ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
================ NGUYỄN THỊ ĐỊNH

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ “ĐƢỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN, QUAN HỆ SONG
SONG” CHO HỌC SINH LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học
(Bộ môn Toán học)
Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : PGS. TS. Bùi Văn Nghị

4
8. Phương pháp nghiên cứu
4
9. Cấu trúc luận văn
5
Chƣơng 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
6
1.1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học và những phương pháp
dạy học tích cực

6
1.1.1. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông
6
1.1.2. Một số phương pháp dạy học tích cực
6
1.2. Kĩ năng
8
1.2.1. Khái niệm kĩ năng
8
1.2.2. Kĩ năng giải toán
14
1.3. Thực tiễn dạy học “đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan
hệ song song” trong chương trình hình học 11 nâng cao THPT

18
1.3.1. Mục đích yêu cầu của chương đường thẳng và mặt phẳng trong
không gian, quan hệ song song

18
1.3.2. Những kĩ năng cơ bản thuộc nội dung đường thẳng và mặt

́
p 2: Rn luyện kĩ năng xác định hình
34
Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
35
Dạng 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
42
Dạng 3: Xác định thiết diện
46
2.3. Biê
̣
n pha
́
p 3: Rn luyện kĩ năng chứng minh
60
Dạng 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
61
Dạng 2: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
67
Dạng 3: Chứng minh các quan hệ song song trong không gian
75
2.4. Biê
̣
n pha
́
p 4: Rn luyện kĩ năng tính toán
90
2.5. Biê
̣
n pha

GV : Giáo viên
HS : Học sinh
Đpcm : Điều phải chứng minh
HĐ : Hoạt động
TN : Thử nghiệm
ĐC : Đối chứng
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Luật giáo dục mới nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt nam, năm
2005, đã ghi: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê
học tập và ý chí vươn lên” (chương I, điều 4); “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh, phù hợp với đặc điểm của từng môn học, bồi dưỡng phương pháp tự
học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình
cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” (chương I, điều 24).
Những yêu cầu trên phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục,
để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới với thực trạng
còn chậm đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta hiện nay.
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là “Giúp học sinh phát triển toàn diện
về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng
lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt
Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị
cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây
dựng và bảo vệ Tổ quốc ”.
Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan

trình toán học phổ thông, đây cũng là nội dung tương đối khó với học sinh bởi
các em mới bước đầu được làm quen với hình học không gian, đòi hỏi người
giáo viên phải lựa chọn những phương pháp dạy học tích cực để tạo được
niềm vui, hứng thú cho học sinh.
Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: “Rèn luyện kĩ năng giải toán
về “Đƣờng thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song”
cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông”

3
2. Lịch sử nghiên cứu
Đã có một số công trình nghiên cứu gần gũi với đề tài này, nghiên cứu
về việc xây dựng, vận dụng qui trình giải bài toán của G.Pôlya, những qui trình
xác định hình trong dạy bài tập về đường thẳng và mặt phẳng, quan hệ song
song trong không gian. Chẳng hạn như: “Rèn luyện kĩ năng xác định hình trong
hình học không gian” - bài báo của Bùi Văn Nghị (Tạp chí Thông tin KHGD,
số 60, tháng 3/1997); "Rèn luyện kĩ năng giải bài toán Hình học không gian
bằng phương pháp tọa độ ở trường THPT" - Luận văn thạc sĩ của Thái Thị Anh
Thư, ĐHSP HN, năm 2004; "Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán thiết diện của
các hình không gian trong chương trình Hình học 11 THPT" - luận văn thạc sĩ
của Nguyễn Tiến Trung, ĐHSP HN, năm 2006 v.v
Đề tài này khác những đề tài nói trên là: tập trung nghiên cứu những kĩ
năng cơ bản nhất về giải toán hình học không gian chỉ giới hạn trong chương
thứ nhất.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu: Đề tài nhằm đề xuất được một số biện pháp khả
thi và hiệu quả trong rèn luyện các kĩ năng giải bài tập về “Đường thẳng và
mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song”.
Từ đó, đề tài có các nhiệm vụ nghiên cứu là:
- Hệ thống hóa cơ sở lí luận về kĩ năng giải quyết vấn đề.
- Nghiên cứu kĩ năng giải bài tập về hình học trong không gian.

+ Phương pháp điều tra quan sát:
Xây dựng và sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình hình dạy và học
“đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song” (điều tra
qua giáo viên và điều tra qua học sinh).
Dự giờ, trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp trong trường và các
đồng nghiệp ở trường khác.

5
Điều tra thực trạng tiếp thu kiến thức về quan hệ song song trong không
gian.
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Triển khai dạy thực nghiệm một số giáo án (vận dụng một số biện pháp
trong các biện pháp) để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài, kiểm định
giả thuyết khoa học (để chứng tỏ giả thuyết đưa ra là đúng)
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2: Những biện pháp rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề liên quan
đến đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm


cho học sinh”.
Đổi mới phương pháp dạy học cần khắc phục lối truyền thụ một chiều,
rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học, áp dụng các phương pháp tiên
tiến và phương tiện hiện đại, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên
cứu cho học sinh. Rất cần phát huy năng lực tự học, học suốt đời trong thời
đại bùng nổ thông tin. Như vậy cốt lõi của đổi mới phương pháp dạy học là

7
hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập
thụ động, đổi mới nội dung và hình thức hoạt động của giáo viên và học sinh,
đổi mới hình thức tổ chức dạy học, đổi mới hình thức tương tác xã hội trong
dạy học với định hướng:
+ Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông
+ Phù hợp với nội dung dạy học cụ thể
+ Phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh
+ Phù hợp với cơ sở vật chất, các điều kiện dạy học của nhà trường
+ Phù hợp với việc đổi mới kiểm tra, đánh giá kết quả dạy - học
+ Kết hợp giữa việc tiếp thu có chọn lọc, có hiệu quả các PPDH tiên tiến, hiện
đại với việc khai thác những yếu tố tích cực của PPDH truyền thống
+ Tăng cường sử dụng các phương tiện dạy học, thiết bị dạy học và đặc biệt
chú ý đến ứng dụng của công nghệ thông tin
1.1.2. Một số phương pháp dạy học tích cực
Thực hiện dạy và học tích cực không có nghĩa là phủ nhận những
phương pháp dạy học truyền thống mà cần kế thừa, phát triển những mặt tích
cực của hệ thống những phương pháp dạy học quen thuộc, đồng thời vận
dụng một số phương pháp mới phù hợp với hoàn cảnh, điều kiện dạy và học
ở nước ta. Sau đây là một số phương pháp dạy học tích cực:
- Phương pháp đàm thoại phát hiện: Là phương pháp trong đó giáo viên
đặt những câu hỏi để học sinh trả lời hoặc có thể tranh luận với nhau và với cả
giáo viên, qua đó học sinh lĩnh hội được nội dung bài học.

hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kĩ năng còn có thể
đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định, kĩ năng là khả năng làm việc
có phương pháp”.
Theo [28], “trong Toán học kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực
hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng
minh nhận được”.

9
Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất
rằng, kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương
pháp, ) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Nói đến kĩ năng là nói đến cách thức,
thủ thuật và trình tự thực hiện các thao tác hành động để đạt tới mục đích đã
định. Kĩ năng chính là kiến thức trong hành động.
1.2.1.2. Đặc điểm của kĩ năng
Trong vận dụng, ta thường chú ý đến những đặc điểm của kĩ năng:
- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết, đó là kiến thức,
bởi vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết
quả - hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách của hành động.
- Muốn có kĩ năng về hành động nào đó thì cần phải:
+ Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện,
cách thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động.
+ Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó.
+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra.
+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
+ Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kĩ năng nhưng phải trải qua
thời gian đủ dài.
Tuy nhiên thực tiễn giáo dục cho thấy, học sinh gặp rất nhiều khó khăn

(BCD) = PI
Với bài toán này, cơ sở của kĩ năng là những kiến thức về tính chất
trọng tâm tam giác, không có kiến thức này, HS không thể phát hiện được
A
B
D
I
J
K
Q
C
M
P

11
IJ // AB. Cơ sở thứ hai của kĩ năng là định lí: “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần
lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với
hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó)”. Không
có kiến thức này, HS không thể xác định được giao tuyến PQ, từ đó xác định
các giao tuyến còn lại.
Trong thực tiễn giảng dạy chúng tôi nhận thấy có nhiều HS học thuộc lí
thuyết nhưng không vận dụng được lí thuyết đó vào bài tập. Nhiều HS thuộc
hết các định lí về giao tuyến song song nhưng không biết lựa chọn định lí nào
phù hợp với bài toán mà mình cần giải. Nguyên nhân của hiện tượng đó là do
kĩ năng chưa được hình thành.
1.2.1.3. Sự hình thành kĩ năng
Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kĩ năng trước hết cần có
kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho
đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu…
Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết

dưới dạng sơ đồ, kí hiệu về các đối tượng, còn các thao tác và các mốc định
hướng thì được thực hiện dưới hình thức những hành động đối tượng.
Ở giai đoạn hai, các mốc định hướng và các thao tác cho đối tượng
được thay thế bằng các kí hiệu và các hành động ngôn ngữ.
Như vậy, người giáo viên đã định hướng cho học sinh: để chứng minh
bài toán, trước hết phải phân loại dạng bài tập và tìm nội dung đã được học
để tìm cách giải bài toán qua các giai đoạn cụ thể. Từ đó xây dựng được cho
học sinh các phương pháp giải bài toán.
Tuy nhiên để phát triển bài toán và để khắc sâu cho học sinh, giáo viên
cần cho học sinh mở rộng bài toán: tìm các cách giải khác, tổng quát hóa bài
toán
Như vậy, học sinh được hình thành kĩ năng tư duy suy luận logic. Người
ta còn gọi phương pháp dạy học nói trên là phương pháp hình thành các hành

13
động trí tuệ qua từng giai đoạn. Chẳng hạn, ở ví dụ 1, giai đoạn đầu tiên là
cho HS xác định giả thiết, kết luận, từ đó HS xác định được các yếu tố đã cho
và yếu tố cần tìm. Khi đó GV cần định hướng: Muốn xác định giao tuyến của
hai mặt phẳng có thể tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó
hoặc tìm một điểm chung và phương của giao tuyến. Theo định hướng thứ
nhất, HS sẽ gặp khó khăn khi xác định hai điểm chung phân biệt của (IJK) và
(ABC). Khi đó, HS sẽ phải liên hệ với những kiến thức đã có để lựa chọn
đường lối giải thích hợp. Cụ thể: từ việc phát hiện IJ // AB, học sinh sẽ liên hệ
với các định lí đã học để xác định được giao tuyến của (IJK) và (ABC) là
đường thẳng PQ đi qua K, song song với AB.
Trên thực tế, khi hình thành các tri thức mới (có nội dung chứ không
phải khái niệm từ ngữ thuần túy) ai cũng phải trải qua các giai đoạn này. Tuy
nhiên, trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một
cách có ý thức. Vì thế, học sinh phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính
hay những dấu hiệu logic, mà điều chủ yếu là các em phải tự lựa chọn những

hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả
trong những điều kiện khác nhau. Trong giải toán, chúng tôi quan niệm về kĩ
năng giải toán của học sinh như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích
những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện
có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán
một cách khoa học ”.
Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường THPT, một trong những
yêu cầu đặc biệt về tri thức và kĩ năng cần chú ý là những tri thức phương
pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kĩ năng
tương ứng, chẳng hạn tri thức và kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương
trình, tri thức và kĩ năng chứng minh toán học, kĩ năng hoạt động tư duy hàm,
v v Tuy nhiên tùy theo nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kĩ
năng khác nhau.

15
1.2.2.2. Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT
Truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu
của môn Toán. Rèn luyện kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào
thực tiễn mà trước tiên là kĩ năng giải toán nhằm đạt được các yêu cầu cần
thiết sau:
- Giúp cho học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ
bản xuyên suốt chương trình.
- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ. Cụ thể là rèn luyện và
phát triển:
+ Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.
+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng trong không gian.
+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp khái quát hóa,
+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
- Coi trọng việc rèn luyện khả năng tính toán trong các giờ học, nói
chung là sự phát triển trí tuệ cho học sinh qua môn Toán gắn bó với việc rèn

pháp chung sẽ được vận dụng để tìm đường lối giải cho từng bài toán cụ thể.
Ví dụ: Với bài toán xác định một điểm trong không gian, HS phải trả lời được
câu hỏi: một điểm trong không gian hoàn toàn xác định khi nào, hai đường
thẳng trong không gian chỉ cắt nhau khi nào để từ đó xây dựng qui trình giải.
Với bài toán tìm tập hợp điểm trong không gian, HS cần có định
hướng: Một là đưa về các tập hợp điểm cơ bản của không gian, hai là đưa
điểm cần tìm quĩ tích vào trong một mặt phẳng và sử dụng các tập hợp điểm
cơ bản của mặt phẳng.
Huy động tri thức, kinh nghiệm hữu ích có liên quan đến giải bài toán
bao gồm hai dạng. Dạng 1 là những nội dung HS sản sinh ra một cách tích
cực bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí tuệ và thực hành. Dạng 2 là
những ý tưởng chợt lóe sáng tự phát, được hiểu theo nghĩa bừng sáng của quá
trình tư duy sáng tạo.

17
- Kĩ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch cụ thể giải bài toán
- Kĩ năng kiểm tra đánh giá quá trình giải toán và kết quả bài toán
- Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của
người giải toán
Ngoài ra cần rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:
 Nhóm kĩ năng thực hành
- Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán. Kĩ năng này được
rèn luyện trong quá trình tìm tòi lời giải của bài toán
- Kĩ năng tính toán: Đòi hỏi tính đúng, tính nhanh, tính hợp lí. Kĩ năng
này được rèn luyện thông qua bài luyện tập, thông qua tính nhẩm, bảng số,
máy tính
- Kĩ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị,
đọc và vẽ đồ thị
- Kĩ năng ước lượng, đo đạc
- Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn

niệm ban đầu: điểm, đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ “thuộc”(đi qua),
quan hệ vuông góc, quan hệ song song, với các tiên đề, định lí, khái niệm.
Giúp học sinh
- Nắm vững các điều kiện xác định mặt phẳng.
- Nắm vững các vị trí tương đối giữa các đường thẳng, giữa các mặt
phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, đặc biệt là quan hệ song song giữa
chúng.
- Nắm được cách xác định thiết diện của một hình khi cắt bởi một mặt
phẳng.
- Nắm được cách vẽ hình biểu diễn của một hình.
- Nắm vững định nghĩa và cách vẽ ba hình không gian: hình chóp, hình
lăng trụ và hình chóp cụt.

19
Để đạt được mục tiêu trên cần xây dựng một hệ thống bài tập phù hợp
để hình thành qui trình giải các dạng bài tập về đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian, quan hệ song song, hơn nữa rèn luyện kĩ năng vận dụng
qui trình đó vào giải các bài toán.
Với học sinh, nhu cầu củng cố, bồi dưỡng, nâng cao kiến thức, rèn
luyện kĩ năng giải toán là tất yếu. Muốn thoả mãn được nhu cầu đó thì các em
phải được vận dụng nhiều, phải tích cực tham gia các hoạt động luyện tập,
đào sâu, hệ thống hoá và ôn tập. Trên thực tế, đa số học sinh khá giỏi có khả
năng tự đúc kết được tri thức và tri thức phương pháp thông qua con đường
kinh nghiệm (thông qua giải một hệ thống bài toán). Khi xây dựng hệ thống
bài tập nên phân bậc hoạt động, chia hệ thống bài tập thành hai nhóm:
- Nhóm 1: Những bài tập trung bình củng cố kiến thức cơ bản.
- Nhóm 2: Những bài tập nâng cao nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán,
cũng như phát triển năng lực tư duy thuật toán cho học sinh.
Thực tế cho thấy rằng, nếu giáo viên chọn lựa được một hệ thống bài
tập phù hợp, sẽ giúp học sinh có khả năng khắc sâu kiến thức cũ, củng cố kiến

không gian từ hình biểu diễn và ngược lại, ở mức độ cao đối với học sinh khá
giỏi, biết hình dung các hình không gian qua các yếu tố đã cho trong bài toán.
Hơn nữa kích thích học sinh tự hình thành thuật toán của riêng mình, tìm
thuật toán tối ưu.
1.3.2. Những kĩ năng cơ bản thuộc nội dung đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian , quan hệ song song
1.3.2.1. Nội dung đường thẳng và mặt phẳng trong không gian , quan hệ song
song.
Nội dung về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song
song được thực hiện trong 16 tiết của chương trình hình học lớp 11. 21
§1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng. 4 tiết
§2. Hai đường thẳng song song. 2 tiết
§3. Đường thẳng song song với mặt phẳng 2 tiết
§4. Hai mặt phẳng song song 4 tiết
§5. Phép chiếu song song 2 tiết
Ôn tập chương II 2 tiết
Bài đọc thêm: Phương pháp tiên đề trong hình học
Theo [2], ở cấp Trung học cơ sở, HS đã được học hình học không gian
thông qua một số hình như hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình nón,
hình cầu, và mối qua hệ giữa các đối tượng: điểm, đường thẳng, mặt phẳng
nhưng chỉ ở mức độ làm quen với hình học không gian. Chương này nghiên
cứu một cách hệ thống hai khái niệm cơ bản của hình học không gian: đường
thẳng, mặt phẳng và các mối quan hệ giữa chúng, đặc biệt là quan hệ song
song, đồng thời bước đầu cho HS làm quen với phương pháp tiên đề.
Học xong chương này, GV cần tổng kết các điều kiện xác định mặt
phẳng cho HS. Cụ thể là:
Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết một trong các điều kiện sau: