Khúa lun tt nghip

lời cảm ơn

Trong thi gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em ó nhn
c s quan tâm, to iu kin v vt cht v tinh thn ca các thy
giáo, cô giáo trong t i s nói riêng v khoa Toán trng i hc S
phm H Ni 2 nói chung, s h tr ng viên ca các bn sinh viên. Em
xin trân thnh cám n s giúp đỡ quý báu ny.
c bit, em xin by t lòng bit n sâu sắc n thy giáo, Th.s
Phm Lng Bng ã tn tình hng dn em trong sut thi gian qua
em có th hon thnh khoá lun.
Do thi gian v trình nhn thc còn hn ch, mc dù ã rt c
gng nhng không th tránh khi nhng thiu xót. Vì vy, em kính
mong nhn c s ch bo tận tình của các thy giáo, cô giáo v s
óng góp ý kin ca các bn sinh viên khoá lun ca em có th hon
thin hn na.
Em xin trân thnh cám n!

Hà Nội, tháng 05 nm 2013
Sinh viên

Bùi Th Trang

Bựi Th Trang

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp


2.1. Bi toán 1: Dạng bài toán sử dụng các tính chất của hàm số mũ
logarit ............................................................................................ 7
2.2. Bi toán 2: Dạng bài toán sử dụng đặt ẩn phụ .............................. 15
2.3. Bi toán 3: Dạng bài toán sử dụng phương pháp hàm số ............... 29
2.4. Bài toán 4: Dạng bài toán không mẫu mực .................................. 37
Chương 3: một số dạng bài toán về phương trình,
bất phương trình mũ - logarit có chứa tham số ..... 45
3.1. Bi toán 1: Dạng bài toán có chứa tham số sử dụng các tính chất của
hàm số mũ logarit ....................................................................... 45
3.2. Bi toán 2: Dạng bài toán có chứa tham số sử dụng đặt ẩn phụ ......... 48

Bựi Th Trang

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip
3.3. Bi toán 3: Dạng bài toán có chứa tham số sử dụng tính chất của
hàm số ......................................................................................... 55
3.4. Bài toán 4: Dạng bài toán có chứa tham số không mẫu mực .......... 60
kết luận ............................................................................................. 64
tài liệu tham khảo .............................................................. 65

Bựi Th Trang

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip



Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip
4. i tng v phm vi nghiên cu
* i tng nghiên cu
- Các dng bi toán v phng trình, bất phương trình m - logarit.
- Các dng bi toán v phương trình, bt phương trình m - logarit
có chứa tham số.
* Phm vi nghiên cu
- Chng trình toán ph thông.
5. Phng pháp nghiên cu
- Phng pháp nghiên cu ti liu.
- So sánh, phân tích, tng hp.
- Phng pháp ánh giá.
- Căn cứ vào các phương pháp giải phương trình, bất phương trình
mũ - logarit để phân dạng ra một số dạng bài toán về phương trình, bất
phương trình mũ - logarit.
6. Cu trúc khoá lun
Ngoi li cám n, m u, kt lun, danh mc ti liu tham kho,
khoá lun ca em gm 3 chng:
Chng 1: Kin thc c bn.
Chng 2: Mt s dng bi toán v phng trình, bt phng trình
m - logarit.
Chương 3: Một số dạng bài toán về phương trình, bất phương trình
mũ - logarit có chứa tham số.

Bựi Th Trang



.

Tính n iu:
- a 1: y a x đồng biến trên

.

- 0 a 1: y a x nghch bin trên

.

th hm s m:
- Với a 1 :
y
y = ax

1
O

Bựi Th Trang

x

3

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

x y

a 

 a x. y   a y 

 a x .b x

x

x

Quy ­íc: a 0  1.
1.2. Kiến thức cơ bản về hàm số logarit
1.2.1. Định nghĩa
Hàm số logarit cơ số a ( 0  a  1) là hàm số x¸c định bởi c«ng
thức y  log a x .
dn

Với 0  a  1 và x  0 : log a x  b  a b  x .
a  0

Điều kiện cã nghĩa: log a x cã nghĩa khi: a  1 .
x  0


1.2.2. TÝnh chất
XÐt hàm số y  log a x , ( 0  a  1), ta cã c¸c tÝnh chất sau:

Bùi Thị Trang

- Víi a  1 :
y

yx

y  ax

1
1

O

x

y  log a x
- Víi 0  a  1:
y

y  ax
yx
1
1

O

x

y  log a x

Bùi Thị Trang

log a x

logb x
logb a

log b a.log a x log b x

log a b

1
logb a

log a x

1



log a x

a logb c clogb a

Bựi Th Trang

6

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip


x 1
x

500
1

c)


2 2


d)

3x.2 x 1 72



(1)



x 3 2 x





(2)

x 3

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

 x5
 x  17 
 5.
  7.
2
 x7
 x3 
  x  5  x  3   x  25  x  7 
 16 x  160  x  10
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x  10 .
b) ViÕt l¹i ph­¬ng tr×nh d­íi d¹ng:
x

5 .8

x 1
x

x

 500  5 .2

3.

x3
log 2 2  0
x
x  3
1

  x  3  log 2 5    0  
1
x  
  log5 2
x

log 2 5

  x  3 log 2 5 

VËy ph­¬ng tr×nh cã cã hai nghiÖm lµ: x  3; x   log 5 2 .
c) §iÒu kiÖn: x  0; x  1.
BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh ta ®­îc:





x 1

3

2





2

x 1



x 1

 2x  5 x  3  0  x  3  x  9

VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x  9 .
d) §iÒu kiÖn: x  1 .
LÊy lg hai vÕ ta ®­îc:
x 1

lg(3x.2 x 1 )  lg 72  x lg 3 

Bùi Thị Trang

x 1
lg 2  lg 72
x 1

8

Lớp: K35C - Sp Toán



c)

log 2 x log 4 x log8 x 11



2x 1 1

Giải:
a) Biến đổi phương trình về dạng:
log 3 2 x 3 x 2 2 log 3 2 x 2 0
2 x 2 0
x 1


3
3
2
2
x x x 2 2 2 0 (1)
2 x x 2 2 x 2

Giải (1) với nhận xét rằng:



a.c 3 1. 2

3


Bựi Th Trang

9

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp
b) §iÒu kiÖn:
x  0

 x  0.
2 x  1  0

 2x  1  1  0

Ph­¬ng tr×nh ®­îc viÕt l¹i d­íi d¹ng:
2

1

2  log 3 x   log 3 x.log 2 x  1  1
2

1
 log 32 x  log 3 x.log 2 x  1  1
2



x 1

2x  1 1  0
 x  2x  1  2 2x  1  1



x  0
x 1


  x  1
 2 2 x  1  x  2   4(2 x  1)  x  2 2


 
x  0
x  0


  x  1
  x  1 .
 x2  4x  0
 x  4



VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ x  1; x  4 .
c) §iÒu kiÖn: x > 0.
ViÕt l¹i ph­¬ng tr×nh d­íi d¹ng:




x 3
x 1





10 3



x 1
x 3

2

b)

49.2 x 16.7 x

c)

log x 3x 1 log x x 2 1

d)

2lg 5 x 1 lg 5 x 1


10 3



x 3
x 1





10 3





x 1
x 3





10 3



x 3 x 1

4

7 x 2

Lấy logarit cơ số 2 hai vế bất phương trình, ta được:

log 2 2 x

2

4

log 2 7 x 2 x 2 4 x 2 log 2 7

f ( x) x 2 x log 2 7 2log 2 7 4 0
2

Ta có: log 22 7 8log 2 7 16 log 2 7 4 4 log 2 7

Bựi Th Trang

11

2

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp
Suy ra f  x   0 cã nghiÖm:


3
x

1

0


3
 0  3 x  1  x 2  1   2

  x  3 x  2  0
  x  2  x  1

1  x  2
 1
  x 1
3
1 
VËy bÊt ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x   ,2  / 1.
3 

d) §iÒu kiÖn:
x 1  0
 1  x  5.

5  x  0

BiÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng bÊt ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

Giải:
Phương trình được biến đổi về dạng:
x 1

x 0

2 x 1 3
1 (1)

x 2 x 1 x 3 4 x 1

Giải (1) bằng cách nhân liên hợp ta được:
x 2 x 1 x 3 4 x 1 1



2







x 1 1 2 x 1

x 1 1




3

x2 2 x

3 x2

8

Giải:
Điều kiện:

x2 3 0 x 3
Với điều kiện trên bất phương trình có dạng:

x 2 3

x2 2 x

8

x 2 3 x 2 3 1 x 2 2 x 8 0

Bựi Th Trang

13

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip

x 2 0 x 2 (1)
x 58 0
x2 4x 4 0


Khi đó phương trình có dạng:

1
2
lg x3 8 lg x 58 lg x 2
2
lg x3 8 lg x 58 lg x 2
(1)

lg x3 8 lg x 58 x 2
x 3 8 x 58 x 2
x 2 2 x 4 x 58
x 9
x 2 3 x 54 0
x 6 (l )

Vậy phương trình có nghiệm x 9 .

Bựi Th Trang

14

Lp: K35C - Sp Toỏn




c)

4x

d)

22 x 2 x 6 6

e)

9 x x 2 3 3x 2 x 2 0

52 6

2

x2 2

3 x 2



5.2 x1
4x

2

6 x 5



x

52 6

,t 0

Phương trình trở thành:
1
t 10 t 2 10t 1 0 t 5 2 6
t

Bựi Th Trang

15

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip



t 52 6 52 6



t 52 6 52 6

x

2
t t 6 0 2t 5t 12 0 3
t (l )
2

2
2

Từ đó dẫn đến phương trình cơ bản sau:
2 x

x2 2

4 x x2 2 2 x2 2 2 x

2 x 2
3
2
x
2
2
x 2 4 4 x x

Vậy phương trình có nghiệm là x

3
.
2

c) Viết lại phương trình dưới dạng:

, u, v 0
Đặt
x2 6 x5
v 4

Khi đó phương trình tương đương với:

u v uv 1 u 1 v 1 0
x 1
x 2
1 x 3x 2 0
u 1 4

2
2

x

6
x

5
x 1
v 1 4
1 x 6x 5 0

x 5
x 2 3 x 2

2

u2 u 6 0
2 x 3 x log 2 3
u 2 (l )

- Với u v 1 0 , ta được:

1 21
u
1 21
2
u2 u 5 0
x log 2
2

1 21
u

(
l
)


2

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x log 2 3 ; x log 2
2

1 21
.
2

2

VT 1 VT 1 3x 1


x0

VP 1 VP 1 1 x 2 1
Vậy phương trình có 3 nghiệm là: x log 3 2; x 0 .
Bài 2. Giải bất phương trình mũ:
x

5

b)

9 x 2 x 5 3x 9 2 x 1 0

c)
d)



21 5 21



x

a)

x

x

5 21
5 21 1
t
,(t 0)

2
2



t

Khi đó bất phương trình có dạng:
1
5 21
5 21
t 5 t 2 5t 1 0
t
t
2
2

Bựi Th Trang

18


3x 9
t 9 0
x

3 2 x 1
t 2 x 1 0



t 9 0
3x 9



3x 2 x 1
t 2 x 1 0


x 2


bernouli
x 0 x 1


x 2

0 x 1

x 2

 u  v   2u  2v
u  v  0

 u  v  5x  1  5x  3
2
 u  v   0
5x  3  0
5x  3

  2x
x
x
x
 5  1  5  3 5  7.5  10  0
t  5 x  3
 2
 t  5  5x  5  x  1
t  7t  10  0

VËy bÊt ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x  1.
d) §iÒu kiÖn: 2 x  1  0  x 

1
.
2

ViÕt l¹i bÊt ph­¬ng tr×nh d­íi d¹ng:

2 x  2 x  1  2.22 x  2  2 x  1
x

bernouli

 1
  1
VËy bÊt ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x   ,   \ 0,  .
2
  2

Bùi Thị Trang

20

Lớp: K35C - Sp Toán


Khúa lun tt nghip
Bài 3. Giải các phương trình sau:









a)

log 2 x x 2 1 .log 3 x x 2 1 log 6 x x 2 1



x



2



2





2

2

x 1 x x 1 1 x x 1 x x 1



1

Khi đó bất phương trình được viết lại dưới dạng:



log 2 x x 2 1


Sử dụng phép đổi cơ số:


log x



x 1 log 6.log x


x 1

log 2 x x 2 1 log 2 6.log 6 x x 2 1
3

2

3

2

6

Khi đó phương trình được viết lại dưới dạng: