ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ NA VỀ TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN
HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người viết Luận văn
Nguyễn Thị Na
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Mở đầu 1
1 Các kiến thức về không gian Hilbert 2
1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Một số tính chất quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Toán tử đơn điệu và đơn điệu cực đại 16
2.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Tổng của các toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . 34
3 Phương pháp điểm gần kề giải bao hàm thức đơn điệu cực
đại 41
3.1 Giới thiệu bài toán và các trường hợp riêng quan trọng . . . . 41
3.2 Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Kết luận chung 55
Tài liệu tham khảo 56
iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mở đầu

trong các áp dụng của giải tích hàm tuyến tính vào lý thuyết và kĩ thuật.
Trong chương này ta nhắc lại một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert
trên trường số thực R. Các kiến thức trong chương được lấy từ các tài liệu
[2], [4], [7].
1.1 Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.1. Cho H là không gian vectơ trên R, tích vô hướng xác định
trong H là một ánh xạ
., . : H × H −→ R
(x, y) −→ x, y
thỏa mãn các điều kiện sau đây
1. x, y = y, x, ∀x, y ∈ H;
2. x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ H;
3. λx, y = λx, y, ∀x, y ∈ H, λ ∈ R;
4. x, x ≥ 0, ∀x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0.
Số x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x, y trong H.
Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa suy ra
1. x, λy = λx, y,
2. x, y + z = x, y + x, z,
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3. x, 0 = 0,
với mọi x, y, z ∈ H và λ ∈ K.
Ví dụ 1.1. Với x = (x
1
, x
2
, ··· , x
n
), y = (y
1

x, x + λy, x+ λx, y + |λ|
2
y, y ≥ 0
Chọn λ = −
x, y
y, y
ta được
x, x −
|x, y|
2
y, y
≥ 0
⇔ |x, y|
2
≤ x, x.y, y.
Định lý được chứng minh.
Chú ý 1.1. Dấu bằng trong bất đẳng thức Schwarz xảy ra khi và chỉ khi
x và y phụ thuộc tuyến tính.
Mối quan hệ giữa khái niệm chuẩn và tích vô hướng được thể hiện qua định
lý sau.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Định lý 1.2. (xem [4]) Mọi không gian tiền Hilbert H đều là không gian
tuyến tính định chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức
||x|| =

x, x, ∀x ∈ H. (1.2)
Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng.
Nhận xét 1.2. Với kí hiệu mới này, bất đẳng thức Schwarz được viết lại
thành

) ∈ R
n
và chuẩn cảm sinh
||x||
2
= x, x =
n

k=1
x
k
x
k
=
n

k=1
|x
k
|
2
.
Ví dụ 1.3. Không gian
l
2
=

x = {x
n
}

n
|
2
với mọi x = (x
n
)
n∈N
, y = (y
n
)
n∈N
∈ l
2
.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Ví dụ 1.4. Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên khoảng
đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R.
Trong C[a, b] xét tích vô hướng
x, y =
b

a
x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b].
Khi đó
• Không gian C[a, b] với chuẩn
||x|| = max
a≤t≤b
|x(t)|
là không gian Banach nên C[a, b] là không gian Hilbert.

lim
n→∞
x
n
, y
n
 = x
0
, y
0
.
Chứng minh. Giả sử lim
n→∞
x
n
= x
0
, lim
n→∞
y
n
= y
0
trong không gian H.
Ta cần chứng minh lim
n→∞
x
n
, y
n

|
≤ |x
n
, y
n
− y
0
| + |x
n
− x
0
, y
0
|
≤ ||x
n
||.||y
n
− y
0
|| + ||x
n
− x
0
||.||y
0
||.
Vì dãy (x
n
)

n
, y
n
 = x
0
, y
0
.
Định lý được chứng minh.
Nhận xét 1.3. Định lý trên cho thấy tích vô hướng là một hàm liên tục
xác định trên H ×H.
Định lý 1.4. Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H ta luôn có đẳng
thức hình bình hành sau
||x + y||
2
+ ||x − y||
2
= 2(||x||
2
+ ||y||
2
). (1.4)
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, ta có
||x + y||
2
= x + y, x + y = ||x||
2
+ ||y||
2
+ x, y + y, x,

2. Từ định lý trên ta thấy, muốn đưa được tích vô hướng vào một không
gian định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình
hành. Ngược lại nếu H là một không gian định chuẩn trong đó đẳng thức
hình bình hành được thỏa mãn với mọi phần tử thuộc H thì trên H sẽ
tồn tại một tích vô hướng ., . sao cho chuẩn này được xác định nhờ tích
vô hướng. Điều này được thể hiện qua định lý sau.
Định lý 1.5. Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đó
đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H, tức là
||x + y||
2
+ ||x − y||
2
= 2(||x||
2
+ ||y||
2
)
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
khi đó nếu đặt
x, y = p(x, y) =
1
4

||x + y||
2
− ||x − y||
2

thì ., . là một tích vô hướng trên H và ta có


−
1
4

||x − z||
2
+ ||y − z||
2

=
1
2

||
x + y
2
+ z||
2
− ||
x + y
2
− z||
2

= 2p

x + y
2
, z

p(rx, z) = rp(x, z), ∀r ∈ Q và x, z ∈ H.
Nhờ tính liên tục của hàm p(., z) qua giới hạn ta có
p(αx, z) = αp(x, z), ∀x, z ∈ H và α ∈ R.
Vậy p(x, y) là một tích vô hướng trên H và hiển nhiên
||x||
2
= p(x, x).
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.6. Với mọi không gian tiền Hilbert H đều tồn tại một không gian
Hilbert H chứa H sao cho H là không gian con trù mật trong H.
Chứng minh. Dùng phép bổ sung đầy đủ của một không gian định chuẩn ta
được một không gian định chuẩn đầy đủ H chứa H sao cho H là không gian
định chuẩn trù mật trong H [2, Định lý 2.8].
Với mọi x, y ∈ H sẽ tồn tại các dãy (x
n
)
n
, (y
n
)
n
⊂ H sao cho
lim
n→∞
x
n
= x, lim
n→∞
y
n

+ ||y||
2
).
Theo định lý trên sẽ tồn tại một tích vô hướng trong H cảm sinh ra chuẩn
của H và ta có
lim
n→∞
x
n
, y
n

H
= x, y
H
.
Định lý được chứng minh.
Điểm mới chính yếu của không gian Hilbert so với không gian định chuẩn
là ở đó khái niệm tích vô hướng bao hàm các khái niệm về tính trực giao, trực
chuẩn, góc giữa các vectơ Trong phần sau chúng ta nhắc lại định nghĩa,
tính chất của các khái niệm đó và một số ví dụ minh họa.
Định nghĩa 1.4. Cho H là không gian tiền Hilbert thực.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
• Hai phần tử x, y ∈ H được gọi là trực giao với nhau nếu x, y = 0 và
được kí hiệu là x ⊥ y.
• Hệ S ⊂ H được gọi là hệ trực giao nếu các phần tử của S trực giao với
nhau từng đôi một, tức là ∀x, y ∈ S, x = y ta có x, y = 0.
• Hệ E = {e
1

Định lý 1.7. (xem [4]) Nếu S là một hệ trực giao gồm các phần tử khác 0
trong H thì S là hệ độc lập tuyến tính và ta có đẳng thức Pitago
||x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
||
2
= ||x
1
||
2
+ ||x
2
||
2
+ ··· + ||x
n
||
2
∀x
1
, x
2
, ··· , x
n
∈ S.
Như vậy một hệ trực giao gồm những phần tử khác 0 là một hệ độc lập

=
∞

n=1
||x
n
||
2
.
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Chứng minh. Đặt
S
n
= x
1
+ x
2
+ ··· + x
n
,
σ
n
= ||x
1
||
2
+ ||x
2
||

= |σ
n+p
− σ
n
|.
Từ đẳng thức này ta thấy dãy (S
n
)
n
là dãy Cauchy trong H khi và chỉ khi
dãy số thực (σ
n
)
n
là dãy Cauchy trong R.
Vì H và R là những không gian đầy đủ nên (S
n
)
n
hội tụ trong H khi và
chỉ khi dãy (σ
n
)
n
hội tụ trong R. Điều này có nghĩa là chuỗi

∞
n=1
x
n

||
k

n=1
x
n
||
2
= lim
k→∞
k

n=1
||x
n
||
2
=
∞

n=1
||x
n
||
2
.
Định lý được chứng minh.
Áp dụng Định lý trên cho hệ trực giao {x
n
} với x

2
hội tụ và
||x||
2
=
∞

n=1
|λ
n
|
2
.
Định lý sau đây cho thấy sự biểu diễn của môt phần tử x ∈ H bất kì.
Định lý 1.9. [4, Định lý 1] Cho M là một không gian con đóng của không
gian Hilbert H. Khi đó mọi phần tử x ∈ H đều biểu diễn một cách duy nhất
dưới dạng
x = y + z, y ∈ M, z ∈ M
⊥
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
trong đó y thỏa mãn
||x − y|| = ||z|| = inf
u∈M
{||x − u||} = d(x, M).
Nhận xét 1.5. Từ định lý này ta có thể viết
H = M ⊕ M
⊥
và y được gọi là hình chiếu trực giao của x lên không gian con M.
Hệ quả 1.3. Giả sử E = {e

n
}. Khi đó với
mỗi x ∈ H, hình chiếu trực giao y
n
của x lên không gian con M
n
có dạng
y
n
=
n

i=1
x, e
i
e
i
.
Vấn đề đặt ra là dãy (y
n
)
n
có hội tụ hay không? Câu trả lời sẽ có trong
phần sau.
Định nghĩa 1.5. Cho H là không gian Hilbert thực và x ∈ H. Chuỗi hình
thức
∞

i=1
x, e

1
, e
2
, ··· , e
n
} là không gian con đóng sinh
bởi hệ các vectơ {e
1
, e
2
, ··· , e
n
}.
Theo Hệ quả 1.3, tồn tại y
n
=

n
i=1
x, e
i
e
i
∈ M
n
và z
n
∈ M
⊥
n

2
=
n

i=1
|x, e
i
|
2
.
Cho n → ∞ ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.11. Giả sử E = {e
1
, e
2
, ··· , } là một hệ trực chuẩn trong không
gian Hilbert H. Khi đó bốn mệnh đề sau tương đương.
1. E = {e
1
, e
2
, ··· , } là một cơ sở trực chuẩn đầy đủ,
2. Mọi x ∈ H đều được khai triển thành chuỗi Fourier của nó, nghĩa là
x =
∞

i=1
x, e
i
e

i
e
i
ta chứng minh y = 0.
Với mỗi m ∈ N ta có
y, e
m
 = x, e
m
 − 
∞

i=1
x, e
i
e
i
, e
m

= x, e
m
 − x, e
m
 = 0.
Như vậy
y ∈ M
⊥
= M
⊥

n

i=1
x, e
i
e
i
,
n

j=1
y, e
j
e
j

= lim
n→∞
n

i=1
n

j=1
x, e
i
y, e
j
e
i

do đó chỉ cần chứng minh M
⊥
= {0}.
Thật vậy, với mọi z ∈ M
⊥
= M
⊥
ta có z ⊥ u với mọi u ∈ M, đặc biệt
z ⊥ e
n
nên z, e
n
 = 0 với mọi n ∈ N.
Theo đẳng thức Pacxevan ở (4) ta có
||z||
2
=
∞

i=1
|z, e
i
|
2
= 0
nên z = 0.
Vậy H = M, do đó E là một cơ sở trực chuẩn đầy đủ. Định lý được chứng
minh.
Định lý 1.12. (Riesz- Fischer) Giả sử E = {e
1

|
2
< +∞
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
nên theo Hệ quả 1.2 ta có chuỗi

∞
n=1
λ
n
e
n
hội tụ trong H.
Đặt
x =
∞

n=1
λ
n
e
n
∈ H
khi đó với mỗi k ∈ N ta có
x, e
k
 = 
∞



n=1
x

, e
n
e
n
= x

.
Định lý được chứng minh.
Ta đã biết, nếu H là không gian Hilbert thì H cũng là không gian định
chuẩn vì vậy ta sẽ quan tâm tới cấu trúc không gian liên hợp H
∗
= L(H, K)
của H. Định lý sau đây nêu lên đặc trưng của một phiếm hàm tuyến tính liên
tục trên không gian Hilbert H.
Định lý 1.13. [4, F. Riesz] Với mỗi véc tơ a cố định thuộc không gian Hilbert
H, hệ thức
f(x) = x, a, ∀x ∈ H (1.8)
xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian H với
||f|| = ||a||. (1.9)
Ngược lại với bất kì phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) nào trên không gian
Hilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.8), trong
đó a là một véc tơ của H thỏa mãn (1.9).
Định lý trên cho phép thiết lập tương ứng một - một giữa các phiếm hàm
tuyến tính liên tục f trên H và các véc tơ a ∈ H. Tương ứng đó là phép đẳng
cự tuyến tính, cho nên nếu ta đồng nhất phiếm hàm f với véc tơ a sinh ra nó
thì không gian Hilbert H có thể đồng nhất được với không gian liên hợp H

Ax, y = x, y
∗
 = x, A
∗
y
được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A.
Nhận xét 1.6. Toán tử liên hợp A
∗
nếu tồn tại là duy nhất.
Định nghĩa 1.7. Dãy (x
n
)
n
∈ H được gọi là
• Hội tụ mạnh đến x
0
∈ H nếu nó hội tụ theo chuẩn, nghĩa là
lim
n→∞
||x
n
− x
0
|| = 0,
kí hiệu x
n
→ x
0
hay lim
n→∞

2.1.1 Tập lồi và hàm lồi
Định nghĩa 2.1. Một tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu
∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Định nghĩa 2.2. • Một tập C ⊆ H được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
• C được gọi là nón có đỉnh tại x
0
nếu C − x
0
là nón có đỉnh tại 0.
• Nón C có đỉnh tại x
0
được gọi là nón lồi nếu C là một tập lồi, nghĩa là
∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C.
Định nghĩa 2.3. Cho C = ∅ là tập lồi trong H và x ∈ C. Nón pháp tuyến
ngoài của C tại x ∈ C, nón đối cực và nón đối ngẫu của C là các tập hợp
lần lượt được kí hiệu và xác định bởi các công thức
N
C
(x) := {w ∈ H : w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C},
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
C
0
:= {w ∈ H : w, x ≤ 0, ∀x ∈ C},
C
+
:= {w ∈ H : w, x ≥ 0, ∀x ∈ C}.
Định nghĩa 2.4. Cho A ⊂ H, khi đó ta có các định nghĩa
• Tập A được gọi là tập affine nếu

2
.
• Lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C.
Nhận xét 2.1
1. Nếu f là hàm lồi ngặt hay lồi mạnh trên C thì f là hàm lồi trên C.
2. f là hàm lồi trên C nếu epif là tập lồi trong H × R.
3. f là hàm lồi suy ra domf là tập lồi.
Một trong những ứng dụng quan trọng nhất của giải tích lồi là khái niệm
dưới vi phân hàm lồi, dưới đây ta nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của
dưới vi phân hàm lồi.
2.1.2 Dưới vi phân
Định nghĩa 2.8. Giả sử f là hàm lồi trên H.
• Phiếm hàm x
∗
∈ H
∗
được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại ¯x ∈ H nếu
x
∗
, x − ¯x ≤ f(x) −f(¯x), ∀x ∈ H.
• Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại ¯x được gọi là dưới vi phân của
hàm f tại ¯x, kí hiệu là ∂f(¯x), một cách tương đương ta có
∂f(¯x) := {x
∗
∈ H
∗
: x
∗
, x − ¯x ≤ f(x) −f(¯x), ∀x ∈ H}.
• Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại ¯x nếu ∂f(¯x) = ∅.

đúng. Do đó
∂δ
C
(¯x) = {x
∗
∈ H : x
∗
, x − ¯x ≤ 0, ∀x ∈ C} = N
C
(¯x).
Ví dụ 2.2. (Hàm lồi thuần nhất dương)
Cho f : H → R là hàm lồi thuần nhất dương, tức là hàm lồi f : H → R
thỏa mãn
f(λx) = λf(x), ∀λ > 0, ∀x ∈ H.
Khi đó
∂f(¯x) = {w ∈ H : w, ¯x = f(¯x), w, x ≤ f(x), ∀x ∈ C}.
Thật vậy
Nếu w ∈ ∂f(¯x) thì
w, x − ¯x ≤ f(x) −f(¯x), ∀x ∈ C. (2.1)
Thay x = 2¯x vào (2.1) ta có
w, ¯x ≤ f(2¯x) − f(¯x) = f(¯x). (2.2)
Còn nếu thay x = 0 vào (2.1) ta có
−w, ¯x ≤ −f(¯x). (2.3)
Kết hợp (2.2) và (2.3) suy ra
w, ¯x = f(¯x). (2.4)
Hơn nữa
w, x − ¯x = w, x − w, ¯x = w, x −f(¯x).
Do đó
w, x ≤ f(x), ∀x ∈ C.
Ngược lại nếu ¯x ∈ H thỏa mãn

2
(x) + ··· + ∂f
m
(x).
Hơn nữa nếu tồn tại
x ∈
m

i=1
domf
i
mà tại đó tất cả các hàm f
1
, f
2
, ··· , f
m
liên tục (có thể trừ ra một hàm nào
đó) thì bao hàm thức trên sẽ xảy ra dấu bằng, tức là
∂(f
1
+ f
2
+ ··· + f
m
)(x) = ∂f
1
(x) + ∂f
2
(x) ··· + ∂f

x∈C
f(x)
khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f(y) + N
C
(y).
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Trước khi trình bày các kiến thức về toán tử đơn điệu chúng ta nhắc lại
một số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị và giới thiệu một số ví dụ minh
họa.
2.1.3 Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 2.9. Cho X, Y ⊂ H và F : X → 2
Y
là ánh xạ từ X vào tập
hợp gồm toàn bộ các tập con của Y (được kí hiệu là 2
Y
). Khi đó ta nói F là
ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của
Y (F (x) có thể là tập rỗng).
Nếu với mọi x ∈ X, tập F (x) chỉ có đúng một phần tử thì ta nói F là ánh
xạ đơn trị từ X và Y và được kí hiệu là F : X → Y
Ví dụ 2.3. Xét phương trình đa thức
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ··· + a
n−1

domF = {x ∈ X : F (x) = ∅},
rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F(x)}.
Ví dụ 2.4. Với ánh xạ đa trị trong ví dụ trên ta có
gphF =

(a, x) ∈ R
n
× C : x
n
+ a
1
x
n−1
+ ··· + a
n−1
x + a
n
= 0

,
domF = R
n
, rgeF = C.
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn