Bài tập ĐHUD & PTHH

PHẦN 1
Bài 1: (Bài 2_ GK 28/10/2010)
Cho tensor ƯS tại một điểm:
1

T   0
0


0
2
2

0 

2
3 

kN / cm 2

- Xác định các ƯS chính, phương mặt chính.
- Xác định tensor biến dạng, biết vật thể có hệ số poisson  = 0.2 , mô đun đàn hồi E = 2.5E4
MPa.
Giải:
- Xác định các ƯS chính, phương mặt chính:
+ X/đ các ƯS chính:
0
0 
1  


m
2

n

0


 

2

1   n 

2
2

l 2  m2  n2  1 

n2
6
3
 n2  1  n 
m
2
3
3

 




 Xác định v3 :
 

v1.v3  0  1 m  6 n  0 l  0
 3

3
 
v
.
v

0
m  n 2
l  0
 2 3

3
6
l 2  m 2  n 2  1  2n 2  n 2  1  n 
m
3
3

LVH _ K.07

1



 zx
x
xy

2
2 


1
1 

T   xy
y
 yz
2
2 
1

  zx 1  yz
z 
2
 2

E
E
5E



 zx 0
 zx 
 0
G G





0

0
0
0
0
0 


0




1, 2 6 2 
1, 2
6 2

3
4
 T   0


0 

2
2 

Bài 2: Xác định ƯS chính, phương chính của tensor ƯS:
   
T      ,   const  0
   
Trạng thái ƯS đó là gì ?
Giải:
- Xác định các ƯS chính:
 I1        3


2
2
2
 I 2   .   .   .        0

2
2
2
 I 3   . .  2 . .   .   .   .  0

 3  I1 . 2  I 2 .  I 3  0   3  3 . 2  0  (  3 ). 2  0   1  3 ;  2   3  0
 Trạng thái ƯS đơn

- Xác định các phương chính:

 



  0 1 1   m   0 , h2   h2  h3  


3
 0 0 0   n 


 h3  h1  h2  h3 



lmn
l 2  m2  n2  1  3n2  1  l  m  n 

1
3

  1 1 1 
 v1 
,
,

 3 3 3

 2 = 0:
     l 

m
n0
v1.v3  0  3
l  2n
3
3


 
m  n
v2 .v3  0  1 m  1 n  0
 2
2
2

l

1
6

l 2  m 2  n 2  1  6n 2  1  n 

6
m  1

6
  2 1 1 
 v3  
,
,


Giải:
1. X/đ các thành phần ƯS chính:
0
0 
18  
det  0
10  
5   0  (  18).[( -10).( -20)-25]=0
 0
5
20   
 (  18).( 2 -30  175)=0   1  15  5 2 ,  2  18 ,  3  15  5 2

2. Tìm các cosine chỉ phương của mặt chính:
 1  15  5 2 :
3  5 2
 l 
0
0

  
5(1  2)
5   m   0
 0

  
5
5(1  2)  n 
 0


 0 0 0  l 
 0 8 5  .  m   0

  
 0 5 2   n 
 8 5

 0

 5 2

mn0
2
2
2
l  m  n  1  l  1
 v2  1, 0, 0 

  3  15  5 2 :
3  5 2

 0

 0

 l 
  
5( 2  1)
5    m   0


4


Bài tập ĐHUD & PTHH

 
 v3  0, 


 
Vậy: v1  0, 


2 2 2 
,

4
4 
 
2 2  2  
2 2 2 
,
,
 ; v2  1, 0, 0  ; v3  0, 

4
4 
4
4 

2

Bài 5: (Bài 2.7)
 X/đ các ƯS chính:
5  
det  0
 0

0
6  
12

0 
12   0  (  5).[( +6).( -1)-144]=0
1   

 (  5).( 2 +5  -150)=0   1  10 ,  2  5 ,  3  15

 ƯS tiếp lớn nhất:
   3 25
 max  1

2
2
Bài 6: (Bài 2.8)
 Xác định lực thể tích để pt cân bằng trong vật thể:

  x  yx  zx 



y
z 

 x

 Xác định các ƯS chính tại điểm P ( a, 0, a 2 ) :
Tensor ƯS tại điểm P:
0 a 0 
T   a 0 0 
 0 0 8a 

LVH _ K.07

5


Bài tập ĐHUD & PTHH

0 
  a

det  a 
0   0   2 .(8a   )  a 2 .(8a   )  0
 0
0 8a   
 (8a   ).( 2  a 2 )  0   1  8a ,  2  a ,  3   a , ( a  0)

 ƯS tiếp max tại điểm P ( a, 0, a 2 ) :
 max 






Z     xz  yz   z   (0  0  4 x )  4 x
y
z 

 x

Bài 8: Cho tensor ƯS tại 1 điểm:
0
15 0

T   0 10 5
 0 5 6 

1. X/đ ƯS chính:
15  
det  0
 0

0
10  
5

0 
5   0  (  15).[(  10).(  6)-25]=0
6   



T   yx  y  yz    5 4 0 


 zx  zy  z   0 0 20 


1. X/đ ƯS chính:
 I1   x   y   z  12  4  20  28


2
2
2
2
 I 2   x . y   y . z   z . x   xy   yz   zx  12.(4)  (4).20  20.12  5  87

2
2
2
5
 I 3   x . y . z  2 xy . yz . zx   x . yz   y . zx   z . xy  12.( 4).20  20.5  1460

ƯS chính là nghiệm pt:
LVH _ K.07

6


Bài tập ĐHUD & PTHH

( 1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2  ( 3   1 ) 2 
3
3
2

Bài 10: (Bài 2.4)
Trạng thái ƯS tại 1 điểm cho bởi tensor ƯS:
  a. b. 
T   a.  c. 
 b. c.  
X/đ a,b,c sao cho ƯS = 0 trên mặt nghiêng đều với 3 trục tọa độ.
Giải:
ƯS = 0 trên mặt nghiêng đều với 3 trục tọa độ:
  a. b.  1
  a.  b.  0
1  a  b  0
 a.  c.  . 1 . 1  0  a.    c.  0  a  1  c  0  a  b  c   1



  3
2




 b. c.   1
b.  c.    0
b  c  1  0
Bài 11: (Bài 2.6)

2 1 0   n 
 2 1 0   n 
1

l

1
6

l 2  m 2  n 2  1  n 2  4n 2  n 2  1  n  

6
m   2

6

Vậy:

1, 2,1 /

6 và

 1, 2, 1 /

6

Bài 12:
Trạng thái ƯS tại 1 điểm của VT cho bởi tensor ƯS:
c.x3
0 

y

z

 
 yz  z

 Z  0000  0
 xz 
y
z
 x

Thỏa mãn pt vi của sự cân bằng.
Bài 13: Trạng thái ƯS tại điểm P được biểu diễn bởi:
 7 5 0 
T   5 3 1 


 0 1 2
Hãy xác định vectơ ƯS, ƯS pháp và ƯS tiếp trên mặt nghiêng đi qua P và song song với mặt
phẳng 3x+6y+2z = 12.
Giải:

Vectơ pháp tuyến đơn vị v  l , m, n  của mặt nghiêng:
3
3


l  2


X  7 7  5 7  0 7   7

3
6
2 5

Y  5   3   1 
7
7
7 7

3
6
2 10

Z  0  7  1 7  2  7  7

  9 5 10 
p , , 
 7 7 7
2

2

2

206
 9   5   10 
pv           

8


Bài tập ĐHUD & PTHH

 x  yx  zx


X 0


x

y

z

3 y  10 y  0  X  0  X  13 y
  xy  y  zy




 Y  0  0  0  2  Y  0
 Y  2

y
z
 x
0  0  0  Z  0

 y y

x2  y2
2
xy


2
  w  3 z 2
 2
z
2

z
x  y
 T  
2 xy

2
 xy  u  v  x 2  y 2

x

y x
 y


2
2


yz

 2y  2z
z
y
 yz
 2
2
2
   zx    z    x
 zx x 2
z 2
 2


2   x     yz   zx  xy 
 yz x  x
y
z 
 2
   y    yz  zx  xy 
2 zx  y  x  y  z 



2
 
 
  



Biến dạng thể tích = 0:
x  y  z  0  A  B
Bài 18:
Cho trường chuyển vị: u  ax  3 y , v  3x 2  by , w  5 y  bz
1. Viết các thành phần biến dạng  ,  trong hệ tọa độ ĐÊCAC:
u

 x  x  a

  v  b
 y y


a 3
  w  b
a 6 0

z

z


 T   6 b 5   T   3 b


u

v


  x   y   z  0  a  2b  0  a  2b

Bài 19:
Một trường chuyển vị: u  2 x  3 , v  x 2  2 y 2 , w  z 2  2
1. X/đ tensor biến dạng:
u



2
x

x

  v  4 y
 y y





2
x
0

w
 
 2z




v

w
 yz  
 05 5

z y

 zx  w  u  0  0  0
x z


2. X/đ các biến dạng chính tại điểm A(0,1,1):
Tensor ƯS tại điểm A:

2 0

T   0 4


5
0

2


0

5

1
7

2
2
2
2
 I 3   x . y . z  4 ( xy . yz . zx   x . yz   y . zx   z . xy )  2.4.2  4 (0  2.5  0  0)  2

Các biến dạng chính là nghiệm của pt:
 3  I1 . 2  I 2 .  I 3  0
55
7
  3  8. 2  .   0
4
2
 4 3  32. 2  55.  14  0
 (  2).(4 2  24  7)  0
6  29
,
2
 6  29

 2
 T   0

 0

 1 



5
0
2

2



2  
0
0 


5 
25
det  0
4
 0  (  2).[( -4).( -2)- ]  0

2 
4


5
 0
2 

2


 T   0 7 2

 xy  u  v  1  1  0
 0 2 4
y x


 yz  v  w  0  4  4

z y

 zx  w  u  3  3  0
x z


Các bất biến:

 I1   x   y   z  4  7  4  15

1 2
1

2
2
2
 I 2   x . y   y . z   z . x  ( xy   yz   zx )  4.7  7.4  4.4  (0  4  0)  68
4
4

1

1
1

2
2
2
 I3   x . y . z  4 ( xy . yz . zx   x . yz   y . zx   z . xy )  5.4.4  4 (0  0  4.4  4.4  0)  72
Các biến dạng chính là nghiệm của pt:
 3  I1 . 2  I 2 .  I 3  0

  3  13. 2  54.  72  0
 (  4).( 2  9  18)  0
 1  6 ,  2  4 ,  3  3

6 0 0


Vậy: T   0 4 0 
 0 0 3 
 Các bất biến của tensor biến dạng:

LVH _ K.07

12


Bài tập ĐHUD & PTHH


 I1   x   y   z  6  4  3  13

 xy .(1)   y .0  0


2
2
,
 , X  Y  0
2
2



 Biên AC: v 

 
 x . 
 

 
 xy . 
 


2
2
   xy .  
  0
2 
 2 



 Biên BC:  
,
 , X   . y , Y  0
2 
 2

LVH _ K.07

13


Bài tập ĐHUD & PTHH

 
 x . 
 

 
 xy . 
 


2
2
   xy .  
   . y
2 
 2 
 x   y   2. . y


  2

2
 x . 
   xy .  
  0
2
  2 


  x   y   xy





2
2

 xy .  2    y .   2   0



 

 Biên BC:  (0,1) , X  ? , Y  ?

Bài 25:
Bài toán phẳng (dài vô hạn theo phương x) chịu lực như hình vẽ. Viết điều kiện biên trên các cạnh

Bài tập ĐHUD & PTHH

Một vật thể chịu lực tác dụng trên các biên như hình vẽ (bài toán phẳng). Viết điều kiện biên trên
các cạnh Ox, Oy.

Giải:

 Biên Ox:  (0, 1) , X  0 , Y   .x
 x .0   xy .(1)  0
 y   .x


 xy .0   y .(1)   .x  xy  0


p 2
p 2
, Y 
2
2


p 2
p 2
 x .(1)   xy .0 
 x  


2
2



 Biên CD:  (0,1) , X  Y  0
 x .0   xy .1  0
  y   xy  0

 xy .0   y .1  0
Bài 28: Viết điều kiện biên đối với tấm tam giác chịu lực như hình vẽ:

LVH _ K.07

15


Bài tập ĐHUD & PTHH

Giải:

 Biên OA:  (cos ,  sin  ) , X   p.cos , Y  p.sin 
 x .cos   xy .( sin  )   p.cos
 x .cos   xy .sin    p.cos


 xy .cos   y .( sin  )  p.sin 
 xy .cos   y .sin   p.sin 


 Biên OB:  (1, 0) , X   . y , Y  0
 x .(1)   xy .0   . y  x   . y



Bài 28: (Bài 1_ GK 28/10/2010)
Với hàm ƯS được chọn   a
LVH _ K.07

x2
2
16


Bài tập ĐHUD & PTHH

Hãy tìm bài toán phẳng hình tam giác như hình vẽ:
Giải:
 4   0 (thỏa)

 2
 x  2  0
y


 2
 y  2  a
x


 2




2
2

Y  0  2  a  2  a

2
2
2

Bài 29:
Bài toán phẳng như hình vẽ với hàm ƯS được chọn là:

 ( x , y )  ay 3  by 2  cx  dy

Trong đó: a, b, c là các hằng số.Biết rằng ƯS pháp theo phương trục x tại các điểm A và B lần
lượt là A và B .
1. Tìm các hằng số a, b, c, d trong biểu thức hàm ƯS.
2. Vẽ qui luật biến thiên của ƯS x , y , xy trong bài toán phẳng.
Bài 30: (Bài 5.1)



3F 
x. y 3  P 2
x
.
y


 y

3F
y2





(1

)
 xy
2

x

y
4
c
c

 Biên x = 0:

  P
 x
 y  0

2
   3F (1  y )  0
 xy
4c



Cách khác: 
 Biên x = 0: v  1, 0 
 X   x .( 1)   xy .0   P


3F  y 2 
Y


.(

1)


.0


1  2 
xy
y
4
c
 c 


 Biên x = L: v 1,0 

3F .L. y

xy (3d  2 y )
d3

Giải:
 4   0 (thỏa)

2
6F
 x  2   3 x( d  2 y )
y
d


2
 y  2  0
x


2 6F

y (d  y )
 xy  
xy d 3


 Biên x = 0:
 x   y  0


6F

Cách khác: 
 Biên x = 0: v  1, 0 

LVH _ K.07

19


Bài tập ĐHUD & PTHH

 X   x .( 1)   xy .0  0


6F . y
Y   xy .( 1)   y .0   3  d  y 
d


 Biên x = L: v 1,0 
6 F .L

 X   x .1   xy .0   d 3  d  2 y 

Y   .1   .0  6 F . y  d  y 
xy
y

d3

 Biên y = 0: v  0, 1

4c
5

 2
q



  3 ( y 3  3c 2 y  2c3 )
 y
2
x
4c

2


3q.x
  3 (c 2  y 2 )
 xy  
xy
4c

 Biên x = 0:


q. y  3c 2
 y2 
 x  3 
2c  5


Bài tập ĐHUD & PTHH

q. y
6 2

2
2
 x   4c3 (3L  2 y  5 c )

q

3
2
3
 y   3 ( y  3c y  2c )
4c

3qL 2

2
 xy   4c 3 (c  y )

 3L2 1 
 y = -c:  x  q  2   ;  y  q ;  xy  0
 4c 5 
q
3qL
 y = 0:  x  0 ;  y   ;  xy  
2c

4c
5

 y   xy  0

 x = 0:
 x = L:

q
;  y   q ;  xy  0
5
 3L2 1 
 x  q  2   ;  y  xy  0
 4c 5 

x  

Bài 33: - Các trường hợp biểu diễn ƯS ứng với hệ trục tọa độ bất kỳ như h/vẽ.
- Chiều của các vec tơ ƯS là dương: x , y , xy ≥ 0
- Trên mặt dương, xy cùng chiều với 1 trục tọa độ và ngược lại trên mặt âm.

LVH _ K.07

21


Bài tập ĐHUD & PTHH

------------------------------ // ------------------------------


B C D.ln r 
2B D 


  A.r  3  
 .( sin  )   2 A.r  3   .sin 
r
r
r 
r
r 


B


  (3 A.r 2  2  D.ln r  C  D ).sin  
2
 
r
   6 A.r  2 B  D  .sin 
  2  


r
r
r3
r 

  1  


2B D 
 2 A.b  b3  b  .sin   0


 2 A.b 4  2 B  D.b 2  0 (2)

 2 A.b  2 B  D  .cos  0


b3 b 

   0:

LVH _ K.07

22


Bài tập ĐHUD & PTHH
b

b

  r .dr  P    (2 A.r 
a

a

2B D

 2 A.(a 2  b 2 ).ln  P
2 2
ab
a
b

 2 A  a 2  b 2  (a 2  b 2 ).ln   P
a

P
 A
b

2  a 2  b 2  (a 2  b 2 ).ln 
a

2 2
Pa b
P(a 2  b 2 )
B
; D
b
b
 2
2
2
2
a 2  b 2  (a 2  b 2 ).ln
2  a  b  (a  b ).ln 
a


B C D.ln r 
2B D 


  A.r  3  
 .( cos )   2 A.r  3   .cos
r
r
r 
r
r 


B


  (3 A.r 2  2  D.ln r  C  D ).cos 
2

r
   6 A.r  2 B  D  .cos
  2  


r
r
r3 r 

  1  


23


Bài tập ĐHUD & PTHH


2B D 
 2 A.b  b3  b  .cos  0


 2 A.b 4  2 B  D.b 2  0 (2)

 2 A.b  2 B  D  .sin   0


b3 b 

   0:
b
    .dr  P (3)
a
 b
    .rdr  0
a
b
   r .dr  0
 a

3/

b


 2 A  a 2  b 2  (a 2  b 2 ).ln   P
a

P
 A
b

2  a 2  b 2  (a 2  b 2 ).ln 
a

2 2
Pa b
P( a 2  b 2 )
B
; D
b
b

a 2  b 2  (a 2  b 2 ).ln
2  a 2  b 2  (a 2  b 2 ).ln 
a
a


4/ X.đ các thành phần ƯS tại bán kính r :
2B D 


B
; D
b
b

a 2  b 2  (a 2  b 2 ).ln
2  a 2  b 2  (a 2  b 2 ).ln 
a
a


Bài 3: Dầm cong tiết diện chữ nhật như hình vẽ:
LVH _ K.07

24


Bài tập ĐHUD & PTHH

 ( r ,  )  f ( r ).cos
B
Với : f (r )  A.r 3   C.r  D.r .ln r
r

1) X/đ các thành phần ƯS theo các hằng số.
2) Viết các điều kiện biên.
3) Thiết lập hệ phương trình để x/đ các hằng số từ điều kiện biên.
4) X/đ các thành phần ƯS.
Giải:
1)

r
   6 A.r  2 B  D  .cos
  2  


r
r
r3 r 

  1  
 
B
2B D 
 
2
 r   
    ( A.r  2  C  D.ln r ).( sin  )    2 A.r  3   .sin 
r  r  
r 
r
r
r 
 

2) Đ.K biên:
 r  a :  r   r  0

2B D 
 2 A.a  a 3  a  .cos  0



3/
(1, 2)  2 A.(a 4  b 4 )  D.(a 2  b 2 )  0  D  2(a 2  b 2 ). A
(1)  2a 4 . A  2 B  2(a 2  b 2 )a 2 . A  0  B   a 2b 2 . A
b

b

2B
2B
(3)   (6 A.r  2  D ).1.dr  M  (2 A.r 3 
 D.r )  M
r
r
a
a
2(
a

b
)
 2( a 3  b3 ). A 
.B  ( a  b).D   M
ab
(a  b)
 2 A.(a 3  b3 )  2 A.a 2b 2 .
 2 A.(a 2  b 2 )(a  b)   M
ab
 4ab( a  b). A   M
2