bƣớc 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán.
Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm

Từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn.
Đặc trưng của suy luận quy nạp là:
- Quá trình suy luận không tuân theo quy tắc suy diễn.
- Kết luận mang tính ước đoán có thể đúng có thể sai cần phải kiểm
nghiệm.
- Các phép suy luận qui nạp có nhiều ứng dụng trong giải toán, trong
việc sáng tạo toán học.

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

20


Khoá luận tốt nghiệp
a. Suy luận quy nạp không hoàn toàn
Suy luận quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận mà kết luận thuộc
tính A thuộc vào tất cả các phần tử của tập đang xét trên cơ sở biết thuộc
tính A thuộc vào một số phần tử nào đó của tập đó.
A1A2...An  A
b. Suy luận tương tự
Suy luận tương tự là suy luận mà việc rút ra kết luận về 2 đối tượng
A và B giống nhau ở các dấu hiệu nào đó trên cơ sở đã biết hai đối
tượng đó có một số dấu hiệu giống nhau từ trước.
Ví dụ:

A có các dấu hiệu a, b, c, d

B có các dấu hiệu a, b, c


d. Suy luận đặc biệt hoá
Suy luận đặc biệt hoá là suy luận đi từ nhóm đối tượng rộng đến một
nhóm đối tượng hẹp hơn chứa trong tập hợp đối tượng ban đầu.
Trong phép suy luận đặc biệt hoá cần chú ý các trường hợp đặc biệt giới
hạn suy biến : Tiếp tuyến với đường cong là giới hạn của cát tuyến với
đường cong khi hai giao điểm của cát tuyến trùng nhau; Đoạn thẳng là
trường hợp suy biến tam giác; Điểm có thể coi là đường tròn suy biến có
bán kính bằng không.

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

22


Khoá luận tốt nghiệp

CHƢƠNG II :

ỨNG DỤNG TRONG DẠY

HỌC
1. HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC
* CT cộng :

sin(a ± b)  sinacosb  sinbcosa
cos(a  b)  cosacosb  sinasinb


( t  tan a )

2

* CT biến đổi tích :

cosa  cosb  2cos

ab
ab
cos
2
2

cosa  cosb   2sin

Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

ab
ab
sin
2
2

23


Khoá luận tốt nghiệp

2

2. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Liên quan đến phần công thức BĐLG sin, cosin ta có thể đưa ra một
vài dạng bài tập cơ bản sau đây:
- Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của 1 góc bất kỳ biết giá trị hàm
lượng giác khác liên quan đến góc đó, tính giá trị biểu thức
- Dạng 2: Rút gọn biểu thức.
- Dạng 3: Chứng minh đẳng thức.
- Dạng 4: Nhận dạng tam giác.
- Dạng 5: Phương trình lượng giác.
Sau đây là từng dạng cụ thể:
DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA 1 GÓC BẤT KỲ BIẾT
GIÁ TRỊ HÀM LƢỢNG GIÁC KHÁC CÓ LIÊN QUAN ĐẾN
GÓC ĐÓ. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Sv:

Trần Thị La -SP Toán 32

24


Khoá luận tốt nghiệp
I. BÀI TẬP CƠ BẢN.
Bài 1: (SGK ĐSNC 10 trang 213)
Sử dụng 750 = 450 + 300, hãy tính giá trị lượng giác của góc 750
Sử dụng 150 = 450 - 300, hãy tính giá trị lượng giác của góc 150
Giải
Ta có :
sin750 = sin(450 + 300) = sin45o cos30o  cos45o sin30 o 

3
2
2


Giải
Ta có: sina 

 cosa  

Vậy

2 2
a
1  cosa
. Mặt khác : cos 2 
3
2
2

cos

 tan

Sv:

π
1
2 2
 cosa  

cot

3 2 2
6

a
 3 2 2
2
25