TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ PHƯƠNG

CÁC BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học

Người hướng dẫn khoa học
THẠC SĨ : DƯƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI - 2013


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
LI CM N

hon thnh khúa lun ny, tụi xin gi li cm n sõu sc ti thc s
Dng Th H ngi ó tn tỡnh hng dn tụi trong sut quỏ trỡnh thc hin
v to mi iu kin cho tụi hon thnh khúa lun.
ng thi, tụi cng xin chõn thnh cm n Ban giỏm hiu, cỏc thy cụ
khoa Toỏn trng i Hc S Phm H Ni 2 ó to iu kin giỳp tụi hon
thnh khúa lun ỳng thi hn.
Cui cựng xin gi li cm n ti tp th cỏc bn sinh viờn cựng lp, gia
ỡnh ó ng viờn giỳp tụi trong sut thi gian nghiờn cu tụi hon
thin khúa lun ny. Mc dự ó cú nhiu c gng song khúa lun khú trỏnh


Lớp K35E Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
MC LC

Ni dung

trang

A: M u .................................................................................................... 1
1. Lý do chn ti ........................................................................................ 1
2. Mc ớch nghiờn cu .................................................................................. 1
3. i tng, phm vi nghiờn cu .................................................................. 1
4. Phng phỏp nghiờn cu ............................................................................ 1
B: Ni dung ................................................................................................... 2
Chng 1: C s lớ lun ............................................................................... 2
1.1. Cỏc kin thc cn nh ............................................................................. 2
1.2. Cỏc kin thc liờn quan .......................................................................... 5
Kt lun chng 1...10
Chng 2: Bi tp v th tớch .................................................................... 11
2.1. Bi toỏn tớnh th tớch trc tip................................................................ 11
2.1.1. Dng toỏn cú sn ng cao ............................................................... 11
2.1.2. Dng toỏn cn i dng ng cao....................................................... 11
2.1.3. Dng toỏn cn dng ng cao ph ................................................... 31
2.2. Tớnh th tớch khi a din mt cỏch giỏn tip ........................................ 36
2.3. S dng phng phỏp th tớch tớnh khong cỏch ............................... 45

bi toỏn v th tớch khi a din trong chng trỡnh trung hc ph
thụng. L mt giỏo viờn trong tng lai tụi nhn thy vic nghiờn cu ti
ny l hp lý v cú ý ngha thc tin.
2. Mc ớch nghiờn cu ca ti
Nghiờn cu c s lớ lun, h thng húa cỏc bi tp v th tớch nhm tớch
cc húa hot ng ca hc sinh, nõng cao nng lc s phm cho giỏo viờn v
tng hiu qu dy hc mụn toỏn trng THPT.
3. Phm vi, i tng nghiờn cu
Nghiờn cu cỏc bi toỏn tớnh th tớch khi chúp, khi chúp u, th tớch
hỡnh lng tr v cỏc bi toỏn liờn quan ti vic tớnh th tớch khi a din
trong chng trỡnh toỏn trung hc ph thụng.
4. Phng phỏp nghiờn cu
Phng phỏp nghiờn cu c s lớ lun, phng phỏp tng kt kinh
nghim.

Trịnh Thị Phương

1

Lớp K35E Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1. Các kiến thức cần nhớ
1.1. Định nghĩa thể tích khối đa diện


2

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

1
V  .B.h , Với
3

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

B: Diện tích đáy
h: Chiều cao

S


A

D


B

H

C


 Khối tứ diện đều là một trường hợp đặc

B

biệt của khối chóp tam giác đều.

TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

M

3

Líp K35E To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

- Khi chúp t giỏc u.

S

+ Tt c cỏc cnh bờn bng
nhau
+ a giỏc ỏy l hỡnh vuụng

A



A

B

Khi tớnh th tớch ca cỏc khi a din ta phi tớnh di ng cao v
din tớch ỏy m cỏc i lng chiu cao v ỏy l nhng i lng quen
thuc ca hỡnh hc phng (on thng, tam giỏc, t giỏc). Cho nờn trong
cỏc bi toỏn tớnh th tớch khi a din ta cũn s dng cỏc kin thc liờn quan
nh sau:

Trịnh Thị Phương

4

Lớp K35E Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

1.2. Các kiến thức liên quan
1.2.1. Tam giác
- Công thức tính diện tích tam giác
A

c

ABC


AB 2  AC 2 BC 2

.
2
4

- Định lí hàm số Cos: a 2  b 2  c 2  2bc.cos A
- Định lí hàm số Sin:

a
b
c


 2 R.
sin A sin B sin C

1.2.2. Tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A với BC  a, AC  b, AB  c khi đó ta có:
+ Định lí Pytago: BC 2  AC 2  AB 2
+ Tỷ số lượng giác trong tam
B

giác vuông

a

b
c

+

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

+ b  a.sin B  a.cos C , c  a.sin C  a.cos B
+ a

b
b

, b  c.tan B  c.cot C
sin B cos C

+ Diện tích tam giác vuông
S ABC 

1
AB . AC
2


S ABC  ( AB ) 2 .

3
4

B

M

C

1.2.5. Tứ giác đặc biệt
- Hình chữ nhật
+ Diện tích hình chữ nhật

A

B

S ABCD  AB . AD

+ Hai đường chéo của hình chữ nhật
bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi

O

C

D


D

1
- Diện tích hình thoi: S  (h1 +h2) (trong đó h1, h2 lần lượt là hai đường chéo
2
của hình thoi).
1
- Diện tích hình thang: S  (m1+m2).h (trong đó m1, m2, h lần lượt là đáy lớn
2
và đáy nhỏ và chiều cao của hình thang).
- Diện tích hình bình hành S = m.h (trong đó m là đáy, h là đường cao của
hình bình hành).
1.2.6. Khoảng cách
- Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M tới một đường thẳng a (hoặc mặt phẳng (P)) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M lên
đường thẳng a (hoặc lên mặt phẳng (P)).

 M

M


a

H

H


Q

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông
góc chung của 2 đường thẳng đó (hay chính là khoảng cách từ một đường
thẳng tới một mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia).
d (a; b)  AB
A

a

b

B

1.2.7. Góc
TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

8

Líp K35E To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

- Cỏch xỏc nh gúc
+ Gúc gia ng thng d v mt phng (P).
Tỡm hỡnh chiu d ca d lờn mt phng (P)
Khi ú gúc gia d v (P) l gúc gia d v d.

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

+ Trong mt s bi toỏn v khi chúp tam giỏc chỳng ta cn khộo lộo
trong vic chn ng cao v mt phng ỏy vic tớnh toỏn ngn gn v d
dng hn.
+ i vi nhng bi toỏn tớnh th tớch ca cỏc khi chúp u ta luụn cú
ng cao ca khi a din chớnh l ng thng ni nh vi tõm ca a giỏc
ỏy.
+ Khi chúp cú mt cnh bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ ng cao chớnh l
cnh bờn ú.
+ Tớnh th tớch khi a din cú th tớnh mt cỏch trc tip hoc giỏn
tip.
+ Vi mt s bi toỏn yờu cu tớnh khong cỏch t mt im ti mt
mt phng hoc khong cỏch gia hai ng thng ta cú th quy v bi toỏn
tớnh th tớch khi a din

Kt lun chng 1

Nh vy trong chng ny chỳng ta ó i tỡm hiu c s lớ lun v th
tớch khi a din, tỡm hiu c cỏc kin thc liờn quan ti vn ny cng
nh mt s lu ý khi lm bi tp v th tớch khi a din. T ú cú nhng
dng bi tp tng ng. Trờn c s ú vi mc ớch giỳp hc sinh cú c
mt ti liu thit thc v ch th tớch khi a din trong chng trỡnh toỏn
trung hc ph thụng. Chng 2 ca khúa lun s i xõy dng mt h thng
bi tp v th tớch mt cỏch tng i a dng v phong phỳ.

Trịnh Thị Phương


Mt s bi toỏn v tớnh th tớch khi a din ó cú sn ng cao. Giỏo
viờn cn a ra cỏc vớ d v giỳp hc sinh bit xỏc nh ng cao ú. Sau õy
l mt s gi ý nhn bit ng cao.
- ng thng qua nh v vuụng gúc vi mt ỏy. Cú th cho vuụng
gúc trc tip hoc cho vuụng gúc vi 2 ng thng ct nhau nm trong mt
phng ỏy.

Trịnh Thị Phương

11

Lớp K35E Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

- Giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vuông góc
với đáy.
- Đường thẳng qua đỉnh nằm trong mặt phẳng (  ) vuông góc với đáy,
đồng thời vuông góc với giao tuyến của (  ) và đáy.
- Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và
hình chiếu của nó là đường cao.
…
Lưu ý: Trong các trường hợp trên cần chỉ cho học sinh thấy được trong các
trường hợp nào cần phải chứng minh đó là đường cao, trường hợp nào không
cần phải chứng minh.
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh


SO 

SA2  AO 2  a 3 .

TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

12

Líp K35E To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

* Tớnh S ABC

S ABC

1
1
3 3 a2 3
0
AB . AC .sin 60 . a 3 . a 3 .

.
2
2
2

vi mt ỏy (ABC) mt gúc bng 450 . Tớnh th tớch khi chúp S.ABC.
Gii
S

Ta cú (SBC) (ABC) = BC
Gi M l trung im BC ta cú :
AM BC (vỡ ABC cõn ti A)
C

A

450

SM BC (vỡ AM l hỡnh chiu ca
SM lờn (ABC)).

M
B

Trịnh Thị Phương

((SBC), (ABC)) = (SM, AM) = SMA = 45o

13

Lớp K35E Toán


Khóa luận tốt nghiệp


2

Vy th tớch khi chúp S.ABC l :

VS . ABC

1
1 a 2 a 2 a3 2
S ABC .SA
.

(vtt).
3
3 2 2
12

Chỳ ý: Sai lm ca hc sinh hay mc phi khi gii bi toỏn trờn l:
((SBC), (ABC)) = SBA = 45o

Vớ d 3: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy bng 2a , cnh bờn
bng a 3 . Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD
Gii
Gi O l tõm ca hỡnh vuụng ABCD.
Do S.ABCD l t giỏc u nờn SO (ABCD). Vy SO chớnh l ng cao
ca hỡnh chúp S.ABCD.

S

* Tớnh SO
Ta cú ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a


* Tớnh din tớch hỡnh vuụng ABCD
S ABCD AB 2 (2a ) 2 4a 2 .

Vy th tớch khi chúp S.ABCD l

VS . ABCD

1
1 2
4a 3
S ABCD . SA 4a . a
(vtt).
3
3
3

Vi bi toỏn cho hỡnh chúp t giỏc u ta cũn hay gp cỏc dng sau:
+ Bit cnh bờn v ng cao. Tớnh th tớch.
+ Bit cnh ỏy v ng cao. Tớnh th tớch.
+ Bit cnh bờn v gúc gia cnh bờn v mt ỏy. Tớnh th tớch.
Vi nhng dng trờn ta cng lm tng t nh khi bit yu t cnh ỏy v
cnh bờn.
Vớ d 4: Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD
cú AB a 3, AD a, AA a , O l giao im ca AC v BD.
a) Tớnh th tớch khi chúp OABCD.
b) Tớnh th tớch khi OBBC.
c) Tớnh di ng cao nh C ca t din OBBC.
Gii
a) Gi th tớch khi hp ch nht l V. Ta cú


b) Gi M l trung im ca BC ta cú:
OM // DC (Vỡ OM l ng trung bỡnh ca

D

C

BDC) OM (BBC) (Vỡ DC (BDC)).

Trịnh Thị Phương

15

Lớp K35E Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

* Tính OM
Ta có OM 

DC a 3

.
2
2


Do BB  (ABCD)  BB  OB hay OBB vuông tại B
1
1
a2
a 3
 SOBB  .OB.BB  .a.a 
 C H 
.
2
2
2
2

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD). Đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và D, AB = 2a ; CD = a , BC = a 2 . Cạnh bên SC hợp với đáy
góc 600. Tính thể tích khối chóp.
Giải
Lấy M là trung điểm của AB khi đó

S

CD = AM = a , AM // CD và
DAM  900 nên tứ giác ADCM là

hình chữ nhật suy ra CM  AB. Áp
A

dụng định lí Pytago trong các tam

B

a 2



2

 a 2  a;

AM 2  CM 2  a 2  a 2  a 2

SA  (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD). Do vậy
0
góc giữa SC và (ABCD) là SCA  60 .

Tam giác SAC vuông tại A nên
0

SA  AC .tan SCA  AC.tan 60  a 2. 3  a 6.

1
1
3a 2
 S ABCD   AB  CD  .CM   a  2a  a 
.
2
2
2
1
1 3a 2
a3 6


600
N

0

Ta có SHI  60 là góc giữa hai mặt

H
D

C

phẳng (SBC) và (ABCD)
Trong tam giác vuông SIH ta có
TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

17

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
SI =IH.tan 600 = IH 3

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
(1)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Vì IN là đường trung bình của
hình thang ABCD nên ta có:

3a 5
3a 15
. 3
.
5
5

1
(2a  a).2a
Lại có S ABCD  ( AB  CD ).CM 
 3a 2 .
2
2
Vậy VSABCD =

1
1 2 3 a 15
15
 3 a3
SABCD .SI = 3a .
(đvtt).
3
3
5
5

Ví dụ 7: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A -2007)
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a , mặt bên SAD là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Tính thể tích của tứ diện CMNP


N

P

C

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Kẻ MK // SH (K  HB)  K  (ABCD)
và MK 

SH a 3

.
2
4

1
1 a a a2
Ta có S NPC  CN .CP 
.  .
2
22 2 8


S AIB .NO  S AIB
3
6

(1)

Ta đi tính diện tích ∆AIB

N
A

Xét hình chữ nhật ABCD do MA = MD
M

1
1
 MA  . BC  AI  . IC
2
2
1
 AI  . AC
3

TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

B

O

D

BC

2
4
4  2 a 2  6a 2
2
2
Lại có BI  BM  BI  BM   a   
.
3
9
9
2 
9

Do đó AI 2  BI 2  a 2  AB 2 nên AIB là tam giác vuông tại đỉnh I
1
1 a 3 a 6 a2 2
Vậy S AIB  IA.IB 
.

.
2
2 3
3
6

(2)

a3 2


TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

20

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
SO  OM .tan 300 

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
a 3 1 a
.
 .
6
3 6

S

* Tính S ABC
Tam giác ABC là tam giác đều cạnh a
nên ta có S ABC

a2 3
.

4

C


Xét BCD đều cạnh a có BM là đường trung tuyến
 BM 
BO 

D

B

* Tính AO

O

M
C

a 3
.
2

2
2a 3 a 3
BM 

.
3
3 2
3

Xét tam giác vuông ABO ta có