Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
…………………

LÊ ANH QUÂN RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN “HÀM SỐ LŨY THỪA,
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT” CHO HỌC SINH LỚP 12
THPT (BAN CƠ BẢN)
Chuyên ngành: Lý

luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.10

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, khoa Sau đại học Trường Đại
học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi
hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Giang,
Lãnh đạo trường THCS & THPT Minh Ngọc, trường THPT Lê Hồng Phong ,
trương THPT Ngọc Hà của tỉnh Hà Giang cũng như toàn thể các đồng nghiệp
ơ trường THCS & THPT Minh Ngọc, trường THPT Lê Hồng Phong, trường
THPT Ngọc Hà của tỉnh Hà Giang đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn các học viên trong lớp Cao học Toán Khóa 17
và các bạn đồng nghiệp xa gần về sự động viên, khích lệ cũng như trao đổi về
chuyên môn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2010 Lê Anh Quân Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1
Mục lục
MỞ ĐẦU 4
Chƣơng I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 9
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán. 9
1.1.1. Kĩ năng. 9
1.1.2. Đặc điểm của kĩ năng – Sự hình thành và phát triển kĩ năng. 10
1.1.3. Kĩ năng giải toán. 12
1.1.4. Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS trung học phổ thông 14

2.2.2. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mũ, logarit. . 51
2.3. Rèn luyện kĩ năng giải bài toán phương trình mũ và logarit 53
2.3.1. Kiến thức cơ bản. 53
2.3.2. Kĩ năng cơ bản. 53
2.3.3. Dạng 1: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương 53
2.3.4.Dạng 2: phương pháp logarit hóa và đưa về cùng cơ số 57
2.3.5. Dạng 3 : Phương pháp đặt ẩn phụ 60
2.3.6. Dạng 4 : Sử dụng tính chất liên tục của hàm số 62
2.3.7. Dạng 5: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số 64
2.3.8. Dạng 6: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ 66
2.3.9. Dạng 7: Sử dụng phương pháp đánh giá 68
2.4. Rèn luyện kĩ năng giải bất phương trình mũ và logarit. 69
2.4.1. Kiến thức cơ bản. 69
2.4.2. Kĩ năng cơ bản. 69
2.4.3. Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương: 70
2.4.4. Dạng 2: Phương pháp logarit hóa và đưa về cùng cơ số 74
2.4.5. Dạng 3: Sử dụng Phương pháp đặt ẩn phụ 75
2.4.6. Dạng 4: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ. 77
2.4.7. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đánh giá. 79
2.5. Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình mũ và logarit. 81
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3
2.5.1. Kiến thức cơ bản. 81
2.5.2. Kĩ năng cơ bản. 81
2.5.3. Dạng 1: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương 82
2.5.4. Dạng 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ 83
2.5.5. Dạng 3: Sử dụng phương pháp hàm số 85
2.5.6. Dạng 4: Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ 87

thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng. Vì vậy việc rèn luyện kĩ năng giải toán
hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit là điều cần thiết và bổ ích đối
với HS lớp 12 THPT.
Qua thực tiễn dạy học Toán ở trường phổ thông, chúng tôi thấy HS còn rất
lúng túng, khó khăn khi giải các bài toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm
số logarit. Nhiều em giải bài toán nào thì biết bài toán đó, chưa có kĩ năng vận
dụng, phát huy kiến thức đã học và trong nhiều trường hợp chưa biết phân
loại và nhận dạng bài toán, chưa đưa ra được phương pháp giải với từng dạng
cụ thể (đặc biệt là bài toán khảo sát hàm số, việc tính đạo hàm, giải BPT và
chứng minh BĐT liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số
logarit, ).
- Một số kiến thức Toán học (các kiến thức về hàm số, phương trình, bất
phương trình ) được HS áp dụng có phần tùy tiện vào nội dung này gây
những sai lầm nghiêm trọng trong khi làm bài.
- Thêm vào đó việc giảng dạy của giáo viên còn có nhiều điều bất cập. Trong
quá trình giảng dạy, giáo viên chưa gắn những kiến thức cần xây dựng, củng
cố cho HS với các bài toán cụ thể, do vậy khi gặp các bài toán tương tự các
em có rất nhiều khó khăn khi tiếp cận phương pháp giải quyết bài toán. Lối
dạy học làm cho người học thụ động trong nhận thức dẫn đến tình trạng chưa
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5
phát huy được khả năng tự tìm tòi, tự khám phá và sáng tạo của HS, giảm
hứng thú đối với môn học.
Vấn đề dạy học giải toán nói chung và rèn luyện kĩ năng giải toán cho
HS ở các cấp học nói riêng đã được nhiều người quan tâm nghiên cứu:
G.Polya (Cách giải BT mang ý nghĩa sáng tạo ), Đỗ Trung Hiệu, Phạm Văn
Hoàn, Vũ Dương Thụy (Các phương pháp giải toán ở tiểu học), Lê Văn Hùng
(Rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS khá, giỏi lớp 12 thông qua việc sử dụng

2.2.2. Xác định các kĩ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm
số logarit.
2.2.3. Tìm hiểu thực trạng rèn luyện kĩ năng giải toán hàm số lũy thừa,
hàm số mũ và hàm số logarit cho HS ở trường THPT.
2.2.4. Đề xuất một số dạng toán cụ thể nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán
hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit cho HS.
2.2.5. Thử nghiệm sư phạm.
3. Phương pháp nghiên cứu:
3.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục, tìm hiểu một số tạp chí, báo cáo
khoa học, luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ về các vấn đề liên quan đến đề
tài; nội dung chương trình SGK môn Toán THPT mà trọng tâm là chủ đề
hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit .
3.2. Phương pháp quan sát, điều tra:
Quan sát, điều tra việc giảng dạy của giáo viên và việc học tập của HS
trong quá trình sử dụng bài tập để rèn luyện kĩ năng giải toán hàm số lũy
thừa, hàm số mũ và hàm số logarit cho HS THPT thông qua phỏng vấn,
trao đổi dự giờ đồng nghiệp.

3.3. Phương pháp thử nghiệm sư phạm:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7
Nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đã đề
xuất.
3.4. Phương pháp thống kê Toán học:
Xử lý các số liệu thu được để phục vụ cho đề tài.
4. Giả thuyết khoa học:
Nếu chỉ ra được các kĩ năng cơ bản, phân loại từng dạng toán cụ thể và

luận văn gồm ba chương.
Chƣơng I: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng II: Rèn luyện kĩ năng giải toán hàm số lũy thừa, hàm số mũ,
hàm số logarit thông qua từng dạng toán cụ thể.
Chƣơng III: Thử nghiệm sư phạm.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9
Chƣơng I
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán.
1.1.1. Kĩ năng.
Trong tâm lý học, kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành
động nào đó nhằm đạt một mục đích trong những điều kiện nhất định. Nếu
tạm thời tách kiến thức và kĩ năng để xem xét riêng thì kiến thức thuộc phạm
vi nhận thức, thuộc khả năng “ biết ”, còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động,
thuộc khả năng “ biết làm”.
Theo [1, Tr. 548]: “KN là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào
thực tiễn, trong đó khả năng được hiểu là: Sức đã có (về một mặt nào đó) để
thực hiện một việc gì”
Các nhà giáo dục học cho rằng: mọi kiến thức bao gồm một phần là
thông tin kiến thức thuần túy và một phần là KN
KN là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được
để đạt được mục đích , KN còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen
nhất định; KN là khả năng làm việc có phương pháp ”. G.Polya đã khẳng định
rằng: “ Trong Toán học, KN là khả năng giải các bài toán, thực hiện các
chứng minh cũng như các phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh
nhận được KN trong toán học quan trọng hơn nhiều những kiến thức thuần

trong ý thức với tư cách của hành động.
Vậy muốn có KN về một hành động nào đó thì cần phải:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11
+ Có kiến thức:để hiểu được mục đích của hành động, biết được mục
đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đi đến kết quả, để thực
hiện hành động.
+ Tiến hành hành động đó với yêu cầu của nó.
+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra.
+ Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau.
+ Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành KN nhưng phải trải
qua thời gian đủ dài.
1.1.2.2. Sự hình thành kĩ năng:
Để hình thành được KN trước hết cần có kiến thức làm cơ sở cho việc
hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho đến khi thực hiện được một
hành động theo đúng mục đích, yêu cầu Có những KN hình thành không
cần qua luyện tập, nếu biết tận dụng hiểu biết và KN tương tự đã có để
chuyển sang thực hiện các hành động, hoạt động mới.
Theo [20, Tr.100]:
a) Thực chất của sự hình thành KN là hình thành cho HS khả năng nắm
vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các
thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ.
Khi hình thành KN cho HS cần tiến hành:
- Giúp HS biết cách tìm tòi để nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và
mối quan hệ giữa chúng.
- Xác lập được mối quan hệ giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tương ứng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

13
củng cố, đào sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành, phát triển, đồng thời
nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức Toán học.
Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực
hiện các hoạt động toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán. Kĩ
năng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn
luyện cho HS nhừng kĩ năng trên những bình diện khác nhau:
+) Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán: Là sự thể hiện
mức độ thông hiểu tri thức Toán học. Một người hiểu những tri thức Toán học
sẽ vận dụng được để làm toán.
+) Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào các môn học khác : Kĩ
năng trên bình diện này thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những
môn học khác, điều này thể hiện tính liên môn giữa các môn học trong nhà
trường, đòi hỏi người GV dạy Toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy
học bộ môn.
+) Kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống: Đây là mục tiêu quan
trọng của môn Toán, nó cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời
sống.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14
1.1.4. Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS trung học phổ
thông.
Mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thông là môn Toán trong
trường phổ thông trang bị cho HS những kiến thức toán học phổ thông, cơ
bản, hiện đại, rèn luyện các kĩ năng tính toán và phát triển tư duy toán học,
góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và các năng lực trí tuệ chung,
đặc biệt là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa ”

Ngọc Quang thì việc hình thành một KN nào đó gồm ba bước:
- Nhận thức đầy đủ về mục đích, cách thức và điều kiện hành động.
- Quan sát theo mẫu, làm thử theo mẫu.
- Luyện tập cách thức hành động theo đúng yêu cầu, điều kiện của nó
nhằm đạt được mục đích đề ra.
Trong thực tế giảng dạy, khi hình thành KN ở HS, khó có thể phân chia
được rạch ròi theo các giai đoạn nói trên. Chẳng hạn khi khai triển hành động
giải toán, HS chưa hẳn đã nắm vững tri thức về hành động đó, mà chính trong
quá trình thực hiện hành động, các em dần dần nắm vững các tri thức cần
thiết. Chứng tỏ giữa tri thức và KN là hai mặt không thể tách rời của hành
động học. Lí luận dạy học cũng xác định cách dạy của GV sẽ ảnh hưởng sâu
sắc đến cách học của HS. Như vậy cách học của HS chịu ảnh hưởng sâu sắc
bởi cách dạy của GV. Cũng như các KN khác, KN giải toán cũng được hình
thành qua bắt chước và tập luyện. Để KN giải toán được rèn luyện và vận
dụng trong quá trình nhận thức, trước hết HS phải thấy rõ tác dụng của những
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16
KN thành phần, mối quan hệ giữa chúng trong việc giải quyết một bài toán
cũng như qui trình thực hiện. Theo Phạm Thị Hồng (Một số biện pháp sư
phạm RLKN giải toán hình học thông qua dạy học chương phương pháp tọa
độ trong không gian ỏ lớp 12, Tr 19): Học là một KN cụ thể đòi hỏi phải thỏa
mãn những nhu cầu sau:
- Giải thích: HS cần phải hiểu vì sao thực hiện KN đó như vậy, cùng
với các thông tin cơ bản khác.
- Làm chi tiết: HS cần phát hiện một cách chính xác cái mà ta trông chờ
các em phải làm và phải làm như thế nào, đây là cách làm chi tiết mà HS
thường học tốt nhất khi được xem giới thiệu như qua trình diễn hoặc nghiên
cứu tình huống. Cách đó cung cấp mô hình thức hành tốt để bắt chước hoặc

- Ôn lại và sử dụng lại: Quá trình RLKN giải phương trình mũ, logarít
trên đã giúp HS ôn lại các KN cũ, RLKN mới, củng cố, khắc sâu kiến thức.
- Đánh giá: Kết quả đúng sai giúp HS đánh giá việc học.
- Thắc mắc: HS có thể thắc mắc khi chưa hiểu tường minh các bước
thực hiện giải phương trình.
Khi dạy các KN, điều quan trọng là không dạy quá nhiều cùng một lúc.
Sẽ tốt nhất nếu mỗi bài tập phức tạp được chia thành một chuỗi các bước đi,
các bước đó được học một cách tách biệt nhau. Rồi mỗi bước đó được thực
hành chậm rãi, chính xác cho đến khi nào đạt được tốc độ cần thiết, sau đó
các bước đi có thể xâu chuỗi lại để làm nên bài tập phức tạp.
Để học được một KN, HS cần biết chúng ta trông chờ ở các em phải có
khả năng làm gì và làm như thế nào cho tốt, làm thế nào sẽ tốt nhất; các em
phải biết tại sao cách làm này chưa hiệu quả, cách làm kia sẽ tốt nhất. Các em
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18
phải có cơ hội thực hành (sử dụng), được kiểm tra và hiệu chỉnh việc thực
hành đó. Thực tế, bộ nhớ có thể xảy ra hiện tượng quên, do đó người học cần
có phương tiện để ghi nhớ và cơ hội ôn lại nội dung đã học, sử dụng lại khi
cần. Tất nhiên việc học của các em cần được đành giá và các em cần được
nêu câu hỏi, nêu những thắc mắc.
1.2. Bài toán và phƣơng pháp chung để giải bài toán.
1.2.1. Bài toán và phân loại bài toán.
a) Khái niệm bài toán.
G.Polya cho rằng: “ Trong toán học, nắm vững bộ môn Toán quan
trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ
một cuốn sách tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như
trong các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho HS những kiến
thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến mức độ nào

kiện của bài toán đó.
- Bài toán chứng minh: Là bài toán mà yêu cầu của nó thường thể hiện
bằng các cụm từ: Chứng minh rằng, chứng tỏ rằng, tại sao, chỉ ra rằng,…Các
phần chính của bài toán gồm: Cái đã cho (còn gọi là giả thiết) và cái phải tìm
(còn gọi là kết luận). Giải bài toán này là khám phá ra mối liên hệ logic giữa
cái đã cho và cái phải tìm. Cấu trúc của bài toán chứng minh thường có dạng
A => B hay: giả thiết => kết luận.
- Tuy nhiên, trong thực tế vẫn gặp bài toán mà trong đó có phần là bài
toán tìm tòi, có phần là bài toán chứng minh. Muốn tìm một đối tượng nào đó
ta phải làm các thao tác chứng minh và ngược lại. Những bài toán như vậy
thường được gọi là bài toán hỗn hợp hay bài toán tổng hợp.
Dựa vào nội dung, bài toán còn phân chia thành các loại: bài toán số
học, bài toán đại số, bài toán hình học, bài toán rời rạc.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20
Cũng có khi người ta phân loại bài toán một cách cụ thể hơn: bài toán
giải phương trình đại số, bài toán giải phương trình lượng giác, bài toán dựng
hình, bài toán tìm quỹ tích,…
1.2.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học.
Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung
của giáo dục phổ thông. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, phát triển
những phẩm chất trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái
quát hóa, rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như
tính cẩn thận, chính xác, kỉ luật, tính phê phán, sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm
mỹ. Hơn nữa môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và học các môn học
khác.
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán, là “giá mang” hoạt
động của HS. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất

GV nắm được thông tin hai chiều trong quá trình dạy học.
1.2.3. Những yêu cầu của một lời giải bài toán.
Lời giải một bài toán cần đạt được các yêu cầu sau:
- Lời giải đầy đủ.
- Lập luận chặt chẽ.
- Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian.
- Ngôn ngữ chính xác, khoa học.
- Trình bày rõ ràng, đảm bảo tính mĩ thuật.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lý.
1.2.4. Phƣơng pháp chung để giải bài toán.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những cách thức giải bài
toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu phương pháp
chung để giải bài toán như sau:
Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài (hay hiểu bài toán):
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22
- Phát biểu đề bài với những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài
toán.
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả
bài toán.
Bƣớc 2: Tìm cách giải (hay xây dựng chương trình giải):
Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với
một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn
hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù
với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng

- Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit
- Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit
Với nội dung trên SGK được trình bày thành 7 mục với 19 tiết cụ thể như sau:
Stt
Nội dung
Số tiết
Từ tiết đến tiết
1
Lũy thừa
3 tiết
21 - 23

2
Hàm số lũy thừa
2 tiết
24 - 25

3
Logarit
3 tiết
26 - 28

4
Hàm số mũ, hàm số logarit
3 tiết
29 - 31

5
Phương trình mũ. phương trình
logarit