LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình hoàn thành khóa luận em luôn nhận được sự giúp đỡ và
chỉ bảo tận tình của cô giáo - Thạc sĩ Nguyễn Hải Lý. Đồng thời em cũng nhận
được sự sự giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin.
Phòng KH & QHQT, trung tâm thông tin thư viện trường Đại học Tây Bắc, các
thầy cô trong trường THPT Vân Cốc, các em học sinh lớp 10A5, 10A8 cùng các
bạn sinh viên lớp K53 ĐHSP Toán.
Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và các em
học sinh đã giúp em trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Trong quá trình thực hiện khóa luận không tránh khỏi những thiếu xót, rất
mong nhận được nhứng ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để khóa
luận được hòan thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2016
Người thực hiện
Nguyễn Thị Công Dung


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ...................................................................................................... 5
1. Lý do chọn khóa luận ............................................................................ 5
2. Mục đích, nhiệm vụ của khóa luận ....................................................... 5
2.1. Mục đích nghiên cứu...................................................................... 5
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................... 5
3. Đối tượng nghiên cứu ........................................................................... 6
4. Phương pháp nghiên cứu....................................................................... 6
5. Đóng góp của khóa luận........................................................................ 6
6. Cấu trúc của khóa luận .......................................................................... 6
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................. 7
1.1. Quan niệm về bài toán ....................................................................... 7
1.2. Hướng dẫn học sinh giải bài tập toán ................................................ 7

3.2. Phương pháp thực nghiệm ............................................................... 56
3.3. Nội dung thực nghiệm...................................................................... 56
3.4. Tổ chức thực nghiệm ....................................................................... 56
3.5. Kết quả thực nghiệm ........................................................................ 57
3.6. Kết luận rút ra từ thực nghiệm ......................................................... 58
KẾT LUẬN ................................................................................................ 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 60


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
Từ viết tắt

Viết đầy đủ

THPT

Trung học phổ thông

ptts

Phương trình tham số

pttp

Phương trình tổng quát

vtpt

Véctơ pháp tuyến


Mục đích của khóa luận là nghiên cứu việc hướng dẫn giải và khai thác một
số bài toán về phương pháp tọa đô trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 - THPT.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số vấn đề lý luận có liên quan đến việc hướng dẫn giải
và khai thác một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Điều tra thực trạng việc hướng dẫn giải và khai thác bài tập về phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh lớp 10 của giáo viên ở một số
trường THPT.
- Đề xuất một số bài toán được khai thác từ bài toán cơ bản về phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để bước đầu có kết luận cần thiết cho
việc nghiên cứu.

5


3. Đối tƣợng nghiên cứu
Một số bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Hình học 10 –
THPT.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp quan sát - điều tra
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm
5. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành sư
phạm toán, cho học sinh và giáo viên THPT.
6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, danh mục, tài liệu tam khảo khóa luận gồm ba
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Hướng dẫn theo mẫu(hướng dẫn Angôrit): Sự hành động theo mẫu đã có
thường gọi là hướng dẫn theo mẫu hay hướng dẫn Angôrit. Hướng dẫn theo
mẫu là sự hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh những hành động cụ thể cần thực
hiện và trình tự thực hiện các hành động đó để đi tới kết quả mong muốn.
Những hoạt động này được học sinh hiểu một cách đơn giản và học sinh
đã nắm vững cách thực hiện không đòi hỏi học sinh phải tìm tòi xác định các
hoạt động cần thực hiện để giải quyết vấn đề đặt ra mà chỉ đòi hỏi học sinh
thực hiện theo trình tự đã có.
7


Kiểu hướng dẫn Angôrit đòi hỏi giáo viên phải phân tích một cách lôgic
các giả thiết để xác định một trình tự chính xác chặt chẽ của các hoạt động
cần thực hiện để giải quyết được bài tập và phải đảm bảo các hoạt động đó
học sinh có thể thực hiện được.
Kiểu hướng dẫn này thường được áp dụng khi cần dạy cho học sinh
phương pháp giải bài tập điển hình nào đó. Người ta xây dựng các Angôrit
giải cho từng loại bài tập cơ bản điển hình và luyện tâp cho học sinh kỹ năng
giải bài tập đó dựa trên việc cho học sinh nắm được Angôrit giải.
Hướng dẫn tìm tòi (hướng dẫn Ơrixtic): Hướng dẫn tìm tòi là kiểu
hướng dẫn mang tính chất gợi ý cho học sinh suy nghĩ, tìm tòi phát hiện cách
giải quyết, không phải là giáo viên hướng dẫn cho học sinh chấp hành theo
mẫu đã có, mà là giáo viên gợi mở để học sinh giải quyết.
Kiểu hướng dẫn tìm tòi được vận dụng khi học sinh gặp khó khăn trong
tư duy cần giúp đỡ để giải được bài tập đồng thời vẫn đảm bảo yêu cầu phát
triển tư duy của học sinh tự lực tìm tòi, giải quyết.
Kiểu hướng dẫn khái quát chương trình hóa:
Đây cũng là kiểu hướng dẫn cho học sinh tự tìm tòi giải quyết vấn đề.
Nét đặc trưng của kiểu hướng dẫn này là giáo viên định hướng tư duy
cho học sinh theo đường lối, khái quát của việc giải quyết vấn đề.

khác nhau như: tổ chức cho học sinh thảo luận nhóm, tập trình bày các ý kiến
riêng của nhóm, của cá nhân hoặc dùng hệ thống các câu hỏi vấn đáp gợi mở,
vấn đáp củng cố để đi đến cách giải tốt nhất hoặc kết luận cần thiết cho mỗi
giờ dạy học giải Toán hoặc mỗi bài toán cụ thể.
1.3. Vai trò, vị trí và chức năng của bài tập toán
1.3.1. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học
Trong quá trình dạy học môn toán bài tập toán học chiếm một vai trò vô
cùng quan trọng. Trong dạy hoạt động giải toán, giải bài tập là hoạt động
quan trọng được thực hiện thường xuyên liên tục trong quá trình dạy học lên
lớp của giáo viên, mặt khác có thể thấy trong giải toán, hoạt động giải bài tập
là hoạt động cụ thể có tác dụng trong rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực
giải toán của học sinh. Bài tập toán và hoạt động giải bài tập toán thể hiện mối
liên hệ mật thiết giữa hoạt động học của học sinh và hoạt động dạy của giáo
viên với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học. Tức là thông qua bài tập
toán và hoạt động giải bài tập toán người học sinh thể hiện được mức độ
thông hiểu, lĩnh hội tri thức thông qua quá trình dạy học của người giáo viên.
Để giải tốt được một bài tập toán tức là người học sinh phải thực hiện những
hoạt động nhất định của việc học bao gồm hoạt động nhận dạng và thể hiện
khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động
toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những
9


hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Chính vì vậy mà theo
quan điểm của Nguyễn Bá Kim thì bài tập có vai trò “giá mang hoạt động”
của học sinh. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học được thể hiện
trên cả ba bình diện: mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học.
+ Trên bình diện mục tiêu: Bài tập là giá mang những hoạt động mà việc
thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác những bài
tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các

học của nền giáo dục ở nước ta hiện nay.
Muốn bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh, người giáo viên cần
hình thành cho học sinh kỹ năng giải toán. Tức là người giáo viên cần phải:
+ Giúp cho học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải
quyết các đối tượng, các bài tập cùng loại.
+ Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức
tương ứng.
Đặc biệt người giáo viên cần làm rõ cho học sinh nắm bắt được đâu là
các dạng bài tập ở cấp độ tri thức phương pháp được đưa ra tường minh có
thuật giải và đâu là dạng bài tập ở cấp độ tri thức phương pháp đưa ra ở dạng
ẩn tàng chưa có thuật giải.
Bên cạnh đó, một điểm đáng chú ý nữa là: “Trong quá trình giải một bài
tập toán cho nên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách,
cần khuyến khích cho học sinh tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi
cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, nhìn nhận một vấn
đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng
lực tư duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay
nhất, đẹp nhất…” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương
pháp dạy học môn Toán (phần I), NXB Giáo dục).
1.3.2. Vị trí của bài tập toán học
“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các
bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có và không thể hiệu
quả thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động
giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở
trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học
có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán” (Theo Nguyễn Bá Kim,
Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy học môn toán (phần I), NXB Giáo
Dục).

+ Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến
thức và trình độ phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào
việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các
tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo
viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư
phạm của mình.
12


1.4. Yêu cầu đối với lời giải một bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán, trước hết cần nắm vững các yêu
cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nói như vậy
là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng. Để thuận tiện cho việc thực
hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có
thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận những yếu tố trùng
lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:
Một là: Kết quả đúng, kể cả ở bước trung gian
Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, một biểu thức, một hàm số,
một hình vẽ,… thỏa mãn các yêu cầu đề ra. Kết quả các bước trung gian cũng
phải đúng. Như vậy lời giải không chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến
đổi biểu thức,…
Hai là: Lập luận chặt chẽ
Đặc biệt lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
- Luận đề phải nhất quán
- Luận cứ phải đúng
- Luận chứng phải hợp logic
Ba là: Lời giải đầy đủ
Yêu cầu này có nghĩa lời giải không được bỏ sót một trường hợp, một

Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong những kỹ
năng quan trọng, và hoạt động tư duy là một thành phần không thể thiếu trong
dạy học giải toán. G.Pôlya đưa ra 4 bước để tìm ra lời giải mọt bài toán như
sau.
1.5.1. Tìm hiểu nội dung đề bài
Tìm hiểu đề toán là việc làm trước tiên trong quá trình dạy học giải toán.
Muốn học sinh tự mình giải quyết được những yêu cầu đòi hỏi của bài toán
người giáo viên cần phải làm cho học sinh nắm được ý nghĩa nội dung của bài
toán, xác định yếu tố cơ bản của bài toán đồng thời biết thể hiện bài toán dưới
một hình thức ngắn gọn dễ hiểu. Có nhiều cách để tìm hiểu đề bài toán và
chúng ta thấy rằng: mỗi cấp học khác nhau, mỗi bài toán cụ thể sẽ có cách tìm
hiểu đề khác nhau. Thông thường để tìm hiểu đề toán, người dạy toán cần
hướng học sinh tới những câu hỏi: phân tích giả thiết và kết luận của bài toán:
Đâu là ẩn, Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Điều kiện và dữ kiện liên quan
14


tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới hình thức khác không? Điều kiện
này đã đủ để xác định ẩn chưa? Đối với bài toán hình học nói chung thường
phải vẽ hình (nhất là đối với hình học không gian). Sau khi vẽ hình xong và
thể hiện các yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm trên hình vẽ, lúc đó học sinh sẽ hiểu
rõ bài toán hơn. Điều cần lưu ý là: hình vẽ phải tổng quát, không nên vẽ trong
trường hợp đặc biệt. Như vậy, ngay ở bước “Tìm hiểu nội dung đề bài” ta đã
thấy vai trò của tư duy sáng tạo trong việc định hướng để tìm tòi lời giải.
1.5.2. Tìm cách giải
Xây dựng chương trình giải toán là xác định trình tự cho việc giải quyết
những đòi hỏi của bài toán hoặc nói cách khác là dạy cho học sinh tìm ra cách
giải bài toán. Người dạy có thể sử dụng các câu hỏi phân tích đi lên, tổng hợp
hoặc các phép suy luận, quy nạp để học sinh tự tìm ra lời giải của bài toán.
Ở bước này, chú ý phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn

người thầy và cả những điều kiện mà người học phải có đó là: những kiến
thức có sẵn, những thói quen suy luận, sự tập trung, say mê trong giải toán.
Sau đây là sự minh họa các phương pháp giúp học sinh tìm được lời giải toán.
Chẳng hạn, sử dụng phương pháp phân tích đi xuống giúp học sinh tìm
được lời giải bài toán.
Phân tích đi xuống (suy ngược tiến) để tìm ra hướng giải quyết một bài
toán là cách là xuất phát từ câu hỏi của bài toán suy ra dần đến giả thiết đã
cho hoặc điều đúng nào đấy đã biết.
Ví dụ 1: Hướng dẫn học sinh giải bài toán:
a b
 ab
2
Hướng dẫn:
Bước 1: Phân tích - tìm lời giải

Chứng minh rằng với a, b 0 thì

1

Giả sử có 1
a b
a b
 ab 
 ab  0  a  b  2 ab  0
2
2






tư duy một cách tự nhiên đồng thời đem lại sự tự tin và hứng thú cho các em
trong hoạt động giải toán. Tuy nhiên, không phải lúc nào sử dụng phương
pháp này cũng tìm ra được lời giải của bài toán. Vì vậy trong dạy học giải
toán, đôi khi còn phải sử dụng phương pháp phân tích đi lên (phương pháp
tổng hợp). Phương pháp tổng hợp là cách suy luận từ giả thiết đã cho hoặc
điều đúng nào đó dẫn đến điều cần tìm, cần chứng minh. Phương pháp tổng
hợp đã làm cho giả thiết và kết luận của bài toán tiến gần nhau hơn. Song cần
lưu ý trong quá trình suy diễn từ A đến B ở mỗi bước phải đưa ra định hướng
đúng đắn có ích cho kết luận. Nếu không có định hướng đúng đắn sẽ làm tăng
bước suy diễn hoặc làm cho bài toán trở nên phức tạp hơn. Trong dạy học giải
toán, để tìm được lời giải bài toán nhiều khi cần kết hợp cả phân tích và tổng
hợp.
1.5.3. Trình bày lời giải
Hoạt động thực hiện kế hoạch giải toán bao gồm: việc chọn một cách
giải và trình bày lời giải bài toán dễ hiểu nhất, phù hợp nhất với bậc học. Lời
giải bài toán được hiểu là tập hợp các thao tác sắp theo thứ tự để đi đến mục
đích yêu cầu đòi hỏi của bài toán. Thao tác đó có thể là phép tính cơ bản,
phép dựng hình cơ bản, hoặc một dãy các suy luận,…
Cần phải lưu ý rằng: cùng một vấn đề nhưng cách trình bày lời giải ở
mỗi cấp là khác nhau. Tuy nhiên, dù trình bày theo cách nào thì lời giải một
bài toán không cho phép có sai lầm. Yêu cầu này có nghĩa là lời giải bài toán
phải đảm bảo độ chính xác về kiến thức, hợp lôgíc về quy tắc suy luận, ngôn
ngữ diễn đạt trong sáng.
1.5.4. Nghiên cứu sâu lời giải
Học sinh thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bài toán thì
thỏa mãn, ít đi sâu kiểm tra lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì không, ít quan
tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì vậy trong quá
trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên thực hiện các
yêu cầu sau:

$2 : Phương trình đường tròn – Luyện tập (2 tiết)
$3 : Phương trình đường elip – Luyện tập (2 tiết)

- Ôn tập chương - Kiểm tra một tiết (2 tiết)
1.6.2. Một số dạng toán về phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng
1.6.2.1. Một số dạng toán về phƣơng trình đƣờng thẳng
Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng

18


Phƣơng pháp
Để viết phương trình tham số của đường thẳng  ta thực hiện các bước
sau:


+ Tìm vectơ chỉ phương u =  u1; u2  của đường thẳng  ;
+ Tìm một điểm M 0 ( x0 ; y0 ) thuộc  ;
 x  x0  tu1
+ Phương trình tham số là 
, t
y

y

tu
0
2



1 : a1x  b1 y  c1  0 và 2 : a2 x  b2 y  c2  0 . Ta xét các trường hợp

sau:
19


Nếu a2b2c2  0 thì:
+ 1 cắt  2 

a 1 b1

a2 b2

+ 1 //  2 

a1 b1 c1
 
a 2 b2 c2

+ 1   2 

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

a x  b1 y  c1  0
Ta xét số nghiệm của hệ phương trình:  1
(I)
a2 x  b2 y  c2  0


a2 x  b2 y  c2
a22  b22

Vậy phương trình của hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai
đường thẳng 1;  2 là:
20


a1 x  b1 y  c1
a12  b12



a2 x  b2 y  c2
a22  b22

1.6.2.2. Một số dạng toán về phƣơng trình đƣờng tròn
Dạng 1: Viết phương trình đường tròn
Phƣơng pháp
Cách 1:
Tìm tọa độ tâm I (a; b) của đường tròn (C);
Tìm bán kính R của (C);
Viết phương trình (C) theo dạng:
( x  a)2  ( y  b)2  R2

(1)

Chú ý:
+ (C) đi qua A, B  IA2  IB2  R2
+ (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng  tại A thì IA  R

x2 y 2
 2  1 với b2  a 2  c2
2
a
b

Các yếu tố:
+ Tiêu cự: FF1  2c
+ A1 A2  2a : trục lớn
+ B1B2  2b : trục nhỏ
+ M  ( E )  MF1  MF2  2a
+Ta có tọa độ các điểm đặc biệt của elip (E)
+Bốn đỉnh: A1  a;0 , A2  a;0  , B1  0; b  , B2  0; b 
+Hai tiêu điểm: F1  c;0  , F2  c;0 
Dạng 2: Viết phương trình chính tắc của Hypebol
Phƣơng pháp
Từ các thành phần đã biết, áp dụng công thức liên quan để tìm phương
trình chính tắc của Hypebol.
Phương trình chính tắc của Hypebol có dạng:

x2 y 2

 1 với
a 2 b2

b2  c 2  a 2

Các yếu tố:
+ A1 A2  2a : trục thực
+ B1B2  2b : trục ảo


10 20

Trên
20

CĐ

ĐH

Trên
ĐH

Giỏi

Khá

Trung
bình

13

6

4

3

0



Sĩ số

Kết quả học tập
Giỏi

Khá

TB

Yếu

1

10A1

38

3

14

18

3

2

10A3


Do đường thẳng  song song với đường thẳng d nênvtcp của đường
thẳng d cũng là vtcp của đường thẳng  .
Bài toán trở về dạng cơ bản là viết phương trình tham số của đường
thẳng khi biết một điểm và vtcp.
b) Trình bày lời giải
Ta có nd  1; 1  ud  1;1
Do  / / d nên ud  u  1;1 .
x  2  t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng  : 
 y 3 t

t

c) Khai thác bài toán
Cách giải khác:
Vì  / / d nên  có phương trình: x  y  c  0

1

Do  đi qua A nên tọa độ điểm A thỏa mãn 1 thay A  2;3 vào 1 ta
được c 1
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng  là x  y 1 0

25