TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ THẢO

DẠY HỌC MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TRONG
MÔN TOÁN THPT BẰNG CON ĐƯỜNG
CÓ KHÂU SUY ĐOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên giúp đỡ để em có điều kiện
tốt nhất trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đối với cô giáo Dương Thị Hà đã định hướng, chọn đề tài và
tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn, nên khóa luận không tránh khỏi
những hạn chế và còn có nhiều thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em
được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 5 tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo


1.2.1. Các định nghĩa, các cách hiểu về con đường này ................................... 6
1.2.2. Ưu điểm, nhược điểm và điều kiện sử dụng của con đường có khâu suy
đoán ................................................................................................................... 7
1.3. Các bước dạy học định lí bằng con đường có khâu suy đoán.................... 8
1.3.1. Gợi động cơ và phát biểu vấn đề............................................................. 8
1.3.2 Dự đoán và phát biểu định lí .................................................................... 9
1.3.3. Chứng minh định lí ............................................................................... 10
1.3.4. Vận dụng định lí .................................................................................... 19
1.3.5. Củng cố định lí ...................................................................................... 19
1.4. Các định lí trong chương trình toán THPT .............................................. 24
1.4.1. Một số định lí được thừa nhận .............................................................. 24
1.4.2. Một số định lí được chứng minh ........................................................... 25


CHƯƠNG 2. DẠY HỌC MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TRONG MÔN TOÁN
THPT BẰNG CON ĐƯỜNG CÓ KHÂU SUY ĐOÁN ............................. 28
2.1. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ........................................................ 28
2.2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai ......................................................... 31
2.3. Định lí sin ................................................................................................. 37
2.4. Định lí số hạng tổng quát của cấp số cộng ............................................... 41
2.5. Định lí chỉnh hợp “ Ank  n(n  1)...(n  k  1) với 1 k  n .” ................... 42
2.6. Định lí “Phép quay là phép dời hình.” ..................................................... 47
2.7. Định lí điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc ........................................... 50
2.8. Định lí ba đường vuông góc ..................................................................... 52
2.9. Định lí Logarit .......................................................................................... 54
2.10. Định lí về phương trình mặt cầu ............................................................ 59
2.11. Định lí về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng........................ 62
KẾT LUẬN .................................................................................................... 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 66



Phương pháp

5

Đpcm

Điều phải chứng minh

6

(c.g.c)

Cạnh - góc - cạnh

7

SGK

Sách giáo khoa

8

NXB

Nhà xuất bản

9

VD

Con đường hình thành định lí cho học sinh để từ đó học sinh phát hiện
nội dung định lí và chứng minh là một vấn đề quan trọng, những định lí là
những công cụ không thể thiếu được trong hoạt động chứng minh, cũng như
giải toán. Đối với học sinh nói chung, việc lĩnh hội kiến thức định lí còn gặp
nhiều khó khăn và hạn chế.
Sự thành công của việc dạy học phụ thuộc rất nhiều vào phương pháp
dạy học được giáo viên lựa chọn. Cùng một nội dụng nhưng tùy vào phương
pháp sử dụng thì kết quả sẽ khác nhau về mức độ lĩnh hội các tri thức, sự phát
triển của trí tuệ cùng các khả năng tư duy, về giáo dục đạo đức và sự chuyển
biến thái độ hành vi mà học sinh lĩnh hội.
Trong quá trình nghiên cứu em thấy một trong những cách dạy học giúp
học sinh phát triển tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn
đề, khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và
phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn là dạy
học định lí bằng con đường có khâu suy đoán.
Vì lí do trên em trọn đề tài nghiên cứu của khóa luận là “Dạy học một
số định lí trong môn toán THPT bằng con đường có khâu suy đoán.”

1


2. Mục đích nghiên cứu
Vận dụng lí luận về phương pháp dạy học định lí bằng con đường có
khâu suy đoán để dạy học một số định lí, tính chất trong chương trình toán
THPT nhằm phát huy tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh từ đó nâng
cao hiệu quả giảng dạy môn toán.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận về dạy học định lí trong môn toán ở THPT.
Hệ thống hóa các định lí trong chương trình môn toán ở THPT.
Tổ chức dạy học một số định lí ở môn toán THPT bằng con đường có

VD1: Định lí sin
“Trong tam giác ABC bất kì với BC  a, AC  b, AB  c và R là bán
kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:
a
b
c
”


sin A sin B sin C

Nhưng cũng có những mệnh đề là một định lí (nghĩa là được chứng
minh là đúng) nhưng lại không được nêu thành định lí.
VD2: Các công thức lượng giác như công thức cộng, công thức biến
đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng,...
Định lí là một mệnh đề đã được chứng minh dựa trên các tiên đề và quá
trình suy luận, là những cái có thể chứng minh dựa vào lí thuyết đã được công
nhận. (Tiên đề là những điều được công nhận đúng mà không cần chứng
minh.)
3


Định lí gồm có hai phần :
+ Giả thiết là điều đã cho.
+ Kết luận là điều suy ra.
VD3: Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường
thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Giả thiết: a / / c,b/ / c
Kết luận: a / /b
Định lí được đưa ra dưới hai dạng:

- Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ
hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách
suy nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình phổ thông.
- Thông qua học tập những định lí toán học, học sinh biết nhìn nhận nội
dung môn toán dưới góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề đồng thời rèn luyện
khả năng này.
1.1.3 Các con đường dạy học định lí
Trong việc dạy học định lí Toán học người ta phân biệt hai con đường:
con đường có khâu suy đoán và con đường có khâu suy diễn. Hai con đường
này được minh họa bằng sơ đồ:
Con đường có khâu suy đoán

Con đường có khâu suy diễn

Gợi động cơ và phát biểu vấn đề

Dự đoán và phát biểu định lí

Suy diễn dẫn tới định lí

Chứng minh định lí

Phát biểu định lí

Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề đặt ra
Củng cố định lí
5


- Con đường có khâu suy đoán gồm năm hoạt động:

- Con đường có khâu suy đoán trong dạy học định lí: Xuất phát từ một
nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học, từ đó giáo viên
dẫn dắt học sinh dựa vào những phương thức mang tính suy đoán, quy nạp
không hoàn toàn, lật ngược vấn đề,… từ đó đi đến một định lí tường minh hay
một sự hiểu biết về trực giác về định lí đó tùy theo yêu cầu của chương trình.
Theo phương pháp dạy học của Lê Văn Tiến.
- Con đường có khâu suy đoán trong dạy học định lí được dựa trên
quan điểm cho rằng hoạt động thực nghiệm (quan sát, đo đạc, dự đoán …) và
hoạt động nghiên cứu lí thuyết chỉ là thời điểm khác nhau của hoạt động toán
học (trong nghiên cứu cũng như trong dạy học toán). Nghiên cứu thực nghiệm
và nghiên cứu lí thuyết có mối quan hệ biện chứng không thể tách rời. Vì vậy,
phát triển năng lực thực nghiệm cũng có vai trò quan trọng như phát triển
năng lực tư duy, khả năng suy luận, trí tưởng tượng,…
Vì vậy mà trong chương trình toán THPT các khả năng thực nghiệm,
suy luận, phân tích, tưởng tượng, đánh giá, phải được phát triển đồng thời.
Trình bày một vấn đề, dự đoán về kết quả, thực nghiệm trên các ví dụ, thiết
lập một chứng minh, vận dụng các công cụ lí thuyết, trình bày lời giải, kiểm
tra các kết quả đạt được đánh giá tính thích đáng của chúng so với vấn đề đặt
ra chỉ là những thời điểm khác nhau của cùng một hoạt động toán học.
1.2.2. Ưu điểm, nhược điểm và điều kiện sử dụng của con đường có khâu
suy đoán

 Nhược điểm
- Tốn nhiều thời gian.

 Ưu điểm
- Khuyến khích tìm tòi, dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải quyết vấn
đề. Khuyến khích học tập tri thức toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và
phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức toán học có sẵn.


+ Phương trình tham số: 
với a 2  b2  0
 y  y0  bt

8


+ Phương trình chính tắc:

x  x0 y  y0
=
với a 2  b2  0
a
b

+ Phương trình tổng quát: Ax  By  C  0 với A2  B2  0
Tương tự, trong không gian phương trình đường phẳng cũng có ba
dạng sau đây không?
 x  x0  at
x  x0 y  y0 z  z0

=
=
; Ax  By  Cz  D  0 với
 y  y0  bt ;
a
b
c
 z  z  ct
0

thì chúng song song với nhau hay không?
Khi trình bày xong một dự đoán học sinh đứng trước hai câu hỏi cần
trả lời (hay hai vấn đề cần giải quyết) dự đoán đúng hay sai? Vì sao? Nói cách
khác học sinh đứng trước một bài toán mở cần giải quyết và có một sự không
chắc chắn về mệnh đề dự đoán (không biết nó đúng hay sai). Tính không chắc
chắn này là động cơ để học sinh hình thành những phép thử những mò
mẫm,... Đó chính là cơ hội để phát triển dần dần ở học sinh các khả năng
nghiên cứu khoa học.
1.3.3. Chứng minh định lí
- Gợi động cơ chứng minh
Để phát huy tính tự giác, tích cực của học sinh trong học tập, cần làm
cho học sinh thấy rõ sự cần thiết phải tiến hành chứng minh.
VD1: Định lí “Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng
( P) , có duy nhất một mặt phặng (Q) vuông góc với mặp phẳng ( P) .”

GV: Lấy điểm O  a , dựng đường thẳng b đi qua O và vuông góc với
( P) . Để chứng minh có duy nhất một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt

phẳng ( P) thì trước tiên GV cần hướng dẫn HS chứng minh mặt phẳng (a, b)
chính là mặt phẳng (Q) . Rồi mới chứng minh có duy nhất một mặt phẳng
(Q) vuông góc với mặp phẳng ( P) .

- Tập luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng
minh như phân tích, tổng hợp so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,...

10


VD2: Chứng minh rằng: sin3x  3sin x cos2 x  sin 3 x
sin3x

kết luận logic thường dùng.
Quy tắc đoạn luận:

A  B; A
B

Tam đoạn luận bắc cầu:
Tam đoạn phủ định:

A  B; B
A

Các quy tắc phản chứng:
Một số quy tắc khác:

A  B; B  C
AC

A  ( B  B)
A

A  B A  B  C x,A(x) x,A(x)
;
;
;
A B
B A
x,A( x) x,A( x)

Các quy tắc không được dạy một cách tường minh vì vậy chúng ta nên

với đường thẳng cho trước), ( P) trùng (Q) . Từ đó suy ra d nằm trong ( P) .

12


VD4: Tính chất “Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một
mặt phẳng thì song song với nhau”
Ta chứng minh a  ( P) , b  ( P) và a không trùng b . Theo quy tắc
tam đoạn luận bắc cầu ta suy ra a / /b .
+ Thứ hai: Cần giúp học sinh hình thành những tri thức về phương pháp
suy luận, chứng minh như suy ngược (suy ngược tiến, suy ngược lùi), suy xuôi,
quy nạp toán học, chứng minh bằng phản chứng và chứng minh loại dần,...
Phép suy xuôi là đi từ những đều đã biết, đến mệnh đề cần chứng minh
có sơ đồ sau:
A  A0  A1  ....  An  B

Phép suy ngược là đi từ mệnh đề cần chứng minh đến những điều đã
biết, gồm suy ngược tiến và suy ngược lùi:
B  B0  B1  ....  Bn  A (suy ngược tiến)
B  B0  B1  ....  Bn  A (suy ngược lùi )

Nói đúng hơn ta thường dùng phép suy ngược lùi (kết hợp với suy
ngược tiến) để tìm ra phương pháp chứng minh và dùng phương pháp suy
xuôi để trình bày chứng minh.
Trong ba sơ đồ trên A là một định nghĩa, tiên đề hay một mệnh đề
đúng nào đó, còn B là mệnh đề cần chứng minh.
Chú ý: Suy ngược tiến chỉ có tính chất

D


AX  BC và DX  BC .

- Gọi H là trực tâm của ABC ta có: AH  BC
CH  AB , theo giả thiết AB  CD  AB  DH

BH  AC , theo giả thiết AC  BD  AC  DH

Từ đó suy ra DH  BC (đpcm)
* Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học
Cho mệnh đề chứa biến P(n) với n  , để chứng minh P(n) đúng với
n  a , a  , ta làm theo các bước sau:

B1: Chứng minh rằng P(a) đúng.
B2: Giả sử P(k ) đúng, với k  a tùy ý, ta chứng minh P(k  1) đúng.
B3: Kết luận P(n) đúng với n  a .
VD6: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  3 ta luôn có:
2n > 2n  1 (1)

- Với n  3 ta có: 23 > 2.3  1đúng. Vậy (1) đúng với n = 3.
- Giả sử (1) đúng với n  k  3, k 

tức là 2k > 2k  1 là đúng.

- Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n  k  1
Nghĩa là cần chứng minh 2k 1 > 2(k  1)  1 hay 2k 1 > 2k  3

14


- Thật vậy ta có: 2k > 2k  1  2k 1 > 4k  2  2k  2k  2 > 2k  3



Ta có f (x)  ax 2  bx  c = a(x 2 

b
c
x )
a
a

 2
b
b2
b 2  4ac 
 a. ( x  2. .x  2 ) 
2a
4a
4a 2 


b
 

= a. (x+ ) 2  2 
2a
4a 


Ta giả sử ngược lại, phương trình không có hai nghiệm phân biệt . Từ
đó suy ra   0

ba yêu cầu đảm bảo chứng minh là đúng (luận đề không được đánh tráo; luận
cứ phải đúng; luận chứng phải hợp logic).
VD10: Phân tích chứng minh bất đẳng thức cosi.
Tiên đề

Luận chứng

Luận cứ
Hằng đẳng thức:

(a  b)2  0 ,

a 2  2ab  b2  0 ,

a, b  0

a, b  0

a 2  2ab  b2  0 ,

a2  2ab  b2  4ab ,

Tính chất bất đẳng thức:

a, b  0

a, b  0

A  B nên A  C  B  C


.  B.C

+ Thứ tư: Cần hình thành ở học sinh những tri thức phương pháp về
chiến lược giải toán chứng minh (có tính chất tìm đoán) theo con đường tập
luyện những hoạt động ăn khớp với tri thức này.
VD11: Rèn luyện khả năng chứng minh hình học
Chiến lược cần kết tinh lại ở học sinh như một bộ phận kinh nghiệm mà
họ thu được trong quá trình giải toán, sự kết tinh không nên để diễn ra một

17


cách tự phát mà cần có những biện pháp thực hiện có mục đích, có ý thức của
giáo viên. Cần tập luyện dần để học sinh nắm được các kiến thức trong quá
trình dạy học chứng minh định lí thông qua các câu hỏi.
GV có thể hỏi một cách có dụng ý những chỉ dẫn bằng các câu hỏi:
Hãy vẽ một hình theo dự kiện của bài toán. Những khả năng nào có thể
xảy ra.
Giả thiết nói gì? Giả thiết còn có thể biến đổi như thế nào?
Từ giả thiết suy ra được điều gì? Những định lí nào có thể giống hoặc
gần giống với giả thiết?
Kết luận nói gì? Điều đó còn có thể phát biểu như thế nào?
Đã có bài toán nào tương tự hay chưa?
Có cần kẻ thêm đường phụ hay không?
- Phân bậc hoạt động chứng minh theo 3 mức độ dựa vào tính độc lập
của hoạt động của học sinh.
+ Hiểu chứng minh.
+ Trình bày lại được chứng minh.
+ Độc lập tiến hành chứng minh.
Sự phân bậc hoạt động có thể được dùng để dạy học phân hóa nội tại

mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng
đó vuông góc với nhau.
Cho hình chóp S. ABCD với đường
cao SH , kí hiệu SK là một đường cao

A

B
K

của tam giác SAB .
a) Phải chăng mặt phẳng ( SAH )

H
D

C

vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) .
b) Phải chăng mặt phẳng ( SAK ) vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) .
+ Thể hiện: Tạo ra một tình huống phù hợp với nội dung định lí đã cho.

19