A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I.Lí do chọn đề tài
Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu
thích và say mê, nhưng nói đến môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở
ngại cho không ít học sinh, thậm trí ta có thể dùng từ “sợ” học. Đặc biệt là hình học
không gian tổng hợp.
Một trong những nội dung quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là
tính thể tích khối đa diện. Đây là một nội dung khó vì liên quan đến nhiều kiến thức
ở chương trình hình học lớp 11 và yêu cầu học sinh phải tư duy linh hoạt, khả năng
phân tích tổng hợp và tưởng tượng. Nhưng là phần rất quan trọng có trong cấu trúc
đề thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi
tuyển chọn học sinh giỏi và có khả năng phát triển tư duy cho sinh.
Qua thực tế một số năm giảng dạy khối 12 ở Trường THPT Lê Văn Linh, tôi
thấy học sinh khi học phần này thường rất lúng túng không định hướng được cách
tính thể tích và hay mắc phải số sai lầm. Nguyên nhân là do các em không nắm
vững lí thuyết, việc luyện tập còn ít.
Là một giáo viên dạy toán, bản thân tôi luôn đặt ra câu hỏi? dạy như thế nào
để học sinh dễ tiếp thu, nắm chắc kiến thức, vận dụng tốt vào giải toán, và phù hợp
với nhiều đối tượng. Đó là vấn đề mà tôi luôn trăn trở và tìm tòi trong quá trình
giảng dạy và mong muốn được trao đổi với các thầy cô giáo đồng nghiệp.
Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn, trở ngại đó và ngày càng yêu thích
môn toán hơn tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải bài toán tính
thể tích khối đa diện cho học sinh THPT”.
II. Mục đích của đề tài
* Nhằm giúp các em học sinh có được phương pháp phù hợp khi giải bài toán tính
thể tích khối đa diện, tránh những sai sót phổ biến khi học phần này.
1
* Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy lấy học sinh làm trung tâm, phát huy
tính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh.
* Giúp các em có niềm đam mê khi học toán, bồi dưỡng khả năng tự học , tự suy
luận, phát triển tư duy tưởng tượng, phát huy tính sáng tạo, nhằm phát triển tư duy

+) Nếu hai khối đa diện (H
1
) và (H
2
) bằng nhau thì
1
( )H
V
=
2
( )H
V
.
+) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H
1
) và (H
2
) thì
V
(H)
=
1
( )H
V
+
2
( )H
V
.
* Chú ý: Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

* Nếu d không vuông góc với (α) và cắt (α) tại điểm O thì ta xác định góc giữa d và
(α) như sau:
+) Ta lấy một điểm A tùy ý trên d khác với điểm O.
+) Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (α) là điểm H.
+) Khi đó góc giữa d và (α) là φ và
ˆ
AOH
ϕ
=
4.3 Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
hai mặt phẳng đó.
Chú ý: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (β)
+) Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng.
+) Chọn điểm I trên giao tuyến c , từ điểm I ta dựng trong (α) đường thẳng a và
trong (β) đường thẳng b cùng vuông góc với c.
+) Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng a và b.
4.4 Khoảng cách:
+) Khoảng cách từ một điểm O đến một đường thẳng a là độ dài đoạn OH( H là
hình chiếu vuông góc của O lên a).
+) Khoảng cách từ một điểm O đến một mặt phẳng (α) là độ dài đoạn OH ( trong
đó H là hình chiếu vuông góc của O lên (α).
Chú ý: Cách tìm điểm H : Chọn mp(β) chứa O, vuông góc với (α) và cắt (α) theo
giao tuyến d. Trong (β) từ O dựng đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó H là
hình chiếu vuông góc của O lên (α).
+) Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song là khoảng cách từ
một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (α).
+) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài đoạn MN
( M

Tính đường cao và diện tích đáy. Sau đó áp dụng công thức để tính thể tích khối đa
diện.
Áp dụng công thức:
+) Thể tích của khối chóp được tính theo công thức :
V = B.h
trong đó : B là diện tích đáy,
h là chiều cao của hình chóp( tức là khoảng cách từ đỉnh của hình chóp
tới mặt phẳng đáy)
+) Thể tích của khối lăng trụ là:
V = B. h
5
trong ú : B l din tớch ỏy,
h l chiu cao ca hỡnh lng tr ( l khong cỏch gia 2 ỏy)
Vic ỏp dng cụng thc thụng thng yờu cu:
a) Xỏc nh ng cao ( cú th bi toỏn cho sn ng cao, hoc cú th phi dng,
hoc cú khi phi k ng cao ph,)
b)Tớnh di ng cao v din tớch mt ỏy.
* xỏc nh ng cao ta lu ý :

Hỡnh chúp u cú chõn ng cao trựng vi tõm ca ỏy nờn chiều cao của hình
chóp là khoảng cách từ đỉnh đến tâm của đáy.

Hỡnh chúp cú cỏc cnh bờn bng nhau thỡ chõn ng cao trựng vi tõm ng
trũn ngoi tip mt ỏy.

Hỡnh chúp cú cnh bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ chiu cao ca hỡnh chúp l di
cnh bờn ú

Hỡnh chúp cú cỏc mt bờn cựng to vi ỏy nhng gúc bng nhau thỡ chõn ng
cao chớnh l tõm ng trũn ni tip mt ỏy.

H×nh chãp cã mét mÆt bªn
7
H
C
A
B
S
H
D
C
BA
S
H
C
B
A
S
(SBC) vu«ng gãc víi mÆt ®¸y
H×nh chãp cã hai mÆt bªn kÒ nhau (SAC)
vµ (SAB) vu«ng gãc víi ®¸y. SA lµ ®êng cao.

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông có cạnh huyền
BC=2a , góc . Các cạnh bên của hình chóp hợp với đáy những góc bằng
nhau và bằng
β
. Tính thể tíchcủa khối chóp.
* Phân tích: Bài toán này rất ngắn gọn, giả thiết của bài toán ít , tuy nhiên giả
thiết thứ 2 khó xác định hơn, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng xác định góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng.
Yêu cầu của bài toán tính thể tích của khối chóp tam giác: Học sinh phải xác định

3
.tan .sin 2
3
a
β α
*Nhận xét: Ở bài này học sinh rất dễ mắc phải sai lầm sau :
Kẻ SH ⊥ mp(ABC) ( hình vẽ),
ta có:
· ·
·
SAH SBH SCH
α
= = =
, như vậy nhìn vào
hình vẽ học sinh không tính được SH, do không định
vị được điểm H.
Hình vẽ trên sai do học sinh không vận dụng
hết các điều đã cho trong giả thiết ( các cạnh bên tạo
với đáy một góc bằng nhau và đáy là tam giác vuông ).
Do đó nó không gợi ý một sự liên hệ nào có thể giúp chúng ta thực hiện được việc
tính toán.
Chú ý: Nếu các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao chính
là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
9
H
C
B
A
S
J

.
AC' là đường cao trong tam giác đều SAC cạnh 4a nên AC’= 2a
Gọi K là giao điểm của các đường chéo, ta có:
10
K
B'
D'
O
C'
S
D
C
B
A
Mặt khác do K là trực tâm của ∆SAC nên K là trọng tâm của tam giác SAC
TA có (AB’C’D’) SC, BD SC => DB // B’D’
Do đó: B'D' =BD.
2 4
3 3
SK a
BD
SO
= =
Vậy dt(AB'C'D')=
2
1 4 3
'. ' '
2 3
a
AC B D

chia khối chóp thành 2 khối chóp tam giác.
Ví dụ 3: ( Đề thi Đại học khối A - 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN và MD. Biết SH vuông góc với
mp(ABCD) và SH = . Tính thể tích khối chóp S.CDMN.
* Phân tích: Gỉa thiết và kết luận của bài toán rất cụ thể và dễ xác định. Chỉ lưu ý
học sinh khi vẽ hình: vẽ đáy là hình bình hành, lấy M, N, xác định giao điểm H, Từ
H dựng đường thẳng vuông góc với đáy trên đó lấy điểm S, nối S với các đỉnh.
Yêu cầu: Đây là bài toán tính thể tích khối chóp tứ giác, cần xác định chiều cao và
đáy
S
* Lời giải: Do SH ⟘ (ABCD) ,
suy ra SH là chiều cao của hình cóp S.CDMN
S
CDMN
= S
ABCD
– S
AMN
– S
BCM
= a
2
-
Vậy V =
12
A
B
C
D

α
=
, từ đó ta có:
13
I
C'
B'
A'
C
B
A
2
2
2 2 2 2 2
2
3 ' 3
' ; '
2 sin 2sin
3
' ' ' ' (3 4sin )
2sin 4sin
a C I a
C I BC
a a
BB BC B C a
α α
α
α α
= = =
 

có:
·
' 'C BA
α
=
.
a
C'
B'
A'
C
B
A
Xét ∆A’BC’ ta có:
'
sin ' sin
BC a
A
α
=
. Vì
' ' ' 'BC BA A BC
= ⇒ ∆
cân.
Từ đó suy ra:
0
(180 )
sin
sin '
2

− = −
14
Suy ra :
2
' 1 4sin
2
2sin
2
a
CC
α
α
= −
Vậy
2
2
3
. 1 4sin
4 2
2sin
2
a a
V
α
α
= −
;
Đáp số:
2
2

1) Kẻ A'H ⊥ mp(ABCD), dễ thấy rằng các tam giác AA'D, AA’B, A’DB và
BAD đều nên tứ diện A'ABD là tứ diện đều, do đó H trùng với tâm của tam giác
đều ABD.
15
O
A'
H
B'
C'
D'
D
C
B
A
2
2
2 2 2 2
2 2 3 3
3 3 2 3
3 6
' '
3 9
6
'
3
a a
HA AO
a a
A H A A HA a
a

Yêu cầu của bài toán: ở yêu cầu thứ nhất thì học sinh cần phải xác định được
đường cao của lăng trụ.
Yêu cầu thứ 2 thì học sinh phải nhớ được cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp tam giác: xác định trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy, xác định
trung trực của 1 cạnh bên, cắt nhau tại đâu thì đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Tính bán kính là khoảng cách từ 1 đỉnh tới tâm.
• Lời giải:+) Thể tích khối lăng trụ:
(A’BC) và (ABC) có giao tuyến là BC.
Gọi D là trung điểm của BC,
16
ta có: BC ⟘ AD ,
theo định lí 3 đường vuông góc ,
suy ra BC ⟘ A’D.
Suy ra góc giữa 2 mp này là
góc ADA’bằng 60
0
.
Ta có V = AA’. S
ABC
,
S
ABC
= , AA’ = AD. tan =
Vậy V = .
+) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, suy ra: GH // AA’
Suy ra GH ⟘ (ABC), suy ra GH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi E
là trung điểm của AG. Trung trực của AG cắt GH tại I, suy ra I là tâm đường tròn
ngoại tiếp tứ diện GABC.
Ta có R = GI = ,

’
C) chứa B
’
C và song song với AB, bây giờ ta xác định
khoảng cách từ AB đến mp này.
17
A’
A
B
C
C’
B’
D
G
H
E
N
M
A'
B'
C
A
B
C'
H
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và
A'B'
. Kẻ
( ).MH CN H CN
⊥ ∈

a
CM BM= =
Tam giác CMN vuông tại M, có MH là đường cao
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 3 1
MN a
MH MC MN a a MN
⇒ = + ⇔ = + ⇔ =
Từ đó
3
. ' ' '
1 3
. .2 . . .
2 3
3
ABC A B C ABC
a a
V S MN a a= = =
Dạng 2: Tính gián tiếp:
Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài toán áp dụng
tính thể tích theo công thức đơn giản hơn hoặc dùng bài toán tính tỉ lệ thể tích hai
khối tứ diện(chóp tam giác),…
18
Đối với hình chóp tam giác thì ngoài công thức dng 1 ta có thể áp dụng cách
tính sau:
+) Nếu hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc thì V =
+) Nếu hình chóp ABCD có 2 cạnh đối diện lần lợt là a, b , góc giữa 2 cạnh đó bằng
, khoảng cách giữa 2 đờng thẳng đó bằng h thì thể tích của khối chóp ABCD là :
V =
+) Cho hỡnh chúp SABC. Trờn cỏc on thng SA, SB, SC ly ln lt ba im A

19
+) Tø diÖn ABCD cã AB = a; S
1
, S
2
lµ diÖn tÝch cña 2 mÆt chung c¹nh AB, α lµ gãc
gi÷a 2 mÆt ph¼ng (ABC) vµ (ABD). Khi ®ã thÓ tÝch cña khèi chãp lµ
V =
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có SA=a,SB=2a,SC=3a và
∠
BSA=60
0
,
∠
ASC=120
0
,
∠
CSB=90
0
. Hãy tính thể tích chóp S.ABC.
Lời giải:
Nhận xét các mặt ở đây không có các lưu ý gì đặc biệt nên việc xác định đường cao
là khó nhưng ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc. Vậy ta có lời giải sau:

S
C
B
A
C1

, A B
1
= a.

Vậy
∆
A B
1
C
1
vuông
Có S=
2
1
. B
1
A. B
1
C
1
=
2
2
2
a

Gọi E là trung điểm của AC
1
. Suy ra SE
⊥

a
V
CSAB
=

20
• Tính thể tích khối chóp S.ABC : Ta có

11
11
CSABSABC
V
SC
SC
SB
SB
SA
SA
V
=
=
2
2.
3
a
Ví dụ 9 :
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1

ABC , A
1
B
1
CA .
Cụ thể như sau:
Gọi H là hình chiếu của A
1
trên mp(ABC).
Khi đó A
1
H=A
1
A.sinA
1
AH=2a.sin60
0
=a.
3

Mà V
LT
=A
1
H.S
ABC
=
4
3
4

=
3
1
V
LT

+)

Khối chóp B
1
ABC có
ABCB
V
1
=
3
1
V
LT

Do đó

khối chóp A
1
B
1
CA có
ACBA
V
11

A
B
C
H
K
A1 C1
B1
A
B
C
H
K
A1 C1
B1
A
B
C
H
K
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có AB=a, A
1
A=c, BC=b. Gọi E, F lần

lần lượt là thể tích phần dưới và phần trên mp (AEF).
Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc
nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB
1
và chóp KFJD
1
thì phần dưới là hình
chóp AIJA
1

∆
IEB
1
=
∆
EFC
1
=
∆
FJD
1
( c.g.c )
Theo Đlí TA-LET
3
1
1
1
1
1
==

D1
A1
I
E
F
J
22

1
1
1 1 1 1 3 3 3
. . . . . . . .
3 2 3 2 2 2 8
AA JI
a b abc
V AA AI JA c
= = =

V
1
=
1
AA JI
V
-2.
1
HIEB
V
=
72

- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, thể hiện được tính thẩm mỹ .
- Biết cách xác định đối tượng trên hình vẽ sao cho phù hợp với yêu cầu của bài
toán.
- Hình vẽ không thừa cũng không thiếu dữ kiện của đề bài.
- Ngoài ra để có được một hình vẽ tốt cần phải nắm vững các khái niệm về hình
không gian như: hình chóp, hình tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp,
hình hộp chữ nhật, hình lập phương…, phân biệt được hình đa diện với hình đa
giác, tứ diện với tứ giác.
Trên đây là một vài ví dụ mà tôi đã phân tích , đưa ra lời giải, nêu những sai
lầm học sinh thường mắc phải khi giải bài tập dạng này. Mong rằng các em sẽ có
được phương pháp giải đúng khi gặp bài toán này và tránh được những sai lầm
thường gặp. Hy vọng các em sẽ có niềm đam mê và cải tiến được phương pháp học
toán đặc biệt là khi học hình không gian.
23
BÀI TẬP THAM KHẢO
Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra
cách giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối
chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp.
Bài 1: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Hãy tính thể tích khối tứ diện A
1
BB
1
C.

1
=a. Góc giữa đường thẳng BB1 và
mp(ABC) bằng 60
0
. Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 60
0
. Hình chiếu
vuông góc của điểm B
1
lên mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể
tích khối tứ diện A
1
ABC theo a.
Bài 5 : Cho khối lăng trụ đều ABC.A
1
B
1
C
1
có cạnh đáy bằng a,khoảng cách từ tâm
O của tam giác ABC đến mpA
1
BC bằng
6
a
. Hãy tính thể tích khối trụ đó.
Bài 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1

24
Bài 8: cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh bên hợp với
đáy góc 60
0
, gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm SC, mp(BMN)
chia khối S.ABCD thành hai phần. Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 9: cho hình hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
có AB=a, BC=2a, A
1
A=a, M
thuộc đoạn AD sao cho AM=3MD. Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB
1
C
1
.
IV. Kiểm nghiệm: Khi tiến hành giảng dạy theo đề tài trên thì tôi nhận thấy đa
phần các em có hứng thú khi học hình không gian, có phương pháp giải bài toán
tính thể tích khối đa diện: biết phân tích đề bài, vẽ hình đúng, biết định hướng để
tìm lời giải,…
Kết quả thực nghiệm: Lớp 12E, 12G không dạy theo đề tài này, các lớp 12A, 12B
tiến hành dạy theo các nội dung của đề tài.
Kết quả kiểm tra đánh giá sau khi ôn tập và kiểm tra cùng một đề của bốn lớp 12A
,