ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ LOAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên nghành: Toán ứng dụng

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS. TRẦN TRỌNG NGUYÊN

Hà Nội – 2015


LỜI CẢM ƠN
Trƣớc khi trình bày nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp, em xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên ngƣời đã tận tình
hƣớng dẫn để em có thể hoàn thành đề tài này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
trong khoa Toán, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình
trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Xuân Hòa, ngày 05 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

TRẦN THỊ LOAN


2.2.2. Ƣớc lƣợng phân phối Pareto tổng quát bằng hàm hợp lý cực đại . 25
2.2.3 Ƣớc lƣợng đuôi của phân phối tổn thất ........................................... 26
2.2.4 Sử dụng đồ thị Hill ƣớc lƣợng phi tham số cho chỉ số đuôi ........... 26
2.3 Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lƣờng VaR, ES ............................. 28
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 35


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, thị trƣờng tài chính thế giới đã chứng kiến
nhiều sự đổ vỡ của các định chế và tổ chức lớn, chẳng hạn: cuộc khủng
hoảng thị trƣờng chứng khoán thế giới (1987), khủng hoảng thị trƣờng
trái phiếu Mỹ (1990), khủng hoảng tài chính châu Á (1997),... và mới đây là
cuộc khủng hoảng thị trƣờng vay thế chấp của Mỹ, hậu quả là gây ra khủng
hoảng tài chính và sụt giảm kinh tế toàn cầu. Các sự kiện trên tƣởng nhƣ hiếm
khi xảy ra nhƣng gần đây lại xảy ra thƣờng xuyên và có những ảnh hƣởng tiêu
cực cho thị trƣờng tài chính cả về quy mô lẫn mức độ tổn thất. Nguyên
nhân chủ yếu là nghiệp vụ quản lý rủi ro chƣa đƣợc tốt. Do đó, việc nhận diện,
đo lƣờng và phòng hộ rủi ro để giảm thiểu tổn thất, nhằm đảm bảo sự hoạt động
an toàn cho các tổ chức tài chính là một việc rất quan trọng.
Hiện nay, một số phƣơng pháp tham số thông thƣờng đo lƣờng rủi ro
nhƣ mô hình VaR. Các mô hình này áp dụng với chuỗi lợi suất có phân phối
chuẩn hoặc phân phối t– Student, tuy nhiên trong thực tế các chuỗi lợi suất
thƣờng không tuân theo hai phân phối này. Điều này khiến cho các tính toán
từ các mô hình tham số thông thƣờng không cho kết quả chính xác và hiệu
quả. Lý thuyết giá trị cực trị đánh giá mức độ tổn thất bằng cách xét các giá trị
tổn thất đạt cực trị trong chuỗi. Thay vì xét tính phân phối chuẩn của cả chuỗi
lợi suất ta chỉ cần xem xét các mức lợi suất đạt cực trị để chỉ ra rằng chuỗi
phân phối giá trị cực trị này gần với một phân phối Pareto. Lý thuyết giá trị

2


CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất
1.1.1 Biến ngẫu nhiên
1.1.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.1. Cho (, F, P) là một không gian xác suất. Nếu X là
một ánh xạ đo đƣợc từ  vào

thì X đƣợc gọi là một biến ngẫu nhiên (hoặc

một đại lƣợng ngẫu nhiên).
Nói cách khác: X là một hàm số thực, hữu hạn, xác định trên  sao cho
với mỗi x 

thì   : X    x F.

1.1.1.2 Hàm phân phối xác suất
Định nghĩa 1.2. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X đƣợc
ký hiệu và xác định nhƣ sau: FX ( x)  P : X ()  x, x 

.

Nhƣ vậy hàm phân bố xác suất là sự thu hẹp của độ đo xác suất P lên
lớp các khoảng  , x  của đƣờng thẳng thực

. Để cho gọn ta sẽ ký hiệu




1.1.2.2 Phƣơng sai
Định nghĩa1.3: Phƣơng sai của biến ngẫu nhiên X là một số thực
không âm, ký hiệu D(X) đƣợc xác định bởi:
DX = E(X - E(X))2
Phƣơng sai của một biến ngẫu nhiên dùng để đặc trƣng cho mức độ phân
tán các giá trị của biến ngẫu nhiên đó xung quanh giá trị trung bình của nó
1.1.3.3 Độ lệch chuẩn
Định nghĩa 1.4: Độ lệch chuẩn, hay độ lệch tiêu chuẩn là một đại
lƣợng thống kê mô tả dùng để đo mức độ phân tán của một tập dữ liệu đã
đƣợc lập thành bảng tần số.
Có thể tính ra độ lệch chuẩn bằng cách lấy căn bậc hai của phƣơng sai.
  D( X )

Khi hai tập dữ liệu có cùng giá trị trung bình cộng, tập nào có độ lệch
chuẩn lớn hơn là tập có dữ liệu biến thiên nhiều hơn. Trong trƣờng hợp hai
tập dữ liệu có giá trị trung bình cộng không bằng nhau, thì việc so sánh độ
lệch chuẩn của chúng không có ý nghĩa.
1.1.3 Một số quy luật phân phối xác suất
1.1.3.1 Phân phối chuẩn N(µ, σ2)
1

( x   )2
1
2 2
e
Hàm mật độ chuẩn tổng quát p( x) 
với - < x < +
 2


e

t 2
2



1.1.3.2 Phân phối student hay phân phối t
Hàm mật độ của t xác định bởi:
 n 1 
n 1

  x 2  2
 2  1
p ( x) 


n
n(n / 2) 

Hàm mật độ của phân phối t cũng là hàm đối xứng qua trục tung, dạng đồ thị
của nó cũng có dạng hình chuông rất giống hàm mật độ chuẩn .
Số nguyên n gọi là số bậc tự do của phân phối t.
Ta có kết quả sau: Nếu
X
1 n 2
 XI
n i 1


1.2.3 Lợi suất
1.2.3.1 Lợi suất của tài sản
Trong phân tích, định giá tài sản ta quan tâm tới lợi suất tài sản vì :
- Lợi suất dễ phân tích và xử lý hơn so với giá
- Bản thân lợi suất cũng thể hiện đầy đủ thông tin về đặc điểm tài sản,
cơ hội đầu tƣ và hơn nữa lợi suất không phụ thuộc vào quy mô đầu tƣ.
Ta xét một tài sản trong một chu kì nắm giữ và gọi (t-1), t là thời điểm
đầu và cuối chu kì. Kí hiệu St 1 , St là giá của tài sản tại thời điểm tƣơng ứng.
Tùy thuộc vào tình huống ứng dụng cụ thể, chu kì tính toán có thể là ngày
(phiên giao dịch), tuần, tháng, quý, năm.... do trong năm các thị trƣờng sẽ
nghỉ vào các ngày cuối tuần, ngày lễ nên khi tính toán ngƣời ta thƣờng quy
ƣớc 1 năm tƣơng ứng với 255 (hoặc 250) ngày hoạt động (phiên giao dịch) và
50 tuần.
Lợi suất trong 1 chu kì [t-1, t] của tài sản kí hiệu là rt đƣợc định nghĩa
rt 

St  St 1
St 1

Lợi suất trong k chu kì kí hiệu là rt k  đƣợc định nghĩa:

6


rt  k  

St  St k
St k

Từ các định nghĩa trên ta suy ra

Xét danh mục khả thi P : (w1 , w 2 ,...w n ) ta có
Lợi suất của danh mục P:

7


N

rp   w i ri  (W ', r )
i 1

Trong đó : W’ là vectơ tỉ trọng của danh mục
Lợi suất kì vọng của danh mục P:
N

r p   w i r i  (W ', r )
i 1

Phƣơng sai của danh mục:
 p2  W'VW

Do V xác định dƣơng và W khác 0 nên phƣơng sai của danh mục luôn xác
định dƣơng do đó danh mục P thực sự có rủi ro
Độ dao động
Độ dao động của danh mục P:
 p  W'VW

1.3 Rủi ro tài chính
1.3.1 Khái niệm rủi ro
Trong lĩnh vực tài chính những biến cố cực trị nhƣ các vụ phá sản lớn,

Trong tài chính, rủi ro có thể xảy ra do nhiều nguyên nhân, tùy thuộc
vào nguyên nhân xảy ra rủi ro có thể phân loại các hình thức rủi ro tài chính
nhƣ sau:
- Rủi ro thị trƣờng: Rủi ro liên quan đến những thay đổi của những
nhân tố nhƣ lãi suất, giá cổ phiếu, giá hàng hóa và tỷ giá.
- Rủi ro hệ thống (Systematic Risk): Rủi ro liên quan đến toàn bộ thị
trƣờng hay toàn bộ nền kinh tế.
- Rủi ro kế toán: Rủi ro liên quan đến nghiệp vụ kế toán không phù hợp
với một giao dịch, có thể xảy ra khi quy trình và quy định về kế toán thay đổi
hay chƣa đƣợc xây dựng.
- Rủi ro kinh doanh: Rủi ro liên quan đến hoạt động đặc trƣng của
doanh nghiệp.

9


- Rủi ro mô hình: Rủi ro liên quan đến việc sử dụng mô hình không
đúng hoặc không phù hợp, hoặc trong một mô hình tồn tại các sai số hoặc các
giá trị đầu vào không đúng.
- Rủi ro pháp lý (Regulatory Risk): Rủi ro xảy ra do các các giao dịch
không đúng pháp luật.
- Rủi ro quy mô: Rủi ro của một chiến lƣợc phòng ngừa rủi ro trong đó
nhà phòng ngừa rủi ro không biết đƣợc mình sẽ sở hữu hoặc bán bao nhiêu
đơn vị tài sản giao ngay.
- Rủi ro thanh toán: Rủi ro thƣờng gặp trong các giao dịch thanh toán
quốc tế, trong đó một công ty có giao dịch hai chiều đối với một đối tác khác
và gặp rủi ro là khoản thanh toán của mình đã đƣợc chuyển đi trong khi chƣa
nhận đƣợc khoản thanh toán của bên kia, điều này có thể do nguyên nhân phá
sản không thể thanh toán hay lừa đảo
- Rủi ro tín dụng: Rủi ro xảy ra do đối tác trong hoạt động tín dụng

thời gian nhất định không vƣợt quá giá trị này là một số  cho trƣớc
1.4.2 Đặc điểm của VaR
Đối với nhà đầu tƣ thì VaR của một danh mục tài sản tài chính phụ
thuộc vào thông số quan trọng sau đây:
- Độ tin cậy
- Khoảng thời gian đo lƣờng VaR
- Sự phân bố lời/lỗ trong khoảng thời gian đo lƣờng VaR
Đƣờng phân bố khoản lời lỗ của danh mục đầu tƣ thể hiện qua thông số
quan trọng nhất và khó xác định nhất. Vì mức tín nhiệm phụ thuộc vào khả
năng chịu đựng rủi ro của nhà đầu tƣ, nếu mức tín nhiệm này càng quan trọng
thì VaR càng cao. Nói cụ thể, nếu nhà đầu tƣ sợ rủi ro thì họ sẽ hoạch định
một chiến lƣợc nhằm giảm xác suất xảy ra các trƣờng hợp xấu nhất.

11


1.4.3 Mô hình VaR lý thuyết
1.4.3.1 Dẫn suất mô hình
Giả sử rằng một nhà đầu tƣ quyết định đầu tƣ một danh mục tài sản P.
Tại thời điểm t, giá trị của danh mục đầu tƣ là Vt. Sau một khoảng thời gian
t, tức là tại thời điểm k = t + t thì giá trị của danh mục đầu tƣ là Vk
k
Vt

Vk

t

t+k


(xα 0) là 1- α.
Đứng trên cả hai vị thế cho nhà đầu tƣ, khi nhà đầu tƣ chịu tổn thất tức
là giá trị danh mục sụt giảm (giá trị âm). Trong cả hai trƣờng hợp trên, α đƣợc
cho nhƣ xác suất để mức tổn thất không vƣợt quá giá trị âm này. Ngƣỡng giá
trị âm này chính là VaR. Nhƣ vậy VaR của một danh mục với chu kỳ k và độ
tin cậy (1-α) là mức phân vị α của hàm phân bố Fk(x). Đại lƣợng này đƣợc ký
hiệu là VaR(k, α) và mang giá trị âm.
Nhƣ vậy ta có P( ≤ VaR(k, α)) = α. Điều này cho thấy rằng, một nhà
đầu tƣ nắm giữ danh mục P thì sau một chu kỳ k, với độ tin cậy (1- α)100%,
nhà đầu tƣ có khả năng tổn thất một khoản sẽ bằng trong điều kiện hoạt động
bình thƣờng.
1.4.3.2 Mô hình Var
VaR của một danh mục ( hoặc của một lƣợng tài sản ) với chu kỳ k(
đơn vị thời gian ) và độ tin cậy ( 1- α)100% là phân vị mức α của hàm

13

(x).


Ta ký hiệu đại lƣợng này là VaR( k, α) và dấu âm của VaR biểu thị tổn thất
hay thua lỗ.
Ta có: Pr( P

(k) VaR( k, α) = α

Ý nghĩa của VaR( k, α): Nhà đầu tƣ nắm giữ danh mục P sau chu kỳ k,

14


a, Mô hình VaR đối với lợi suất tài sản
Giả thiết: chuỗi lợi suất (theo ngày) của tài sản: r t là chuỗi dừng và có
phân bố chuẩn.
Nhƣ vậy rt

N (  ,  2 ) suy ra

rt  



N (0,1) . Ta có công thức VaR:

VaR(1 ngày, (1 - )) =  + N-1()
Chú ý:
Với : 1%, 2,5%, 5% ta có N-1(0,01) = -2,33 ; N-1(0,025) = -1,96 ;
N-1(0,05) = -1,65.
Ví dụ 1.3: Nhà đầu tƣ nắm giữ một khối liệu cổ phiếu A có giá trị hiện
tại Vt = 100 triệu đồng, lợi suất (1 ngày) có phân bố chuẩn rt ~ N(, 2)
với  = 3% . Với mức ý nghĩa  = 5%. Hãy tính VaR của lƣợng cổ phiếu A
và giải thích ý nghĩa.
Giải :
Lợi suất trong một ngày thƣờng khá nhỏ nên ta sẽ giả định  = 0.
Ta có VaR của lợi suất: VaR (1 ngày, 5%) = -1,65*0,03 = -0,0495
Suy ra VaR của danh mục :
VaR (1 ngày, Vt, 5%) = VaRLợi suất (1 ngày, 5%)*Vt = (-0,0495)*100 = -4,95
(triệu đồng)

Chú ý :
Nếu xét danh mục P dƣới dạng giá trị : P : x = (x1, x2, ..., xN) với xi là
tài sản khoản tiền đầu tƣ vào tài sản i, khi đó P&L(k) sẽ là :
N

P & L(k )   ri .xi
i 1

Với giả thiết lợi suất các tài sản trong danh mục
ri

N (  ,  i2 ) ; i = 1 N

suy ra :

P & L(k )

N (  P & L ,  P2 & L )

N

Trong đó

P& L   xi .ri ;  P2& L  x 'Vx
i 1

Ta có công thức VaR :
1
1/2
VaR (1 ngày, (1 - )) = P&L  N 1 ( )* p =  P & L  N ( ) *( x 'Vx)

Bƣớc 2: tính (P&L) thực tế từng ngày.
Bƣớc 3: so sánh P&L lý thuyết và thực tế của từng ngày để tìm số P&L
thực tế vƣợt qua P&L lý thuyết.

17


CHƢƠNG 2
LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG
2.1 Lý thuyết cực trị
Lý thuyết giá trị cực trị (EVT) hay còn gọi là lý thuyết các biến cố hiếm
những biến cố ít xảy ra nhƣng khi xảy ra lại gây hậu thiệt hại rất lớn. Những
biến cố này thƣờng tập trung ở phần đuôi của phân phối và không đƣợc thể
hiện rõ ràng trên đồ thị.
Lý thuyết giá trị cực trị ra đời tập trung vào việc mô hình hóa phần đuôi
của phân phối thua lỗ bằng việc chỉ sử dụng những giá trị cực trị thay vì sử
dụng toàn bộ dữ liệu. Ngoài ra EVT còn cung cấp một ƣớc lƣợng tham số của
phân phối đuôi, điều này cho phép đƣa ra suy luận ngoài tập dữ liệu
EVT tập trung vào phân phối giới hạn tỉ suất sinh lợi cực trị đƣợc quan
sát trong một thời kì dài, và chỉ phụ thuộc vào sự phân bố của chính tỉ suất
sinh lợi đó. Hai mô hình chính của EVT là :
+ Mô hình cực đại khối -Block maxima model
+Mô hình đỉnh vƣợt ngƣỡng- Peak over threshold (phƣơng pháp POT)
Mô hình POT đƣợc cho là hữu ích trong ứng dụng thục tiễn vì nó sử
dụng dữ liệu tại các giá trị cực trị hiệu quả hơn.
Mô hình POT đƣợc dựa trên phân phối Pareto tổng quát(GPD)
2.2 Phƣơng pháp cực đại khối
2.1.1 Định lý Fisher-Tippet và phân phối cực trị tổng quát
Cho X1 , X2 … là các biến ngẫu nhiên đại diện cho rủi ro hoặc tổn thất
chƣa biết dạng hàm phân phối tích lũy F(x), ta có F (x) = Pr{Xi ≤ x}.

thƣớc đo quy mô và μn đƣợc hiểu nhƣ là thƣớc đo vị trí. Định lý Fisher-Tippet
nói rằng nếu Zn hội tụ tới 1 hàm phân phối không suy biến, nó là phân phối
cực trị tổng quát của mẫu:

exp  1   z
H ( z)  
exp  exp( z )

1
z

 = 0, - < z 0.

19


Các hành vi đuôi của phân phối F của các dữ liệu cơ sở xác định hình
dạng tham số của phân phối cực trị tổng quát:
+ nếu đuôi của F giảm theo cấp số nhân,

thuộc loại Gumbel và


x

n

20

)  H  , , ( x)


Định lý Fisher-Tippet sau đó có thể đƣợc giải thích nhƣ sau:
Với n đủ lớn thì:
 M  n 
Pr Z n  z  Pr  n
  H ( z )
z
n



Đặt xn   n z  n thì:

Pr M n  z  H  , , (

x  n

n

)  H  , , ( x)

Kết quả này đƣợc sử dụng trong thực tế để làm kết luận về tổn thất tối đa Mn.

Hàm log hợp lý giả định các quan sát là biến ngẫu nhiên độc lập của
phân phối GeV với ɛ  0 là:
1/ 

M n( j )    m   M n( j )    
l ( ,  ,  )  m ln( )  (1  1/  ) ln 1   (
)    1  
 

i 1

 i 1   
 
m

Hàm log hợp lý cho trƣờng hợp ɛ = 0 ( loại Gumbel) là
m

l (  ,  )  m ln    (

M n( j )  



i 1

m

)   exp(



1

, ,


 
1  
1    log(1  )  
k  
 

Bằng thuộc tính bất biến của các ƣớc lƣợng hợp lý cực đại, với các tham số

22