ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THANH KHUYÊN

CHUỖI FOURIER VÀ
CÁC LOẠI HỘI TỤ CỦA NÓ
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI- 2014


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Chuỗi Fourier
1.1

1.2

5

Mở đầu về giải tích Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5


Chuỗi Fourier và khai trển hàm thành chuỗi Fourier .

22

1.2.2

Tính duy nhất của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . .

25

2 Hội tụ của chuỗi Fourier
2.1

3

30

Hội tụ điểm của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1.1

Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1.2

Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier . .


2.2

1


2.5

Hiện tượng Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.5.1

Ví dụ về hiện tượng Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.5.2

Hiện tượng Gibbs của các hàm tổng quát . . . . . . .

70

2.5.3

Khắc phục hiện tượng Gibbs . . . . . . . . . . . . . .

77


nghĩa bình phương khả tích thông qua các xác định một không gian vecto với
tích trong và chuẩn tương ứng, và về sự hội tụ đều của chuỗi Fourier. Cuối
cùng ta sẽ nêu ra hiện tượng Gibbs của các hàm có điểm gián đoạn và cách
khắc phục.
Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn
3


Minh Tuấn. Toàn thể ban lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà nội đã
giúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học
một cách tốt đẹp. Các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiện
thuận lợi giúp tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập.
Các thầy và các bạn trong seminar Toán Giải Tích về những góp ý để tôi có
thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp quý giá
ấy.
Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các
bạn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Đỗ Thanh Khuyên

4


Chương 1

Chuỗi Fourier
Trong chương này, luận văn sẽ nhắc lại một số bài toán phương trình đạo
hàm riêng tiêu biểu và phương pháp tìm nghiệm của chúng. Trong quá trình
này sẽ xuất hiện một vài điều thú vị, khơi nguồn cho sự phát triển của giải

∂ x1 ...∂ kn xn

(1.1)

Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm riêng
của hàm u có mặt trong phương trình (1.1).
Ví dụ 1.1.1. • Phương trình cấp một của hàm hai biến
F (x, y, u,

∂u ∂u
,
) = 0.
∂x ∂y

• Phương trình cấp hai của hàm hai biến
F (x, y, u,

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u
,
,
,
,
) = 0.
∂x ∂y ∂x2 ∂xy ∂y 2

Định nghĩa 1.1.2. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là phương trình
đạo hàm riêng tuyến tính đối với ẩn hàm và tất cả các đạo hàm riêng của nó.
Ví dụ 1.1.2.
a(x, y)


(1.2)

Trong luận văn, chúng ta sẽ chỉ đề cập tới các phương trình đạo hàm riêng
tuyến tính cấp hai dạng (1.2). Đối với phương trình này, ta sẽ nghiên cứu cụ
thể về phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt trong R2 . Đây
là các phương trình đạo hàm riêng mà ta thường gặp trong lý thuyết và thực
tế.
6


Định nghĩa 1.1.3 (Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp
hai). Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai (1.2) và điểm (x0 , y0 )
bất kỳ trong tập E nào đó thuộc R2 .
• Phương trình (1.2) thuộc loại phương trình elliptic nếu
b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0 )c(x0 , y0 ) < 0.
• Phương trình (1.2) thuộc loại phương trình hyperbolic nếu
b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0 )c(x0 , y0 ) > 0.
• Phương trình (1.2) thuộc loại phương trình parabolic nếu
b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0 )c(x0 , y0 ) = 0.

1.1.2

Phương trình truyền sóng

Để đơn giản trong việc tính toán, trong phần này chúng ta sẽ chỉ đề cập
tới phương trình dao động của dây trong trường hợp một chiều.
a. Phương trình dao động của sợi dây
Nghiên cứu sự chuyển động của một sợi dây căng thẳng theo chiều của
trục Ox. Nhờ một tác động nào đó làm cho sợi dây dao động trong mặt phẳng
thẳng đứng. Ta coi mỗi điểm của dây dịch chuyển thẳng góc với trục Ox và

trong đó T là lực căng

của sợi dây và ρ là mật độ phân bố vật chất theo chiều dài sợi dây.
b. Công thức nghiệm của phương trình truyền sóng
Nghiên cứu nghiệm của phương trình dao động của sợi dây ở phần trên
ta đã xét.
Bài toán Cauchy đối với phương trình
2
∂2u
2∂ u
=
a
,
∂t2
∂x2

−∞ < x < +∞

(1.3)

thỏa mãn các điều kiện ban đầu:
u(x, 0) = f (x),

(1.4)

ut (x, 0) = g(x).

(1.5)

Ta sẽ xây dựng công thức nghiệm cho bài toán này.

2
+
).
∂t2
∂ξ 2
∂ξ∂η
∂η 2

Thế vào (1.3) ta được
∂2u
= 0.
∂ξ∂η
8


Lấy tích phân hai lần ta được
u(ξ, η) = F (ξ) + G(η),
hay nghiệm của phương trình truyền sóng là
u(x, t) = F (x + at) + G(x − at).
Kết hợp với (1.4) và (1.5) ta có


F (x) + G(x) = u(x, 0) = f (x)

aF (x) − aG (x) = ut (x, 0) = g(x).
Lấy đạo hàm phương trình thứ nhất, sau đó nhân hai vế với a, ta thu được


aF (x) + aG (x) = af (x)


0
x

g(y)dy] + C2 ,
0

trong đó, C1 , C2 là các hằng số.
Theo trên ta có F (x) + G(x) = f (x) nên C1 + C2 = 0.
Do đó, nghiệm của bài toán truyền sóng (1.3) với các điều kiện ban đầu
(1.4), (1.5) có dạng
u(x, t) =

1
1
(f (x + at) + f (x − at)) +
2
2a
9

x+at

g(y)dy.
x−at

(1.6)


Công thức nghiệm trên được gọi là công thức D’Alembert.
Ngoài ra, ta có thể sử dụng phương pháp tách biến để tìm nghiệm của
bài toán trên.

(1.7)


X (x) + λX(x) = 0.
Từ điều kiện ban đầu (1.4)-(1.5)


u(x, 0) = X(x)T (0) = f (x)

ut (x, 0) = X(x)T (0) = g(x).
Do sợi dây được gắn cố định hai đầu nên ta có
u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0,
10

(1.8)


hay


X(0)T (t) = 0

X(L)T (t) = 0.
Do T (t) = 0 nên ta được
X(0) = X(L) = 0.

(1.9)

X (x) + λX(x) = 0.


Mặt khác, kết hợp (1.9) thì có C1 = C2 = 0 hay u(x, t) là nghiệm tầm
thường.
• λ = 0: phương trình trở thành X (x) = 0. Do đó phương trình có
nghiệm tổng quát
X(x) = ax + b,

a, b là các hằng số.

Kết hợp với (1.9) ta được a = b = 0 hay u(x, t) là nghiệm tầm thường.
• λ > 0: phương trình có nghiệm tổng quát
√
√
X(x) = C cos( λx) + D sin( λx),

C, D − hằng số,

khi đó
X(0) = C = 0
√
X(L) = D sin( λL) = 0.
11


Để phương trình (1.10) có nghiệm không tầm thường thì D = 0. Khi đó,
√
√
sin λL = 0 hay λL = nπ.
Từ đó, phương trình (1.10) có các giá trị riêng λn =
Xn (x) = Dn sin


(1.11)

Vậy, các nghiệm riêng của bài toán dao động sợi dây của ta là
un (x, t) = X(x)T (t) = Dn sin

nπx
nπa
nπa
(En cos
t + Fn sin
t).
L
L
L

Ta biết rằng phương trình truyền sóng là tuyến tính, tức nếu u, v là nghiệm
của phương trình truyền sóng thì với mọi hằng số α, β ta có αu + βv cũng
là nghiệm của phương trình. Do đó ta có thể xây dựng nghiệm của bài toán
(1.3) bằng nguyên lý chồng nghiệm - lấy tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng
un .
Đặt An = Dn En và Bn = Dn Fn , thì
un (x, t) = (An cos

nπat
nπat
nπx
+ Bn sin
) sin
.
L


chuỗi trong biểu thức (1.13) có các số hạng khả vi. Khi đó thay vào biểu thức
(1.4) và (1.5) ta được
∞

u(x, 0) =

An sin
n=1
∞

ut (x, 0) =

nπx
L

= f (x),

nπa
nπx
Bn sin
L
L
n=1

= g(x).

Vậy các hàm f (x) và g(x) của ta phải có điều kiện gì để ta có các hệ số An
và Bn sao cho


mπx
dx =
f (x) sin
L

An sin
0

n=1

∞

L

=

An
n=1

sin
0

nπx
mπx
sin
dx
L
L
nπx
mπx


f (x) sin
0

mπx
Am L
dx =
.
L
2

Hay
Am =

2
L

L

f (x) sin
0

13

mπx
dx.
L


Tương tự

∂2u ∂2u ∂2u
∂u
= a2 ( 2 + 2 + 2 ) = a2 (uxx + uyy + uzz ),
∂t
∂x
∂y
∂z

(1.15)

trong đó
• u = u(x, y, z, t) là hàm nhiệt độ;
•

∂u
∂t

là mức độ thay đổi của nhiệt tại một điểm nào đó theo thời gian;

• uxx , uyy , uzz là các đạo hàm cấp hai (lưu chuyển nhiệt) của nhiệt độ
theo hướng x, y, z;
• a là hệ số phụ thuộc vào độ dẫn nhiệt, mật độ và dung tích nhiệt của
vật liệu.
Phương trình (1.15) được gọi là phương trình truyền nhiệt của vật thể, và nó
thuộc phương trình parabolic.
14


Nếu chúng ta chỉ xét sự truyền nhiệt trong một thanh dài,nhỏ (trường
hợp một chiều) và không có sự trao đổi nhiệt giữa thanh này và môi trường

u(0, t) = u(L, t) = 0,

t > 0.

Giả sử chúng ta tìm nghiệm của (1.16) không phải là nghiệm tầm thường và
thỏa mãn các điều kiện biên (1.17) theo phương pháp tách biến, tức là
u(x, t) = X(x)T (t).
Khi đó, để T (t) không tầm thường thì từ (1.17)


X(0)T (t) = 0
⇒ X(0) = X(L) = 0.

X(L)T (t) = 0

(1.18)

(1.19)

Thay thế u vào phương trình (1.16),
T (t)
X (x)
=
.
a2 T (t)
X(x)
Bởi vì vế phải phụ thuộc vào x và vế trái chỉ phụ thuộc vào t, nên cả 2 về
phải bằng một hằng số −λ nào đó. Do vậy
T (t) = −λa2 T (t),
15

X(x) = Bx + C.
Từ (1.19) ta kết luận cũng giống như trường hợp trên là u bằng 0 mọi
nơi.
Do đó, ta phải có λ > 0. Có các số thực A, B, C sao cho
2

và

T (t) = Ae−λa t ,

(1.22)

√
√
X(x) = B sin( λx) + C cos( λx).

(1.23)

√
Từ (1.19) ta có C = 0 và B sin( λL) = 0. Để bài toán có nghiệm không tầm
thường thì B = 0. Do λ > 0 nên tất cả các giá trị của λ để phương trình
(1.23) có nghiệm không tầm thường được cho bởi công thức λn =

π 2 n2
L2 ,

n = 1, 2, . . .
Các giá trị riêng này tương ứng với các hàm riêng Xn = Dn sin nπx
L .
16


En sin
n=1

nπx − n2 π22a2 t
L
e
.
L

(1.24)

và ta đi xác định hệ số En sao cho chuỗi trên là nghiệm của bài toán hỗn hợp
đã cho. Nếu chuỗi ở trên là nghiệm của phương trình truyền nhiệt thì
∞

En sin

u(x, 0) = f (x) =
n=1

nπx
.
L

(1.25)

Tương tự như khi xét phương trình truyền sóng, ta cũng xác định được
2
En =


= 0. Vậy, phương

trình truyền nhiệt lúc này có dạng
∂2u ∂2u
+ 2 =0
∂x2
∂y
17

(1.27)


Định nghĩa 1.1.4. Trong không gian hai chiều, bài toán tìm một hàm thực
u(x, y) khả vi hai lần sao cho
∂2u ∂2u
+ 2 = 0.
∂x2
∂y

(1.28)

Phương trình dạng (1.28) được gọi là phương trình Laplace.
Phương trình trên còn được viết tổng quát lại là ∆u = 0. Trong đó:
• ∆u: toán tử Laplace hay Laplacian,
• u thỏa mãn phương trình (1.28) được gọi là hàm điều hòa.
Dễ thấy, phương trình Laplace thuộc loại phương trình đạo hàm riêng elliptic.
Bây giờ ta xét hình tròn đơn vị trong mặt
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1},
có biên là đường tròn đơn vị C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}.


Trong hệ tọa độ cực, phương trình Laplace có dạng
∂ 2 u 1 ∂u
1 ∂2u
∆u =
+
+ 2 2 = 0.
∂r2
r ∂r
r ∂θ

(1.30)

Ta dùng phương pháp tách biến để tìm nghiệm của bài toán Dirichlet này.
Nghiệm bài toán dạng
u(r, θ) = R(r)Θ(θ).

(1.31)

Chú ý rằng, Θ(θ) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π. Thế vào (1.30) ta được
r2 R + rR
Θ
=−
.
R
Θ
Thấy rằng, vế trái của phương trình chỉ phụ thuộc vào r, còn vế phải của
phương trình chỉ phụ thuộc vào θ. Do vậy, tồn tại một hằng số λ sao cho
Θ
r2 R + rR

• λ = 0: phương trình có nghiệm
Θ(θ) = A + Bθ.
Để Θ tuần hoàn thì B = 0 nên bài toán chỉ có nghiệm hằng Θ(θ) = A.

19


Với λ > 0 phương trình có nghiệm
√
Θ(θ) = A cos
Vậy, để Θ tuần hoàn chu kỳ 2π thì

√
λθ + B sin

√

λθ.

λ = n hay λ = n2 với n = 1, 2, .... Khi

đó ta có
Θn (θ) = an cos nθ + bn sin nθ.

(1.33)

Thay λ = n2 vào phương trình thứ nhất của hệ (1.32) ta được
r2 R + rR − n2 R = 0.

(1.34)

(1.37)

Tương tự, ta xét chuỗi hình thức dạng
∞

u(r, θ) =

∞

un (r, θ) =
n=0

Rn (r)Θ(θ)
n=0

(1.38)

∞

rn (an cos nθ + bn sin nθ).

= a0 +
n=1

20


Giả sử là các hệ số của ta được chọn thỏa mãn là chuỗi hình thức này hội tụ.
Khi đó, nếu chuỗi (1.38) là nghiệm của bài toán thì điều kiện biên
∞


bn einθ
bn e−inθ
(an + )
+
+
(an − )
i
2
i
2
n=1
n=1

∞

cn einθ .

=
−∞

Bằng cách phân tích như trên, (1.38) có thể viết lại dưới dạng
∞

cn r|n| einθ .

u(r, θ) =

(1.39)


được trong phần trước
∞

∞

cn e

inx

=

−∞

(an cos(nx) + bn sin(nx)).

(1.40)

n=0

Nếu chuỗi này hội tụ, ta đặt
∞

cn einx .

f (x) =

(1.41)

−∞


−π

−π



0

nếu n = m,


1

nếu n = m.

Nên
π

1
cn =
2π

f (x)e−inx dx,

(1.42)

−π

và được gọi là hệ số Fourier của hàm f .
Định nghĩa 1.2.1 ([5]). Xét hàm f khả tích tuần hoàn trên đoạn [−π, π].

cn einx ,

f (x) ∼

(1.45)

−∞

để biểu thị chuỗi Fourier của hàm f (x).
Ở trên, ta đưa ra định nghĩa về hệ số Fourier và chuỗi Fourier của hàm
số f (x) khả tích và tuần hoàn trên [−π, π]. Bây giờ,ta sẽ xét trường hợp tổng
quát, cho hàm số f (x) : [a, b] → C khả tích và tuần hoàn chu kỳ L = b − a.
Khi đó, bằng cách làm tương tự ta xác định hệ số Fourier của hàm f
b

1
cn =
L

f (x)e−2πinx/L dx,
a

và

∞

cn e2πinx/L .

f (x) ∼
−∞

1
=
π
1
=
π

π

(e−inx + einx )
f (x)
dx
2
−π
π

f (x) cos(nx)dx,
−π

và a0 = 2c0 .
Tương tự
1
bn =
π

π

f (x) sin(nx)dx.
−π


∞

a0
+
(an cos(nx) + bn sin(nx)),
2
n=1

(1.47)

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f .
Đặc biệt, nếu hàm f (x) có thêm tính chất là hàm số chẵn thì ta có công
thức cho chuỗi Fourier của hàm f (x) như sau
∞

a0
+
an cos(nx).
f (x) ∼
2
n=1
Ta có được khai triển trên là do
1
an =
π
1
bn =
π

π

n=1

với
1
bn =
π

π

2
f (x) sin(nx)dx =
π
−π

π

f (x) sin(nx)dx.
0

Ví dụ 1.2.1. Tìm chuỗi Fourier của hàm f (x) = (π − x)2 /4 với 0 ≤ x ≤ 2π
và hàm f tuần hoàn chu kỳ 2π.

24