ũẹ ề
ẹ ĩ ề
ỉ ề
ủí ỉ
ề
ề
ẹ
ề
ể
ắ
ỉệ
ừí
ỉ
ẹ
ĩ ề
èểụề
ề
ú
ụể èậ èừ ặ
ễ
ỉệểề
ể
ỉệ
ề
ú ỉ ề
ễ ềủí
ụ
ỉ
í
ừ
ậ
ẹ ỉệểề
èệ
ề
é
ễ
ũẹ
ề
ẹ ỉệểề
ề ỉ ủề
ỉ
ì ỉ ếụ ỉệ ề
ề á
ỉ ễ ủ ỉ
ễ
ủ ặ
á ỉ ụề
èụ
ặ í ề è
ÓñÒ Ø ñÒ
Ò
ÕÙô ØÖ Ò
Ú
×
Ø
ØÖ Ò ØÖ Ò
Ò
ØÖ Ò
Ú
Ò
Úñ
Ò
ÐÙ Ò Ø
Ø
Ø
Æ ÙÝ Ò Ì
Ò Ñ ¾¼½¿
ò
À Ò
Æ ÙÒ
ô
º
ô
Ò ñ
Å
Ð
ÌÖ Ò
Å
Ù
½ Ä Ø ÙÝ Ø ñÑ ×ÙÝ Ö Ò Ë
Û ÖØÞ
½º½º Å
Ø ×
½º¾º Ã
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Û ÖØÞ
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¾ Ì
ô
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
¾º½º Ì
Ô
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ì
Ô ØÖÓÒ
¾º½º¾º
Ì
ÕÙÝ Úñ Ø
º Ã Ø ÕÙò
Ò
Ø
Ë
Û ÖØÞ
ÙØ
½
º º º º º º º º º º º º º º
Ò Úñ Ñ
Ò
Ò
½
º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò
õÒ º º º º º º º º º º º
º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
½
¾¿
¾
Ñ
òÓ
¾
ẵ
ể
ề
ỉủ
ủẹ ìí ệ ề
ừể
ề
ẹ
ủẹ ỉ
ề
ệ ề
ề
ủ
ụ
ề
ể
èệ
ỉểụề
ẹ
ẹ ắ
ỉủ ó ỉ
ễ
ỉệ ề
ẹ ỉ ì
ủ
ụ
ệỉị
ụ
ẹ ỉ
ề
ỉ
ề
ủí ỉ ẹ ỉỳỉ
ủí
ỉệ ề
ề
é ề
ủẹ ỉ
ắ
ủí
ề éủ
é ề ỉệ ề
ề
ề
ệ ề áỉ
ỉ
ẵ
ề
á
ề
ề
ề
ỉệ ề
ủẹ ì
ẹ
ừ
ủể
ỉí ề ỉ ề ủẹ ìí ệ ề
ụ
ẹủ ẹ ỉ
ỉ ếũ
ề
ề ế ề ỉệ ề
ẹ ủể
ụ
ề
ệỉị
ắ
ặ
ĩ í
ề
é
ề
ụ
ếũ
ề
ỉ
ề
è ẹ
ỉ
ậ
ệỉị
ủ ễ
é
ừẹ
ỉ í ỉ
ề
ề
ủẹ ìí ệ ề
ậ
ệỉị
ỉệ ề
ể
ủí
Ò
Ô ôÔ Ô
Øñ Ð
Ò
Ò
ôÔ Ò
Ù¸ ØÖ
Ú
Ø
ô
Ø
ĺË
Ò
Ù
N
ỉ ì
ỉ
ỉ ề
ủ
é ề ề ềủíá ỉ
éủ ỉ ễ
ụ
ì
ụ
ì
ỉ
ủ
ẹ
ỉ
ề
ì
N = 0; 1; 2; ... éủ
Z
éủ ỉ ễ
ễ
ụ
ì
ễ
ỉ ễ
ễ
ụ
ì
ễ
ụ
ì
R éủ ỉ
i = 1
ề í ềá
ề ỉ
ề
é
1
2
n
x2j
x =
.
j=1
è
ẹ
ì à
ềỉ
= (1 , 2, ..., n) |aj N éủ ẹ
ẹ
xj ủ ỉểụề ỉ
éủ
ẹ ỉ ỉ ễ ẹ
Lp () = f : C|
|f
ỉ
ì
n
ì
ỉểụề ỉ
ễ
ề
f
p =
p
p
=
ỉệểề
è
L () éủ f (x)
ừể
ủẹ
ẹ ỉ ỉ
ể
ề
ể
ì
ỉ
ỉ
ỉ
j !
f g
j ! (j j )
(f g) =
= esssupx |f (x)|
j j , j = 1, 2, ..., n ặ ỉ ỉ
ề
.
L () = {f : C| esssupx |f (x)|p dx < +}á
ề ỉệểề
ẻ
ẵắ
|f (x)|
1
p
esssupx |f (x)| = inf {M > 0|à {x | |f (x)| > M } = 0}
ỉệểề
ề
ỉ
ề
è
ể
ể
f
C ()
éủ ỉ ễ
ỉ ề ỉừ ủ
ễ
ẹ
ụ ỉệ
ủẹ é
ề ỉ
f : Cá éủ
ỉ ễ
ễ
{f C (R) : supp f K}
èệ
ỉ ỉ
ỉ
ề
ề
ì
ẵẵ
Rn
ể
Kj , (j = 1, 2, ...) ỉ
ể
á ỉ
j=1 Kj =
ủ
é ề ề ềủí ỉ
éủ ẹ ỉ ỉệểề
K
éủ ẹ ỉ ỉ ễ
{Kj }
ụ ỉ ễ
ểẹễ
ỉ ỉệểề
ề
ỉệểề
ẵẵà
ề
ề
ẵẵ è
ề
ệ
K
ỉ
ỉ
í
éủ
ề
ề
ểề
ề
DK ()
ẹ ỉ
ỉừ ỉ
ỉ ủ
K
ẹ
ỉ ễ ỉ ỉ
ũ
ụ
éủ
ề
C ()
ẵẵ
ề
ề
ụ
D () =
j=1 DKj ()
ề ề
ễ
ểẹễ
é
ề
ụ
D () éủ ẹ
ủẹ ỉ
ỉ
ề
ề
ỉ
ỉểễể
ỉệểề
ũ ỉ
ề
ề
ề
ừ ặ
ề
ụ
ề ế ề ỉệ ề
ụ ề
ỉ
ề
ề
D ()
ẹ ẹ
ề
ụ
ỉ ề
ỉểễể
è
ề
ỉ
DKj ()á ề
ỉ ỉ
ì ể
ể
ể ỉểễể
suppl Kj
0
ỉ
D ()
ỉệểề
ủ
l N ủ l 0
ẹ
éủ
ẹ
é
ề
ủẹ
ề
ề
ủẹ ìí ệ ề
ữề
éủ
úí
é
E
éủ ỉ ễ
: éủ ỉí
ề
ậ
ễ
ẹ
ủẹ
ủẹ ìí ệ ề
ỉ
ì ể
ể
xKj
ủẹ ìí ệ ề
ề
ụ
uỉ
ẵ
l
j N
| ()| cj sup p {| (x) : || Nj |}
ề
ẵ ẩ ễ é í ễ
ẹ
ỉ ề
Nj N ủ
ề ỉừ
DKj ()
é
ì ể
ể
sup
ề
ủẹ ìí ệ ề
ỉệ ề
u () éủ u.
ề ỉ ề
ủ é
ề ỉ
ỉệ ề
ậ
ệỉị
D ()
éủ
D ()
ẻ
D (Ω) Ø
u Ðñ Ñ
Ó
Ò
Ò
ÚñÓ Ø Ò
Ð
Ò Ø
Ø Ô
Ñ
ñÑ ØÙÝ Ò Ø Ò
ØÖ Ò
D (Ω)º
ô
Ñ Ò
N
c > 0 Úñ Ñ
Ø ×
Ò ÙÝ Ò
|α≤N |
sup |∂ αφ|
Ò
Ò
Ú Ý Ø
0 ØÖÓÒ D (Ω) Ø
Ø Ú
ØÖÓÒ
Ò
½º½º
CÒ
Ý
D′ (Ω) Ðñ
Ö÷Ò
Ò
j→0
N′ > N
N
ÑóÒ ´½º¿µ Ðñ
Ô
Ø Ó Ò
lim u.φ = 0º
Ú Ò
Ò º Ì
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò º Æ Ù
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ò Ú
Ø
Ñ
u, v ∈ D′ (Ω) Ø
Ò
Ò
u+v
Ò
× Ù
u + v, φ = u, φ + v, φ ∈ D (Ω)
u + v ∈ D′ (Ω)º
Ã
È Ô Ò
Ø
Ò Ú
Ò
Ò
Ô
Ò Ø
½¾
Î
½º½º
Ωf
½º Å
ñÑ
(x) φ (x) dxº
φ ∈ D (Ω) ×
Ì
Ó
Ó
Ó
¾º Ì
Î
Ø
Ú
f (x) φ (x) dx
K
K
ñÑ
Úñ Ñ
|f (x) φ (x)| dx ≤ sup |φ (x)|
K
f : φ → f, φ =
K ⊂Ω
Ø Ô
ÓÑÔ
Ø
(x) φ (x) dx =
Ωf
N = 0 Úñ c =
Ò
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò º
Üô
Ò
Ò
× Ù
δ : D (Rn ) → C
Úñ
δ, φ = φ (0)
Ðñ Ñ Ø
Ì
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ø Ú Ý¸ Ú
suppφ ⊂ K
Î
Ñ
0º
K ⊂ Rn
Ø Ô
ÓÑÔ
Ø
Ô
½º º ÌÖ Ò
R Ü Ø
Ø
α ∈ Nn ¸
ôÒ
Üõ
uf.α : φ →
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò º
f
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Üô
Ò
Ò
× Ù
Ò Ù
k = j
Úñ
φj (x) = 0
õÒº
× Ó
Ó
φj (x) = (x − j)j φj
Dk φj (k) = 0
|x − j| > ǫj
Ò
φ(j) (j) , ∀φ ∈ D (R)
x−i
ǫ
φ (x) = 1, x ∈ − 12 ; 21 , sup p φ ⊂
Ú
Ò
ǫj
½¿
j−1
sup Dk φj (x)
| f, φj | = j! > j
Ó
Ú
Ñ
k > 0, c > 0 Ø
Ò
k=1
x∈R
u ∈ D′ (Ω)º
u
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
supp u = Ω\(∪{K\K
Æ Ù
u
supp u Ðñ Ø
ô
ÓÑÔ
غ Ì Ô
E ′ (Ω)º
sup |Dn φj (x)|
k
0 ØÖ
÷Ò
Ò Ø Ô Ñ
u =0
Ò
} ⊂ Ω Úñ u|K = 0º
Ô
ÓÑÔ
Ø ØÖÓÒ
Ô
ô
Ù
K⊂Ω¸
ΩØ
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ø
Ò
u Ðñ
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
ô
¾º½º½º
Ò
Ì
Ò
f ∗g
Ò
Ù Ò
¾º½º
Üô
f
Å Ò
Ø
Ý Ú
Lp
Ò
=
Ô
f
Úñ
g
Ù Ðñ
Ò
Rn
f (y) g (x − y) dy =
Ø
øÒ
Ø
Ò
p = 1¸
Ø
¾º½º
Ú
Lp (Rn ) , 1 ≤ p ≤ ∞ Ðñ
Ô ØÖÓÒ
(f ∗ g) (x) =
Ì
Ò Ø
Ô
Ø Ö÷Ò
Ú
ñÝ Ñ Ø ×
Lp
≤ f
h (x) =
Rn
Rn
Rn
|g (y)|dy
=
= f
Ì
×ÙÝ Ö
h (x) < ∞
f ∗g
1
1
Ù
Rn
Ðñ Ð
Ð
Ò
Rn
f 1.
1
Î
1 < p < ∞¸
hp (x) < ∞
|f (x − y)| |g (y)| dy =
Rn º
f (x − y) g (y) dy dx
Rn
øÒ
|f (x − y)| dx
≤ ∞.
Rn
Ø
Ø
Rn
|f (x − y)| |g (y)| dy dx
Rn
Ø
ÀÓÐ
Ù
úÔ Ò
Ø
Ò
ØÖ Ò
Ø
Rn º
hp (x) =
q>0
Ö Ø
1
Rn
|f (x − y)| q dy
ĩụ
ề
ỳễ ề
ỉệ ề
Rn
f (x y) g (y) dy dx
Rn
1
p
p
Rn
ỉ
ỉ
ặ
éủ ẹ ỉ ễ
ẹ
Rn
|g (x)| dx
p
g
L1
ỉ
1
ề
Lp ề
ề
ề
ỉệ ề
ề
ề
ỉ
ễ ủ
ỉ
ề
ễ
ắắ
g
1
1
p
p
f
1
ề ề
1
p
p
f g =
Rn
ể
ủẹ ìí ệ ề
u, v D (Rn )á ỉ
ủẹ ỉí ề ỉ ề á
uv
ễ
ĩụ
ủẹ ìí ệ ề
= u (y) , (y) = u,
ụ
(y) , u (x) , (x + y)
= u (x) , (x)
ụ ỉệ
½
Î Ý Ò Ò
µ
Ò
Ò
u∗δ =δ∗u=u Ú
Ø
φ ∈ D (Rn ) Ø
Ô
h ∈ L1 (Rn )
|h (y)| ≤
Rn
Ò Ò
Rn
|g (t − y)| dt = c g
Rn
t∈sup p φ
y ∈ Rn º
|g (x) φ (x + y)| dx =
≤ sup |φ (t)|
Ú
Ø
|g (t − y)| |φ (t)| dt
L1
f (y) g (x) φ (x + y) dxdy
Rn ×Rn
=
Rn
Rn
=
Rn
Ò
Ò
(f ∗ g) (x) =
¾º¿º Æ Ù
Rn
f (y) g (t − y) dy φ (t) dt
f (y)g (t − y) dy, φ (t)
f (y) φ (t − y) dy
Üô
Rn º
´¾º¾µ
½
¾º¾º
Ò
Ì
Ò
Ñ
¾º º
D′ (Ω)º Ì
Ø
ñÑ ØÖ
Ó Ñ Ø
Üô
Ò
Ò
u∈
× Ù
f u, φ = u, f φ , ∀φ ∈ D (Ω)
Ã
Ò
Ö Ò º Ì
Úñ
Ø Ú Ý¸ Ö
Ò
ÖñÒ
supp φ ⊂ K, K
supp φ ⊂ K ⊂ Ω¸
Ñ Ò
φ ∈ C∞ (Ω)
supp (f φ) ⊂
Ý
u, f φ ≤ c
Î
øÒ
δ ∈ D′ (R) Ø
|α|≤N
sup |∂ α f φ|
x.δ = 0 Ì
Ø Ú Ý¸ Ú
+∞
δ (x). (xφ) (x) dx
xδ, φ = δ, xφ =
−∞
Úñ
f (x) = x ⊂ C ∞ (R)º
Ì
f u, φ = u, f φ , ∀∅ ∈
½
D (R)¸
Ý
1
x. , φ
x
+∞
1
, xφ
x
=
=
−∞
+∞
ε
+∞
1.φ (x)dx
φ (x)dx =
=
−∞
−∞
= 1, φ , ∀φ ∈ D (R)
Î Ý
x. x1 = 1º
Ì
Ä
Ñ Ø
Ò ÞØ Ú
Ò
Ð Ý Ø
Ì
¾º¿º½º
Ò
Ø
È
Ò
Ñ Ø
Ù
¾º º
Ô ôÔ
δ
Ø
ÑóÒ
Ò
¹ óÝ
Ø
ñѺ
ØÖÓÒ
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
ñÑ ×ÙÝ Ö Ò
Ø
Ú
Ò ÕÙ
ØÖ Ò¸ Ò
Ò Ú Ðñ ½º
Ò
ÕÙÝ Úñ Ø
Ò
ể
suppn {x Rn : x n }á
à
Rn n (x) dx
à
ặ
ề ẹ ỉ
ụ
ệ
ề
ể
èệểề
ạ
ỉệ
ề ỉ
ẵ
ỉệ
ế ề á ẹ ỉ
í
ề
ề
c1 à
=1
n 0
úí ề
éủ ẹ ỉ
Rm
ạ
ỉ
èệểề
ỉ
ìề
éủ ỉ
ể
ì ềì
à
xk+1(n )k (x) < +, k = 0, 1, 2, ...
sup
xR,nN
ể
c2 à
è
ể
ềỉểì
á
xk+1 k (n )k (x) < +, k = 0, 1, 2, ...
S, T D (Rm )
ủẹ ìí ệ ề
á lim n = ỉệểề
n
D (Rm ) è
ề ề
ỉệểề
ề
ề
ề
ắ è
ẻ
ề
D (Rm )
ề
ỉ
ủ
T
ủ
n
úí
ể ỉệ
ỉ
n
ẹ ỉ
ủẹ ìí ệ ề
ủ
lim T n = T
ề
ề
ề
ề
ỉ
C (Rm )
lim S n = S
n
éủ ề
ề
(S n ) . (T n )
n
é ễ
ì ềì
ề
è
ỉ
ề
Ò
Ò
´¾º µ
Ò
Ñ Ò º
Ó ØÖ
óÝ
(δn )+∞
n=1
Ñ Ø
ñÑ φ
∈ D (R) Ú suppφ ∈ [−1, 1] Úñ
(δn ) = n.φ (nx) Ðñ Ñ
Ó
Ø
¼¸ Ø
n2[φ (nx)]2dx = n
R
[φ (nx)]2 dx
R
Ññ
n
R
R
[φ (nx)]2dx → +∞
[φ (nx)]2 dx = 0 Úñ n → +∞º Î
Ú Ý
(δ)2
Ò
Ø Ò Øõ Ø
ÓÒ
x
=
=
Ì
ØÖ
Ò
Ù Ø
Ø
δn− (x) = δn (−x) , ∀n = 1, 2, ...
1
∗ δn .δn, φ
x
=
1 −
, δ ∗ δn φ
x n
φ (x) = φ (0) + xφ′ (0) + x2 ψ (x)¸ Ø
1
Ò
õÒ
Ø
ÙØ
Ò
1 −
, δ ∗ (xδn)
x n
Ù Ø
n → ∞º
Ò ¼
αn = δn− ∗ (xδn )º Ã
+∞
1 −
, δ ∗ (xδn )
x n
φ′ (0)
Úñ
¸
1
αn (x) dx
x
−∞
αn− = δn ∗ ((−x) δn− ) = −x (δn ∗ δn− ) + (xδn ∗ δn− )º
Î Ú Ý Ò Ù
ψ1
ψ2
Úñ
Ø Ù
L1 R Ø
x (ψ1 ∗ ψ2 ) = (xψ1) ψ2 + ψ1 (xψ2 ) , αn − αn− = x δn ∗ δn−
Úñ
1
, αn
x
Ì
lim
n→∞
1
, αn − αn−
x
Ó
=
R δn (x) dx
+∞
−∞
δn ∗ δn− (x) dx =
= 1º Ì
À Ý
n→∞
ÌÖÓÒ
D′ (R) Ø
Ó
αn (x) − αn− (x) dx =
x
2
δn ∈ D (R) , n = 1, 2, ... Úñ
Ì
1
2
1
1
∗ δn (δ ∗ δn ) = δ ′
x
2
Ò
Ò
´¾º µ
1
2
ắ
ề
é
ủẹ é
ểủề ỉểủề
ắắ
ề ỉ
ỉệ ề
ẹ ỉ ễ
ề ỉ
ề ịỉ
ề
ề
ề é
ứề
éủ ẹ ỉ
R
ụ
ừ
ểề
á ủ
ủẹ
ề
ề
ề
ì
ũ ì
ũ ì
C 0 (R)
ệữề
ủẹ
ì
ừ ì
ề
ề
ừ
ẹ ỉ
ề ỉệểề
: A A
ể
ệỉị
ậ
ệỉị ĩ í
ể
ụ
ễ ễ ỉểụề ỉí ề ỉ ề ặ
ỉ
á ề
ỉ ếũ
í ệữề
ể ẳ ề
á ỉ
ụ
éủ
ề ề
ủẹ
ề
a=0
í
á í ỉ
á
ỉ
ề
{x (log |x| 1) x} = {x (log |x| 1)} x + x (log |x| 1)
ể
ỉ
ì
x (log |x| 1)
ụ ỉệ
(x |x|) = 2. (|x|)
ỉ
x. 2 (|x|) = 0
xa = 0 ỉ
ề
ủ ỉệểề
á
2 {x (log |x| 1) x} = 2 {x (log |x| 1)} x + 2 {x (log |x| 1)}
ỉệ ề é ễ
ụ
ủẹ
x2 (log |x| 1) = 2x (log |x| 1) + x
ẻ íá ỉệểề
ỉ
2 x2 (log |x| 1) = 2 {x (log |x| 1)} + 1
í
2 {x (log |x| 1)} .x = 1.
ề
ũềá
ề
ỉ
ỉ
y = 2 {x (log |x| 1)}á
ừể
ỉ
ề è
ẹ
ủ
ủẹ ìí ệ ề
ủ
é
x. (|x|) = 0
ể
ề ề
ẹ ề
ếí ỉỳ
ỉ
ề
ề ịỉ
ỉ
ỉừ ì ể
ẹ ề
ỉ ếũ ềủí
ậ
ệỉị
ủẹ ìí ệ ề
ủẹ ệ
ề
D (R)
ũ ỉ
= 0
ìí ệ
ề
2 (|x|) = 2
ỉ
ễ
ỉ
y.x = 1á
ỉ
ề
ệ ỉ é ề ỉệểề
ề ẹ ẵ
ẳ
ểéểẹ
ỉệểề
ỉ é ề
èệểề
é ề ềủí
ìí ệ ề
ậ
ủẹ ìí ệ ề
ậ
ặ
ệỉịáỉ ẹ
ệỉị
ề
ểủề ỉ
ẹ ĩ ề
ề
ểéểẹ
ỉ
ủ
ề
ụ
ũề
é
ỉ í ỉ
ủẹ
ủẹ ìí ệ ề áễ ễ é í ỉ
ềủí ỉệ ề
ề
ụ
ủí
ủẹ ỉ
á
ụ
ề
ụ ề
ề
ụ
ẹ
ủẹ
ệỉị
ụ
ếũ ế ề ỉệ ề
ì
ể
ẹ
ề
éủ
ủẹ ìí ệ ề
ễ ụễá
ỉ ếũ
ề
ừề ủ
ẹểề
ụ
ế
ề
ề ỉ ủề
ề
ề
ề
ề
ừề
ỉ
ủẹ
ề
éủ
ỉ
ề ề é ề ề
ề ề
ệỉị
ề
ễ
ề
é ề
ỉủ é ỉ ẹ
ũ ỉ
ủẹá
ừ
ậ
ễ ừẹ ủ
ẹ
ễệ ììáặ
ỉ í ỉ
àá
ì
é ề
ủ
ề
ề ậể ểé
ệ ễ ệỉ
é
ũể
ỉéí ể ì
ểéểẹ
ề
ỉ
ểệí ể
ề ệì ỉí ể
é ề ì
ắ
ề ệ é ị
ẹìỉ ệ
ẹè
ề
ỉ ểềìá
ặ ỉ
ệạ
Copyright: Tài liệu đại học ©