BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
------

MÃ TRUNG DŨNG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN
VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
CHO HỌC SINH THPT

Chuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Nguyễn Anh Tuấn

Hà Nội, Năm 2015


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS. TS Nguyễn Anh Tuấn,
người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ bộ môn Phương
pháp dạy học - Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy,
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của Ban giám hiệu, các thầy
cô giáo trong tổ Toán - Tin trường THPT số 1 Bảo Thắng, Tỉnh Lào Cai đã tạo điều
kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt công việc học tập của mình.
Tác giả luận văn



Trung học phổ thông


MỤC LỤC


MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Môn Toán trong trường phổ thông trang bị cho học sinh những kiến thức
toán học phổ thông, cơ bản, hiện đại, rèn luyện các kĩ năng tính toán và phát triển tư
duy Toán học, góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và các năng lực trí tuệ
chung, đặc biệt là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa. Do
đó rèn luyện kĩ năng giải toán là một trong những mục tiêu dạy học môn Toán.
Thông qua đó học sinh nắm vững và hiểu sâu kiến thức hơn, đồng thời học sinh
được tập dượt vận dụng những tri thức đã được trang bị vào các môn học.
Các bài toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện là một nội dung quan
trọng trong chương trình môn Toán trung học phổ thông, và cũng là dạng toán có
mặt hầu hết trong các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông và thi tuyển sinh Đại
học. Việc trang bị kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể
tích khối đa diện cho học sinh như thế nào để học sinh có kiến thức một cách hệ
thống và kĩ năng tốt là vấn đề được nhiều giáo viên chú ý và quan tâm.
Thực tế hiện nay, ở một số trường trung học phổ thông, kết quả của việc dạy
và học các bài toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện đạt được chưa cao. Vì
không có thời gian nên giáo viên không thể hướng dẫn tỉ mỉ học sinh trong giải
toán, còn học sinh cũng đã biết áp dụng công thức, biết các bước thực hiện để giải
bài toán, song vẫn còn nhiều lúng túng, hạn chế. Vì vậy, để rèn luyện cho học sinh
kĩ năng giải toán, nâng cao chất lượng dạy học, giáo viên cần đề xuất những biện
pháp thích hợp.
Vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “RÈN LUYỆN KĨ

5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
- Nếu xây dựng được nội dung và biện pháp phù hợp trong dạy học giải toán
về khoảng cách và thể tích khối đa diện thì học sinh sẽ rèn luyện được kĩ năng giải
toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện, góp phần nâng cao chất lượng dạy học
nội dung này ở trường THPT.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Phương pháp thử nghiệm sư phạm
7. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn bao
gồm ba chương
Chương 1 - Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2 - Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh thông qua nội dung
khoảng cách và thể tích khối đa diện ở trường THPT
Chương 3 - Thực nghiệm sư phạm

6


7


CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. BÀI TẬP TOÁN VÀ DẠY HỌC BÀI TẬP TOÁN
1.1.1. Bài tập toán

Dạy Toán ở trường THPT là dạy hoạt động Toán học để rèn kĩ năng giải toán
và tư duy toán. Kĩ năng này được hình thành, phát triển và trở nên có ý nghĩa thông
qua hoạt động giải toán của HS. Tham khảo tài liệu [4], có thể thấy những khái

thành những phẩm chất trí tuệ); Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình
thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
Ví dụ 1.1. Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.

Hình 1.1
Bài tập này góp phần củng cố tri thức về phân chia khối đa diện, khối bát
diện đều, khối tứ diện đều, công thức thể tích khối chóp, giúp HS hình thành kĩ
năng tìm hiểu nội dung bài toán và vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán.
•

Thứ hai: Là phương tiện để truyền tải nội dung:
Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập Toán học là giá mang những

hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài tập đó trở thành một
phương tiện để đặt nội dung dưới dạng những tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố
bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết.

9


Hình 1.2
Ví dụ 1.2. Cho điểm O và mặt phẳng
điểm O đến mặt phẳng
bất kì của mặt phẳng

(α )

(α )

(α )

c. Từ đó suy ra công thức

V = S.h.

Hãy phát biểu thành lời công thức đó.

Với bài tập này, GV có điều kiện tổ chức hoạt động nhận dạng định lí về công thức
thể tích khối chóp, chứng minh hai khối chóp có thể tích bằng nhau, phân tích, tổng
hợp và hoạt động ngôn ngữ cho HS.
1.1.3. Những yêu cầu của một lời giải toán

Để phát huy tác dụng của bài tập Toán học, trước hết cần nắm vững các yêu cầu
của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Để thuận tiện cho việc thực
hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, cần thiết
phải cụ thể hóa yêu cầu, đương nhiên phải chấp nhận nhưng yếu tố trùng lặp nhất định
trong các yêu cầu chi tiết:
- Lời giải phải cho kết quả đúng, kể cả các bước trung gian. Kết quả cuối cùng
phải là một đáp số đúng, một biểu thức, một hàm số, một hình vẽ,…thỏa mãn các yêu
cầu đề ra. Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, hình vẽ, biến đổi
biểu thức.
- Lập luận giải toán phải chặt chẽ. Một chứng minh bao gồm ba bộ phận: Luận
đề, luận chứng và luận cứ. Luận đề là một mệnh đề cần chứng minh, yêu cầu phải nhất
quán, nghĩa là không được đánh tráo. Luận cứ là những tiên đề, những định nghĩa và
những định lí đã biết, yêu cầu phải đúng. Luận chứng là những phép suy luận được sử
dụng trong chứng minh, yêu cầu phải hợp logic.
- Lời giải nên được chọn lựa từ nhiều cách giải khả dĩ khác nhau. Bài giải toán
được chọn để trình bày là lời giải ngắn gọn và hợp lí nhất.

11


. Trên tia OB lấy điểm B’, trên tia OC lấy điểm C’, sao cho

OB' = OC ' = a.

Ta được

Hình 1.5
VOABC
a.b.c
abc 2
= 3 ⇒ VOABC =
VOA 'B'C'
a
12

.

Lời giải này đã thể hiện được kết quả chính xác của bài tập cũng như bước
trung gian là trường hợp tứ diện đều. Lập luận của lời giải này là chặt chẽ, từ luận cứ là
thể tích của khối tứ diện đều và định lí về tỉ số thể tích và những luận chứng logic để

12


đưa ra kết quả chính xác như yêu cầu của đề bài. Lời giải trên là ngắn gọn và hợp lí
hơn so với việc tính khoảng cách như lời giải sau:
Lấy

∆ ABC


12
3
3

1.2. Kĩ năng và kĩ năng giải toán
1.2.1. Kĩ năng

Theo từ điển Tiếng Việt [8] “kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học
vào thực tiễn” trong đó khả năng được hiểu là sức đã có (về một mặt nào đó) để có
thể làm tốt một công việc.
Như vậy kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó
theo một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu ta tách riêng tri thức và kĩ
năng để xem xét thì tri thức thuộc về phạm vi nhận thức , thuộc về khả năng “biết”
còn kĩ năng thuộc về phạm vi hành động, thuộc khả năng “biết làm”.
Kĩ năng có những đặc điểm sau:
Kĩ năng nào cũng phải dự trên cơ sở lí thuyết - đó là kiến thức. Bởi vì cấu
trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách đi đến kết quả - hiểu những
điều kiện để triển khai các cách thức đó. Kiến thức là cơ sở của kĩ năng. Như vậy kĩ
năng giải toán cũng phải dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm tri thức sự vật,
tri thức phương pháp). Do vậy nói đến kĩ năng giải toán không thể tách rời với
phương pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kĩ năng đó.
Kĩ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động và bằng hoạt động. Kĩ năng và
tri thức thống nhất trong hoạt động. Tri thức là cần thiết để tiến hành các thao tác,
độ thành thạo của các thao tác được hiểu như là kĩ năng, các thao tác này được thực
hiện dưới sự kiểm tra của tri thức. Con đường đi từ chỗ có tri thức đến chỗ có kĩ
năng tương ứng đó là con đường tập luyện. Nội dung của sự luyện tập này rất phong
13


phú. Nói như vậy là để khẳng định vai trò quan trọng của việc tổ chức các hoạt

14


học trong nhà trường và đòi hỏi người giáo viên dạy toán cần có quan điểm tích hợp
trong việc dạy học bộ môn.
Kĩ năng trên bình diện thứ ba là mục tiêu quan trọng của môn Toán. Nó cũng
cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
Ví dụ 1.5. Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập (h.1.6) được xây dựng vào khoảng
2500 năm trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có
chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m. Hãy tính thể tích của nó.

Hình 1.6
Để giải quyết được bài tập này, HS cần có kĩ năng vận dụng Toán học vào
thực tiễn cuộc sống. Để có được kĩ năng này học sinh cần phải hiểu công thức thể
tích khối chóp, hiểu thế nào là chóp tứ giác đều và công thức tính diện tích hình
vuông. Từ việc giải quyết bài tập này HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học với
cuộc sống, ở đây thể hiện công cụ Toán học là nhờ phương pháp và công thức Toán
học người ta có thể tính được thể tích của Kim tự tháp. Đồng thời, nhờ học công
thức thể tích và vận dụng vào giải bài toán thực tế, thì HS có được kỹ năng tính toán
- là một trong những mục đích học Toán.
1.2.2.2. Nhóm kĩ năng cơ bản
• Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán:

15


Hình 1.7
Đó là kĩ năng phân tích bài toán để làm rõ dữ kiện đặt ra. Nếu bài toán có
tính chất là một vấn đề thì tìm khâu nào chưa biết một quy tắc tổng quát hoặc một
phương pháp có yếu tố thuật toán để giải bài toán và cần xác định đó là trọng tâm

+ Tính chiều cao DH dựa vào tam giác nào?
+ Tính CH như thế nào?
+ Suy ra DH như thế nào?
Từ đó tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Qua việc hoạt động trên lớp, HS hình thành kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến
lược, hướng giải bài toán.
•

Kĩ năng kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả, tránh sai lầm khi giải toán.
Trong hoạt động giải toán, việc phát hiện và sửa chữa được sai lầm là một

thành công của người học toán. Khi mắc sai lầm trong giải toán, nếu học sinh tự
mình hoặc có học sinh khác, hoặc giáo viên giúp để học sinh nhận ra và sữa chữa
được sai lầm thì lần sau, khi gặp lại bài toán đó hoặc một bài toán tương tự, học
sinh sẽ nhận ra chỗ dễ mắc sai lầm, nhanh chóng vượt qua, tiến đến kết quả đúng.
Ví dụ 1.8.

Hình 1.8

17


Cho tứ giác có độ dài 4 cạnh là a, b, c, d và diện tích S. Chứng minh rằng
S≤

ab + cd
2

.
Nhiều HS giải bài toán như sau:

.
VS.A BC
SA SB SC

.

Sau khi giải xong bài toán này, HS sẽ thu được phương pháp mới để tính thể
tích khối đa diện cũng như tỉ số thể tích của hai khối đa diện. Khi gặp bài toán thể
tích HS sẽ có nhiều phương án hơn, lời giải ngắn gọn hơn (ví dụ 4).
1.2.2.3. Nhóm kĩ năng chuyên biệt
a) Nhóm kĩ năng thực hành
Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán. Kĩ năng này được rèn
luyện trong quá trình tìm tòi lời giải của bài toán. Cần chú ý, kĩ năng chuyển từ tư
duy thuận sang tư duy nghịch để nắm vững và vận dụng kiến thức (một thành phần
của tư duy Toán học), kĩ năng biến đổi xuôi chiều và biến đổi ngược chiều song
song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với
nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình
thành các liên tưởng thuận.
Ví dụ 1.10. Trong mặt phẳng Oxy, Tìm tập hợp các điểm M thảo mãn
phương trình

x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0

.
18


Để giải bài toán này, HS cần phải nhận dạng được thế nào là phương trình
đường tròn, đồng thời bồi dưỡng tư duy của học sinh từ chỗ hiểu được phương trình
đường tròn là phương trình có dạng như thế nào sang phương trình cho trước có

tắt nội dung bài toán; xác định rõ giả thiết, kết luận; kết cấu lại đề toán, định hướng
tiến trình bài giải toán.
• Kĩ năng phân tích.

19


Có kĩ năng này, học sinh biết phân tích các quan hệ và cấu trúc của bài toán;
nhận dạng các ý trọng tâm; dự đoán, phân tích và khắc phục các sai lầm trong quá
trình giải toán; phân loại các khả năng có lời giải hoặc cách đi đến lời giải và xác
định trọng tâm cần giải quyết trong bài toán.
• Kĩ năng mô hình hóa.
Hành động mô hình hóa bài toán là hành động chuyển bài toán thành mô
hình và phân tích quan hệ Toán học cũng như các phương pháp Toán học sử dụng
trên mô hình đó. Đây là một kĩ năng cần thiết để giải toán có ứng dụng thực tiễn và
các bài toán liên môn khác.
• Kĩ năng sử dụng thông tin.
Đó là kĩ năng cần thiết, thu nhập và ghi nhận thông tin từ nội dung bài toán;
phân loại, sắp xếp và thể hiện qua các kênh thông tin trong hoạt động giải toán để
tạo cơ sở huy động kiến thức, vốn kinh nghiệm có liên quan hữu ích đến việc giải
bài toán
1.2.3. Vai trò của dạy học giải toán với việc rèn luyện kĩ năng giải toán

Như chúng ta đã biết, cơ sở của kĩ năng là kiến thức. Người có kĩ năng thực
hiện một hành động nào đó phải biết vận dụng những khái niệm và những kiến thức
đã lĩnh hội được vào giải quyết những nhiệm vụ cụ thể; phải biết lựa chọn tri thức
một cách đúng đắn và phù hợp với mục tiêu của hành động.
Con đường đi từ kiến thức đến kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào
nhiều “tham số” như kiến thức (xác định kĩ năng), yêu cầu rèn luyện kĩ năng, mức
độ chủ động, tích cực của học sinh. Kĩ năng Toán học được hình thành và phát triển

1.3.1. Nội dung dạy học khoảng
cách và thể tích khối đa diện
Trong
chương
trình
THPT, vấn đề khoảng cách được trình bày trong bài trong bài 5, bài cuối chương 3
hình học lớp 11. Với thời lượng 3 tiết, bài “§5. Khoảng cách” trình bày khoảng cách
từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng; Khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau; Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng; Khoảng
cách giữa hai mặt phẳng.
Trong các loại khoảng cách thì vấn đề xét khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau có phần rắc rối hơn cả. Để đơn giản, SGK chỉ đưa ra định nghĩa đường
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và sau đó đưa ra định nghĩa
khoảng cách giũa hai đường thẳng này và trình bày cách tìm đường vuông góc

21


chung đó mà không chứng minh định lí về sự tồn tại và duy nhất của đường vuông
góc chung.
Trong khi làm toán, chúng ta thường thấy bài toán xác định đường vuông
góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thường khó hơn bài toán tìm khoảng
cách giữa hai đường thẳng đó. Khi nói về đường vuông góc chung của hai đường
thằng chéo nhau cần lưu ý cho học sinh chú ý tới hai tính chất quan trọng của
đường thẳng này là:
+ Vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước.
+ Cắt cả hai đường thẳng này.
Do tính chất của đoạn vuông góc chung so với các đoạn thẳng nối hai điểm
bất kì khác lần lượt nằm trên hai đường thẳng chéo nhau cho trước, người ta mới
đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

các hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông. Muốn vậy ta chia đáy hình lăng trụ đã
cho thành các tam giác, và mỗi tam giác chia thành hai tam giác vuông).
Thể tích của khối chóp tam giác bằng

1
Bh
3

với B là diện tích đáy, h là chiều

cao. (Dùng phương pháp giới hạn).
Từ những công thức tính thể tích trên, ta suy ra rằng nếu hàm thể tích tồn tại
thì nó là duy nhất. SGK trình bày phần này đúng theo trình tự trên, tuy nhiên bỏ qua
những chứng minh phải dùng giới hạn.
1.3.2. Thực tế rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa
diện ở một số trường THPT tỉnh Lào Cai
Để đề ra được các giải pháp tốt cho việc rèn luyện kĩ năng giải toán về
khoảng cách và thể tích khối đa diện thì một nhiệm vụ quan trọng của đề tài là phải
điều tra và đưa ra nhận xét cụ thể về việc: Trong thực tế ở trường THPT, giáo viên
và học sinh đã tiến hành “Giải bài toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện”
như thế nào? Những mặt nào tốt và những mặt nào còn chưa tốt? Những khó khăn,
tồn tại nào mà học sinh đang gặp khi giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa
diện? Vì thế, chúng tôi đã phát phiếu thăm dò và nói chuyện với 11 thầy cô trong tổ
Toán, trường THPT số 1 Bảo Thắng về thực tế dạy và học giải toán về khoảng cách
và thể tích khối đa diện hiện nay.
PHIẾU THĂM DÒ
Câu hỏi 1: Việc rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện
cho HS có quan trọng không? Tại sao?
Câu hỏi 2: Thầy cô có thường xuyên rèn luyện kĩ năng giải toán về khoảng cách và
thể tích khối đa diện cho HS không?

đều là những nội dung kiến thức khó, không phải HS nào cũng ghi nhớ được. Về
mặt phương pháp, hoạt động dạy học thường thấy ở tiết luyện tập (GV giao bài tập,
HS suy nghĩ, em nào làm được sẽ trình bày lên bảng, GV chữa bài, nhận xét rồi
chuyển sang bài tập khác) tỏ ra không có hiệu quả tốt. Mặt khác, HS thường gặp
một số khó khăn, sai lầm trong giải toán về khoảng cách, thể tích khối đa diện như
sau:
24


+ HS vẽ hình chưa đạt, hình còn rối, gây cảm trở việc nhìn hình vẽ để tư duy
giải toán.
+ HS chưa xác định được hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng (hoặc
đường thẳng), chưa xác định được đường cao của khối đa diện.
+ HS không xác định được hoặc xác định sai các yếu tố như góc giữa hai
đường thăng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng…
+ HS tính toán chiều cao, diện tích đáy và thể tích khối chóp còn nhầm lẫn.
+ HS trình bày lời giải chưa rõ ràng
Trước tình hình thực tế như vậy, chúng tôi nhận thấy rằng: Việc lựa chọn,
phân tích và phân loại các bài tập đa dạng, hợp lí theo từng chủ đề kiến thức hoặc
từng phương pháp giải toán và việc đề xuất những biện pháp sư phạm hợp lí sử
dụng hệ thống bài tập này là cần thiết đối với hoạt động rèn luyện kĩ năng giải toán
khoảng cách và thể tích khối đa diện.

1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, chúng tôi đã nghiên cứu những vấn đề lí luận cơ bản liên
quan đến bài tập toán vai trò của bài tập toán đối với việc hình thành và phát triển kĩ
năng của HS, những yêu cầu của một lời giải toán; cũng như khái niệm kĩ năng nói
chung. Các hoạt động thành phần tương ứng với các kĩ năng cần được rèn luyện của
quá trình giải toán về khoảng cách và thể tích khối đa diện đã được trình bày và
được coi là cơ sở để chúng tôi xác định những biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện