A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Kiến thức về đường tròn là một trong những phần kiến thức quan trọng trong
chương trình lớp 10, những năm gần đây, các đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao
đẳng cũng thường ra vào phần này. Các dạng toán về viết phương trình đường tròn
và các bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn, là các dạng bài
tập chủ yếu mà các đề thi hay khai thác. Phần nữa, vì chuyên đề phương pháp tọa
độ trong mặt phẳng là hoàn toàn mới đối với học sinh khối 10 – THPT, do vậy khi
gặp đến những kiến thức này ngay cả các em học sinh học khá tốt cũng vẫn thường
hay lung túng trong việc tiếp cận các bài toán mới.
Trước thực tiễn đó, tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Một số dạng toán về sự
tương giao giữa đường thẳng và đường tròn nhằm nâng cao hiệu quả dạy học
chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh khối 10 trường
THPT Quảng Xương 4” để khắc sâu cho học sinh các kỹ năng viết phương trình
đường tròn, viết phương trình đường thẳng, kỹ năng xác định góc giữa hai đường
thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng …và vận dụng linh hoạt các công
thức trong quá trình làm toán.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở khoa học:
Đề tài nghiên cứu : “Một số dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng và
đường tròn nhằm nâng cao hiệu quả dạy học chuyên đề phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng cho học sinh khối 10 trường THPT Quảng Xương 4” là đề tài
khai thác các kiến thức toán học thuộc chương III - bộ môn Hình học lớp 10. Song
đề tài này còn giúp học sinh ôn tập lại khá nhiều các kiến thức về hình học tổng
hợp mà các em đã học ở các lớp cấp THCS.
1
II. Cơ sở thực tiễn:
Khi học xong các kiến thức về phương trình đường tròn, SGK chỉ trình bày
về phương trình đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn ở một trong ba bài toán cơ
bản về tiếp tuyến, rất ít ví dụ về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn, do
vậy khi gặp những bài toán như thế (trong các đề thi đại học, cao dẳng hàng năm
vẫn thường gặp dạng toán này) học sinh thường gặp lung túng và khó tìm hướng


c. Vị trí tương đối của một điểm với một đường tròn: Cho đường tròn C(I,
R), và điểm M.
- Nếu IM < R thì điểm M nằm phía trong đường tròn,
- Nếu IM = R thì điểm M nằm trên đường tròn,
- Nếu IM> R thì điểm M nằm phía ngoài đường tròn.
2
d. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn: Cho đường tròn C(I, R),
và đường thẳng
∆

- Nếu
( , )d M R∆ >
thì đường thẳng
∆
không giao với đường tròn,
- Nếu
( , )d M R∆ =
thì đường thẳng
∆
tiếp xúc với đường tròn, khí đó,
∆
gọi là
tiếp tuyến của đường tròn, giao điểm của
∆
và đường tròn gọi là tiếp điểm.
- Nếu
( , )d M R∆ <
thì đường thẳng
∆

số góc cho trước) …
Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng
( )
1
: 2 1 0d x y+ − =
;
( )
2
: 2 2 0d x y− − =
, và có tâm thuộc đường thẳng
( )
: 1 0.d x y− − =
Lời giải: Gọi I(t; t - 1) là tâm đường tròn (C). Vì (C) tiếp xúc với (d
1
) và (d
2
) nên
( ) ( )
1 2
, , | 3 2 | | 3| 5 Rd I d d RI d t t= ⇔ − = + ==
Giải ra ta được
2 2
2 2
5 5 3 11 5 3 121
( ; ) ( ):( ) ( )
2 2 2 2 2 20
2 5
1 1 5 11 1 5 121
( ; ) ( ):( ) ( )
4 4 4 4 4 80

Lại vì
( )
4; 2 ( )A C∈
nên I phải có tọa độ dương, do đó
0a b= >
, khi đó, đường
tròn có phương trình :
2 2 2
( ) ( ) ( )C x a y a a− + − =
4
( )
2 2 2
2
( ) (4 ) (24; 2 )
10
a
C a a a
a
A
=

∈ ⇒ − + − = ⇒

=

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
2 2
2 2
( ) ( 2) ( 2) 4
( ) ( 10) ( 10) 100

2 2
2
2 2
2 ( '):( 2) ( 2) 4
(1) 20 36 0
18 ( ') :( 18) ( 18) 324
a C x y
a a
a C x y

= ⇒ − + − =
⇔ − + = ⇒

= ⇒ − + − =

Khi
0a <
,
2
(1) 12 36 0 6a a a⇔ − + = ⇒ =
không thỏa mãn.
- Nếu
'( , ) ( 6, 2)a b I a a II a a= − ⇒ − ⇒ = − − −
uur
, vì (C) và (C’) tiếp xúc ngoài
nhau nên
2 2 2 2 2
' ( 6) ( 2) ( ') (2 | |)II a a R R a= − + + = + = +
2
8 4 | | 36 0 (2)a a a⇔ − − + =

với Ox.
Đáp số:
2
2 2
15 73 73
( ) :( ) ( )
6 32 32
C x y
 
− + − =
 ÷
 
Bài 2. Lập phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng
: 5 2 31 0x y∆ − + =
đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ.
Đáp số:
2
2 2
31 31 31
( ) :( ) ( )
7 7 7
C x y
 
+ + − =
 ÷
 
và
2
2 2
31 31 31

4
( ) : ( 2)
5
C x y− + =
và các
đường thẳng
1 2
: 0; : 7 0x y x y∆ − = ∆ − =
, Xác định tọa độ tâm K và bán kinh
đường tròn (C’) tiếp xúc với các đường thẳng
1 2
,∆ ∆
và tâm
( )K C∈
.
6
Với cách tiếp cận này tôi thấy, sau khi học xong dạng toán 1, các em đã có
định hướng tốt cho bài toán lập phương trình đường tròn khi biết nó thỏa mãn
điều kiện nào đó về sự tiếp xúc với đường thẳng, thông qua đó các em có dịp ôn
tập các kiến thức về khoảng cách, bài toán về tiếp tuyến của đường tròn,…
DẠNG II. CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CẮT NHAU GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ
ĐƯỜNG TRÒN
Để dạy cho học sinh của mình hiểu được phần này, tôi ôn tập cho các em
về điều kiện để một đường thẳng cắt một đường tròn, công thức tính độ dài của
dây cung, các công thức tính diện tích tam giác, các kiến thức về phép toán
vectơ, …
Ví dụ 4. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2

. Do
2MA MB
=
nên
1 2( 1) 2 3
2 (3 2 ;6 2 ')
' 2 2( ' 2) ' 2 ' 6
a b a b
MA MB A b b
a b a b
− = − − = − +
 
= − ⇔ ⇔ ⇒ − −
 
− = − − = − +
 
uuur uuur

Lại vì
, ( )A B C∈
nên
2 2
2 2
(6-2b') 4(3 2 ) 8(6 2 ') 11 0
' 4 8 ' 11
3 )
0
( 2b b b
b b b b
+ − − − − +

⇒

−


: 3 0
: 7 15 0
BM x y
BM x y
∆ ≡ + − =

⇒

∆ ≡ + − =


Ví dụ 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng
: 2 1 0mx y m∆ + − − =
và đường
tròn
2 2
( ) : ( 1) ( 2) 4C x y− + − =
.
a. Tìm m để
∆
cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đọ dài AB ngắn
nhất.
b. Tìm quỹ tích trung điểm H của đoạn thẳng AB khi

, vì vậy
max
IH IM=
xảy ra
khi
IM∆ ⊥
. Vậy
∆
là đường thẳng qua M và nhận
IM
uuur
làm véctơ pháp tuyến
: 1 0x y⇒∆ − − =
.
8
b. Điểm H là trung điểm của AB nên
IH IM⊥
do đó, H nằm trên đường tròn
( ')C
đường kính IM. Phương trình
2 2
3 3 1
( '): ( ) ( ) .
2 2 2
C x y− + − =

Ví dụ 6. Xét hai số thực
,x y
thỏa mãn điều kiện
2 2

9T =
khi x, y thỏa mãn hệ
2 2
1
4 5 0
5
12
3 4 9 0
5
x
x y x
x y
y

= −


+ + − =

⇒
 
+ − =


=



min
21T = −

và đường thẳng
: 2 3 0x my m∆ + − + =
. Gọi
I
là tâm đường tròn
( )C
. Tìm m để
∆

cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt
,A B
sao cho diện tích
IAB
∆
đạt giá trị lớn nhất.
9
Lời giải: Đường tròn
( )C
có tâm
( 2; 2)I − −
bán kính
2R =
. Ta có,
2
1
. .sin 1
2 2
IAB


=
+

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho điểm
(0;1)A
và đường tròn
2 2
( ) : 2 4 5 0C x y x y+ − + − =
. Viết phương trình đường thẳng
∆
cắt
( )C
tại hai
điểm M và N sao cho
AMN∆
vuông cân tại A.
Lời giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; 2), bán kính
10, (0; 2)R IA= = −
uur
. Ta có, IM
= IN và AM = AN nên
AI MN⊥
nên phương trình
: y m∆ =
. Gọi hai giao điểm
M(x
1
; m), N(x
2

m m
m
=

+ = ⇒

= −

thỏa mãn (2).
Vậy phương trình
: 1y∆ =
hoặc
: 3y∆ = −

Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
1
: 3 0d x y+ =
và
2
: 3 0d x y− =
. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại B, C sao cho
10
ABC∆
vuông tại B. Viết phương trình đường tròn (T), biết rằng tam giác ABC có
diện tích bằng
3

3
1 2
( ; 1), ( ; 2).
3 3
ABC
S BA BC a a a
A C
∆
= = ⇔ = ⇔ =
⇒ − − −
Đường tròn (T) có tâm
1 3
( ; )
2
2 3
I − −
(I là trung điểm của AC) và bán kính
1R IA= =
. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
2 2
1 3
( ) : ( ) ( ) 1.
2
2 3
T x y+ + + =
Các bài tập cũng cố.
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho đường tròn
2 2
( ): 4 8 11 0C x y x y+ − − + =


∆
cắt
( )C
tại hai điểm MN thỏa mãn MN = 2.
Đáp số: Phương trình đường thẳng
∆
cần tìm là
3 2 2 0x y− + ± =

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
2 2
( ) : 4 6 3 0C x y x y+ − + − =

và đường thẳng
: 2 0x my∆ + − =
. Gọi
I
là tâm đường tròn
( )C
.
a. Chứng minh rằng
∆
luôn cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt
,A B

b. Tìm m sao cho diện tích
IAB
∆

Ví dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
2 2
( ) : 2 2 7 0C x y x y+ − − − =
và đường thẳng
:3 4 13 0x y∆ + + =
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
khoảng cách từ một điểm M trên (C) đến đường thẳng
∆
.
Lời giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 3,
( , ) 4d I R∆ = >
nên
đường thẳng
∆
không cắt đường tròn (C).
Ta viết các tiếp tuyến của (C) song song với
∆
. Có hai tiếp tuyến là:
1 2
:3 4 8 0, :3 4 22 0x y x y∆ + + = ∆ + − =
với hai tiếp điểm lần lượt là:
1 2
4 7 14 17
( ; ), ( ; )
5 5 5 5
M M− −
,
khi đó,
1 2
( , ) 1; ( , ) 7d d∆ ∆ = ∆ ∆ =

∆
) + R và min d(M,
∆
) = d(I,
∆
) – R.
Ví dụ 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn
2 2
( ) : 2 4 1 0C x y x y+ − + + =
và
đường thẳng thay đổi
: 2 2 0mx y m∆ + − − =
. Tìm m để khoảng cách nhỏ nhất từ
điểm M thuộc (C) đến đường thẳng
∆
đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) bán kính R = 2. Gọi h là khoảng cách nhỏ nhất từ M
đến
∆
. Ta thấy
∆
luôn đi qua điểm N(2; 2) ở ngoài đường tròn (C).
Trường hợp
∆
cắt (C) thì h = 0.
Trường hợp
∆
không cắt (C). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống
∆

.
Lời giải: Xét điểm A(a, b) thuộc đường tròn
2 2
( ) : 2 2 23 0C x y x y+ − + − =
có tâm
(1; 1)I −
, bán kính R = 5, điểm B(c, d) thuộc đường thẳng
:3 4 23 0x y∆ − + =
. Khi
đó
2
T AB=
, Ta có
( , ) 6d I R∆ = >
nên
∆
không giao với (C). T đạt giá trị nhỏ
nhất khi AB ngắn nhất, theo ví dụ 10, ta có
min ( , ) 1AB d I R= ∆ − =
. Khi đó B là
hình chiếu của I lên
∆
, A là giao điểm của đoạn thẳng IB và đường tròn (C). Từ đó
suy ra được
13 19
2, 3, ,
5 5
a b c d
−
= − = = =

nói riêng và các kiến thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nói chung, các
em linh hoạt hơn trong cách sử dụng các loại phương trình đường thẳng, đường
tròn.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10, và
12, trong quá trình ôn thi Đại học – Cao đẳng đã được học sinh đồng tình và đạt
được kết quả, nâng cao khả năng tư duy các phương pháp giải toán hình học bằng
phương pháp tọa độ. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ
các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải tốt các bài
tập – các đề thi Tốt nghiệp và Đại học. Khả năng vận dụng vào chứng minh hình
học của các em được tăng lên rõ rệt. Cụ thể ở các lớp tôi giảng dạy sau khi áp dụng
sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản
các dạng toán nói trên và qua đó tiếp cận các bài toán phương pháp tọa độ một cách
dễ dàng hơn.
Đề tài là sự sưu tầm tích lũy qua nhiều năm, các phương pháp và ví dụ trong
đề tài đã được tìm tòi trong các đề thi Đại học – Cao đẳng, các webside về toán, các
chuyên đề trong báo Toán học tuổi trẻ, …
16
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và
hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp
ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
MỤC LỤC
Trang
A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1
I. Cơ sở khoa học 1
II. Cơ sở thực tiễn 2
III. Kiến thức cơ sở và các ví dụ về sự tương giao 2
III.1. Kiến thức cơ sở 3
III.2. Các bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn 3
Dạng I. Các dạng toán đường thẳng tiếp xúc với đường tròn 3