Khoa Toán

CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên của khóa luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới
thầy giáo hướng dẫn T.s. Trần Minh Tước. Thầy đã giao đề tài và tận
tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Nhân
dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa
Toán đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập
tại khoa.
Đồng thời em xin cảm ơn các bạn trong lớp K35 CN Toán, khoa
Toán đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình học tập tại lớp.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Đỗ Thị Minh Thu

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

1


Khoa Toán

CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Lời cam đoan
Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy
giáo Trần Minh Tước, cùng với sự cố gắng của bản thân trong quá
trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo một số tác
giả(đã nêu trong mục tài liệu tham khảo).

1.5.1 Định lí Poisson . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Định lí giới hạn địa phương . . . . . .
1.5.3 Định lí giới hạn Moivre-Laplace . . .
1.5.4 Định lí giới hạn trung tâm . . . . . .
2 Ứng dụng của các định lí giới hạn
2.1 Ứng dụng của luật số lớn . . . . .
2.1.1 Bài toán 1 . . . . . . . . .
2.1.2 Bài toán 2 . . . . . . . . .
2.1.3 Bài toán 3 . . . . . . . . .
2.2 Ứng dụng của định lí giới hạn . .
3

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
7
7
9

CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Khoa Toán

2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.2.7
2.2.8
2.2.9

Bài
Bài
Bài
Bài
Bài
Bài
Bài
Bài
Bài

toán
toán
toán
toán
toán
toán

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

30
31
32
33
34
35
35
37
38

4


Khoa Toán

Các định lí giới hạn
1.1

Các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

Giả sử (X1 , X2 , ..., Xn ) là dãy các biến ngẫu nhiên (b.n.n) cùng xác
định trên không gian xác suất cố định (Ω, F, P ).

1.1.1

Hội tụ theo xác suất

Định nghĩa 1.1.1. Dãy (Xn )n≥1 các b.n.n cùng xác định trên không
gian xác suất (Ω, F, P ) được gọi là hội tụ theo xác suất đến b.n.n X
khi n → ∞ nếu ∀ε > 0 thì

lim P (|Xn − X| ≥ ε) = 0.

n→∞
P

Kí hiệu Xn −
→ X.
Khẳng định (Xn )n≥1 hội tụ theo xác suất tới X nghĩa là:

∀ε > 0, ∀n ≥ 1 thì P (|Xn − X| ≥ ε) + P (|Xn − X| < ε) = 1 .
P

→ X ⇔ ∀ε > 0 thì lim P (|Xn − X| < ε) = 1 .
⇒ Xn −

→ 0.

1.1.2

Hội tụ theo bình phương trung bình

Định nghĩa 1.1.2. Ta nói dãy (Xn )n≥1 các b.n.n hội tụ theo bình
phương trung bình tới b.n.n X nếu

lim (E|Xn − X|2 ) = 0.

n→∞

Như vậy khi Xn hội tụ tới X theo nghĩa bình phương trung bình thì
khoảng cách giữa Xn và X lấy " trung bình" sẽ nhỏ tùy ý khi n khá
lớn.
Ví dụ 1.1.2. Cho Xn là b.n.n rời rạc được xác định như sau:

P (Xn = 1) =

1
1
; P (Xn = 2) = 1 − .
n
n

Khi đó, Xn hội tụ tới 2 theo nghĩa bình phương trung bình.
Thật vậy ta có

E(|Xn − 2|2 ) = (1 − 2)2


Khoa Toán

2. Trường hợp (Xn )n≥1 là dãy b.n.n bất kì (liên tục hoặc rời rạc), X
là b.n.n liên tục.
(Xn )n≥1 được gọi là hội tụ theo phân bố tới X nếu ∀ x ∈ R

lim P (Xn < x) = P (X < x)

n→∞
d

Kí hiệu Xn −
→ X.
Mệnh đề 1.1.1.
Nếu

P

Xn −
→X

thì

d

Xn −
→ X.

Chứng minh. ∀ x ∈ R sao cho F(x) liên tục, ∀ε > 0 ta có


n→∞

(2)

8


CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Khoa Toán

Từ (1) & (2) ta có

P (X < x−ε) ≤ lim P {Xn < x} ≤ lim P {Xn < x} ≤ P (X < x+ε)
n→∞

n→∞

⇒ lim P {Xn < x} = P {X < x}.
n→∞
d

hay Xn −
→ X.
Ví dụ 1.1.3. Cho X là b.n.n rời rạc xác định bởi:

P {X = 1} =

1


Như vậy điều ngược lại của mệnh đề 1.1 không đúng.

1.1.4

Hội tụ hầu chắc chắn

Định nghĩa 1.1.4. Cho (Xn )n≥1 được gọi là hội tụ hầu chắc chắn
(h.c.c) đến b.n.n X nếu tồn tại tập A có xác suất 0 sao cho
Xn (ω) −→ X(ω) với ω ∈
/A
Kí hiệu

h.c.c

Xn −−→ X.

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

9


CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Khoa Toán
h.c.c

Định lí 1.1.1. Xn −−→ X khi và chỉ khi, với ε > 0 bất kì

P {sup |Xk − X| > ε} −→ 0, n → ∞.

1.2
1.2.1

Một số bất đẳng thức
Bất đẳng thức Chebyshev

Định lí 1.2.1. Cho X là b.n.n không âm, tức là P (x ≥ 0) = 1 và tồn
tại EX. Khi đó, ∀a > 0 ta có

P (X > a) ≤

EX
.
a

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh cho trường hợp X là b.n.n rời
rạc.
Giả sử C là tập các giá trị của X. Kí hiệu
C1 = {c ∈ C, c ≤ a}
C2 = {c ∈ C, c > a}.
∑
Khi đó EX =
ci P {X = ci }
ci ∈C

=

∑

ci ∈C1


Khoa Toán

EX
.
a
Bây giờ giả sử X là b.n.n liên tục có hàm mật độ f (x).

Suy ra

Ta có

P (X > a) ≤

EX =
≥

∫∞

0
∞
∫

xf (x)dx =

∫a

xf (x)dx +

xf (x)dx ≥ a

ε2

Một cách tương đương ta có với mọi ε > 0

P {|X − µ| ≤ ε} ≥ 1 −

DX
.
ε2

Chứng minh. Xét b.n.n Z = (X − µ)2 .
Khi đó

P {|X − µ| > ε} = P {Z > ε2 } ≤

EZ
E(|X − µ|)2
=
ε2
ε2

DX
.
ε2
Ta thường sử dụng bất đẳng thức Chebyshev dưới dạng hệ quả trên.
Bất đẳng thức Chebyshev và hệ quả của nó có nhiều ứng dụng. Trước
hết nó cho phép ta đánh giá cận trên hoặc cận dưới xác suất để b.n.n
X nhận giá trị sai lệch so với kì vọng EX không quá ε, từ đó lí giải các
sai số trong đo lường vật lí.
=

(c + ε)2
.
DSn

Chứng minh. a)
Kí hiệu A = {max |Sk | ≥ ε}
k≤n

Ak = {ω : |S1 | < ε, ..., Sk−1 < ε, |Sk | ≥ ε}, k = 1, n.
Ta có A =

n
∑

Ak và

ESn2

≥

ESn2 IA

n
∑

=

k=1

ESn2 IAk .

Trên Ak ta có |Sk−1 | ≤ ε , |Sk | ≤ |Sk−1 | + |Xk | ≤ ε + c, nên

ESn2 IA =
=

n
∑
k=1
n
∑
k=1

ESn2 IAk
ESk2 IAk +

≤ (c + ε)2

n
∑

n
∑

E(Sn − Sk )2 IAk

k=1

P (Ak ) + D(Sn )

k=1

(c + ε)2
≥1−
.
D(Sn )

1.3

Hàm đặc trưng

1.3.1

Định nghĩa hàm đặc trưng

Định nghĩa 1.3.1. Hàm số φX (t) := EeitX = Ecos(tX)+i.Esin(tX),
với t ∈ R được gọi là hàm đặc trưng của b.n.n X.
∑
∑
• φX (t) = cos(txn ).pn + i. sin(txn ).pn nếu X là b.n.n rời rạc.
n

• φX (t) =

+∞
∫
−∞

n

cos(tx).fX (x)dx + i.



.

Ví dụ 1.3.2. Cho Z ∼ N(0,1). Tìm φZ (t).
+∞
∫ itZ 1
−Z 2
Ta có φZ (t) = EeitZ =
e . √ .e 2 dz
2π
−∞
+∞
2
∫ 1
−Z 2
−t2
+itZ+ t2
2
√
=
.e
.e 2 dz
2π
−∞
+∞
∫ 1
it √z
−Z
it
−t2

−t2
√ .e 2 .e 2 dz
=
2π
−∞
+∞ 1
t2 ∫
−u2
√ .e 2 dz (Đặt u = z - it).
= e− 2
2π
−∞

=

1.3.2

Tính chất của hàm đặc trưng

1. φX (0) = 1.
2. |φX (t)| ≤ φX (0) = 1.
3. φX (t) là hàm liên tục.
4. φX+d (t) = eitd .φX (t) , d là hằng số.
5. φaX+b (t) = eitb .φX (at) , a, b là hằng số.
6.

∂ n φX (t)
∂tn

t=0


Mệnh đề 1.3.1. Cho X1 , X2 , ..., Xn là các b.n.n độc lập.
n
Khi đó φ ∑

Xi

(t) =

i=1

n
∏

φXi (t).

i=1

n
Chứng minh. Ta có φ ∑

Xi

(t) = Ee

i=1

= Ee

itX1


SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

14


CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Khoa Toán

1.4
1.4.1

Luật số lớn
Định nghĩa hàm đối xứng

Định nghĩa 1.4.1. Hàm n biến f (x1 , x2 , ..., xn ) được gọi là hàm đối
xứng nếu f (x1 , x2 , ..., xn ) = f (xσ1 , xσ2 , ..., xσn ) với mọi σ là hoán vị
của {1, 2, ..., n}.

1.4.2

Luật số lớn dạng yếu

Định nghĩa 1.4.2. Luật yếu số lớn
Cho dãy b.n.n (Xn )n≥1 . Nếu tồn tại dãy số {an }n≥1 và hàm đối
xứng Xn = fn (X1 , X2 , ..., Xn ) thỏa mãn với mỗi ε > 0 cho trước có

lim P (|Xn − an | < ε) = 1


và giả sử các Xi có kì vọng với mọi i an =

Định lí 1.4.1. Định lí Chebyshev
Nếu (Xn )n≥1 là dãy các b.n.n độc lập từng đôi một, có phương sai
hữu hạn và bị chặn bởi cùng một hằng số D(Xk ) ≤ c, ∀k thì với mọi
ε > 0 cho trước, ta luôn có
(
)
n
n
∑
∑
1
1
lim P
Xk −
EXk < ε = 1.
n→∞
n k=1
n k=1

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

15


CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Khoa Toán


Xk −
EXk
n k=1
n k=1
n

n

n
1 ∑
DXk .
n2 k=1

(

n
1 ∑
)
Xk
D
n k=1


(1.4)

k=1

Từ (1.3) & (1.4) ta luôn có
(
)
n
n
1∑
1∑
lim P
Xk −
EXk < ε = 1.
n→∞
n k=1
n k=1
Định lí 1.4.2. Định lí Bernoulli
Gọi X là số lần xảy ra của biến cố A trong n phép thử độc lập đầu
tiên và p là xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử. Khi đó, với
mọi ε > 0 cho trước, luôn có
(
)
X
lim P
− p < ε = 1.
n→∞
n
Chứng minh.


EXk = 0.(1 − p) + 1.p = p
DXk = EXk2 − (EXk )2 = p − p2 = p(1 − p)

Áp dụng BĐT Cauchy
√
p + (1 − p) 1
p(1 − p) ≤
=
2
2
1
⇒ p(1 − p) ≤
4
1
⇒ DXk ≤ , ∀k
4
Do đó (Xk ) đồng thời bị chặn bởi c =
Chebyshev ta có

(

lim P

n→∞

1
nên áp dụng định lí
4


Khi đó, X n =

i=1

n

Chứng minh. Ta có

hội tụ theo xác suất tới µ.
n
1∑
EXi = µ
n i=1
n
c
1 ∑
n.c
DX n = 2
µ 2 = .
n i=1 n
n

EX n =

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

17


CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

k=1

thì với mọi ε > 0 cho trước, luôn có dãy (Xn )n≥1 tuân theo luật yếu
số lớn.
]
[ n
∑
1
Chứng minh. Từ giả thiết
D
Xk −→ 0 ,khi n → ∞
n2
k=1
Theo BĐT Chebyshev
( n
)
1 ∑
(
)
D
Xk
n
n
n k=1
1∑
1∑
P
Xk −
EXk < ε ≥ 1 −
n

∑
∑
1
1
Xk −
EXk < ε ≤ 1
lim P
n→∞
n
n
k=1

(1.5)

(1.6)

k=1

Từ (1.5) & (1.6) ta có
(
)
n
n
∑
∑
1
1
lim P
Xk −
EXk < ε = 1.

Định lí 1.4.5. Bổ đề Kronecker
Giả sử {xn , n ≥ 1} là dãy các số thực và {bn , n ≥ 1} là dãy các số
dương tăng đến +∞.
n
+∞
∑ xn
1 ∑
hội tụ thì
xk −→ 0 khi n → +∞.
Khi đó nếu
bn k=1
k=1 bn

rn =

Chứng minh. Đặt

+∞
∑

xk
k=n+1 bk

;

r0 =

+∞
∑


n−1
∑

k=0

rk (bk+1
k=1
n−1
∑

xk ≤

k=1

k=1

− bk ) + b1 r0 − bn rn

|rk |(bk+1 − bk ) + b1 |r0 | + bn |rn |

k=1

Do rn −→ 0 nên với mọi ε > 0, tồn tại N ∈ N: ∀n ≥ N

|rn | < ε và r = sup |rn | < +∞ . Do đó
n≥1

n
∑
k=1

CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Khoa Toán

Định lí 1.4.6. Định lí Kolmogorov (Luật mạnh số lớn Kolmogorov trường hợp tổng quát)
∞ DX
∑
n
Nếu {Xn , n ≥ 1} là dãy b.n.n độc lập,
< +∞ với
2
n=1 bn
0 < bn ↑ +∞ thì
n
1 ∑
h.c.c
[Xk − EXk ] −−→ 0.
bn k=1
Chứng minh. Với 0 < bn ↑ +∞ , ta có
( )
+∞
+∞
∑
DXn ∑
Xn
< +∞.
=
D
2
b


1∑
h.c.c
Xk −−→ a, ∀a ∈ R
n k=1
n

khi và chỉ khi E|X1 | < +∞ và a = EX1 .
Chứng minh. Giả sử E|X1 | < +∞
Đặt
Vì

Xn′ = Xn .I|Xn |≤n
∞
∑
n=1

P (Xn′′ ̸= 0) =

và X ′′ = Xn − Xn′
∞
∑

P (|Xn | > n) =

n=1

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

∞


= E|X1 | < ∞.
Suy ra

n
1 ∑
h.c.c
Xk′′ −−→ 0
n k=1

(1.8)

Giả sử F(x)là hàm phân phối của X1 . Khi đó
∫n

DXn′ ≤ E(Xn′ )2 =

x2 dF (x)
−n

và

∞ 1 ∫n
∞
∞ 1 ∑
∫
∑
∑
2
x


≤ 2E|X1 |.
)
(
∞ 1
∞
∑
∑
1
1
k
=
(vì k



xdF (x) = EX1 = a

−n

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

21


CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Khoa Toán
n
∑

Như vậy

k=1

Xk′

n

h.c.c

−−→ a

Từ (1.8) & (1.9) ta có



Ngược lại, giả sử

Và do đó với xác suất 1 chỉ có một số hữu hạn các biến cố
{|Xn | > n} xảy ra, suy ra
∞
∑

P {|Xn | > n} =

n=1

∞
∑

P {|X1 | > n} < ∞.

1

Từ đó và (1.7) ta có

E|X1 | ≤

∞
∑

(m + 1)P {m < |X1 | ≤ m + 1} < ∞.

m=0



Ta có P (Xn = k) = Cnk .pkn .(1 − pn )n−k
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

22


CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Khoa Toán

n(n − 1)...(n − k + 1) k
pn (1 − pn )n−k
k!
(
)(
) (
)
(npn )k
1
2
k−1
=
1−
1−
... 1 −
(1−pn )n (1−pn )−k .
k!
n
n

Các thừa số khác có giới hạn 1.

λk −λ
lim P (Xn = k) = e .
n→∞
k!

Vậy

Như vậy với n khá lớn và pn khá bé thì phân bố nhị thức với tham
số (n, pn ) có thể xấp xỉ bởi phân bố Poisson với tham số λ = npn . Xấp
xỉ là tốt nhất khi n > 50 và pn < 0, 1.

1.5.2

Định lí giới hạn địa phương

Định lí 1.5.2. Giả sử X là b.n.n có phân phối nhị thức với tham số
(n, p).
Kí hiệu

pk = P {X = k} = Ckn .pk .q n−k

k − np
xk = √
npq
−x2
1
1
k


1.5.3

CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Định lí giới hạn Moivre-Laplace

Định lí 1.5.3. Giả sử X là b.n.n có phân phối nhị thức với tham số
(n, p)
Xn − np
Đặt Sn = √
npq
Khi đó với mọi x ∈ R

lim P {Sn < x} = P {Z < x}

n→∞

ở đó Z là b.n.n có phân phối chuẩn tắc.
Nói cách khác Sn hội tụ theo phân bố về Z.
Nhận xét:
Kí hiệu X là b.n.n có phân bố chuẩn với kì vọng µ = np, phương sai
σ 2 = npq . Ta có khi n lớn
(
)
(
)
k − np
k − np
P (X < k) = P Sn < √

hiệu chỉnh sau:
Nếu k là số nguyên thì P (X ≥ k) được xấp xỉ bởi P (X > k − 0, 5)
P (X > k) được xấp xỉ bởi P (X > k + 0, 5)
Nếu k1 , k2 là các số nguyên thì
P (k1 ≤ X ≤ k2 ) được xấp xỉ bởi P (k1 − 0, 5 < X < k2 + 0, 5)
SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

24


CÁC ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN VÀ ỨNG DỤNG

Khoa Toán

P (k1 < X < k2 ) được xấp xỉ bởi P (k1 + 0, 5 < X < k2 − 0, 5)
P (k1 ≤ X < k2 ) được xấp xỉ bởi P (k1 − 0, 5 < X < k2 − 0, 5)
P (k1 < X ≤ k2 ) được xấp xỉ bởi P (k1 + 0, 5 < X < k2 + 0, 5).

1.5.4

Định lí giới hạn trung tâm

Định lí 1.5.4. Giả sử (Xn )n≥1 là dãy các b.n.n độc lập có cùng phân
bố với kì vọng EXi = µ và phương sai DXi = σ 2 .

Sn =

Đặt

X1 + X2 + ... + Xn − nµ

n
1∑
1 ∑
Xi − µ
i
DYn = D √
=
D
n i=1 σ
n i=1
σ
n
n
1 ∑
1 ∑ 2
=
DX
=
σ = 1.
i
nσ 2 i=1
nσ 2 i=1
Xi − µ
Đặt Zi =
, i=1,2,...
σ
n
1 ∑
Zi
⇒ Yn = √

φZi

t
√
n

)

φ′Zi (0) t
φ′′Zi (0) t2
t2
=1+
.√ +
. + 0.
1!
n
2! n
n

SV: ĐỖ THỊ MINH THU-K35CNToán

25