ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ MÊN
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN CHO HỌC SINH LỚP 12- TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN CHO HỌC SINH LỚP 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(BỘ MÔN TOÁN HỌC)
MÃ SỐ: 60 14 01 11 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. Vũ Đình Hòa

Nguyễn Thị Mên
4
DANH MỤC VIẾT TẮT

CMR
CT
ĐC
ĐHQGHN
gt
GV
GS
HS
mp
Nxb
SGK
THPT
TN
TSKH
Chứng minh rằng
Chương trình
Đối chứng
Đại học Quốc Gia Hà Nội
Giả thiết
Giáo viên
Giáo sư
Học sinh

iii

Danh mục bảng…………………………………………………

vi

Danh mục biểu đồ………………………………………………

vii

MỞ ĐẦU

1

Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ
NGHIÊN CỨU 5

1.1. Lý luận về dạy học giải bài tập toán…… ……………………

5

1.1.1. Vai trò và ý nghĩa của việc giải bài tập toán… ……………

5

1.1.2. Chức năng của bài tập toán………………………… ……….


1.3.3.Các mức độ của kỹ năng giải toán………….………………

14

1.3.4. Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh…………

146
1.4. Dạy học phương pháp giải bài tập toán…………… …………

15

1.5. Chứng minh toán học và dạy học chứng minh………… ……

19

1.5.1. Chứng minh ……………………………………… ………

19

1.5.2. Phương pháp tìm tòi chứng minh………………… ………… 19

1.6. Một số kỹ năng giải một bài toán hình học…………… ……… 20

1.6.1. Kỹ năng vẽ hình……………………………………… …… 20

1.6.2. Kỹ năng tìm hướng giải ……………………………… ……


Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI
TOÁN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

28

2. 1. Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán thể tích khối đa diện

28

2.1.1. Rèn luyện kỹ năng đọc hiểu và vẽ đúng hình theo yêu cầu đề bài…

28

2.1.2. Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức đã biết để phân tích bài
toán

30

2.1.3. Rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải.…….…….… ….……… 40

2.1.4. Rèn luyện kỹ năng tìm nhiều cách giải cho một bài toán…

46

2.1.5. Rèn luyện kỹ năng phát triển bài toán…………………… …

52

2.1.6. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phát hiện và sửa chữa sai lầm
trong quá trình giải bài tập………………………………………………


92

3.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm…………………………… 92

3.3. Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm………………… 93

3.3.1. Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm sư phạm………………

93

3.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm…………………………… 94

3.4. Tiến hành thực nghiệm sư phạm ………………………… …… 94

3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm…………………………………

95

3.5.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm……………

95

3.5.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm………………………………

100

Kết luận chương 3………………………………………………… 112

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ……………………………… 113

105

Bảng 3.3.

Bảng tần suất (f
i
%) số học sinh đạt điểm x
i
của bài kiểm tra
số 1.

106

Bảng 3.4.

Bảng tần suất hội tụ tiến (số % học sinh đạt điểm x
i
trở lên
điểm bài kiểm tra số 1). 107

Bảng 3.5.

Bảng tổng kết điểm bài kiểm tra số 2

108

Bảng 3.6.

bài kiểm tra bằng giả thuyết H
0
111

9
DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 3.1. Biểu đồ biểu diễn tần suất điểm số bài kiểm tra số 1

106

Biểu đồ 3.2. Đồ thị biểu diễn tần suất hội tụ tiến bài kiểm tra số 1… 107

Biểu đồ 3.3. Biểu đồ biểu diễn tần suất điểm số bài kiểm tra số 2…….


thẩm mĩ và lòng yêu đất nước đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp xây dựng và
bảo vệ Tổ quốc.
Một trong những khâu then chốt của đổi mới giáo dục là đổi mới nội
dung và phương pháp giáo dục. Định hướng phương pháp dạy học được chỉ
rõ trong Luật Giáo dục (1998): “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát
huy được tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợp với
đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, làm viêc
theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn ”
Việc đổi mới đang diễn ra sâu rộng ở tất cả các bậc học, môn học trong đó có
môn Toán. Trong trường THPT, Toán học là môn học có vị trí vô cùng quan
trọng vì nó là môn khoa học cơ bản làm nền tảng cho nhiều ngành khoa học
khác và nó giúp người học rất nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy
nghĩ, suy luận, giải quyết vấn đề, giải quyết các tình huống trong cuộc sống từ
đó đặt ra nhiệm vụ quan trọng cho người dạy. Dạy toán là dạy kiến thức, tư
duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn) trong đó kỹ năng làm toán có vị trí đặc
biệt, vì không có kỹ năng làm toán sẽ không phát triển được tư duy. Như vậy
rèn luyện kỹ năng giải toán là rất cần thiết.
Trong chương trình môn Toán Trung học phổ thông nội dung kiến thức về thể
tích khối đa diện là một nội dung không dễ dạy và không dễ học. Nó cần đến
rất nhiều kiến thức hình học ở lớp dưới và nó thường gặp trong các kỳ thi tốt
nghiệp, đại học – cao đẳng. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh thường bỏ
qua phần này vì các em nghĩ nó quá khó và tâm lí “ngại” học hình học không
gian. Từ những kinh ngh
i
ệm qua nhiều năm giảng dạy theo tôi kiến thức về

11
hình học không gian không hề khó mà do các em chưa có kỹ năng học và giải
toán. Từ đó tôi đã tổng kết, sắp xếp một cách hệ thống các biện pháp rèn
luyện kĩ năng giải các bài toán về thể tích khối đa diện chương trình hình học

Nếu rèn luyện cho học sinh lớp 12 Trung học phổ thông theo những biện
pháp đề xuất trong luận văn sẽ rèn luyện cho học sinh có kĩ năng giải toán,
đồng thời sẽ giúp học sinh khắc sâu kiến thức đã học, phát huy tính tích cực
trong việc tiếp thu kiến thức mới và góp phần nâng cao hiệu quả giáo dục, đạt
mục tiêu dạy học môn Toán.
7. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu
Các nghiên cứu khảo sát được tiến hành trên phạm vi các trường Trung
học phổ thông hiện nay, đơn cử là trường Trung học phổ thông Trần Hưng
Đạo, THPT Phụ Dực tỉnh Thái Bình.
Số liệu sử dụng để nghiên cứu đề tài này để thu thập trong khoảng thời
gian từ năm 2012 đến năm 2014.
8. Những đóng góp của Luận văn
- Cung cấp cơ sở lý luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán.
- Thực trạng về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh khi dạy
nội dung " thể tích khối đa diện” hình học 12 ban cơ bản.
- Hệ thống hóa các kỹ năng cần rèn cho học sinh khi dạy nội dung " thể
tích khối đa diện” hình học 12 ban cơ bản.
- Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho học
sinh và giáo viên sư phạm Toán ở trường Trung học phổ thông.
9. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu và phân tích tài liệu về
lí luận dạy học, sách giáo khoa, sách giáo viên, các tài liệu liên quan đến môn
học.
- Phương pháp điều tra: Điều tra khả năng rèn luyện các kỹ năng giải
toán cho học sinh khi dạy học nội dung “Thể tích khối đa diện ” lớp 12 Trung
học phổ thông; chất lượng của học sinh trước và sau thực nghiệm.
- Phương pháp quan sát: Dự giờ, trao đổi với đồng nghiệp trong tổ
chuyên môn, học hỏi kinh nghiệm của lớp thầy cô đi trước về phương pháp
dạy học môn học; phân tích kết quả học tập của học sinh nhằm tìm hiểu thực


quan trọng, theo Nguyễn Bá Kim: “ Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy
hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ
yếu của hoạt động học toán. Các bài tập toán ở trường phổ thông là một
phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học
sinh nắm vững những tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo,
ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để
thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức
có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai trò quyết định đối với chất
lượng dạy học toán’’ [6, tr. 201].
Cũng theo Nguyễn Bá Kim: “ Bài tập toán có vai trò quan trọng trong
môn toán. Điều căn bản là bài tập có vai trò mang hoạt động của học sinh.
Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định
bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, đinh lí, quy tắc hay phương
pháp, những hoạt động toán học học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ

15
biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn
ngữ”[6, tr. 388].
Như vậy bài tập toán ở trường phổ thông có vị trí, vai trò quan trọng
trong hoạt động dạy, học toán ở trường THPT. Vì thế, cần lựa chọn các bài
tập sao cho phù hợp với đối tượng và năng lực của học sinh, như thế mới phát
huy được năng lực giải toán của học sinh.
b. Ý nghĩa
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Việc giải toán có nhiều ý nghĩa:
Đó là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và
rèn luyện kỹ năng. Trong nhiều trường hợp, giải toán là một hình thức tốt để
dẫn dắt học sinh tự mình tìm kiến thức mới.
Đó là một hình thức vận dụng những kiến thức đã học vào những vấn

Chức năng kiểm tra: Thông qua hệ thống bài tập, giáo viên có thể kiểm
tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh trong quá trình dạy học. Kiểm tra,
đánh giá nhằm cung cấp cho giáo viên và học sinh những thông tin về kết quả
dạy và học: Về kiến thức, kỹ năng, năng lực giải toán và hiệu quả dạy học
của giáo viên.
1.2. Kỹ năng
1.2.1. Khái niệm kỹ năng
Từ điển Tiếng Việt khẳng định: “Kỹ năng là khả năng vận dụng những kiến
thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế’’ [24, tr426].
Theo giáo trình Tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử
dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng
để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành
công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định” [2, tr149].
Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sư phạm thì: “Kỹ
năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …)
để giải quyết một nhiệm vụ mới’’ [10, tr131].

17
Theo nghĩa từ điển [23]:“Kĩ năng là năng lực thực hiện có hiệu quả
một hành động hay một hoạt động nào đó, bằng cách lựa chọn, vận dụng
những tri thức, những kinh nghiệm đã có để hành động phù hợp với những
điều kiện thực tiễn cho phép”.
Theo[28]: “ Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay
các khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính
bản chất của các sự vật và giải quyết thành công nhiệm vụ lí luận hay thực
hành xác định”. Kĩ năng là mặt kĩ thuật của hành động. Con người nắm được
cách thức hành động - Tức là kĩ thuật hành động là có kĩ năng”.
Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều nói
rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương
pháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới.

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố
phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải những bài
toán cùng dạng.
- Xác lập được mối liên hệ giữa các bài toán tổng quát và kiến thức
tương ứng.
- Nội dung bài tập, yêu cầu và nhiệm vụ đặt ra thường được trừu tượng
hóa hay bị che giấu bởi những yếu tố làm chệch hướng tư duy và ảnh hưởng
tới sự hình thành kỹ năng.
- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng, vì
vậy nên tạo tâm thế thuận lợi trong học tập cho học sinh trong hình thành kỹ
năng.
1.2.3. Rèn luyện kỹ năng
Rèn luyện kỹ năng phán đoán: Phán đoán là một hình thức tư duy trong
đó có khẳng định một dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng. Phán
đoán có tính chất đúng sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp
đó mà thôi. Phán đoán được hình thành bởi một trong hai phương thức chủ
yếu: trực tiếp và gián tiếp. Trong trường hợp thứ nhất phán đoán diễn đạt kết

19
quả nghiên cứu của một quá trình tri giác đối tượng, còn trong trường hợp thứ
hai phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là
suy luận. Cũng như các khoa học khác, Toán học thực chất là một hệ thống
các phán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng
sai của các luận điểm.
Rèn luyện kỹ năng suy luận: Suy luận là một quá trình tư duy có quy
luật, quy tắc nhất định (gọi là quy luật, quy luật suy luận). Muốn suy luận
đúng cần phải tuân theo quy tắc quy luật ấy. Có hai hình thức suy luận là suy
diễn và quy nạp, suy diễn đi cái tổng quát đến cái cụ thể còn quy nạp từ cái
riêng đến cái chung. Trong dạy toán suy diễn và quy nạp không thể tách rời

yêu cầu nào đó – cách định nghĩa này liên quan tới năng lực cụ thể, nhưng
cũng là cách định nghĩa thông dụng nhất.
Năng lực là sở hữu một hệ thống kiến thức, kỹ năng, thái độ, v.v nào đó
– cách định nghĩa này gắn với yếu tố đầu vào, không nhấn mạnh sự vận dụng
các thành phần năng lực.
Năng lực là một danh sách những gì học sinh có thể thực hiện – cách
định nghĩa này cũng gắn với sản phẩm đầu ra nhưng theo hướng hành vi và cụ
thể hóa.
Điểm thống nhất trong các quan niệm ở trên là: Năng lực bao gồm cả
kiến thức, kĩ năng, thái độ và một số yếu tố cá nhân khác.
Khái niệm năng lực theo nghĩa hẹp này có thể được phân biệt với việc
thực hiện một nhiệm vụ học tập, theo đó nó được thể hiện và đánh giá qua
những thực hành có thể nhìn thấy được năng lực còn có thể được định nghĩa
rộng hơn: Năng lực chung là khả năng vận dụng, chuyển biến các thành phần
kiến thức, kĩ năng, thái độ, và các yếu tố cá nhân khác theo một cơ chế nào đó
để thực hiện đạt chuẩn những nhiệm vụ học tập thiết yếu của một môn học.
Trong khuôn khổ của luận văn, luận văn đưa ra các biện pháp rèn kỹ
năng toán học cho học sinh (cụ thể là kỹ năng giải toán về thể tích khối đa
diện cho học sinh), hình thức thấp hơn năng lực toán học.

21
1.3. Giải toán và kỹ năng giải toán
1.3.1. Kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức Toán học để giải
các bài tập Toán học (tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh …).
Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến
thức, kỹ năng, phương pháp. Học sinh sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá
trình luyện tập, củng cố, đào sâu kiến thức thì kỹ năng được hình thành, phát
triển, đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức Toán học.
Kỹ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực

triển hành động giải toán, học sinh chưa hẳn đã nắm vững tri thức về hành
động đó, mà chính trong quá trình thực hiện hành động, các em dần dần nắm
vững các tri thức cần thiết. Chứng tỏ giữa tri thức và kỹ năng là hai mặt
không thể tách rời của hành động học. Lí luận dạy học cũng xác định cách
dạy của giáo viên sẽ ảnh hưởng sâu sắc đến cách học của học sinh. Cũng như
các kỹ năng khác, kỹ năng giải toán cũng được hình thành qua bắt chước và
tập luyện. Để kỹ năng giải toán được rèn luyện và vận dụng trong quá trình
nhận thức, trước hết học sinh phải thấy rõ tác dụng của những kỹ năng thành
phần, mối quan hệ giữa chúng trong việc giải quyết một bài toán cũng như
quy trình thực hiện.
Khi dạy các kỹ năng, điều quan trọng là không dạy quá nhiều kỹ năng
cùng một lúc. Sẽ tốt nhất nếu mỗi bài tập phức tạp sẽ được chia thành một
chuỗi các bước đi, các bước đó được học một cách tách biệt nhau. Rồi mỗi
bước đó được thực hành chậm rãi, chính xác cho đến khi nào đạt được tốc độ
cần thiết, sau đó các bước đi có thể xâu chuỗi lại để làm nên bài tập phức tạp.
Để học được một kỹ năng, học sinh cần biết chúng ta trông chờ ở các
em phải có khả năng làm gì và làm như thế nào cho tốt, làm thế nào sẽ tốt
nhất, các em phải biết tại sao cách làm này chưa hiệu quả, cách làm kia sẽ tốt
nhất. Các em phải có cơ hội thực hành (sử dụng), được kiểm tra và hiệu chỉnh
việc thực hành đó. Thực tế, bộ nhớ có thể xảy ra hiện tượng quên, do đó
người học cần có phương tiện để ghi nhớ và cơ hội ôn lại nội dung đã học, sử

23
dụng lại khi cần. Tất nhiên việc học của các em cần được đánh giá và các em
cần được nêu câu hỏi, nêu những thắc mắc.
1.3.3. Các mức độ của kỹ năng giải toán
Kỹ năng giải toán có thể chia thành ba mức độ:
- Biết làm: Vận dụng được lý thuyết để giải những bài toán cơ bản hình
thành các thao tác cơ bản như: Viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học,
viết chính xác công thức, kí hiệu, giải được các bài tập dạng mẫu.

+ Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng, trí tưởng tượng trong không
gian.
+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,
+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng
tạo.
1.4. Dạy học phương pháp giải bài tập toán
Trong môn Toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc
không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất
cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy hoc giải một số bài
toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong
việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán.
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học
sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế
nào để giải được bài toán. Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát
triển tư duy, giáo viên phải hình thành chung cho học sinh một quy trình
chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán.
Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh giải toán theo qui trình bốn bước
của Polya rồi từ đó hình thành kỹ năng giải toán theo quy trình này.
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
- Tìm hiểu bài toán cách tổng quát
- Phân biệt đâu là dữ kiện bài toán cho, đâu là yếu tố phải tìm.
- Vẽ hình có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn
tả đề bài.

25
Bước 2: Xây dựng chương trình giải toán
- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
biến đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho, cái
phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán
tương tự, một trường hợp riêng, một trường hợp tổng quát,…