Khoá luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm hà Nội 2
Khoa: Sinh - KTNN
-------***------

Lò Thị Bích Yến

Xây dựng và sử dụng hệ thống
câu hỏi nhằm phát huy tính tích cực học tập của học
sinh trong dạy học phần III: sinh học vi sinh vật,
chương III: Virut và bệnh truyền nhiễm sinh học 10 nâng cao 2006

Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Phương pháp giảng dạy

Người hướng dẫn khoa học
Thạc Sĩ Trần Thị Hường

Hà Nội – 2007

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
1


Khoá luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn
Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này, em đã nhận được sự giúp đỡ
ủng hộ của các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là
thầy Nguyễn Văn Hùng người đã tận tình trực tiếp hướng dẫn em. Qua đây

3

Đ2: Sai số tương đối và sai số tuyệt đối

7

Đ3: Cách viết số xấp xỉ

8

Đ4: Sai số quy tròn

8

Đ5: Xấp xỉ ban đầu

9

Đ6: Ma trận nghịch đảo

12

Đ7: Phương trình phi tuyến tính

15

Bài tập chương 1

20




Khoá luận tốt nghiệp

Phần 1: Mở đầu
Giải tích số là một ngành khoa học đã có từ lâu, nhưng từ khi máy tính
điện tử ra đời ngành khoa học này phát triển rất nhanh, nhằm xây dựng những
thuật toán đơn giản, có hiệu lực, giải kết quả bằng số những bài toán của khoa
học kỹ thuật trên máy tính. Vì vậy, ngày nay với việc sử dụng rộng rãi máy vi
tính trong các cơ quan, xí nghiệp, các kiến thức của môn học "giải tích số"
càng trở nên hết sức cần thiết.
Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng, nó nghiên cứu lý thuyết
xấp xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường
gặp…Đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần
đúng các bài toán thực tế được mô hình hoá bằng ngôn ngữ toán học.
Để có lời giải gần đúng cho bất kỳ bài toán nào cũng đòi hỏi phải có các
dữ kiện của bài toán và sau đó là xây dựng mô hình bài toán, tiếp theo là công
việc tìm thuật toán hữu hiệu nhất và cuối cùng viết chương trình để máy tính
tính toán cho ta kết quả gần đúng. Khi giải bài toán thực tế ta đều phải làm
việc trực tiếp hoặc gián tiếp với các số liệu ban đầu. Chính vì vậy không tránh
khỏi các sai số, tuy rất nhỏ nhưng ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán.
Vì vậy cần phải sử dụng các thuật toán hữu hiệu để giảm thiểu sự sai số đồng
thời tiện lợi cho việc lập trình tiết kiệm số lượng các phép tính, thời gian tính
toán. Vấn đề tìm gần đúng nghiệm của hệ phương trình phi tuyến có ý nghĩa
lý thuyết và ứng dụng rất lớn, là cơ sở của môn giải tích số.

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
4



đúng thiếu, còn nếu 

1
2

 i 1    .10 i hoặc   .10 i khi  i  2  1,   Z

Ta ký hiệu sai số của phép làm tròn là a, như vậy a  a  a , rõ ràng
1
2

là a  .10 i
Vì a *  a  a *  a  a  a   a  a , do đó khi làm tròn thì sai số tuyệt đối
tăng thêm a

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
7


Khoá luận tốt nghiệp
3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc:

Xét số a ở dạng (1.1.2) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó,
chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa hai chữ
số khác 0 hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại.
Xét số a ở dạng (1.1.2)
a  ( p .10 p  ...   i 10 i  ...   p  s .10 p  s )

Chữ số j ở (1.1.2) của số a là chữ số chắc nếu:
 a  .10i ,  là tham số cho trước



(1.1.3)

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
8


Khoá luận tốt nghiệp

Vậy  y 

y n 

.ln f . x
y i 1 xi

i

(1.1.4)

a) Sai số của phép toán cộng trừ
n

n

thì y x' i  1, vì vậy ta có:  y    xi

Nếu y   xi
i 1



áp dụng (1.1.3) và (1.1.4)

p i

Ta có:
 y   x  ....   x và  y  y . y
1

q

c) Sai số của phép tính luỹ thừa:
Xét y  x (  R,x  0) , khi đó  y   . x
Như vậy, nếu  >1 thì độ chính xác giảm đi, nếu 
i

Đ2 : Sai số tương đối và sai số tuyệt đối
1. Sai số tuyệt đối:

Trong tính toán, thường ta không biết số đúng A mà chỉ biết số gần đúng
của nó là a. Lúc đó ta nói "a xấp xỉ A" và viết " a  A " . Độ lệch h=A - a được
gọi là sai số thực sự của A.
Vì không biết A nên ta cũng không biết h. Tuy nhiên ta có thể tìm được
số dương  a  h sao cho a   a  A  a   a .
Số  a bé nhất mà ta có thể xác định được gọi là sai số tuyệt đối của a.
Nếu số xấp xỉ của A có sai số tuyệt đối là  a , ta viết:
A  a  a

Với nghĩa a -  a  A  a   a

(1.2.1)
(1.2.2)

2. Sai số tương đối

Tỷ số  a 

a
a

(1.2.3) gọi là sai số tương đối của a.

Ta suy ra  a  a . a (1.2.4). Do đó (1.2.1) có thể viết thành: A  a(1   a )
Công thức (1.2.3) và (1.2.4) cho ta liên hệ giữa sai số tuyệt đối và sai số

1. Hiện tượng quy tròn và sai số quy tròn:

Trong tính toán, khi gặp một số có quá nhiều chữ số đáng nghi, người ta
thường bỏ đi một vài chữ số cuối cho gọn. Việc làm đó gọi là quy tròn số.

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
11


Khoá luận tốt nghiệp

Việc quy tròn số sẽ tạo ra sai số mới gọi là sai số quy tròn bằng hiệu số
giữa số quy tròn và số chưa quy tròn. Trị tuyệt đối của hiệu này được gọi là
sai số quy tròn tuyệt đối.
Quy tắc quy tròn phải chọn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối càng bé
càng tốt. Ta chọn quy tắc sau đây : quy tròn sao cho sai số quy tròn tuyệt đối
không lớn hơn một nửa đơn vị ở hàng được giữ lại cuối cùng, tức là 5 đơn vị
ở hàng bỏ đi đầu tiên. Cụ thể là nếu chữ số bỏ đi đầu tiên lớn hơn hoặc bằng 5
thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một đơn vị, còn nếu chữ số đầu tiên nhỏ
hơn 5 thì để nguyên chữ số giữ lại cuối cùng.
2. Sai số đã quy tròn:

Giả sử a là số xấp xỉ của số đúng A với sai số tuyệt đối  a . Giả sử ta đã
quy tròn a thành a' với sai số quy tròn tuyệt đối là a , tức là: a '  a   a
Bây giờ tính  a của a', ta có : a'-A = a'- a + a - A
Suy ra a '  A  a '  a  a  A   a   a
Vậy có thể lấy  a '   a   a
Rõ ràng  a '   a , tức là việc quy tròn làm tăng sai số tuyệt đối. Do vậy
sai số quy tròn có thể có tác hại trong quá trình tính toán.
Đ5 : Xấp xỉ ban đầu

a0

a2
   ri r j
i j
a0

;

a3
   ri r j rk ;
i  j k
a0

... ;

;

an
 (1) n r1r2 ...rn ;
a0

Vì r1 có môđun lớn hơn nhiều so với các nghiệm khác, cho nên từ đẳng
thức đầu tiên ta có:
r
a1
r
 r1 (1  2  ...  n )
a0
r1

a1  r1a0

;

a2  r1r2 a0

a3  r1 .r2 .r3 a0

;

an  r1r2 r3 ...rn a0 ;

a1  r1a0  0

;

a2  r2 a1  0

a3  r3 a2  0

;

an  rn an1  0 ;

;

r2  

;


Số nghiệm âm của phương trình (1.5.2) bằng hoặc kém hơn một số chẵn
số lần đổi dấu trong hệ số của phương trình f(-x) = 0
Nếu phương trình là đầy đủ, thì số nghiệm âm bằng số lần giữ nguyên
dấu trong hệ số của phương trình hoặc kém hơn nó một số chẵn.
SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
14


Khoá luận tốt nghiệp

i- tìm nghiệm có môđun lớn hoặc bé nhất của phương trình đại số
(1.5.2). Nghiệm đơn của (1.5.2) với a0=1, có môđun lớn nhất cũng có thể
được xấp xỉ từ phương trình:
x 2  a1 x  a  0 hoặc x + a1= 0

Nếu nghiệm đơn có môđun lớn hơn nhiều so với các nghiệm khác thì các
xấp xỉ này cho ta kết quả tương đối chính xác. Nghiệm có giá trị môđun nhỏ
nhất của (1.5.2) cũng có thể tính xấp xỉ từ phương trình:
an2 .x n  an1 .x n1  an  0 hoặc a n1 .x  a n  0

ii- lược đồ Horner
Lược đồ Horner dùng để chia một đa thức
a0 xn  a1 xn1  ...  an1 x  an

cho một nhị thức x-x0. Kết quả sau phép chia sẽ là một đa thức bậc n-1 là
b0 x n1  b1 x n2  ... b n2 x  bn1 và phần dư R, sẽ chỉ là một số sao cho thoả mãn :





b3

…

an-1

an

bn-2.x0

bn-1x0

bn-1

R

Đ6 : Ma trận nghịch đảo
Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n là một ma trận, kí hiệu
A-1 thoả mãn điều kiện
SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
15


Khoá luận tốt nghiệp

A.A-1 = A-1.A = I
Ma trận A có ma trận nghịch đảo A-1 khi và chỉ khi det A  0 và khi đó ta
có thể tìm A-1 bằng cách tính giá trị các phần bù đại số Aij , i, j = 1,2…n sau
đó ta có thể áp dụng công thức:
A12 .......... A1n 


 

 an1 an 2  ann 0 01



Bằng phép biến đổi sơ cấp lên hàng của ma trận [A, I] này cho đến khi ta
được ma trận dạng:
1 0 0 C1,n 1 C1,n  2 C1,2 n 


0 1 0 C2,n 1 C2,n  2 C2,2 n 
 

 

 (1.6.2)

 
 
0 01 C
Cn,n  2 Cn,2 n 
n , n 1



Khi đó:

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K

Tiếp theo, nhân hàng đầu của ma trận trên với -a21, sau đó cộng vào
hàng thứ hai theo từng thành phần một ta được:
a 12 .......a
1
1
0............0 
1n
a11
a 11


(1)
(1)
(1)
a
a 22 ..........a 2 n
a 2,n 1
1............0 
21

A, I  ...................................................................................
...................................................................................


a n1 a n2 .........a nn
0
0............1 

ở đây a 2(1j)  a 2 j 


(l-1)
( l 1)
(l-1)
1.............a 2l ...............a2 n
a 2,n 1............0 
0
......................................................................................


( l 1)
0............a (l-1)
a (l-1)
0
nl .................ann
n,n 1..........1 


Hai bước cơ bản cần được tiến hành đối với ma trận này là:
1.Với mỗi hàng thứ l, chia tất cả alj(l 1) cho all(l 1) , j = l, l+1, …, n+l
2. Với mỗi i = 1, 2, ..., n, i  1 thay alj(l 1) bằng :
(l )
ij

a

( l 1)
ij

a


lj

all( l i )
 ( l 1)  1 sẽ giữ nguyên giá trị vì nó chỉ chia cho 1 thôi.
all

Đ7 : Phương trình phi tuyến tính
Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến
1. Phương pháp chia đôi:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0.

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
18


Khoá luận tốt nghiệp

Đặt  0 = [a;b] và ta chia đôi  0 và chọn  1 = [a1;b1] là một nửa của  sao
cho f(a1).f(b1)  0.
Nói chung, đến bước thứ n, ta có  n  a n ; bn    n1  ...  1   0
Ngoài ra, ta còn có bn  a n 

(b  a)
 0 khi n   .Dễ dàng thấy rằng,
2n

dãy a n  đơn điệu tăng, bị chặn trên bởi b còn dãy bn  đơn điệu giảm và bị
chặn dưới bởi a. Hơn nữa do bn  a n 


2n

Tức là ln(b  a)  N ln 2  ln  .Như vậy, phải tiến hành đến bước lặp thứ N tính
bởi:
 ln( b  a)  ln  
N  int eger 

ln 2


2. Phương pháp dây cung

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
19


Khoá luận tốt nghiệp

Phương pháp chia đôi là lấy điểm giữa của khoảng trước làm điểm mới
của quá trình lặp. Phương pháp dây cung, về nguyên tắc không khác gì
nguyên tắc chia đôi. Chỉ có điều là điểm tiếp theo của phương pháp dây cung
không phải là điểm giữa mà là giao điểm của hai đoạn thẳng nối hai điểm
(a,f(a)) và (b,f(b)) với trục hoành. Dễ dàng kiểm tra điểm c được tính theo
công thức:
c b

f (b).(b  a)
f (b)  f (a)

Có 3 khả năng xảy ra:

(1.7.3)

Ta có:
Nếu  (x) là một hàm khả vi liên tục và
a)  ' ( x)  q  1 ,  x  a; b
b)  ( x)  a; b , x  a; b thì phương trình (1.7.3) có nghiệm duy
nhất r trên [a;b], phép lặp hội tụ, hơn nữa có:
x n  r  q n (1  q) 1 . x1  x0

4. Phương pháp lặp Newton - Raphson

Xấp xỉ ban đầu của nghiệm có thể làm việc tốt lên nhờ phương pháp lặp:
x n 1  x n 

f ( xn )
, n = 0,1,2…
f ' ( xn )

(1.7.4)

Công thức này cho phép ta tính được giá trị xấp xỉ mới xn+1 khi đã biết
giá trị xấp xỉ xn. Để giảm việc tính toán ta có thể dùng phương pháp lặp
Newton cải tiến bằng cách thay f'(xn) trong (1.7.4) bằng f'(x0)

Để nghiên cứu khả năng hội tụ của phương pháp, ta khai triển f(x) theo
chuỗi TayLor:

SVTH: Tạ Anh Hoài - Lớp K29K
21


.
2
f ' ( xn )

Nếu E0
AX ( n)  I thì X

( n 1)


Khoá luận tốt nghiệp

(1.5.1) có nghiệm kép với bậc là  thì công thức (1.7.3) trong trường hợp này
có thể thay thế bằng:
xn 1  xn   .

f ( xn )
f ' ( xn )

Và nó được gọi là phương pháp lặp Newton - Raphson suy rộng. Nếu x0
chọn gần với nghiệm r của (1.5.1) với bậc (   1) và của f"(x) = 0 với bậc là
(   2) ,…. Cho nên các biểu thức:

x0   .

f ( x0 )
f ' ( x0 )

;

x0  (   1)

f ' ( x0 )
;
f ' ' ( x0 )