ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN NGỌC HOA

DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN NGỌC HOA

DẠY HỌC GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ
PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Cán bộ hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Trung


Nguyễn Ngọc Hoa

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan .................................................................................................................. i
Lời cảm ơn .....................................................................................................................ii
Mục lục ........................................................................................................................ iii
Danh mục các chữ viết viết tắt trong luận văn ............................................................. iv
Danh mục các bảng ........................................................................................................ v
Danh mục các hình ....................................................................................................... vi
MỞ ĐẦU .......................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................2
3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu ...........................................................................2
4. Giả thuyết khoa học ...................................................................................................2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................................3
6. Phƣơng pháp nghiên cứu ...........................................................................................3
7. Đóng góp của luận văn, kết quả đạt đƣợc..................................................................3
8. Cấu trúc của luận văn.................................................................................................3
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.......................................................4
1.1. Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề .....................................................................4
1.1.1. Lịch sử nghiên cứu năng lực toán học .................................................................4
1.1.2. Lịch sử hình thành Phƣơng pháp tọa độ ..............................................................5
1.2. Dạy học giải toán ....................................................................................................6
1.2.1. Vị trí chức năng của bài tập toán .........................................................................6
1.2.2. Phân loại bài tập toán.............................................................................................9
1.2.3. Phƣơng pháp tìm lời giải các bài toán ...............................................................10
1.2.4. Các yêu cầu của việc giải bài toán .....................................................................13

chủ đề Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng ..............................................................48
2.3.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện lƣợc đồ G.Polya
trong giải toán các bài toán về tọa độ trong mặt phẳng ...............................................48
2.3.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh giải toán các bài toán tọa độ trong
mặt phẳng bằng nhiều cách khác nhau ........................................................................59
2.3.3. Biện pháp 3: Bồi dƣỡng cho học sinh khả năng chuyển đổi các bài toán đại
số sang bài toán tọa độ trong mặt phẳng thông qua hoạt động biến đổi đối tƣợng
để nhận thức mối liên hệ ẩn chứa trong bài toán .........................................................80

iv


2.3.4. Biện pháp 4: Rèn luyện kỹ năng tọa độ hóa để giải các bài toàn hình học .......85
2.4. Kết luận chƣơng 2 .................................................................................................94
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .................................................................95
3.1. Mục đích, nội dung thực nghiệm sƣ phạm ...........................................................95
3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sƣ phạm ..................................................................95
3.1.2. Nội dung của thực nghiệm sƣ phạm ..................................................................95
3.2. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................................95
3.2.1. Đối tƣợng và địa bàn thực nghiệm ....................................................................95
3.2.2. Kế hoạch thực nghiệm .......................................................................................95
3.2.3. Đề kiểm tra thực nghiệm ...................................................................................96
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm ..............................................................................96
3.4. Kết luận chƣơng 3 .................................................................................................98
KẾT LUẬN .................................................................................................................99
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................100
PHỤ LỤC

v



PPTĐ

: Phƣơng pháp tọa độ

Pttq

: Phƣơng trình tổng quát

THPT

: Trung học phổ thông

Tr

: Trang

Vtcp

: vec-tơ chỉ phƣơng

Vtpt

: vec-tơ pháp tuyến

iv


DANH MỤC BẢNG


Hình 2.18 .....................................................................................................................70
Hình 2.19 .....................................................................................................................71
Hình 2.20 .....................................................................................................................72
Hình 2.21 .....................................................................................................................72
Hình 2.22 .....................................................................................................................73
Hình 2.23 .....................................................................................................................74
Hình 2.24 .....................................................................................................................75

vi


Hình 2.25 .....................................................................................................................76
Hình 2.26 .....................................................................................................................76
Hình 2.27 .....................................................................................................................77
Hình 2.28 .....................................................................................................................78
Hình 2.29 .....................................................................................................................78
Hình 2.30 .....................................................................................................................79
Hình 2.31 .....................................................................................................................82
Hình 2.32 .....................................................................................................................86
Hình 2.33 .....................................................................................................................87
Hình 2.34 .....................................................................................................................88
Hình 2.35 .....................................................................................................................90
Hình 2.36 .....................................................................................................................91
Hình 2.37 .....................................................................................................................93
Hình 3.1: Biểu đồ phân phối tần suất điểm tính theo % ..............................................97

vii


MỞ ĐẦU


1


Bài tập toán học là một công cụ cần thiết giúp HS thực hiện các HĐ toán học
trong và ngoài giờ lên lớp. Đã có nhiều công trình nghiên cứu các chức năng của
bài tập toán. Trong các chức năng đƣợc nói đến, chức năng DH, chức năng phát
triển, chức năng kiểm tra và chức năng giáo dục đƣợc khai thác nhiều trong DH.
Thực chất HĐ giải toán là HĐ trung tâm trong học tập môn toán của HS. Thông qua
số lƣợng và chất lƣợng hoàn thành công việc giải toán về căn bản có thể đánh giá
đƣợc trình độ nhận thức môn toán của ngƣời học. Chính vì lẽ đó, bài tập toán tham
gia vào mọi khâu của quá trình DH môn toán.
Chƣơng “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” có vai trò quan trọng trong
môn Toán ở trƣờng THPT, đây là một nội dung luôn gắn với HS trong suốt quá
trình học tập cũng nhƣ trong nhiều bài toán thực tế.
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về việc DH giải toán cho HS nhƣng đây
vẫn là vấn đề cần đƣợc tiếp tục nghiên cứu cả về phƣơng diện lý luận và triển khai
trong thực tiễn DH, vì vậy với tất cả những lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu của
luận văn này là: “Dạy học giải toán chủ đề Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
cho học sinh Trung học phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn về DH giải toán, năng
lực giải toán PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT. Đề xuất các biện pháp sƣ phạm
trong DH giải toán PPTĐ nhằm bồi dƣỡng năng lực giải toán góp phần nâng cao chất
lƣợng DH môn Toán ở trƣờng phổ thông.
3. Đối tƣợng và khách thể nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Quá trình DH giải toán PPTĐ trong mặt phẳng ở
trƣờng THPT.
- Khách thể nghiên cứu: Các biện pháp bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH
giải toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS ở trƣờng THPT.

- Làm rõ vị trí, chức năng của bài tập toán.
- Đề xuất những định hƣớng và các biện pháp sƣ phạm trong quá trình DH giải
toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng nhằm góp phần bồi dƣỡng năng lực giải toán cho HS.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần Mở đầu và Kết luận cùng Phụ lục, nội dung luận văn gồm ba
chƣơng nhƣ sau:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chƣơng 2: Các biện pháp sƣ phạm bồi dƣỡng năng lực giải toán trong DH giải
toán chủ đề PPTĐ trong mặt phẳng cho HS THPT
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm.

3


Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề
1.1.1. Lịch sử nghiên cứu năng lực toán học
Nhà Toán học Pháp H. Poincaré là một trong những ngƣời đầu tiên đề xƣớng
việc nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của HS. Ông công nhận có tính đặc thù
của các năng lực sáng tạo Toán học và đã chỉ ra những thành phần quan trọng nhất
của chúng là trực giác Toán học. Trong các bài của Viện sĩ B.V. Gơnheđencô (dẫn
theo [16, tr.15 viết về giáo dục học ở trƣờng phổ thông, ông đƣa ra các yêu cầu đối
với tƣ duy Toán học của HS là: Năng lực nhìn thấy sự không r ràng của quá trình
suy luận, thấy đƣợc sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh; Sự cô
đọng; Sự chính xác của các kí hiệu; Phân chia r tiến trình suy luận; Thói quen lí lẽ
đầy đủ về logic.
A.N. Kôlmôgôrôv (dẫn theo [20, tr.18]) xem xét năng lực toán học trên cơ sở 3
thành tố có liên quan đến: Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp,
năng lực tìm kiếm các phƣơng pháp xa lạ với các qui tắc thông thƣờng để giải

nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong môn Toán: xây dựng và vận dụng
khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bài toán,…
1.1.2. Lịch sử hình thành Phương pháp tọa độ
Theo [17], từ xa xƣa những ngƣời Ai Cập và La Mã cổ đại đã sử dụng PPTĐ
trong việc trắc địa. Tiếp đó, ngƣời Hy Lạp đã sử dụng PPTĐ trong việc vẽ bản đồ.
Đến thế kỉ thứ XVII, Réné Descartes và Pierre de Fermat đã đồng thời cống
hiến cho khoa học một phƣơng pháp mới mới đó là PPTĐ. PPTĐ là cơ sở cho hình
học giải tích do hai ông xây dựng nên. Một điều nói thêm rằng, khi Desargues và
Pascal mở ra một lĩnh vực mới là hình học xạ ảnh thì hình học xạ ảnh khác với hình
học giải tích do các ông Fermat và Descartes phát minh ra. Sự khác biệt đƣợc thể hiện
nhƣ sau, hình học xạ ảnh là một nhánh của hình học nói chung còn hình học giải tích
lại là một phương pháp của hình học.
Việc ứng dụng PPTĐ trong không gian ba chiều đƣợc thực hiện vào cuối thế
kỉ XVII và trong thế kỉ XVIII do công rất lớn của Clairot và Euler.
Vào thế kỉ thứ XIX, do sự phát triển nhƣ vũ bão của các ngành kĩ thuật, đặc
biệt là vật lý, toán học đã có nhiều bƣớc tiến mới nhƣ các khái niệm về vectơ,
tenxơ,… đã xuất hiện trong hình học. Wessel (1745 – 1818), J. R. Argent (1768 –
1822), C.F. Gauss (1777 – 1855) có các công trình về lý thuyết số phức đã thiết lập

5


mối liên hệ giữa các phép toán số học trên các số phức với các phép toán hình học
trên các vectơ trong không gian hai chiều.
Vào thế kỉ thứ XIX, các ông W.R. Hamilton, A.F. Mobiles đã sử dụng khái
niệm vectơ để nghiên cứu không gian ba chiều và nhiều chiều.
Cuối thế kỉ thứ XIX, đầu thế kỉ thứ XX, phép tính vectơ đƣợc phát triển và ứng
dụng rộng rãi. Xuất hiện các ngành mới nhƣ đại số vectơ, giải tích vectơ, lý thuyết
trƣờng, lý thuyết tổng quát về không gian nhiều chiều. Các lý thuyết này có ứng dụng rất
lớn trong vật lý hiện đại, chẳng hạn nhƣ thuyết tƣơng đối của Albert Einstein.

- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những HĐ tƣ duy, hình thành những
phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của ngƣời lao động mới.
Thứ hai, trên bình diện nội dung DH, những bài tập Toán học là giá mang HĐ
liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện cài đặt nội dung để hoàn
chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lí thuyết.
Thứ ba, trên bình diện phương pháp DH, bài tập Toán học là giá mang HĐ để
ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu DH
khác. Khai thác tốt các bài tập nhƣ vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong HĐ
và bằng HĐ tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong
giao lƣu [8, tr.388].
Theo Vũ Dƣơng Thụy [9], bài tập có các chức năng sau:
 Chức năng dạy học: GV có thể dùng bài tập toán để hình thành, củng cố cho HS

những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình DH.
Ví dụ 1.1. Để hình thành cho HS khái niệm của dãy số, GV có thể cho HS giải bài tập
sau: Cho dãy số (

)

. Biểu diễn (

a Em có nhận xét gì về khoảng cách từ

) trên trục số.
đến 0 khi n lớn?

b Bắt đầu từ số hạng nào của dãy số


Cũng chính vẽ đẹp của các bài tập toán học và những ứng dụng thực tiễn của nó sẽ
tạo nên niềm hứng thú, niềm tin và lòng say mê học tập.
Ví dụ 1.2. Để nhấn mạnh tầm quan trọng của việc phân biệt các hình hộp, GV có
thể cho tình huống nhƣ sau: Một công ty A đến kí hợp đồng để công ti B sản xuất
các hình hộp bằng kim loại quí với ba kích thƣớc là a, b, c cho trƣớc. Nhƣng do
hợp đồng không ghi rõ là hình hộp gì, nên để “dạy” cho bên A một bài học, bên
B đã sản xuất những hình hộp rất dẹt với 3 kích thƣớc nhƣ đã kí kết. Bên B không
dùng đƣợc những sản phẩm này nhƣng
vẫn phải thanh lí hợp đồng. Thiệt hại này của cơ quan là do khái niệm “hình
hộp” trong văn bản kí kết.
 Chức năng phát triển: Thông qua HĐ giải bài tập HS đƣợc phát triển năng lực

tƣ duy và các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tƣ duy khoa học. Các
HĐ thƣờng xuyên diễn ra trong DH giải toán là: phân tích, so sánh, tổng hợp, khái
quát hóa, trừu tƣợng hóa...
Trong khi DH, GV nên tạo điều kiện cho HS đƣợc rèn luyện các HĐ trí
tuệ. Cho HS thực hiện các thao tác phân tích và tổng hợp, phân tích trong khi đi
tìm lời giải và tổng hợp để trình bày lời giải. Việc tìm nhiều lời giải cho một bài
toán và phân tích, so sánh để tìm ra lời giải hay nhất là một HĐ phát huy đƣợc
năng lực tƣ duy của HS, đó là một HĐ rất đáng lƣu ý trong DH.
Ví dụ 1.3. Khi giải bài toán: “Chứng minh rằng nếu
đã tìm ra đƣợc nhiều cách giải. Sau đây là một số cách giải:
*Cách 1: Đặt

thì

(

. Ta có :



(

*Cách 4: Ta có (

)(

)

)

(

)

hay

( )

(2). Cộng (1) với (2 ta đƣợc :
*Cách 5 : Không mất tính tổng quát ta giả sử
Từ đó : (

)(

, ta có :

)

*Cách 6 : Giả sử

9


- Bài tập vận dụng: là loại bài tập đòi hỏi HS phải vận dụng các định lí, định
nghĩa, quy tắc, suy luận, khái quát hóa, trừu tƣợng hóa kiến thức mới giải đƣợc.
Ví dụ 1.6. Tìm quỹ tích các điểm biểu diễn trên mặt phẳng biểu diễn số phức

|

|

Gọi

(

|

|

.

) biểu diễn số phức z, ta có

Ta có |

|

|

|

bất phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bài toán tìm max, min,...là các bài toán tìm tòi.
- Bài toán chứng minh: là bài toán xác định xem một kết luận nào đó đúng hay sai,
là xác nhận hay bác bỏ kết quả đó.
Ví dụ 1.8. Các bài toán chứng minh về hình học, đại số, lƣợng giác... đều thuộc loại
bài toán chứng minh.
1.2.3. Phương pháp tìm lời giải các bài toán
Không thể có một phƣơng pháp chung để giải mọi bài toán. Ngay cả đối với
những lớp bài toán riêng biệt cũng có trƣờng hợp có, trƣờng hợp không có thuật
giải. Tuy nhiên, trang bị những hƣớng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát
hiện cách giải bài toán lại là điều có thể và cần thiết.
Bài tập toán rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài tập là một yêu cầu quan
trọng đối với HS. Có thể chia bài tập toán ra làm hai loại:
a) Loại có sẵn thuật toán.

10


Để giải loại này HS phải nắm vững các quy tắc giải đã học và rèn luyện kỹ
năng, kỹ xảo. Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp hơn. Yêu cầu cho
HS là:
- Nắm vững quy tắc giải đã học.
- Nhận dạng đúng bài toán
- Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo.
b) Loại chƣa có sẵn thuật toán.
Loại bài tập này chiếm số lƣợng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho HS
không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây
là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vƣơn lên trong học tập của HS. Do vậy khi dạy
HS giải bài tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho
HS biết cách suy nghĩ tìm ra con đƣờng hợp lý để giải bài toán.
Trong DH giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng quan

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng, khái quát hóa hay lật
ngƣợc vấn đề.

√

Ví dụ 1.9. Giải phƣơng trình:

 Bước 1: Tìm hiểu bài toán: Bài toán yêu cầu giải phƣơng trình có chứa một căn
thức bậc 2.
 Bước 2: Tìm cách giải:
- Với bài toán trên ta có thể giải nhƣ thế nào?
- Cách giải thông thƣờng của các phƣơng trình chứa căn thức?
- Hãy nêu các hƣớng để giải bài toán trên?
Cách 1: Đặt điều kiện sau đó bình phƣơng hai vế.

√

Cách 2: Đặt

và chuyển phƣơng trình đã cho về biến

Cách 3: Phân tích (1) thành (

)(

)

√


{
0

)
0

0
[
(

√
)(

)
√

{

{[
12

[

√


 Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải:
Với phƣơng trình trên thì các cách giải ở bƣớc 2 đều thực hiện vì phƣơng trình đã
cho có nghiệm nguyên là x=-1. Một câu hỏi rất tự nhiên là nếu phƣơng trình không có


√

2.
3.

√

Từ các tình huống mà GV đặt ra, HS có thể tìm đƣợc dạng tổng quát của
phƣơng trình trên là:

√

.

1.2.4. Các yêu cầu của việc giải bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học cần nắm vững các yêu cầu của lời
giải. Nói một cách tóm tắt, lời giải phải đúng và phải tốt. Để thuận tiện cho việc
thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình DH và đánh giá HS, có thể cụ thể
hóa các yêu cầu, đƣơng nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng lặp nhất định
trong các yêu cầu chi tiết :
 Kết quả phải đúng

Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số,
một hình vẽ,... thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các bƣớc trung gian cũng phải

13


đúng. Nhƣ vậy lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi
biểu thức,...

ngƣời, đáp ứng đƣợc yêu cầu của một HĐ nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn
thành có kết quả một số HĐ nào đó [2].

14