A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU.
Trong chương trình Hình học 12 thì phần thể tích khối đa diện, trong
đó có bài toán tính thể tích khối chóp là một phần rất quan trọng. Các năm
gần đây, ở các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi Đại học, Cao đẳng thường
xuyên có một câu về tính thể tích khối đa diện và chủ yếu là tính thể tích khối
chóp.
Tuy nhiên thời lượng học chương trình này lại rất ít. Ở chương trình
chuẩn chỉ có 2 tiết, chương trình nâng cao cũng chỉ có 3 tiết. Bên cạnh đó nội
dung trong sách giáo khoa chưa phân được các dạng toán cụ thể . Chẳng hạn
để tính thể tích khối chóp, ở chương trình SGK nâng cao Hình học lớp 12, chỉ
đưa ra được một ví dụ minh họa đó là: “Tính thể tích của khối tứ diện đều có
cạnh bằng a”. SGK chỉ dừng lại ở ví dụ trên mà không có thêm bất cứ một ví
dụ nào khác, cũng như không nêu rõ các bước giải toán khi mà hình chóp
không phải là hình chóp đều. Điều này đã gây khó khăn lớn với hầu hết học
sinh khi làm bài tập tính thể tích các khối chóp khác nhau.
II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
1.Thực trạng:
Thực tế, qua nhiều năm giảng dạy ở trường THPT Đặng Thai Mai, với
phần đa số là học sinh thuộc trung bình, tôi nhận thấy rằng phần lớn các em
đều không hứng thú học hình không gian trong đó có phần tính thể tích khối
chóp. Các em gần như bỏ qua phần này hoặc chỉ học mang tính chất đối phó.
Điều đó dẫn đến các em không đạt yêu cầu khi giải các bài toán về thể tích
khối chóp.
2.Kết quả của thực trạng
Tôi đã cho tiến hành khảo sát ở ba lớp12 năm học 2009 - 2010: 12C1,
12C2, 12C3 tại trường THPT Đặng Thai Mai về bài tính thể tích khối chóp
ngay sau bài thể tích khối đa diện với bài toán sau:
“Tính thể tích khối chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông
góc và có độ dài đều bằng a”.


tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.

2
B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
1.Cơ sở lí luận:
- Các tính chất của quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong không
gian, các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác:
- Một số dạng tính thể tích khối chóp:
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức V=
1
.
3
B h
( B là diện tích đáy, h là chiều cao)
Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các cạnh của nó
với các cạnh của khối chóp khác đã biết thể tích và công thức:

' ' '
'. '. '
. .
SA B C
SABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=

(A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC)
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và
công thức thể tích khối chóp ABCD: V=

A
B
C
a
b
c
α
S
A
B
C
Phương pháp:
- Xác định đường cao (chính là cạnh bên vuông góc với đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy. Từ đó và áp dụng công thức (1)
để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng
(ABC).SA=a, tam giác ABC vuông tại B và BA=BC= b. Tính thể tích khối
chóp S.ABC.
Lời giải:
Ta có
)(ABCSA ⊥
nên SA
là đường cao của hình chóp S.ABC

2
1
.
2 2
ABC

1 sin
. sin
2 2
ABC
bc
S AB AC
α
α
= =
.
Thể tích khối chóp S.ABC là:
V

=
ABC
SSA
∆
.
3
1
=
αα
sin
6
1
sin
2
1
.
3

.tan60
0
=
6a
Diện tích đáy ABCD bằng S
ABCD
=AB
2
=a
2
.
Thể tích khối chóp S.ABCD bằng: V=
3
2
1 1 6
. 6.
3 3 3
ABCD
a
SA S a a= =
(đvtt)
Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc
với mặt đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết:
a) Cạnh AB= a, AD=2a, SA=3a.
b) Cạnh đáy AB=a
3
, AD=a, góc giữa AC với mặt phẳng (SBC) bằng 30
0
.

mà
2 2
2
1 1 3 3
. .sin
2 2 2 4
3
2
ABCD
ABCD
a a
S DA DC D
a
S
= = =
⇒ =
Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD
2 3
1 1 3 3
. .
3 3 4 12
ABCD
a a
V SA S a= = =
(đvtt)
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông cạnh a.
Các mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC
tạo với đáy một góc 30
0
. Tính thể tích khối chóp

N
M
S
A
B
C
Xét tam giác SAC vuông tại A có SA=AC.tanSCA =
0
6
2.tan 30
3
a
a =
Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD :
3
2
1 1 6 6
. .
3 3 3 9
ABCD
a a
V SA S a= = =
(đvtt)
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại
B, AB=BC=2a. Các mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với mặt
phẳng(ABC).Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song
với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60
0
. Tính thể tích khối chóp S.BCMN.

BCMN
SA S a=
(đvtt)
Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AC=a, hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy.Góc tạo bởi
SC và mặt đáy bằng 60
0
.Tính thể tích khối chóp.

7
60
0
I
A
D
C
B
S
Trường hợp 3: Khối chóp có hai mặt phẳng đi qua đỉnh (không
chứa mặt bên) cùng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao. (nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng
cùng vuông góc với mặt đáy).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức
(1) để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A ,
AB=AD=2a, CD =a, góc giữa SC và (ABCD) bằng 60
0

= = =
Thể tích khối chóp S.ABCD: V=
2 3
1 1
. . 6.3 6
3 3
ABCD
SI S a a a= =
(đvtt)

8
60
0
N
M
A
D
C
B
S
S
O
A
B
D
C
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Gọi
M là trung điểm của AB, hai mặt phẳng (SMC) và (SMB) cùng vuông góc
với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
45

SM S =
(đvtt)
Ví dụ 9:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
BAD=120
0
. Gọi O là giao điểm của AC và BD, hai mặt phẳng (SAC) và
(SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) .Góc giữa hai mặt phẳng SA
và (ABCD) bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Lời giải:
Vì (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SO vuông
góc với mặt phẳng (ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp S.ABCD
AO là hình chiếu vuông góc của SA
xuống mặt phẳng (ABCD) nên
góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD)
là góc SAO = 60
0
. Ta có OAB = 60
09
nên AO =
0
. os60
2
a
AB c =

Bài tập áp dụng:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AB và AD. H là giao điểm của CN và DM. Biết SH
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH=
a
.Tính thể tích khối chóp
S.CDMN
Trường hợp 4: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy là giao giữa
mặt bên đó với mặt đáy ).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức
(1) để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có đáy
lớn là AB = 2a, AD =CD =a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc
với nhau, tam giác SAB đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB khi đó SH
⊥
AB suy ra SH
⊥
(ABCD) hay
SH là đường cao của hình chóp.SH=SA.sin60
0
=
3
2 . 3
2
a a=

. S
ABCD
=
2
1 3 3
.( )
2 4
a
KD AB CD+ =
Thể tích khối chóp S.ABCD:
V=
2 3
1 1 3 3 3
. . . 3.
3 3 4 4
ABCD
a a
SH S a= =
(đvtt)
Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a.
SA=a,SB=
3a
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN.
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của S trên AB ta có SH
⊥
(ABCD) hay SH là đường
cao của hình chóp S.BMDN.
Mặt khác tam giác SAB có

Thể tích khối chóp S.BMDN:
V=
3
2
1 1 3 3
. . .2
3 3 2 3
BMND
a a
SH S a= =
(đvtt)

11
I
A
C
B
S
D
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a.
SA=SB và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy
bằng 45
0
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AB suy ra SI
⊥
AB và SI
⊥
(ABCD)

bằng 45
0
.
Trường hợp 5: Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau thuộc mặt đáy.
Phương pháp:
- Xác định đường cao (chính là cạnh bên đó ).
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)
để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .

12
S
A
B
C
Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc,
SA=AB=AC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Lời giải:
Ta có
)(ABCSA
ACSA
ABSA
⊥⇒



⊥
⊥


Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, AC đôi một vuông góc, SA=a,
AB=AC= b. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Lời giải:
Ta có
)(ABCSA
ACSA
ABSA
⊥⇒



⊥
⊥

nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC
2
.
2
1
2
b
ACABS
ABC
==
∆
Thể tích khối chóp S.ABC là: V
S.ABC
=
ABC
SSA

M
A
C
B
S
O
M
A
B
C
D
S
O
- Tính đường cao và diện tích đáy.Từ đó và áp dụng công thức (1)
để tính thể tích khối chóp.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 15:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh bên bằng a
2
,góc tạo bởi
cạnh bên và mặt đáy bằng 45
0
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
Lời giải:
Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có SO
⊥
(ABC)
nên SO là đường cao của hình chóp. Xét tam giác SOA vuông tại O có góc
giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc
SAO =45

Ví dụ 16:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt
bên và mặt đáy bằng 60
0
. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
Lời giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, khi đó SO vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp. Gọi M là trung điểm của
cạnh BC khi đó OM
⊥
BC và SM
⊥
BC, góc giữa mặt phẳng
(SBC) và mặt phẳng (ABCD) là
góc SMO =60
0
.

14
D'
B'
A
B
C
D
Xét tam giác SOM vuông tại O có
SO=OM.tan60
0
=
3

SA B C
SABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
(A’,B’,C’ lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp S.ABC)
Phương pháp:
- Tính thể tích khối chóp S.ABC
- Lập tỉ số các cạnh từ đó suy ra thể tích khối chóp S.A’B’C’.
Một số ví dụ minh họa .
Ví dụ 17:
Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B’ và D’ lần lượt là trung điểm
của AB và AD. Mặt phẳng (CB’D’) chia khối tứ diện thành hai phần. Tính thể
tích hai phần đó
Lời giải: Ta có

15
O
D'
S
A
C
D
B
B'
C'

' '
' '

⊥
SC suy ra SC
⊥
AC’
Do tính đối xứng nên ta có
V
S.AB’C’D’
=2V
S.AB’C’
.Mặt khác

. ' '
2 2
'. ' . ' . '
.
.
S AB C
SABC
V
SB SC SB SB SC SC
V SB SC SB SC
= =
2 2 2 2
2 2 2 2
4 .4 8
.
5 .6 15
SA SA a a
SB SC a a
= = =

(đvtt)
Bài tập áp dụng: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh
5
, đường chéo AC =4, đoạn thẳng SO=
2 2
(O là tâm của hình thoi) vuông
góc với đáy.Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt
SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.

16
G
H
F
A
C
D
B
E
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương pháp tọa độ và
công thức thể tích khối chóp ABCD: V=
1
, .
3
AB AC AD
 
 
uuur uuur uuur
(2)
Phương pháp: - Chọn hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxyz phù hợp
- Tọa độ hóa bài toán.

). Ta có
MI=
1 1 3
( ; ;0)
2 2 2 3
a a
IB IM IB I⇒ = − ⇒
uuur uur
3 2
( ; ; ), ( ; ; )
2 2 2 2 2 2
a a a a a a
NA NB
− − − −
−
uuur uuur
2 2
2 2
, ( ; ; ) , ;0;
2 6 2 2 2
a a a a a
NI NA NB
 
− −
 
− ⇒ =
 ÷
 
 ÷
 

Lời giải: Xét hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O trùng với B, Ox trùng với tia
BC, Oy trùng với tia BA,Oz trùng với tia BB’.Khi đó ta có A(0;a;0),
B(0;0;0),C(2a;0;0).Do A’M=
1 2 4
AA '
2 3 3
a
AC IH⇒ = =
. Kẻ HN//BC và HP//AB
khi đó
2 2
1 2 2 2 2 2 4
, ( ; ; )
3 3 3 3 3 3 3
2 4 2 2 4
; ; , ; ; ,
3 3 3 3 3 3
4 2 4 4 2
; ; , , ;0;
3 3 3 3 3
a a a a a
HN BC HP AB I
a a a a a a
IA IB
a a a a a
IC IA IB
= = = = ⇒
   
⇒ − − − − −
 ÷  ÷

C.KẾT LUẬN
1.Kết quả nghiên cứu:
Sau khi áp dụng phương pháp trên vào ba lớp đã nêu, tôi đã cho học
sinh kiểm tra qua ba bài toán sau:
Bài 1(6 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a, hai mặt phẳng (SAC) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc tạo bởi
(SCD) và mặt đáy bằng 60
0
. Tính thể tích khối chóp.
Bài 2(4 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật, mặt bên (SAB)vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết
AB=2a, tam giác SAB cân tại S, góc giữa SC với mặt đáy bằng 60
0
, khoảng
cách giữa AB và (SCD) bằng a
3
.
Kết quả thu được như sau
Lớp Sĩ số Điểm
9-10
Điểm
7-8,5
Điểm
5-6,5
Điểm
3-4,5
Điểm
0-2,5
12C1 45 5(11,1%) 23(51,1%) 16(35,6%) 1(2,2%) 0(0 %)
12C2 47 6(12,8%) 20(42,6%) 19(40,4%) 2(4,2%) 0(0 %)

B
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3
1.Cơ sở lí luận 3
2.Các biện pháp để tổ chức thực hiện 3
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào công thức
V=
1
.
3
B h

3
Dạng 2: Tính thể tích khối chóp dựa vào tỉ lệ giữa các
cạnh của nó với các cạnh của khối chóp khác đã biết
thể tích.
' ' '
'. '. '
. .
SA B C
SABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=
15
Dạng 3: Tính thể tích khối chóp dựa vào phương
pháp tọa độ và công thức thể tích khối chóp ABCD:
V=
1
, .