ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

NGUYỄN QUANG TRUNG

VỀ TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

HÀ NỘI - 2014


1

Mục lục

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TOÁN TỬ ĐA TRỊ TRONG
KHÔNG GIAN HILBERT

4

1.1


Toán tử đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 24
2.1

2.2

Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1

Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2

Toán tử đơn điệu tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.3

Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.4

Hàm Fitzpatrick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . 43

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49


2

Để hoàn thành Luận văn này, trước hết tác giả xin bày tỏ sự kính
trọng và biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Thầy đã dành nhiều
thời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc của học trò trong suốt quá trình
nghiên cứu và đã giúp đỡ tác giả hoàn thành hoàn thiện luận văn này.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo Khoa
Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc
gia Hà Nội, các thầy giáo thuộc Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học
và Công nghệ Việt Nam đã tham gia giảng dạy nhiệt tình trong khóa học,
giúp tác giả tích lũy nhiều kiến thức quan trọng phục vụ cho bản luận văn
này. Tác giả xin cám ơn Seminar Toán của Viện toán học - Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ đã nhận xét góp ý cho bản luận văn này.
Tác giả xin cám ơn tới cơ quan nơi tác giả công tác, gia đình và bạn
bè đã luôn động viên, ủng hộ giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập
và làm luận văn tốt nghiệp.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng và tích cực trong học tập, nghiên cứu
khoa học, song trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những sai sót.
Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo,
cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Ngày 10 tháng 4 năm 2014


4

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TOÁN
TỬ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG
GIAN HILBERT
Trong chương này chúng ta giới thiệu các kiến thức cơ bản về không

vii) (α + β) x = αx + βx, ∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X ;
viii) α (x + y) = αx + αy, ∀α ∈ R; ∀x, y ∈ X .
Nếu trên tập X được trang bị một metric:

p : X × X → R+ : (x, y) → p (x, y) ,
thỏa mãn các tính chất sau:
i) p (x, y) > 0, ∀x = y;

p (x, y) = 0, x = y;

ii) p (x, y) = p (y, x) , ∀x, y;
iii) p (x, y) ≤ p (x, z) + p (y, z) , ∀x, y, z ∈ X ,
thì (X , p) được gọi là không gian metric.
Định nghĩa 1.1. Một không gian vectơ định chuẩn là một tập X vừa là
không gian vectơ, vừa là không gian metric. Khi đó X được trang bị một
chuẩn là x = p (x, 0) thỏa mãn các điều kiện:
i) x > 0 nếu x = 0; x = 0 nếu x = 0,
ii) αx = |α| x ,
iii) x + y ≤ x + y .
Định nghĩa 1.2. Một không gian tuyến tính thực X được gọi là không
gian tiền Hilbert nếu với mọi x, y ∈ X , xác định một số thực kí hiệu là

x| y gọi là tích vô hướng của x, y ∈ X thỏa mãn:
i) x|y = y|x .
ii) x + y|z = x|z + y|z .
iii) λx|y = λ x|y .
iv) x|x ≥ 0 với mọi x, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
v)

x|x = x 2 .

Công thức (1.1) được gọi là điều kiện bình hành.
Mệnh đề 1.1. Mọi không gian tiền Hilbert X là không gian tuyến tính
định chuẩn, với chuẩn xác định:

x =

x| x , ∀x ∈ X .

(1.2)

Chứng minh.
Với mọi số thực λ ta có:

0 ≤ x − λy|x − λy = x|x − 2λ x|y + λ2 y|y ,
cho nên tam thức bậc hai theo λ có biệt thức ∆ ≤ 0:

| x|y |2 − x|x . y|y ≤ 0,
hay

| x|y | ≤ x . y .

(1.3)

Từ đó

0 ≤ x + y|x + y = x|x + 2 x|y + y|y ≤
≤ x

2




7

Khi

xn − x → 0, yn − y → 0,
thì

x n + y n → x + y , x n − yn → x − y ,
nên theo (1.5) chúng ta cũng có xn |yn → x|y . Vậy x|y là một hàm
liên tục đối với x và y.
Định nghĩa 1.3. Cho X là một không gian định chuẩn. Dãy {xn } ⊂ X
được gọi là dãy cơ bản trong X nếu

lim

n,m→∞

xn − xm = 0.

Nếu trong X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là

xn − xm → 0 ⇒ ∃x0 ∈ X : xn → x0 ,
thì X được gọi là không gian đủ hoặc không gian Banach.
Định nghĩa 1.4. Không gian tiền Hilbert đủ được gọi là không gian
Hilbert.
Định nghĩa 1.5. Không gian Banach thỏa mãn điều kiện bình hành được
gọi là không gian Hilbert.
Bổ đề 1.1. (xem [10]) Cho x, y ∈ H. Khi đó chúng ta có kết quả sau:

k

x| y =

i=1

ξi η i ,

và chuẩn được xác định bởi công thức

x =

k
i=1

ξi2 .

Ví dụ 1.3. Cho T ∈ R++ và cho (H, .|. H ) là không gian Hilbert thực.
t

Với mọi y ∈ L2 ([0, T ] ; H), hàm x : [0, T ] → H : t →

y (s) ds là khả
0

vi hầu khắp nơi trên [0, T ], với x (t) = y (t) hầu khắp nơi trên (0, T ).
Chúng ta nói rằng x : [0, T ] → H thuộc về W1,2 ([0, T ] ; H) nếu tồn tại

y ∈ L2 ([0, T ] ; H) sao cho
t


x (t) |y (t) H dt.
0


9

Ví dụ 1.5. Trong Ví dụ 1.1, cho H = R. Khi đó chúng ta thu được không
gian Banach thực

Lp (Ω, F, µ) = Lp ((Ω, F, µ) ; R) ,
và với p = 2, không gian Hilbert thực L2 (Ω, F, µ) được trang bị tích vô
hướng

(x, y) →

x (ω) y (ω)µdω.
Ω

1.1.2

Tính trực giao và hình chiếu

Định nghĩa 1.6. Ta nói hai vectơ x, y của một không gian Hilbert H trực
giao với nhau, và ký hiệu x⊥y , nếu x|y = 0.
Ta nói một vectơ x trực giao với một tập C ⊂ H nếu x trực giao
với mọi phần tử của C . Tập tất cả các vectơ trực giao với C ⊂ H là một
không gian con đóng của H. Không gian con này được ký hiệu C ⊥ và gọi
là phần bù trực giao của C .
Nhận xét 1.3 Từ định nghĩa trên có thể suy ra một số tính chất đơn giản

10

vi) Nếu {xk } là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ xk đôi một trực
∞

xk hội tụ khi và chỉ khi chuỗi số

giao) thì chuỗi
k=1

∞

xk

2

< ∞.

k=1

Thật vậy, cho
n

n

xk ,

sn =

xk 2 .


Do đó sn − sm → 0 khi và chỉ khi σn − σm → 0. Nhưng không gian
Hilbert là không gian đủ, cho nên điều này cũng có nghĩa là: sn có giới
hạn khi và chỉ khi σn có giới hạn.
Định lý 1.1. Cho C là một không gian con đóng của một không gian
Hilbert H. Bất kỳ phần tử x nào của H cũng có thể biểu diễn một cách
duy nhất dưới dạng

x = y + z với y ∈ C, z ∈ C ⊥ ,

(1.6)

trong đó y là phần tử của C gần x nhất, tức là x − y ≤ x − u với mọi

u ∈ C.
Chứng minh.
Trước hết, ta chứng minh sự tồn tại của (1.6), ta đặt:

d = inf x − u .
u∈C

Theo định nghĩa cận dưới đúng, tồn tại một dãy uk ∈ C sao cho

x − uk → d (k → ∞) .


11

Áp dụng đẳng thức bình hành cho x − uk và x − us , ta có


tới một giới hạn y nào đó. Ta có y ∈ C vì C đóng và

x − y = lim x − uk .
k→∞

Bây giờ ta đặt z = x − y và ta sẽ chứng minh z ∈ C ⊥ . Thật vậy, xét một
phần tử u bất kỳ của C . Với mọi số thực λ, ta có:

z − λu|z − λu = z

2

− 2λ z|u + λ2 u 2 .

Mà y + λu ∈ C , nên

z − λu|z − λu = z − λu
Mặt khác z

2

= x−y

2

2

= x − (y + λu)

2


λ1 T (x1 ) + λ2 T (x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ X và mọi λ1 , λ2 ∈ R.
Toán tử T từ X vào Y được gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn kéo
theo T xn → T x0 .
Toán tử T từ X vào Y được gọi là giới nội nếu có một hằng số dương

K sao cho
(∀x ∈ X )

Tx ≤ K x .

(1.7)

Số K nhỏ nhất thỏa mãn (1.7) được gọi là chuẩn của toán tử T .
Định lý 1.2. (xem [2]) Ký hiệu L (X , Y) là tập hợp tất cả các toán tử
tuyến tính liên tục từ X vào Y và L (X ) = L (X , X ) . Khi đó L (X , Y)
là không gian định chuẩn và là không gian Banach khi Y là không gian
Banach.
Định lý 1.3. (xem [2]) Một toán tử tuyến tính T từ X vào Y là liên tục
khi và chỉ khi nó giới nội.
Định lý 1.4. (xem [2]) Nếu T toán tử từ X vào Y thì

T = sup
x=0

Tx
= sup T x .
x
x =1



(1.11)

nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.9). Do đó chúng ta đã chứng
minh được phần thứ nhất của định lý.
Để chứng minh phần ngược lại của định lý, ta xét một phiếm hàm
tuyến tính liên tục f (x) trên một không gian Hilbert H. Xét tập

C = {x ∈ H| f (x) = 0} .
Rõ ràng C là không gian con đóng của H.
Trước hết chúng ta xét trường hợp C ⊥ = {0} thì theo Định lý 1.1, chúng
ta có x = y + z, với y ∈ C, z ∈ C ⊥ , chúng ta thấy rằng z = 0, cho nên

f (x) = f (y) = 0 với mọi x ∈ H, do đó
f (x) = 0| x ,
nghĩa là ta có biểu diễn (1.8) với u = 0.
Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp C ⊥ = {0}, tức là tồn tại

x0 ∈ C ⊥ , x0 = 0.
Chúng ta có f (x0 ) = 0, nên vectơ u =

f (x0 )
2 .x0
x0

= 0. Với mọi x ∈ H, thì

chúng ta có

f (x) −



14

hay

f (x) =

f (x0 )
x0 x
x0 2

= u| x .

Vậy tồn tại f (x) thỏa mãn hệ thức (1.8). Cách biểu diễn đó là duy
nhất, vì nếu f (x) = u | x thì u − u | x = 0 với mọi x ∈ H, do đó

u − u | u − u = 0, nghĩa là u − u = 0 ⇔ u = u .
Cuối cùng, chúng ta có

|f (x)| = | u| x | ≤ u . x ,
và

|f (u)| = | u| u | = u . u .
Do đó

f = u .
Vậy chúng ta đã chứng minh xong định lý.
Cho T là toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert H. Với
mỗi y ∈ H cố định, ta xét phiếm hàm f : H → R được xác định như sau:

Định nghĩa 1.11. Một tập C ⊂ H được gọi là nón nếu

∀α ∈ R++ , ∀x ∈ C ⇒ αx ∈ C.
Một nón được gọi là lồi nếu nó đồng thời cũng là một tập lồi, bao
nón lồi của C được ký hiệu là coneC.
Cho C ⊂ H, C = ∅. Khi đó giao của tất các các không gian con tuyến
tính của H chứa C là một không gian con tuyến tính nhỏ nhất của H chứa

C , ký hiệu là spanC . Không gian con đóng tuyến tính nhỏ nhất của H chứa
C , ký hiệu là spanC.
Cho C ⊂ H là một tập lồi, x ∈ C . Ký hiệu

NC (x) := {ω| ω| y − x ≤ 0 ∀y ∈ C} .
Khi đó NC là một nón lồi đóng và được gọi là nón pháp tuyến ngoài của C
tại x.
Định nghĩa 1.12. Cho C là tập con lồi của H. Khi đó, điểm trong của

C ⊂ H có thể biểu diễn là
intC = {x ∈ C| (∃λ ∈ R++ ) B (0; λ) ⊂ C − x} .

(1.12)

lõi của tập C là

coreC = {x ∈ C| cone (C − x) = H} ;

(1.13)

điểm trong tương đối mạnh của C là


δC (x) :=

0
+∞

nếu x ∈ C,
nếu x ∈
/ C.

Ví dụ 1.7. Hàm mặt cầu. Cho S := {x ∈ Rn | x = 1} là một mặt cầu
và h : S → R+ là một hàm bất kỳ. Định nghĩa hàm f như sau:

0
f (x) := h (x)

+∞

nếu
nếu
nếu

x < 1,
x = 1,
x > 1.

Định nghĩa 1.14. Cho f và g : H → [−∞; +∞]. Tích chập (convolution)
của f và g là:

f g : H → (−∞, +∞] : x → inf (f (y) + g (x − y)) ,
y∈H


Tập hợp các hàm lồi, nửa liên tục dưới từ H → 2H được ký hiệu là Γ (H) .
Tập hợp các hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới từ H → (−∞, +∞]
được ký hiệu là Γ0 (H) .
Mệnh đề 1.3. (Xem [10]) Cho f, g ∈ Γ0 (H). Khi đó

int (domf − domg) = core (domf − domg) .

(1.17)

Định lý 1.6. (Hahn - Banach Sandwich, [5, 13]) Giả sử f và g là các
hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trên không gian Banach X sao
cho

f (x) ≥ g (x)
với mọi x trong X . Giả sử rằng:

0 ∈ core (dom (f ) − dom (g)) .
Khi đó có một hàm tuyến tính liên tục λ thỏa mãn:

f (x) − g (y) ≥ λ|x − y ,
với mọi x ∈ dom (f ) , y ∈ dom (−g) trong X .
Định nghĩa 1.16. Cho f : H → [−∞, +∞]. Hàm liên hợp của hàm f là

f ∗ : H → [−∞, +∞] : u → sup ( x| u − f (x)) .
x∈H

(1.18)




∂f (x) = {x∗ ∈ H∗ | f (x) − f (x) ≥ x∗ | x − x , ∀x ∈ H} .

(1.19)

Đối với dưới vi phân của tổng các hàm lồi, ta có định lý sau
Định lý 1.7. (Moreau - Rockafellar, xem [3]) Cho fi , i = 1, 2, .., m là các
hàm lồi chính thường trên H. Khi đó
m

m

∂fi (x) ⊆ ∂
i=1

fi (x)

, ∀x ∈ H.

fi (x)

, ∀x ∈ H.

i=1

Nếu ∩ri (domfi ) = ∅, thì
m

m


1 2 ∗
1
∗
fJ = f + .
= f∗
. 2∗ ,
2
2
là liên tục hầu khắp nơi. Hơn nữa
v ∗ ∈ ∂f (v) + J (v) ⇔ fJ∗ (v ∗ ) + fJ (v) − v, v ∗ ≤ 0.
Ví dụ 1.9. Cho f = δC là hàm chỉ của một tập lồi C = ∅, C ⊂ H. Khi đó
với x0 ∈ C , ta có

∂δC x0 = x∗ | x∗ | x − x0 ≤ δC (x) .
Với x ∈
/ C , thì δC (x) = +∞, nên bất đẳng thức sau đây luôn đúng:

∂δC x0 = x∗ | x∗ | x − x0 ≤ 0 ∀x ∈ C = NC x0 .
Vậy dưới vi phân của hàm chỉ của một tập lồi C khác rỗng tại một điểm

x0 ∈ C chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0 .
Mệnh đề 1.6. Cho f là một hàm lồi, đóng, chính thường trên H. Khi đó
ta có đẳng thức Fenchel sau:

f ∗ (x∗ ) + f (x) = x∗ | x ⇔ x∗ ∈ ∂f (x) , x ∈ ∂f ∗ (x∗ ) .
Chứng minh. Theo định nghĩa hàm liên hợp, ta có

f ∗ (x∗ ) = sup { x∗ | x − f (x)} .
x


Ta sẽ thường sử dụng ký hiệu T : H → 2K để nói rằng T là ánh xạ
đa trị từ H vào K.
Nếu với mỗi x ∈ H tập T (x) chỉ gồm đúng một phần tử của K, thì
ta nói T là ánh xạ đơn trị từ H vào K.
Định nghĩa 1.19. Cho ánh xạ đa trị T : H → 2K . Khi đó đồ thị gra T ,
miền hữu dụng dom T , miền ảnh ran T tương ứng được xác định bởi các
công thức sau:

gra T = {(x, y) ∈ HxK : y ∈ T (x)} ,
dom T = {x ∈ H : T (x) = ∅} ,
ran T = {y ∈ K : ∃x ∈ H sao cho y ∈ T (x)} .
Ví dụ 1.9. Xét phương trình đa thức

xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ... + an−1 x + an = 0,

(1.21)

trong đó n ∈ N, ai ∈ R, i = 1, n. Quy tắc cho tương ứng mỗi bộ (a1 , a2 , ..., an )

= a với tập nghiệm, ký hiệu T (a) của (1.21) là một ánh xạ đa trị
T : Rn → 2C . Theo định lý cơ bản của đại số T (a) = ∅ và |T (a)| ≤ n


21

với mọi a ∈ Rn . Nếu ta đồng nhất mỗi số phức x = u + vi ∈ C với cặp số
2

thực (u, v) ∈ R2 thì ta có thể viết T : Rn → 2R .
Trong Ví dụ 1.9 chúng ta có:


Ví dụ 1.10. Cho C ⊂ H là một tập lồi và f : H → R ∪ {+∞} là một
hàm lồi. Giả sử ri (domf ) ∩ riC = ∅. Xét bài toán quy hoạch lồi

(P ) min {f (x)| x ∈ C} .
Khi đó điều kiện cần và đủ x là nghiệm của bài toán (P ) là

0 ∈ ∂f (x) + NC (x) ,
trong đó

NC (x) := {ω| ω| x − x ≤ 0 ∀ ∈ C} ,
là nón pháp tuyến ngoài của C tại x
Chứng minh. Gọi δC (.) là hàm chỉ của tập C . Khi đó x là điểm cực
tiểu của hàm f trên C khi và chỉ khi nó là cực tiểu của hàm h (x) :=

f (x) + δC (x) trên toàn không gian. Điều kiện cần và đủ để x là cực
tiểu của h trên H là 0 ∈ ∂h (x). Do ri (domf ) ∩ riC = ∅, theo Định lý
Moreau-Rockafelar ta có:

∂h (x) = ∂f (x) + ∂δC (x) .
Vì x ∈ C , nên ∂δC (x) = NC (x). Vậy 0 ∈ ∂f (x) + NC (x) .
Ví dụ 1.11. Cho H = R, C = [−1, 1] , ϕ (x) ≡ 0. Khi đó ánh xạ đa trị


∅
nếu x ∈
/ C,


(−∞, 0] nếu x = 1,

T (x) ∩ V = ∅ ∀x ∈ U ∩ dom T.
Nếu T là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc dom T , thì ta nói T là nửa
liên tục dưới trong H.
Định nghĩa 1.23. Cho T : H → 2K là ánh xạ đa trị từ không gian Hilbert

H và không gian Hilbert K. Ta nói T là liên tục x ∈ dom T nếu đồng thời
T là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x ∈ dom T . Nếu T là liên
tục tại mọi điểm thuộc dom T , thì ta nói T là liên tục tại mọi điểm trong

H.


24

Chương 2

TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG
KHÔNG GIAN HILBERT
Chương này đề cập đến các vấn đề quan trọng của toán tử đơn điệu
trong không gian Hilbert như các khái niệm về toán tử đơn điệu, đơn điệu
tuần hoàn, đơn điệu cực đại, các ví dụ về toán tử đơn điệu trong đó dưới
vi phân của hàm lồi chính thường là ví dụ điển hình cho toán tử đơn điệu
cực đại; điều kiện đủ để một toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại. Đặc biệt,
giới thiệu và chứng minh điều kiện đủ để tổng hai toán tử đơn điệu cực đại
là một toán tử đơn điệu cực đại nhờ một hàm do Fitzpatrick giới thiệu.
Các khái niệm và kết quả ở đây được tham khảo từ các tài liệu [3, 5, 6, 7,
8, 9, 10, 11, 12, 13, 14].

2.1
2.1.1