Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

MỤC LỤC
Mở đầu……………………………………………………………

1

1. Lí do chọn đề tài …………………………………………………

1

2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………………………… 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu………………………………… 2
5. Phương Pháp nghiên cứu………………………………………….. 2
Nội dung……………………………………………………………… 3
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn……………………………… 3
1.1. Cơ sở lí luận……………………………………………….... 3
1.1.1. Dạy học giải bài tập……………………………………… 3
1.1.1.1. Khái niệm….………………………………………… 3
1.1.1.2. Vai trò của bài tập toán học………………………… 3
1.1.1.3. Các yêu cầu đối với lời giải………………………… 5
1.1.1.4. Dạy học phương pháp chung để giải bài toán……… 6
1.1.1.5. Khai thác bài toán …………………………………

14

1.1.2. Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh……………………………………………………………… 14

24

2.2.3. Phương pháp cộng đại số……………………………… 25
2.2.4. Phương pháp đặt ẩn phụ……………………………….

27

2.2.5. Phương pháp đưa về dạng tích………………………… 30
2.2.6. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số………. 32
2.3. Các dạng hệ phương trình…………………………………

33

2.3.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn………………………

33

2.3.2. Hệ đối xứng loại (kiểu) I………………………………

35

2.3.3. Hệ phương trình đối xứng loại II…………………………42
2.3.4. Hệ phương trình đẳng cấp………………………………...49
.

2.4. Hệ thống các bài tập vận dụng……………………………….53

Kết luận………………………………………………………………..63
Tài liệu tham khảo…………………………………………………....65


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng khóa luận này là kết quả nghiên cứu tìm tòi
của riêng tôi và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học và tham
khảo các tài liệu. Kết quả nghiên cứu này không hoàn toàn trùng với bất
cứ công trình nghiên cứu nào từng được công bố.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Đỗ Văn Lễ

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong thời đại khoa học kỹ thuật hiện nay, lượng tri thức (đặc biệt là
tri thức toán học) phải tiếp thu khi ngồi trên ghế nhà trường ngày càng
nhiều, đòi hỏi học sinh phải tư duy tích cực sáng tạo. Có như vậy mới
đáp ứng được yêu cầu của nền giáo dục là đào tạo học sinh thành những
người có kiến thức vững vàng, những người lao động mới xây dựng đất
nước Việt Nam Xã Hội Chủ Nghĩa, văn minh, giàu mạnh.
Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chương
trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào
lớp 10, thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng. Mặc dù học sinh

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Hệ thống hóa các dạng toán và các phương pháp giải tương ứng về hệ
phương trình, xây dựng hệ thống bài tập về hệ phương trình cho lớp 10
nhằm nâng cao chất lượng và hiệu quả của công việc dạy học toán ở phổ
thông .
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Tìm hiểu cơ sở lí luận về việc hướng dẫn học sinh giải các bài tập toán.
- Tìm hiểu mục tiêu và nội dung dạy học hệ phương trình trong sách giáo
khoa lớp 10.
- Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về hệ phương trình cho học sinh:
Hệ thống những kiến thức cơ bản các phương pháp giải bài tập về hệ
phương trình, xây dựng hệ thống bài tập về hệ phương trình.
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng: Hệ phương trình
- Phạm vi nghiên cứu: Đại số 10 nâng cao
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu lí luận
- Quan sát điều tra
- Tổng kết kinh nhiệm

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

2


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

NỘI DUNG


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường
phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động
đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập thể hiện chức
năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn
Toán, cụ thể là:
 Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào
thực tiễn.
 Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
 Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những
phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là
giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương
tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào
đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.
Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá
mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên
cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài
tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và
bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo được thực hiện độ
lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý
khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi
động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra. Đặc biệt là

(iii) Lời giải đầy đủ
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không bỏ xót một trường hợp, một
chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là giải phương trình không được thiếu
nghiệm, phân chia trường hợp không thiếu một khả năng ……
(iv) Ngôn ngữ chính xác
Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ
môn. Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

5


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp
các yếu tố (chữ ,số, hình, kí hiệu…) trong lời giải.
(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
Ngoài các yêu cầu từ (i)-(v), cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều
cách giải cho cùng một bài toán, phân tích so sánh những cách giải khác
nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các lời giải đã tìm
được.
(vii) Nghiên cứu lời giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật
ngược vấn đề.
Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii), (iv) là các yêu cầu cơ bản (v) là yêu cầu về
mặt trình bày, còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao.
1.1.1.4. Dạy học phương pháp chung để giải bài toán

riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán có liên quan,
sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh
phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích..v.v..
 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiên hoặc
đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số
tri thức có liên quan….
 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách
giải hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bược theo một trình tự thích hợp và thực hiện các
bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược
vấn đề.
Sau đây là ví dụ minh họa.
Ví dụ. Chứng minh rằng các tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì
nằm trong một tam giác đều tới ba cạnh của tam giác đó là một hằng số
Ta có hình minh họa sau:

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

7


Khóa luận tốt nghiệp
p

Khoa Toán

độ dài của đường
ng cao h của tam
giác đều đãã cho (chú ý rằng
r
trong một tam giác, ba đường
ng cao có độ
đ dài
bằng
ng nhau ). Bài toán trở thành chứng minh rằng
ng MH+MI+MK = h.
Để chứng
ng minh tổng
t
MH+MI+MK = h, người ta thường
ng ngh
nghĩ tới sắp
đặt ba đoạn thẳng
ng này liên tiếp
ti trên một đường thẳng
ng nào đó để
đ tạo thành
một đoạn thẳng có độ
ộ dài h. Nhứng vị trí thay đổi củaa ba đo
đoạn thẳng này
tren hình vẽ khi M di chuyển
chuy trong tam giác ABC cho thấấy điều đó khó
thực hiện đối vớii bài toán này.

Đỗ Văn Lễ - Lớp
p K35 C

2
1
1
hay a(MH + MI + MK) = a.h
2
2

Do đó: MH+MI+MK = h
Để kiểm tra lờii giải,
gi trước hết ta thử lại hằng số MH+MI+MK ở một
vị trí đặc biệtt khác, chẳng
ch
hạn lấy M là giao điểm củaa 3 đư
đường cao, đồng
thời là 3 trung tuyến
n ccủa tam giác đều
Khi đó MH = MI = MK =

1
h , do đó MH+MI+MK = h.
3

Mặt khác, có thể trả lời bằng cách già soát lại từng
ng mắt
m xích chứng
minh.
Bước 3: Trình bày lờ
ời giải

Đỗ Văn Lễ - Lớp

lấy M ở bất kì vị trí nào trong tam giác .
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Từ bài toán trong ví dụ này có thể phát biểu và giải những bài toán khái
quát hoặc mở rộng sau đây:
(i) Mở rộng ra trường hợp tam giác đều: Chứng minh rằng tổng khoảng
cách từ một điểm bất kì nằm trong một đa giác đều tới các cạnh của đa
giác đó là một hằng số.
(ii) Mở rộng ra trường hợp đa giác lồi có các cạnh bằng nhau: Phân tích
kĩ lời giải, ta thấy kết quả trên không đòi hỏi đa giác bắt buộc phải là đa
giác đều, và bài toán trên có thể mở rộng cho trường hợp đa giác lồi cạnh
bằng nhau.
(iii) Mở rộng ra trường hợp tứ diện đều: Chứng minh rằng tổng các
khoảng cách từ một điểm bất kì nằm trong một tứ diện đều tới các mặt
của tứ diện đó là hằng số.
b. Bản gợi ý áp dụng phương pháp chung giải toán
Trong quá trình dạy học phương pháp chung giải toán cần có những
gợi ý để thầy hỗ trợ cho trò và để trò tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời
giải. Sau đây là một bản gợi ý, về căn bản dựa theo Polya (1975), có điều

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

10


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

chỉnh cho phù hợp cới cấu trúc phương pháp chung được trình bày trong
mục a:

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ ra
các điều kiện khác có thể giúp bạn xác định cái cần tìm hay
không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu
cần thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần
nhau hơn không ?
 Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều
kiện hay chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán
chưa?
 Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy
mỗi bước đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải
bài toán hay không ?
 Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực
tiếp ngay kết quả không?
 Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để
tìm ra lời giải ngắn gọn và hợp lý nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
 Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ở
bước 2.
 Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán
phát hiện, những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những
chỗ cần thiết .
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán
tương tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác hay
không ?


qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể .Từ phương pháp chung giải toán
đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi
lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo.
” Tìm được cách giải một bài toán là một pháp minh’ (Poolya 1975).

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

13


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

1.1.1.5. Khai thác bài toán
- Mục tiêu :
+ Khai thác bài toán giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của
bài toán, tạo cho các em phong cách học tập chủ động và sáng
tạo.
+ Từ việc khai thác và phát triển bài toán sẽ có nhiều bài toán hay
được hình thành, góp phần làm cho kho tàng toán học ngày càng
phong phú.
- Nội dung :
Một số phương pháp khai thác bài toán:
 Tìm nhiều cách giải cho một bài toán
 Phát triển hệ thống bài toán:
+ Tìm bài toán tương tự bài toán đã biết
+ Xây dựng hệ thống bài toán dự trên việc xét bài toán đảo.
1.1.2. Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh

không nắm vừng kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, không trở
thành cơ sở của kỹ năng. Muốn hình thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ
năng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học
sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng
tạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận
dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện nguyên lý của nhà trường phổ
thông là: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất,
nhà trường gắn liền với xã hội”.
- “Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để
giải các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh)” [4, tr.12].
- Để thực hiện tốt môn toán ở trong trường trung học phổ thông, một
trong những yêu cầu được đặt ra là:
“Về tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc
biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng.
Chẳng hạn: tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình,
tri thức và kỹ năng chúng minh toán học, kỹ năng hoạt động và tư duy
hàm...” [11, tr.41].
Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có nhừng yêu

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

15


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau.
1.1.2.2. Một số kĩ năng thường sử dụng khi giải bài tập toán


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Ví dụ. Tìm công thức tính sin3x theo những hàm số lượng giác của
đối số x.
Giải
Đầu tiên, hoạt động phân tích làm biến đổi sin3x thành sin(2x+x).Sự
phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức sin3x với
công thức sin(a+b)= sina.cosb + sinb.cosa.
Việc khớp trường hợp riêng sin(2x+x) vào biểu thức tổng quát sin(a+b)
là một sự khái quát hóa; việc này thể hiện nhờ trừu tượng hóa, nêu bật
các đặc điểm bản chất “hàm số sin”, “đối số có dạng tổng hai số” và
tách chúng những đặc điểm không bản chất như “ một số hạng của tổng
gấp đôi số hạng kia”. Tiếp theo khái quát hóa là việc đặc biệt hóa công
thức sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa cho trường hợp: a= 2x, b= x, để đi
đến công thức: sin(2x+x)= sin2x.cosx+ sinx.cos2x. Hoạt động phân tích
lại diễn ra khi tách riêng sin2x và cos2x trong công thức biến đổi thành:
sin2x = 2sinx.cosx; cos2x = cos2x-sin2x. Từ đó dẫn tới biến đổi vế phải
thành 3sinx.cos2x- sin3x.
Cuối cùng việc liên kết biểu thức xuất phát sin3x với kết quả biến đổi
3sinx.cos2x - sin3x là một sự tổng hợp dẫn tới:
sin3x = 3sinx.cos2x – sin3x.
Quá trình tư duy vừa trình bày có thể minh họa bằng sơ đồ (hình 1)
Các hoạt động vừa phân tích ở trên thật ra mới có ở dạng tiềm năng.
Nếu người thầy giáo có ý thức phát triển năng lực trí tuệ chung cho học
sinh thì ở những lúc thích hợp có thể kích thích việc thực hiện những
hoạt động này bằng những câu gợi ý như:
 Hãy viết sin3x dưới dạng thích hợp với một số công thức biến đổi

vì vậy mà học sinh cũng đã nắm được một lượng kiến thức nhất định về
hệ phương trình nên khi bước vào học các em không bị bỡ ngỡ.
- Ngày nay công nghệ thông tin ngày càng phát triển vì vậy mà
nguồn tài liệu về hệ phương trình khá phong phú và đa dạng vậy nên học
sinh có thể tự sưu tầm và tự học về hệ phương trình một cách chủ động.
* Khó khăn:
- Lượng kiến thức về hệ phương trình trong sách giáo khoa khá
đơn giản chưa được cặn kẽ toàn diện về hệ phương trình.
- Thời lượng trên lớp cũng tương đối hạn hẹp chính vì vậy mà
lượng kiến thức về hệ phương trình giáo viên muốn bổ sung cũng không
được nhiều và chi tiết.
- Do tài liệu về hệ phương trình khá phong phú và từ nhiều
nguồn nên các em cũng gặp khó khăn có thể phân loại lựa chọn những
kiến thức nào cần thiết và kiến thức nào không cần thiết.
Vì vậy cần có những cách giúp các em hệ thống hóa kiến thức một
cách khoa học hợp lí và để các em rèn luyện thành thục về hệ phương
trình giúp các em hình thành kĩ năng và biến nó trở thành mảng kiến
thức bền vững của các em để phục vụ cho sau này khi cần dùng là có
ngay.


1 
 3x 1 
2
x

y





1 
1 

 x  y 

1  1  
 x  y 



 1
2
4 2
2 2


 1 (1)
2 

3x
7y
7y

 3x


4 2
2
2

 3x

 y  6x
1
8
1
2
2
 

 7 y  38xy  24 x  0  
y   4 x
3x 7 y x  y
7

Trường hợp 1. y  6x thế vào phương trình (1) ta được

1
2
11  4 7
22  8 7

1 x 
y
21
7
3x
21x
4
Trường hợp 2. y   x không xảy ra do x  0, y  0 .


a
n
m
px  qy
bx
c
n
m
px  qy
dy

a  b  m
 m  n  2a

(2) .
Hệ phương trình có dạng 
a  b  n
m  n  2b
Cách giải
Dấu hiệu nhận ra dạng bài thông qua hệ số a, b dựa vào (2)
+ Xét điều kiện của x, y ta sẽ chỉ ra x>0 , y>0.
+ Ta chuyển bài toán về dạng tổng quát. Chia các vế của 2 phương
trình của hệ phương trình cho các căn thức để chuyển về dạng tổng quát.
Tiếp theo đó ta thực hiện cộng và trừ 2 vế của 2 phương trình của hệ để
hình thành hệ mới. Rồi nhân vế với vế của 2 phương trình mới ta sẽ lập
được phương trình đẳng cấp bậc 2 từ đấy ta suy ra được mối quan hệ
giữa x, y.
+ Cuối cùng thay y theo x vào 1 trong những phương trình trong hệ
mới tìm được ta sẽ tìm được x, y.