Sở GD-ĐT Đăk Lăk
Trường THPT chuyên Nguyễn Du
ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÍ CON NHÍM VÀ ỨNG DỤNG
1. Định lí con nhím :
Phát biểu: cho đa giác lồi A
1
A
2
…A
n
và các vectơ đơn vị e
i
(
1 i n≤ ≤
) theo thứ tự vuông góc với
1i i
A A
+
uuuuur
(xem A
n+1
≡
A
1
), hướng ra phía ngoài đa giác. Lúc đó ta có:
1 2 1 2 3 2 1
... 0
n n
A A e A A e A A e+ + + =
ur uur uur r
Chứng minh:

z
ID
y
a
z
a ID zIB yIC
+
+
= =
+
⇒ = +
uur uur
uur uur
uur
uur uur uur
Tương tự ta có:
bIE xIC zIA
cIF yIA xIB
= +
= +
uur uur uur
uur uur uur

( ) ( ) ( )aID bIE cIF IA y z IB x z IC x y aIA bIB cIC⇒ + + = + + + + + = + +
uur uur uur uur uur uur uur uur uur
Trong một tam giác nếu I là tâm đường tròn nội tiếp thì 0aIA bIB cIC+ + =
uur uur uur r
1
0aID bIE cIF⇒ + + =
uur uur uur r

và (n-1) - giác A
1
A
2
…
A
n-1
, ta có:
1 1 1 1 1
1 2 1 2 3 2 1 1
0
... ( ) 0
n n n n n n
n
A A e A A e A A e
A A e A A e A A e
− − −
−

+ + =


+ + + − =


uuur uur r r
ur uur uuuur r
⇒ A
1
A

≡
A
1
), hướng ra ngoài đa giác và = a
i
a
i+1
thì :
+ +…+ = .( người ta còn gọi các vectơ là các lông nhím).
2. Một số bài tập ứng dụng:
Bài 1: cho
ABCV
. I là tâm đường tròn bàng tiếp
·
ACB
của tam giác. Gọi M; N; P lần lượt là hình
chiếu vuông góc của I lên BC; CA; AB. Chứng minh rằng:
A/ a + b - c =
B/ a + b - c =

Chứng minh:
Xét
ABCV
có
Và hường vào
ABCV
nên ta chọn -.
Áp dụng định lí con nhím cho
ABCV
ta có:

·
BAC
nhọn. Vẽ bên ngoài tam giác các tam giác vuông cân đỉnh A là
ABE và ACD. M là trung điểm BC. Chứng minh rằng AM ⊥ DE
Chứng minh:
Xét
AEDV
có
AB AE
AC AD
⊥


⊥

Gọi vectơ là vectơ đơn vị vuông góc với ED và hướng ra
ngoài
AEDV
.
Áp dụng định lí con nhím vào
AEDV
ta có:
. + . + ED.=
Lại có AD=AC và AB=AE
V
ABE,
V
ACD vuông cân tại
A)
⇒ + + ED.=

ABC không đều. BC là cạnh
nhỏ nhât.đường tròn nội tiếp (I) của tam
giác theo thứ tự tiếp xúc với BC, CA, AB tại X,Y,Z. Gọi G
là trọng tâm của
V
XYZ. Trên tia BA, CA theo thứ tự lấy
các diểm E, F sao cho BE=CF=BC. Chứng minh rằng: IG
⊥ EF.
Chứng minh: không mất tính tổng quát , giả sư r
(I)
=1.
Dựng vectơ đơn vị vuông góc với EF.
Áp dụng định lí con nhím cho tứ giác
◊
EBCF ta có:
EB. + BC. + CE. + EF. =
⇒ BC( + + )= -EF. ⇒ 3BC. = -EF.
4
⇒ = ⇒ cùng phương với .
⇒ IG ⊥ EF
Bài 5: cho
ABCV
vuông tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy các điểm B
1,
C
1
trên AB, AC
sao cho AB.AB
1
=AC.AC

1
AC
1
ta có: +

+ B
1
C
1
=
⇔

. +

. + B
1
C
1
. =
Lại có AB.AB
1
= AC.AC
1
⇒

=


MNC.
Áp dụng định lí con nhím vào

MNC ta có:
. 0
MC NC
BK BC MN e
BK BC
− + + =
uuur uuur r r
Lại có = +
⇒ - - + + MN.=
Mà = = tan
·
ABK
= tan
·
CAD
= = =
5