1

B GIO DC V O TO
TRNG I HC VINH
-----------------------------------

NGUYN QUANG SNG

NGHIÊN CứU Sự CHUYểN HOá GIữA CáC DạNG TRI THứC
Và VậN DụNG VàO DạY HọC NộI DUNG PHƯƠNG PHáP
TOạ Độ TRONG MặT PHẳNG Và KHÔNG GIAN

LUN VN THC S GIO DC HC

NGH AN, 2013


2
MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Nâng cao chất lượng dạy học môn Toán là một trong những nhiệm vụ
cấp thiết của ngành giáo dục hiện nay. Đổi mới phương pháp dạy học theo
hướng tích cực hoá quá trình nhận thức của học sinh đã được Luật Giáo dục, các
Nghị quyết của Trung Ương Đảng, Quốc hội, Chính phủ và Bộ Giáo dục - Đào
tạo xác định.
Đất nước ta đang trên con đường đổi mới, cần có những con người phát
triển toàn diện, năng động và sáng tạo. Để đạt được mục tiêu đó, trước hết bắt
đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải
đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ
thuộc vào rất nhiều yếu tố, một yếu tố quan trọng là đổi mới PPDH trong đó có
PPDH môn Toán.

nội dung phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và không gian” với mong
muốn đóng góp một phần nhỏ vào việc dạy học môn Toán cho đối tượng là học
sinh THPT.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức (tri thức sự vật, tri thức
phương pháp, tri thức chuẩn và tri thức giá trị) trong quá trình nhận thức toán
học để vận dụng vào dạy học môn toán nhằm góp phần đổi mới phương pháp
dạy học và nâng cao chất lượng giáo dục.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
3.1. Nghiên cứu các dạng tri thức môn toán và sự chuyển hoá giữa các
dạng tri thức đó trong quá trình nhận thức.
3.2. Nghiên cứu các biện pháp vận dụng những tác động tích cực của sự
chuyển hoá các dạng tri thức trong quá trình nhận thức toán học vào dạy học
môn toán.
3.3. Đề xuất phương án dạy học một số nội dung cụ thể của môn toán
THPT dựa trên các biện pháp sư phạm đã đề xuất.
3.4. Thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng các biện pháp sư phạm đã đề
xuất trong luận văn.


4
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
4.2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn
4.3. Phương pháp thực nghiệm
4.4. Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Giữa các dạng tri thức môn toán có sự chuyển hoá, ảnh hưởng lẫn nhau
trong quá trình nhận thức và nếu giáo viên quan tâm đến việc phát hiện các ảnh
hưởng qua lại giữa các dạng tri thức trong quá trình nhận thức đó để vận dụng

2.4. Kết luận chương 2
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
3.1. Xác định mục đích thử nghiệm
3.2. Tường trình quá trình thử nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thử nghiệm


6
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT
1.1.1. Đặt vấn đề
Luật giáo dục Nước cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã quy định:
“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,
tư duy sáng tạo của người học; Bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả
năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. (Luật giáo dục 2005,
chương 1, điều 5).
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong
Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1 - 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa
VII (12 - 1996), được thể chế hóa trong luật giáo dục (2005), được cụ thể hóa
trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4 - 1999).
Luật Giáo dục, điều 28.2 (Luật giáo dục năm 2005), đã ghi “Phương pháp
giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của
HS; Phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; Bồi dưỡng phương pháp
tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS”. Những quy định này phản
ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục để giải quyết mâu thuẫn yêu nhu cầu
đào tạo con người mới với thực trạng lạc hậu PPDH ở nước ta hiện nay.
Sự phát triển của xã hội đang đòi hỏi phải nâng cao chất lượng giáo dục
và đào tạo. Nền kinh tế nước ta đang chuyển từ cơ chế kế hoạch hoá tập trung

thức đó đồng thời giải thích ảnh hưởng nhiều mặt (tính đa chức năng) của một
phương pháp dạy học và nhận thức được nguyên nhân đối với những khó khăn
trong nghiên cứu và trình bày các phương pháp dạy học.
Lí luận dạy học và các PPDH bộ môn nghiên cứu các PPDH trong các
thành tố của nó, trong cấu trúc bên trong của nó; những điều kiện vận dụng nó
cũng như các ảnh hưởng và chỉ dẫn người dạy những vấn đề về phương pháp,
thông qua những ý đồ tương đối,… và thông qua các chiến lược về phương
pháp. Các mối quan hệ của PPDH…


8
Trong giáo dục, PPDH luôn được đặt trong mối quan hệ với các thành tố
của quá trình giáo dục. Nếu bỏ qua một số quan hệ mang tính điều kiện, thì các
mối quan hệ cơ bản được xác định là: Mục tiêu – Nội dung – Phương pháp. Mối
quan hệ này được biểu thị bằng sơ đồ sau:
Mục tiêu

Nội dung

Phương pháp

Trong mối quan hệ này, các thành tố của quá trình giáo dục không thể
tách rời, luôn gắn bó chặt chẽ và có tác động trực tiếp với nhau.
1.1.3. Đổi mới phương pháp dạy học ở trường THPT
Đổi mới PPDH được xác định là sự thay đổi từ các PPDH tiêu cực, thụ
động đến các PPDH tích cực, sáng tạo. Trong PPDH thụ động giáo viên dùng lối
truyền thụ áp đặt một chiều của người dạy đến người học: người học tiếp thu
một cách thụ động, theo các phương thức ghi nhớ và tái hiện. Trong PPDH tích
cực người dạy tổ chức, định hướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tích
cực của học sinh để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng thông

Đổi mới PPDH là quá trình áp dụng các PPDH hiện đại, các công nghệ
dạy học hiện đại vào nhà trường trên cơ sở phát huy những yếu tố tích cực của
các PPDH truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của HS,
chuyển từ học tập thụ động, ghi nhớ kiến thức là chính sang học tập tích cực,
chủ động, sáng tạo, chú trọng bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Để đổi mới phương pháp học tập của HS tất
nhiên phải đổi mới phương pháp giáo dục của GV và đổi mới môi trường diễn ra
các hoạt động giáo dục. Đổi mới phương pháp giáo dục là quá trình:
+ Chuyển từ giáo dục truyền thụ một chiều, học tập thụ động, chủ yếu là
ghi nhớ kiến thức để đối phó với thi cử sang: học tập tích cực, chủ động, sáng
tạo, chú trọng hình thành năng lực tự học dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn, tổ chức


10
của GV, “Những gì mà học sinh nghĩ dược, nói được, làm được, GV không làm
thay, nói thay”.
+ Đổi mới các hình thức tổ chức giáo dục làm cho việc học tập của học
sinh trở nên lí thú, gắn với thực tiễn, gắn với cuộc sống; kết hợp dạy học cá nhân
với dạy học theo nhóm nhỏ, tăng cường sự tự tương tác, giúp đỡ lẫn nhau giữa
HS trong quá trình giáo dục.
1.2. Một số đặc điểm của tri thức toán học và nhiệm vụ của môn toán ở
trường THPT.
1.2.1. Khái niệm tri thức
Theo Từ điển Tiếng Việt: “Tri thức là những điều hiểu biết có hệ thống về
sự vật, hiện tượng tự nhiên hoặc xã hội”.
Như vậy, hiểu theo một nghĩa chung nhất, tri thức là những điều hiểu biết
có hệ thống về sự vật, hiện tượng trong tự nhiên và xã hội.
“Tri thức là sản phẩm của hoạt động lao động xã hội và tư duy của con
người, làm tái hiện lại trong tư tưởng, dưới hình thức ngôn ngữ những mối liên
hệ khách quan hợp quy luật của thế giới khách quan đang được cải biến trên

tới hình thành cho học sinh những tri thức khoa học, tri thức phản ánh quy luật
của sự vận động. Hơn nữa, phải hình thành cho học sinh năng lực tìm tòi, khám
phá thế giới xung quanh. Tuy nhiên, hoạt động dạy học có những quy luật riêng
của nó, phụ thuộc vào những điều kiện cụ thể. Do đó dẫu có hướng tới dạy tri
thức khoa học cho học sinh, chúng ta phải luôn luôn xem xét đến tính vừa sức và
hiệu quả của hoạt động dạy học.
Theo nhà Menchinxkaia, trí tuệ con người gồm hai yếu tố tri thức cấu
thành, đó là tri thức về đối tượng được phản ánh và tri thức về các phương thức
phản ánh. Để đào tạo thế hệ trẻ thành những người phát triển toàn diện, những
người sẽ là chủ của xã hội trong những năm sắp tới, dạy học phải quan tâm trang
bị cho họ cả hai yếu tố tri thức nói trên một cách hài hòa.
Như vậy tri thức là một tổ hợp do nhiều dạng, nhiều yếu tố cấu thành. Dù
đó là tri thức kinh nghiệm hay tri thức khoa học thì đó đều là sản phẩm của quá
trình tích lũy, sáng tạo của nhân loại tạo nên. Tri thức được truyền từ đời này
qua đời khác, tri thức được sản sinh trong quá trình hoạt động của cá nhân hay


12
cộng đồng, đươc hoàn thiện và không ngừng phát triển trong hoạt động của xã
hội loài người. Trường học là nơi chuyển giao, truyền lại và đào tạo nguồn nhân
lực để tái tạo, phát triển kho tàng tri thức của nhân loại, tạo nên những giá trị
mới cho nhân loại. Nghiên cứu các dạng tri thức ở quy mô tổng thể hay từng
lĩnh vực, từng bộ môn khoa học là cơ sở để ứng dụng, phát triển nguồn tri thức.
1.2.2. Một số đặc điểm của tri thức Toán.
Đặc trưng của tri thức Toán học là tính trừu tượng cao độ và tính thực
tiễn phổ dụng.Tính trừu tượng của Toán học và của môn Toán do chính đối
tượng của Toán học quy định. Theo Ăng ghen, “Đối tượng của Toán học thuần
tuý là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới
khách quan”.
Sự trừu tượng hoá trong Toán học diễn ra trên những bình diện khác

có 4 nhiệm vụ sau đây:
Nhiệm vụ thứ nhất, truyền thụ tri thức, kỹ năng Toán học và kỹ năng vận
dụng Toán học vào thực tiễn. Làm cho học sinh nắm vững hệ thống kiến thức và
phương pháp toán học cơ bản, phổ thông, theo quan điểm hiện đại và tinh thần
của giáo dục kỹ thuật tổng hợp và có khả năng vận dụng được những kiến thức
và phương pháp toán học vào kỹ thuật lao động, quản lý kinh tế, vào việc học
các môn học khác (như vật lý, sinh học, hoá học,...). Đây là nhiệm vụ rất quan
trọng vì chỉ có trên cơ sở nắm vững và vận dụng được kiến thức, phương pháp
toán học mới có điều kiện rèn luyện các mặt khác.Bác Hồ đã dạy: “Cần đảm
bảo cho học sinh những tri thức phổ thông, chắc chắn, thiết thực, thích hợp với
nhu cầu về tiền đồ xây dựng nước nhà...”.
Nhiệm vụ thứ hai là phát triển năng lực trí tuệ chung. Làm cho học sinh
nắm được phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập
để từ đó rèn luyện năng lực tư duy lôgic, độc lập, chính xác, linh hoạt và sáng
tạo, phát triển trí tưởng tượng không gian, có tiềm lực tập dượt nghiên cứu khoa
học, có khả năng tự học, có hiểu biết về nhận thức luận duy vật biện chứng trong
toán học.
Đế thực hiện nhiệm vụ này, môn Toán cần được khai thác nhằm góp phần
phát triển những năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng


14
không gian, tư duy lôgic và tư duy biện chứng, rèn luyện các thao tác tư duy như
phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát,..., các phẩm chất tư duy như linh hoạt,
độc lập, sáng tạo,...
Nhiệm vụ thứ ba là giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và
thẩm mĩ. Góp phần rèn luyện, giáo dục cho học sinh ý thức làm chủ, lòng yêu
nước, yêu chủ nghĩa xã hội, yêu lao động được thể hiện qua động cơ hăng say
học tập, có hoài bão lớn góp sức mình xây dựng đất nước trong thời kỳ công
nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước.

xếp theo một trật tự nhất định, cấu thành sự vật hoặc hiện tượng” (Từ điển Triết
học). Trong môn Toán, tri thức sự vật là tri thức về một khái niệm (khái niệm về
một đối tượng hoặc một quan hệ toán học), một vấn đề Toán học được trình bày
trực diện (như là định nghĩa, định lí…) hoặc một ứng dụng Toán học…
1.3.1.1. Việc hình thành một hệ thống các khái niệm là nền tảng của toàn
bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng
hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng
lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho người học. Bởi vậy mà việc
dạy học các khái niệm Toán học có một vị trí quan trọng hàng đầu. Trong quá
trình hình thành khái niệm cho học sinh ta có thể đi theo con đường quy nạp
hoặc theo con đường suy diễn.
Theo con đường quy nạp, xuất phát từ một số trường hợp cụ thể (như mô
hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể,…), người ta dẫn dắt học sinh bằng cách trừu tượng
hoá và khái quát hoá tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện ở
những trường hợp cụ thể đó, từ đó đi đến định nghĩa của khái niệm đó. Đối với
con đường này chứa đựng khả năng phát triển những năng lực trí tuệ như trừu
tượng hoá, khái quát hoá, so sánh.
Theo con đường suy diễn, nghĩa là việc định nghĩa khái niệm mới xuất
phát từ định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết.
Sau khi định nghĩa theo con đường này cần thiết phải lấy thí dụ cụ thể để
chứng tỏ rằng khái niệm được định nghĩa như vậy thực sự tồn tại. Con đường


16
hình thành khái niệm này có tác dụng tốt để phát huy tính chủ động sáng tạo của
học sinh.
Khi ta định nghĩa một khái niệm (dưới dạng tường minh hoặc không
tường minh), thì nội dung (các tính chất đặc trưng) và phạm vi (tập hợp các đối
tượng thoả mãn định nghĩa) của nó được xác định. Phạm vi của một khái niệm
sẽ còn được sáng tỏ hơn nhờ sự phân chia khái niệm. Ví dụ, học sinh sẽ hiểu rõ

17

Việc đi theo con đường nào không phải là tuỳ tiện mà tuỳ theo nội dung
định lí và tuỳ theo điều kiện cụ thể về học sinh.
Khi dạy cho học sinh các định lí, cần phải làm cho học sinh hiểu và nắm
vững được một hệ thống các kiến thức. Sau mỗi phần, mỗi chương cần tiến hành
hệ thống hoá các định lí, chú ý nêu rõ mối liên hệ giữa chúng. Mối liên hệ giữa
những định lí có thể là mối liên hệ chung riêng: Một định lí có thể là một trường
hợp mở rộng hay đặc biệt của một định lí nào đó đã biết. Chẳng hạn, định lí
Côsin trong tam giác có thể coi là mở rộng của định lí Pitago, cũng có thể coi
định lí Pitago là một trường hợp đặc biệt của định lí Côsin trong tam giác, hay ta
có thể mở rộng định lí Talet trong mặt phẳng thành định lí Talet trong không
gian,… Mối liên hệ giữa những định lí cũng có thể là mối liên hệ suy diễn: Định
lí này suy ra định lí kia.
1.3.1.3. Thuật toán được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ
ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được
mục đích đặt ra hay giải một lớp bài toán nhất định. Ở trường phổ thông học
sinh được hoạt động với nhiều thuật toán như thuật toán cộng, trừ, nhân, chia
các số tự nhiên và số hữu tỉ, thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai số, bội
chung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn,
thuật toán giải phương trình bậc hai dưới dạng chuẩn,… Phát triển tư duy thuật
toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết, nhất là trong thời đại máy tính hiện
nay, bởi:
Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động
hoá trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc
phục sự ngăn cách giữa nhà trường và xã hội tự động hoá.
Thứ hai, tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong
khi giải bài toán bằng máy tính điện tử.
Thứ ba, tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà
trường phổ thông, nhất là môn Toán.

r
r
Th1: u và u / cùng phương, xét xem M có thuộc d’ không:
+ Nếu M∈ d / thì d ≡ d /
+ Nếu M∉ d / thì d//d/.
r
r
Th2: u và u / không cùng phương, ta giải hệ phương trình:
/
/ /
 x0 + at = x 0 + a .t

/
/ /
 y0 + bt = y 0 + b .t
 z + ct = z / + c / .t /
0
 0

+ Nếu hệ phương trình trên có đúng một nghiệm thì d và d/ cắt nhau
+ Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm thì d và d/ chéo nhau.
1.3.1.4. Ở trường phổ thông dạy toán là dạy hoạt động toán học, có thể
xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Hệ thống bài
tập toán học là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong
việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ
xảo ứng dụng Toán học vào thực tiễn. Hệ thống các bài tập toán học được sử
dụng với những dụng ý khác nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất
phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra,…



uuur
GA + GB ở đẳng thức phải chứng minh bằng GD để đưa về đẳng thức mới phải
uuur uuur r
chứng minh là GD + GC = 0 , tức là vận dụng kỹ thuật chứng minh, đồng thời
thấy được sự thống nhất giữa tính chất trung điểm đoạn thẳng với tính chất trọng
tâm tam giác. Như vậy khai thác được chức năng giáo dục của bài toán trên.


20
Mặt khác từ sự thống nhất nêu trên giữa tính chất của một điểm và trung
điểm của đoạn thẳng (hai điểm) với một điểm là trọng tâm tam giác (ba điểm)
gợi lên một ý tưởng khái quát đối với một tứ giác ABCD (bốn điểm), một ngũ
giác hay một đa giác nói chung: có hay không một điểm O sao cho
uuur uuur uuur uuur r
OA + OB + OC + OD = 0
Rõ ràng nếu ABCD là hình bình hành thì O chính là tâm của nó. Như thế
chức năng phát triển của bài toán đã cho được thể hiện rõ ràng: luyện tập cho
học sinh kĩ năng vận dụng tương tự hoá, khái quát hoá, phát triển ở học sinh tư
duy biện chứng, khả năng dự đoán khoa học…
Cần chú ý rằng các tri thức sự vật mà ta nói trên đây là những tri thức cụ
thể trong dạy học Toán. Các khái niệm, định nghĩa, định lý… được trình bày
trong SGK phải được truyền thụ cho hoc sinh thông qua quá trình hoạt động dạy
học Toán. Dạy Toán là dạy hoạt động Toán học, do đó học sinh cần thiết được
biết các quá trình hình thành các khái niệm, định lý, biết vận dụng kiến thức, có
niềm tin vào khả năng Toán học của mình. Đặc trưng của tri thức Toán học là
trừu tượng hoá cao độ và lôgic chặt chẽ. Vì vậy trong hoạt động dạy học, ngoài
suy diễn lôgic, cần thiết phải coi trọng nguyên tắc trực quan, quy nạp, trực giác
toán học. Dạy học Toán cần phải cân đối các quan hệ giữa trực quan và trừu
tượng, giữa ước lượng, dự đoán và các suy luận có lý.
1.3.2. Tri thức phương pháp.

về định lý Pitago trong tam giác vuông cũng vậy. Trong Toán học, định lý
Pitago (còn gọi là định lý Pythagore theo tiếng Pháp, hay định lý Pythagoras
theo tiếng Anh) là một liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh của một tam
giác vuông. Định lý này được đặt tên theo nhà triết học và nhà toán học Hy Lạp
Pitago sống vào thế kỷ 6 trước công nguyên, mặc dù định lý toán học này đã
được biết đến bởi các nhà toán học Ấn Độ, Hy Lạp, Trung Quốc từ nhiều thế kỷ
trước… Qua đó học sinh sẽ thấy được vai trò và ứng dụng của Toán học trong
cuộc sống.
c. Đặc trưng của tri thức Toán học là trừu tượng hoá cao độ và lôgic chặt
chẽ. Các tri thức Toán học luôn nằm trong một mối liên hệ chặt chẽ với nhau.


22
Khi nghiên cứu một đối tượng toán học hay tiếp cận một tri thức toán học nào
đó, chúng ta luôn xem xét đến mối liên hệ giữa tri thức đó với các tri thức liên
quan, tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, tri thức sau dựa và tri thức trước,
tất cả như những mắt xích liên kết với nhau một cách chặt chẽ. Ví dụ khi xây
dựng phương trình tổng quát của đường thẳng thì trước hết ta phải nêu được
định nghĩa vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
1.3.2.2. Nhóm tri thức phương pháp giải quyết vấn đề.
Phương pháp là cách thức cần thực hiện để giải quyết một kiểu nhiệm vụ
nào đó. Phương pháp có thể được tích luỹ từ kinh nghiệm sống hay trong quá
trình nghiên cứu khoa học. Nhóm tri thức phương pháp giải quyết vấn đề bao
gồm như: phương pháp chứng minh; các phương pháp trong chương trình toán
phổ thông như: phương pháp đạo hàm; phương pháp tam thức bậc hai; phương
pháp toạ độ; phương pháp vectơ; phương pháp đồ thị; …
a. Phương pháp chứng minh
Trong quá trình dạy học chứng minh cần truyền thụ cho học sinh những
tri thức phương pháp liên quan đến chứng minh. Đó là những tri thức về các quy
tắc kết luận lôgic không được dạy tường minh ở trường phổ thông và chỉ được

- Cần có kẻ thêm đường phụ hay không? v.v…
Đồng thời, cần chú ý truyền thụ những tri thức về những phương pháp suy
luận, chứng minh như suy ngược (suy ngược, tiến, lùi), suy xuôi, phản chứng
theo con đường thông báo chúng nhân quá trình tiến hành hoạt động. Đặc biệt,
cần cho học sinh nắm vững được những tri thức sau:
Phép suy xuôi có sơ đồ sau, trong đó A là một định nghĩa, tiên đề hoặc
một mệnh đề đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh.
A = A0

A1
Bước 1

…

Bước 2

An = B
Bước n

Phép suy ngược có hai trường hợp: suy ngược tiến và suy ngược lùi với
các sơ đồ như sau, trong đó A, B, C có nghĩa như sơ đồ suy xuôi:
B = B0

B1
Bước 1

B = B0

…


3
x 2 + xy + y 2 = ( x + ) 2 + ( y ) 2 ;
2
2
z
3
x 2 + xz + z 2 = ( x + ) 2 + ( z) 2 ;
2
2
y z
3
3 2
y 2 + yz + z 2 = ( − ) 2 + ( y +
z)
2 2
2
2
Khi đó ta thấy mối liên hệ giữa các căn thức và độ dài của vectơ. Cụ thể
trên mặt phẳng toạ độ ta xét ba điểm:

y 3  
3
3  y z 
Ax + ;
z ÷; B  0;
y+
z ÷; C  − ;0 ÷
2 2   2
2  2 2 


rr r r
Vậy phương trình đã cho có dạng: u.v = u v
rr
Ta đi đến u, v là hai vectơ cùng chiều, tức là có hệ sau:
sin x = k

2
1 = k 2 − sin x

2
 2 − sin x = k sin x
Với k > 0. Rõ ràng suy ra ngay k = 1.
Vậy hệ phương trình trở thành sinx = 1.
Nghiệm của phương trình đã cho là: x =

π
+ k 2π , k ∈ Ζ .
2

1.3.2.3. Do tri thức phương pháp có tính đa dạng, phong phú nên khó có
thể có chuẩn phân loại cho các tri thức này. Tuy nhiên cần thiết đề cập các loại
hình tri thức phương pháp cần luyện tập cho học sinh và cần phát hiện thông qua
hoạt động giải toán sau đây.
a. Những tri thức phương pháp định hướng cho hoạt động nhận thức:
- Tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động cụ thể như: cộng hai
phân số; tính đạo hàm của một hàm số; tính số chỉnh hợp chập k của n; dựng
ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng trục; …
- Những tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động toán học phức
hợp như định nghĩa; chứng minh; xác định giao điểm của một đường thẳng với
một mặt phẳng.