Trờng đại học s phạm h nội 2
Khoa toán
*************

NGUYễN VĂN HƯNG

XÂY DựNG Hệ THốNG BI TậP
CHO Lý THUYếT MảNH THAM Số
TRONG KHÔNG GIAN e3

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngnh : Hình Học

Ngời hớng dẫn khoa học
GVC.PGS.TS NGUYễN NĂNG TÂM

H NộI 2013

1


Lời cảm ơn

Em xin by tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GVC.PGS.TS.Nguyễn Năng
Tâm, ngời thầy đã trực tiếp tận tình hớng dẫn v giúp đỡ em hon
thnh khoá luận của mình. Đồng thời, em xin chân thnh cảm ơn đến các
thầy cô trong tổ hình học v các thầy cô trong khoa Toán - Trờng Đại
học s phạm H Nội 2, ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho
em hon thnh khoá luận ny.
Trong khuôn khổ có hạn của một khoá luận, do điều kiện thời gian,
do trình độ có hạn v cũng l lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên

Trang
A.mở đầu..........................................................................................

1

1. Lý do chọn đề ti..............................................................................

1

2. Mục đích nghiên cứu........................................................................

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................

2

4. Phạm vi, đối tợng nghiên cứu.........................................................

2

5. ý nghĩa khoa học v thực tiễn của đề ti..........................................

2

6. Phơng pháp nghiên cứu..................................................................

2

B.nội dung.......................................................................................

5

đơng..................................................................................................
1.6. Định nghĩa mảnh tham số kiểu đồ thị..........................................

6

1.7. Ví dục tơng ứng cho phần lý thuyết trình by.............................

6

Chơng 2. Hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số trong không
gian E3..................................................................................................

9

Dạng 1. Dạng bi tập viết phơng trình tham số của các mặt trong
không gian E3.......................................................................................

9

Dạng 2. Dạy bi tập xác định ảnh của các mảnh tham số có phơng
trình cho trớc.....................................................................................

4

14


Dạng 3. Dạy bi tập liên quan đến mặt tịnh tiến................................

Hình học l một phần của toán học, hình học l ngnh toán học
nghiên cứu liên hệ không gian. Trong hình học ngời ta chia ra nhiều
nhánh khác nhau trong đó có hình học vi phân.
Hình học vi phân l một nhánh của hình học sử dụng các công cụ
v phơng pháp của phép tính vi phân v tích phân cũng nh đại số tuyến
tính v đại số đa tuyến tính để nghiên cứu các vấn đề của hình học.
Hình học vi phân đợc phát triển mạnh mẽ từ đầu thế kỷ XIX.
Gauss l một trong những nh toán học tiên phong trong lĩnh vực ny.
Cuối thế kỷ XIX tất cả những nghiên cứu đợc tập hợp v hệ thống hoá
lại bởi các nh toán học Jran Gastan Dar boux v Luigi Bian chi.
Lý thuyết về các đờng cong trong mặt phẳng không gian cũng
nh về các mặt cong trong không gian Euclid ba chiều đã trở thnh cơ sở
cho sự phát triển hình học vi phân. Việc xây dựng hệ thống bi tập của
môn học ny sẽ giúp em hiểu rõ hơn bản chất của hình học vi phân.
Trong khuôn khổ có hạn của một khóa luận tốt nghiệp, em chỉ
dừng lại ở việc "Xây dựng hệ thống bi tập cho lý thuyết mảnh tham số
trong không gian E 3 ".

6


2. Mục đích nghiên cứu
Đề ti nghiên cứu việc xây dựng hệ thống bi tập cho lý thuyết
mảnh tham số trong không gian E 3 . Trên cơ sở đó xây dựng đợc hệ
thống bi tập một cách khoa học, rõ rng v chính xác qua đó thấy đợc
ý nghĩa của việc học tập môn học ny, hiểu sâu v nắm vững kiến thức
của nh lý thuyết trong quá trình giải bi tập.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
a. Trình những lý thuyết cơ sở về lý thuyết mảnh tham số.
b. Trình by những ví dụ dể hiểu lý thuyết.

(u,v) r(u,v)
l một mảnh tham số trong E3 ( r : khả vi đến lớp cần thiết )
tập U gọi l miền tham số hay miền xác định của mảnh.
1.2. định nghĩa đờng toạ độ, trờng véc tơ tiếp xúc.
Với mỗi điểm (u0,v0) U thì các tập hợp A u | (u, v0 ) U } ,
B v | (u0 , v) U } l những tập mở của R. do đó ánh xạ :

r1 : A E3
u r1(u) = r(u,v0)
r1 : B E 3
v r2(v) = r(u0,v)
l những cung tham số của E3, cung tham số u r(u,v0) trong E3 ( u thay
đổi một khoảng J R no đó, u0 J) gọi l đờng toạ độ v v0;
cungtham số v r2(v) = r(u0,v) trong E3 gọi l đờng toạ độ u u0.theo
định nghĩa đạo hm thì ru : u ru(u , v0 ) l một trờng véc tơ tiếp xúc
dọc theo cung r1 ; v rv(u0 , v) l một trờng véc tơ tiếp xúc dọc theo
cung r2.

8


1.3 định nghĩa điểm chính quy, điểm kì dị, mảnh tham số chính quy.
Cho mảnh tham số :
r : U E3
(u,v) r(u,v)
điểm (u0,v0) U ( hay điểm r(u0,v0) E3) gọi l điểm chính quy của r
nếu hai véc tơ ru(u0 , v0 ) v rv(u0 , v0 ) độc lập tuyến tính. điểm không
chính quy của r gọi l điểm kì dị của r. nếu mọi điểm của U đều l điểm
chính quy thì r gọi l mảnh chính quy.
1.4 định nghĩa tiếp diện của mảnh tham số r tại điểm, phơng trình


9


1.5 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng.
Cho hai mảnh tham số trong E3 :
r : U E3 v r : U E 3
Nếu có một vi phôi :U U ( l một ánh xạ đồng phôi khả vi
v ánh xạ ngợc 1 :U U cũng khả vi) sao cho r r. thì ta nói r tơng
đơng với r v gọi l một phép tham số giữa U v U ( hay từ r sang
r ). nếu có phép đổi tham số nh trên thì từ U (U ) , r r ta có

r (U ) r (U ).

sơ đồ:



U

U
r

r
r (U ) r (U )

Giả sử r : U E 3
(u,v) r(u,v)
Ta đặt (u , v) (u (u , v), v (u , v)) U thì u : U R , v : U R l hai
hm khả vi v định thức :

1.6 định nghĩa hai mảnh tham số tơng đơng, quan hệ tơng đơng.
Cho U l một tập mở trong mặt phẳng R 2 {( xi , x j ), i j} . Giả sử
trong E3 cho một hệ toạ độ afin dạng (x1, x2, x3). Khi đó mảnh tham số :
r : U E3 có biểu thức dạng r ( xi , x j ) ( f1 ( xi , x j ),......, xi ,......, f3 ( xi , x j )) nghĩa
l r ( xi , x j ) ( f1 ( xi , x j ),......., f3 ( xi , x j )) trong đó fi ( xi , x j ) xi , f j ( xi , x j ) x j ,
đợc gọi l một mảnh tham số kiểu đồ thị ( hai toạ độ xi, x j đợc lấy lm
hai tham số).
1.7 : Ví dụ cho phần lý thuyết ( các hệ toạ độ trong E3 dùng ở đây đều
l hệ toạ độ trực chuẩn):




Ví dụ 1.1: trong không gian E3 cho 2 vectơ v , điểm O E3,
ánh xạ
2
3
r: R E





(u,v) r(u,v) O u. v.
l một mảnh tham số.


Khi hệ vectơ { , } độc lập tuyến tính thì r l một mảnh tham số
chính quy v ảnh của r l một 2 - phẳng trong E3.


v
{

1, z v0 } .
0
a 2 b2
a 2 b2

Cung

toạ

độ

u u0

có

ảnh

l

kinh

tuyến

thẳng

{x a.cos u0 , y b.sin u0 , z v} .



tuyến

tròn

{x 2 y 2 a.cos 2 u0 , z a.sin u0 }.

Ví dụ 1.4 : cho ánh xạ :
2
3
r : R E , (u,v) ( u, v, u 2 v 2 ) l mảnh tham số chính quy.

ảnh của nó l mặt parabolôit tròn xoay z x 2 y 2 . Cung toạ độ v v0 có
ảnh l parabol { y v0 , z x 2 v0 2 } . Cung toạ độ u u0 có ảnh l parabol
{ x u0 , z y 2 u0 2 } .

Vì ru(u0 , v0 ) (1, 0, 2u0 ) v rv(u0 , v0 ) (0,1, 2v0 ) nên pháp vectơ của
mảnh tại p r (u0 , v0 ) có thể lấy l:


n ru(u0 , v0 ) rv(u0 , v0 ) (2u0 , 2v0 ,1).

Vậy tiếp diện của mảnh tại p có phơng trình :

12


2u0 ( x u0 ) 2v0 ( y v0 ) ( z u0 2 v0 2 ) 0 .

Hay l 2u0 x 2v0 y z (u0 2 v0 2 ) 0.


(1)

tham số hoá phơng trình (1) bằng cách đặt :
x x u , v a.cos u.cos v , y y u , v a.cos u.sin v , z z u , v a.sin u

khi đó phơng trình tham số hoá của mặt bậc hai l :
r (u , v) a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, c.sin u .

b) Phơng trình tổng quát của mặt hypebôlôit một tầng tròn xoay
quanh trục Oz l :
x2 y2 z 2
1
a 2 b2 c2

tham số hoá phơng trình (2) bằng cách đặt :
eu e u
x x u , v a.
2


.cos v a.shu.cos v


eu e u
y y u , v a.
2


.sin v a.shu.sin v

eu e u
x x u , v a.
.cos v a.shu.cos v
2
eu e u
y y u , v a.
.sin v a.shu.sin v
2
eu e u
z z u , v c.
2


c.shu


khi đó phơng trình tham số của mặt bậc hai l :
r (u , v) a.shu.cos v, a.shu.sin v, c.shu

d) Phơng trình tổng quát của mặt parabôlôit tròn xoay quay quanh trục
Oz l :
z

x2 y2

a2 a2

tham số hoá phơng trình (4) bằng cách đặt :
x x u , v a.v.cos u , y y u , v a.v.sin u



hình vẽ :


z

I
M x, y , z

M0

X

O

y

Y
M1
M2
x

điểm M x, y, z S khi v chỉ khi có điểm M 0 x, 0, z quay quanh Oz
tạo thnh, tức l khi v chỉ khi có điểm M 0 m M 0 v M nằm trên
một mặt phẳng song song với Oxy, cắt Oz tại điểm I 0, 0, z m
IM IM 0 . điều ny có nghĩa l có điểm M 0 x, 0, z sao cho :

16



Đặt u Ox, OM thì X OM 1.cos u , Y OM 1.sin u , Z z t . Do đó
M S khi v chỉ khi : X x t .cos u , Y x t .sin u , Z z t 0 u 2 .

Vậy phơng trình tham số của (S) l :
r u , t x t .cos u , x t .sin u , z t

0 u 2 .

Bi 1.3 : Trong mặt phẳng E 3 cho hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz.
Viết phơng trình tham số của mặt tròn xoay S trục quay Oz, do đờng
sau đây quay quanh Oz tạo thnh :

a) Đờng dây xích u a.ch , 0, u
u
a









b) Đờng truy tích u a.sin u, 0, a. ln tan cos u




u

2




mặt (S) đợc gọi l mặt giả cầu.
c) Mặt (S) có phơng trình tham số :
r u , t a b.cos u .cos t , a b.cos u .sin t , b.sin u

0 u 2

mặt (S) gọi l mặt xuyến.
Bi 1.4 : Giả sử S l một mặt trong E 3 tạo bởi một đờng thẳng vừa
quay xung quanh trục Oz vừa tịnh tiến theo phơng trục Oz của hệ toạ độ
đề các vuông góc Oxyz. Viết phơng trình tham số của mặt S trong
những trờng hợp sau :
a) Tốc độ quay l , tốc độ tịnh tiến l k . k 0 , đờng thẳng
cắt vuông góc với trục Oz. Mặt S tạo thnh gọi l mặt đinh ốc ( tổng
quát).
b) Tốc độ quay l , tốc độ tịnh tiến l k . k 0 , đờng thẳng
cắt vuông góc với trục Oz. Mặt S tạo thnh gọi l mặt đinh ốc đứng.
c) Tốc độ quay l , quãng đờng tịnh tiến l một hm của góc
quay, đờng thẳng cắt vuông góc với trục Oz. mặt S tạo thnh gọi l
mặt cônôit đứng.
Bi giải :
a) Gọi u l góc quay đợc sau một thời gian t v gọi v l quãng
đờng tịnh tiến đợc sau thời gian t thì u .t , v k . t . do đó s k .u ,
ta xem u l góc định hớng thì u, s R .
Giả sử đờng thẳng có phơng trình tham số :
x x v x0 a.v , y y v y0 b.v , z z v z0 c.v

e) r u, v

u
v
1
, 2 2 , 2 2 ( với u 2 v 2 0 ).
2
u v u v u v
2

uv 1 u v uv 1
, b.
, c.
( với abc 0, u v 0 ).
u v u v
uv

g) r u, v a.

19


Bi giải :
a) Trớc hết ta tiến hnh khử u v v :
từ x u 2 , y u.v, z v 2 ta có : y 2 x.z với

x 0 , z 0 , vì y 2 x.z l

phơng trình thuần nhất bậc hai nên nó xác định một mặt nón (S) đỉnh O.
vậy ảnh r U nằm trên mặt nón (S).


2
4
4

đó z u.v . Suy ra S r U . Vậy r U l mặt yên ngựa z . x 2 y 2 .
1
4

c) Ta tiến hnh khử u v v :
x u sin v
Ta có : y u cos v hay l
z ua




Đổi

toạ

x z a sin v
x z a sin v

y z a cos v
y z a cos v

z ua




2

l X 2 Y 2 1 ).
Ngợc lại, cho điểm M x, y, z S thì có v để x z a sin v ,
y z a cos v , lấy u z a . Khi đó x u sin v, y u cos v, z u a , suy ra

(S) nằm trong ảnh r(U).
Vậy r(U) l mặt trụ eliptic x z a y z a 1
2

2

d) Ta tiến hnh khử u v v :
ta có : x x0 a.cos u.cos v , y y0 b.cos u.sin v , z z0 c.sin u
hay l

x x0
y y0
z z0
cos u.cos v ,
cos u.sin v ,
sin u do đó :
a
b
c
( x x0 ) 2 y y0
z z0 sin 2 u suy ra :

cos 2 u ,

sin u . Suy ra

cos u . Nếu cos u 0 ta có
c
a b
2

2

x x0
y y0
x x0 y y0
cos v,
sin v v ta


1 , do đó có v để
a.cos u
a.cos u
a.cos u b.cos u
2

2

đợc :
x x0 a.cos u.cos v

y y0 b.cos u.sin v nghĩa l điểm M r U .
z z c.sin u
0

u
v
1
, y 2 2 , z 2 2 0
2
u v
u v
u v
2

nên dễ kiểm tra thấy rằng x 2 y 2 z 0 . Suy ra r(V) nằm trên mặt
parabôlôit tròn xoay (S) có phơng trình z x 2 y 2 bỏ đi điểm O(0, 0, 0),
điểm ny l đỉnh của (S).
Ngợc lại, cho điểm M x, y, z S m M 0 khi đó z 0 ( vì z 0
x 2 y 2 0 x 0, y 0 ).
x
z

y
z

lấy u , v . Khi đó từ z x 2 y 2 dễ dng kiểm tra thấy rằng :
u

x 2 2

u v

v


. Ta nhận thấy rằng

2
a uv b uv
c uv
a c u v
2

u v 4.u.v
v
2
2
u v u v
2



u 2 v 2 2.u.v

u v

2

2

2

2

2


(3). Rõ dng cần có điều kiện u v 0 .
c uv

Xem u.v v u v l hai ẩn thì từ (1) v (3) suy ra :
x
a . u v u.v 1
x z
. u v 2 do đó để có u v thì phải

a c
z . u v u.v 1
c

có điều kiện c.x a.z 0 v khi đó u v
đợc u v

2.a.c
(4). Thay (4) vo (2) ta
cx a.z

2ac y
.
(5). Từ (4) v (5) rõ rng luôn tìm đợc u,v với
b cx az

điều kiện c.x a.z 0 v u,v ny thoả mãn (1), (2) v (3).
Suy ra điểm M x, y, z của (S) thuộc vo r(U) khi v chỉ khi
c.x a.z 0 .




qua một điểm cố định C thì ảnh của r(V) của mảnh nằm trên một mặt cầu
tâm C.
Bi giải :
Lấy một điểm cố định M r u0 , v0 r V v xét điểm bất kì
M r u, v r V .

Vì U liên thông nên có cung chính quy : 0,1 V sao cho
0 u0 , v0 , 1 u, v . Khi đó r.p: 0,1 r V l một cung tham số

chính quy trên r(V). vectơ tiếp xúc r t của cung r cũng l vectơ
tiếp xúc của mảnh r . theo giả thiết, pháp tuyến của mảnh đi qua điểm cố
định C nên pháp tuyến tại điểm r t l đờng thẳng nối C với


r t , có vectơ chỉ phơng C r t . Suy ra :



2
C r t C r t hay r . r 0 r 0









a) Chứng minh rằng hai đờng toạ độ cùng họ của mặt tịnh tiến,
chẳng hạn đờng u u1 v đờng u u2 , l ảnh của nhau qua phép tịnh
tiến.
b) Chứng minh rằng mặt parabôlôit eliptic hay mặt parabôlôit
hypebôlic l những mặt tịnh tiến.

24


c) Chứng minh rằng quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng nối hai
điểm bất kì nằm trên hai cung cho trớc trong E 3 nếu l một mặt thì nó
l mặt tịnh tiến.
Bi giải :




a) Đờng u u1 có phơng trình tham số r u1 , v O A u1 B v .




đờng u u2 có phơng trình tham số r u2 , v O A u2 B v , vectơ






nối hai điểm M r u1 , v v N r u2 , v l MN A u2 A u1 const. do




A u B v
1
I O . u (v) O

vậy quỹ tích điểm I nếu l
2
2
2

một mặt thì nó l mặt tịnh tiến có phơng trình tham số dới dạng vectơ


A u B v
r u, v O

.
2
2

Bi 1.8 : Trong không gian E 3 cho mặt đinh ốc đứng có phơng trình
tham số trong hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz :
r u , v u.cos v, u.sin v, k .v

k const

25