1. Phần mở đầu
1.1 Lí do chọn sáng kiến kinh nghiệm:
Toán học là môn học có vị trí quan trọng trong chương trình trung học cơ sở,
là nền tảng cho các môn học khoa học tự nhiên cũng như các môn khoa học xã hội.
Toán học không chỉ cung cấp cho con người những kĩ năng tính toán cần thiết, mà
còn rèn luyện cho con người một khả năng tư duy lôgíc, một phương pháp luận
khoa học.
Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán để vận
dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống. Nội dung kiến thức toán học
được trang bị cho học sinh trung học cơ sở ngoài việc dạy lí thuyết còn phải chú
trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán, nhưng để nắm vững
cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học
một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinh nghiệm
đã tích luỹ được để giải quyết các bài tập có liên quan. Thông qua việc giải bài tập
các em được rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã học vào giải bài tập, kĩ năng
trình bày, kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùng dạy học. Do đó nâng cao năng
lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khả năng phán đoán, suy luận của học
sinh.
Các bài toán ứng dụng hệ thức Vi – ét có một vị trí quan trọng trong chương
trình dạy học toán trung học cơ sở. Chính vì vậy bài toán này thường xuyên có mặt
trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10.
Qua nhiều năm dạy toán lớp 9, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Viét
vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Viét vào
giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Viét có tính ứng dụng rất rộng rãi
trong việc giải toán. Tôi rất quan tâm vấn đề này chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên
cứu và hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này. Với thời gian hạn chế và mong
muốn nghiên cứu sâu hơn nên sáng kiến kinh nghiệm này chỉ tập trung vào vấn đề:
“Rèn luyện kĩ năng giải toán ứng dụng định lí Vi-ét”
1.2 Điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
1
Có rất nhiều nguyên nhân đưa lại sự thành công của một tiết dạy, nhưng

các em thường gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán này; có những
bài toán các em không biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chương
2
trình đã học? Làm thế nào để tìm được giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện của
bài toán ấy?
Với những thực trạng như vậy tôi đã đi sâu tìm hiểu và nhận thấy rằng có thể là do
những nguyên nhân sau:
+ Học toán thực chất là giải toán, nếu giáo viên không khéo léo khi giảng dạy sẽ
làm cho học sinh nhàm chán, thụ động và máy móc khi vận dụng.
+ Một số giáo viên chưa chủ động về kiến thức, khả năng phân tích, khai thác bài
toán còn hạn chế.
+ Giáo viên thiếu những điều kiện thuận lợi thiếu thời gian để phân tích, tìm tòi lời
giải, hệ thống bài toán giáo viên đưa ra còn dàn trãi không mang tính đặc trưng.
+Trình độ nhận thức của các em còn chậm và không đồng đều cùng với điều kiện
học tập chưa tốt cũng ảnh hưởng nhiều đến hoạt động dạy-học.
2.2. Các giải pháp
Trước khi giải bài tập cần yêu cầu học sinh học kỹ lí thuyết, nắm chắc định lí
Vi-ét và các hệ quả của định lí Vi-ét.
Muốn học sinh làm được các bài tập ứng dụng định lí Vi-ét thì giáo viên cần
phải hệ thống, chia nhỏ thành các dạng bài tập ứng dụng riêng, mỗi dạng học sinh
được học theo chuyên đề nhằm khắc sâu kiến thức , phương pháp và kĩ năng làm
bài.
Các dạng bài tập ứng dụng định lí Vi-ét đưa ra từ dễ đến khó, từ đơn giản đến
phức tạp, phù hợp với trình độ học sinh. Qua mỗi dạng cần cho học sinh tự nêu ra
được kiến thức kiến thức cơ bản, kỹ năng cần rèn luyện của dạng đó nhằm giúp các
em hiểu bài và thành thạo kỹ năng làm bài.
Minh họa về thiết kế và điều hành tổ chức các hoạt động dạy học.
I. Một số vấn đề lý thuyết
1. Hệ thức Vi – ét:
- Nếu

Hệ quả 1: Nếu phương trình
( )
2
ax + bx + c = 0 a 0≠
có a + b + c = 0 thì phương trình
có một nghiệm
1
1x =
còn nghiệm kia là
2
c
x
a
=
.
Hệ quả 2: Nếu phương trình
( )
2
ax + bx + c = 0 a 0≠
có a - b + c = 0 thì phương trình
có một nghiệm
1
1x = −
còn nghiệm kia là
2
c
x
a
= −
.

( )
2
ax + bx + c = 0 a 0≠
có a + b + c = 0 thì phương trình
có một nghiệm
1
1x =
còn nghiệm kia là x
2
=
c
a
.
Hệ quả 2: Nếu phương trình
( )
2
ax + bx + c = 0 a 0≠
có a - b + c = 0 thì phương trình
có một nghiệm x
1
= - 1 còn nghiệm kia là x
2
= -
c
a
.
Chú ý: Nếu phương trình
( )
2
ax + bx + c = 0 a 0≠

( ) ( )
2
m - 1 x - 2m + 3 x + m + 4 = 0
4
Hướng dẫn cách giải:
- Muốn giải phương trình trên ta làm như thế nào ?
- Học sinh nêu cách làm là dùng công thức nghiệm để giải các phương trình này
- Có em đã phát hiện cách làm là vận dụng hệ thức Vi – ét vào tính nhẩm các
nghiệm của phương trình bậc hai
( )
2
ax + bx + c = 0 a 0≠
có
a + b + c = 0
thì phương
trình có một nghiệm
1
1x =
còn nghiệm kia là
2
c
x
a
=
hoặc
a - b + c = 0
thì phương
trình có một nghiệm
1
1x = −

(a = 2008; b = 2009; c = 1)
Vì
a - b + c = 2008 - 2009 + 1 = 0
⇒
phương trình có hai nghiệm là:
1
1x = −
;
2
1
2008
x = −
.
c)
( )
2
3x - 1 - 3 x - 1 = 0

( )
{ }
3; b = - 1 - 3 ; c = - 1a =
Vì
( )
( )
3- - 1 - 3 + - 1 0a b c
 
− + = =
 

⇒

1
1x =
;
2
4 4
1 1
m m
x
m m
+ +
= =
− −
.
Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm các phương trình sau:
a, x
2
+ 7x + 12 = 0 b, x
2
- 7x + 12 = 0 c, x
2
-11x + 28 = 0
5
d, x
2
– 12x + 35 = 0 e, x
2
+ 10x + 21 = 0
Giải
a, Ta có (-3) + (-4) = -7 và (-3)(-4) = 12 nên phương trình có hai nghiệm là x
1

2
S - 4P 0
≥

Ví dụ 1: a) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
b) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và tích của chúng bằng 5.
Hướng dẫn cách giải:
Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng 180.
Tức là ta cần tìm 2 số
1
x
và
2
x
biết
1 2
1 2
27
. 180
x x
x x
+ =


=

. Nếu áp dụng hệ thức Vi-ét đảo thì
1
x
và

+
= =
;
2
27 3
12
2
x
−
= =
Vậy hai số cần tìm là 15 và 12.
b) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 1 và tích bằng 5, Nên 2 số là nghiệm của phương
trình:

2
x - x + 5 = 0

Ta có:
( )
2
= -1 - 4.1.5 = 1- 20 = - 19 < 0∆

⇒
phương trình trên vô nghiệm
Vậy không có hai số nào thoả mãn điều kiện đề bài.
* Khai thác ví dụ 1 tôi nêu ra ví dụ sau:
Ví dụ 2:
a) Tìm các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi là 100 m và diện tích bằng 621 m
2
b) Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32cm

thì a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai nào? (
2
x - 50x + 621 = 0
)
Với gợi ý trên tôi cho các em thảo luận 5 phút và đại diện 1 em trình bày lời giải.
Giải:
a) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có hệ phương trình:
( )
2. 100
. 621
a b
a b
+ =


=


⇔
50
. 621
a b
a b
+ =


=


Nên a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai:

a b
+ =


=


Nên a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai:
2
x - 10x + 32 = 0

Ta có:
( )
2
' 5 1.32 7 0∆ = − − = − <
⇒
phương trình vô nghiệm
Vậy không tồn tại hình chữ nhật nào có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32 cm
2
.
Lưu ý: Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, ta áp dụng hệ thức Vi – et
để đưa về dạng phương trình bậc hai một ẩn rồi giải.
Dạng III: ứng dụng hệ thức Vi – ét vào việc lập phương trình bậc hai có chứa hai
biểu thức là 2 nghiệm của phương trình.
Ví dụ Lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là:
a, 1 và
1
2
b,
1 5−

3 1
0
2 2
x x− + =
hay
2
2 3 1 0x x− + =
Vậy phương trình cần tìm là
2
2 3 1 0x x− + =
b, Ta có S =
( ) ( )
1 5 1 5 2− + + =
và P =
( ) ( )
1 5 1 5 1 5 4− + = − = −
Do đó ta có phương trình là
2
2 4 0x x− − =
Vậy phương trình cần tìm là
2
2 4 0x x− − =

Nhận xét: Để lập được phương trình bậc hai có 2 nghiệm nhận 2 số cho trước là
nghiệm thì ta vận dụng hệ thức Vi-ét đảo (tìm hai số khi biết tổng và tích của
chúng) ta làm như sau:
8
- Bước 1: Tính tổng và tích của hai số đó.
- Bước 2: áp dụng hệ thức Vi-ét đảo để tìm phương trình cần lập.
Dạng I V : Dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc

Ví dụ 1: Cho phương trình
2
2 7 4 0x x− + =

1
x
;
2
x
là hai nghiệm của phương trình
1) Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
1 2
x x+
;
1 2
.x x
b)
3 3
1 2
x x+

2) Xác định phương trình bậc hai nhận
2
1 2
x x−
và
2
2 1
x x−


b) Ta có:
3 3
1 2
x x+
=
( ) ( )
3 2 2 3 2 2
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2
3 . 3 3 . 3x x x x x x x x x x+ + + − +
=
( ) ( )
3
1 2 1 2 1 2
3 .x x x x x x+ − +
=
3
7 7
3.2.
2 2
   
−
 ÷  ÷
   
=
343 42 343 168 175
8 2 8 8
−
− = =
Vậy

-
( )
1 2
x x+
=
( )
2
1 2 1 2
2x x x x+ −
-
( )
1 2
x x+
=
2
7 7
2.2
2 2
 
− +
 ÷
 
=
49 7 49 16 14 47
4
4 2 4 4
− +
− + = =

⇒

x x
-
( )
3 3
1 2
x x+
-
1 2
.x x

= 2
2
-
175
8
- 2 =
175 16 175 159
2
8 8 8
− −
− = =

⇒
u . v
159
8
−
=

Vì 2 số u và v có tổng u + v

của chúng rồi áp dụng hệ thức Vi-ét đảo để xác định phương trình cần lập.
+) Trong trường hợp phương trình bậc hai cần lập biết trước một nghiệm và các hệ
số là các số nguyên thì ta thay nghiệm đó vào phương trình ban đầu rồi tìm các hệ
số đó.
Qua ví dụ này chúng ta đã vận dụng điều kiện để phương trình bậc hai có 2
nghiệm phân biệt rồi áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình thứ nhất thay thế vào
phương trình thứ hai thì ta được điều cần tìm.
Ví dụ 2:
Cho phương trình x
2
– (m+1)x + m – 5 = 0
Xác định tham số m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn
1 2
3 3
1 2
4
32
x x
x x
− =


− =

10
HD:

1
- x
2
)(x
1
2
+ x
1
x
2
+ x
2
2
) =4((x
1
+x
2
)
2
– x
1
x
2
) = 4((m+1)
2
– (m-5)) = 32

⇔
m
2

thì
1
0 1 0
4
0 5 4 0
5
m
a m
m
m
≠

≠ − ≠
 

⇔ ⇔
  
∆ ≥ − ≥
≥
 


Theo định lí Vi-et ta có:
1 2
1 2
2
1
4
1
m

1 2 1 2
3( ) 2 8A x x x x= + + −
= 0 với
1m∀ ≠
và
4
5
m ≥

hay biểu thức A không phụ thuộc vào m
Ta lần lượt làm theo các bước sau:
+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm
1 2
;x x
(
0; 0a ≠ ∆ ≥
)
11
+ Viết hệ thức
1 2 1 2
;S x x P x x= + =
Nếu S và P chứa tham số thì khử tham số từ S và P sau đó đồng nhất các vế ta được
hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số.
Dạng V:Ứng dụng hệ thức Vi-ét vào việc giải hệ phương trình đối xứng.
* Khái niệm hệ phương trình đối xứng:
Một phương trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu ta thay x bởi y và y bởi x thì
phương trình không thay đổi.
Ví dụ: Phương trình đối xứng
11x y xy+ + =


2 2
25
13
y x
y x yx

+ =


+ − =


* Cách giải hệ phương trình đối xứng loại I.
+) Biểu diễn từng phương trình qua
x y
+
;
xy

+) Đặt
S x y= +
;
P xy=
ta được hệ phương trình mới chứa các ẩn S và P
+) Giải hệ phương trình tìm S và P
+) Các số x và y là nghiệm của phương trình
2
0t St P− + =
(Vận dụng hệ thức Vi –
ét đảo- Tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng)


c)
2 2
18
12
x y
y x
x y

+ =



+ =

d)
( )
3 3
7
2
x y
x y xy

+ =


+ = −


Hướng dẫn cách giải:



+ + = −


Đặt
S x y= +
và
.P x y=
ta có hệ phương trình
⇔

5 2 19
3 35
S P
S P
+ = −


+ = −


⇔
15 6 57
2 6 70
S P
S P
+ = −





= −


⇔
1
. 12
x y
x y
+ =


= −

theo định lí Vi – ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai
2
12 0X X− − =
giải phương trình này ta được 2 nghiệm là
1
4X =
và
2
3X = −
.
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là
( )
4; 3−
và
( )


Chúng ta cần lưu ý điều này để không bỏ sót nghiệm của hệ phương
trình.
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình

2 2
5
7
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =


- Muốn giải hệ phương trình
2 2
5
7
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =

ta làm như thế nào ?
- Học sinh nêu cách làm là biến đổi hpt về dạng tổng và tích của x và y bằng cách
đặt

⇔
( )
( )
2
5
7
x y xy
x y xy
+ + =



+ − =


⇔
( )
( ) ( )
2
5
5 7
xy x y
x y x y
= − +



+ − − + = 

 

− − =


⇔
5
3; 4
S P
S S
+ =


= = −

+) Với S = 3
⇒
P = 2 ta có
3
2
x y
xy
+ =


=

theo định lí Vi – ét thì x; y là nghiệm của
phương trình bậc hai
2
3 2 0t t− + =
(1)

phương trình bậc hai
2
2 3 0t t− + =
(2)
Giải pt (2) ta có
( )
2
' 1 1.3 1 3 2 0∆ = − − = − = − <
nên phương trình (2) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là
( )
1;2
và
( )
2;1
.
Phương pháp chung:
Như vậy từ những bài toán giải hệ phương trình đối xứng loại I rất phức tạp xong
nếu biết biến đổi linh hoạt và vận dụng hệ thức Vi-ét về tìm hai số khi biết tổng và
tích của chúng ta sẽ đưa bài toán trở về dạng đơn giản hơn từ đó tìm được nghiệm
của hệ phương trình.
Khi giải hệ phương trình mà vế trái là những đa thức đối xứng thì ta có thể coi
các ẩn đó là nghiệm của một phương trình rồi sử dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập
phương trình mới này. Nghĩa là ta đã chuyển việc giải hệ phương trình n ẩn về giải
một phương trình bậc n một ẩn, nếu phương trình này giải được thì đó là nghiệm
của hệ n phương trình đã cho.
14
* Kết quả đạt được
Trước khi chưa áp dụng cách dạy học như trình bày ở trên, tôi nhận thấy nhiều
học sinh nhìn nhận, định hướng giải chưa đúng, vận dụng định lí Vi-ét và các hệ

em giải toán đối với mỗi dạng bài tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu cùng với sự
phân tích để các em hiểu và nắm bắt và vận dụng được phương pháp làm bài. Từ
15
một bài tập cụ thể giáo viên cần phải khai thác các cách giải cũng như mở rộng
kiến thức (khái quát hoá)
Khi xây dựng đề tài giáo viên phải chọn lọc và sắp xếp phân loại các bài tập
theo trình tự lôgíc từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp, Giáo viên cần khái quát
cách giải từng dạng bài tập đó vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học cũng
như các hình thức tổ chức dạy học phù hợp sao cho hiệu quả nhất. Cần đầu tư thời
gian, với sự tìm tòi lựa chọn xây dựng hệ thống bài toán, phân dạng bài tập, xây
dựng cách giải tổng quát thì trong quá trình giảng dạy sẽ rèn luyện được kĩ năng
vận dụng, trình bày lời giải. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong
học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến sáng tạo của các em. Cần thường xuyên
kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và
kết hợp nhần nhuyễn, logíc giữa các bài toán khác nhau.
Tuy nhiên trong quá trình thực hiện đề tài mặc dù đã cố gắng song chắc hẳn
không tránh khỏi thiếu sót kính mong được sự góp ý xây dựng của các đồng nghiệp
để đề tài ngày càng phong phú và đầy đủ hơn tạo được hứng thú học tập của học
sinh phát huy được tính tích cực chủ động của các em trong quá trình học tập. Từ
đó giúp các em thêm yêu thích môn Toán.
3.2. Kiến nghị:
Để công tác dạy và học ngày càng phát triển, mang lại hiệu quả, là một giáo
viên trực tiếp đứng lớp tôi rất mong các Ban, nghành, các cấp lãnh đạo không
ngừng quan tâm tạo điều kiện cho ngành giáo dục. Quan tâm hơn về cơ sở vật chất
phục vụ cho việc dạy và học, trang cấp thêm cho trường một số trang thiết bị hiện
đại như: Máy chiếu đa năng gắn sẵn trên mỗi lớp học; máy vi tính. Tổ chức thêm
các buổi tập huấn để chia sẻ kinh nghiệm giảng dạy cũng như việc ứng dụng công
nghệ thông tin trong giảng dạy môn Toán cũng như các môn học khác.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
16