Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh

A. PHầN Mở ĐầU.
1. Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình hình học phổ thông trung học chúng ta được nghiên cứu lý thuyết
vectơ, vận dụng vecto để xây dựng các khái niệm hình học, các quan hệ hình học và một
số hệ thức lượng của một số hình hình học. Đi liền với sự mở rộng khái niệm là những
phương pháp mới, công cụ mới để giải các bài toán, mà hình học véctơ là một ví dụ.
Véctơ không chỉ là phương tiện để xây dựng các kiến thức hình học mà còn là một công
cụ hiệu quả để giải toán từ đại số, giải tích, ,đến hình học . Nhờ phương pháp véctơ mà
các bài toán hình học thông thường có nội dung như song song, thẳng hàng, đồng qui,
đồng phẳng, các tỉ số đoạn thẳng, bài toán cực trị ,quỉ tích,trong hình học có thể đựơc
giải quyết một cách đơn giản, dể hiểu .
Với đa số học sinh trí tưởng tượng trong không gian còn hạn chế và gặp nhiều khó
khăn khi tiếp cận với các bài toán hình học không gian, thì phương pháp véctơ có thể giúp
học sinh học tập một cách chủ động, phát huy tính độc lập sáng tạo trong giải toán mà
không quá phụ thuộc vào các hình hình học. Vì thế bài viết này chúng tôi dạn đưa ra
một số một số định hướng thể hiện phương pháp véc tơ qua một số dạng toán điển hình
trong hình học không gian nhằm giúp học sinh có thêm một phương pháp hiệu quả bổ
sung vào cẩm nang giải toán không gian một lĩnh vực được xem là trừu tượng trong
toán học.
2. Cấu trúc đề tài.
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
2. Cấu trúc đề tài.
Nội dung.
1. Kiến thức và phương pháp.
2. Qui trình giải các bài toán hình học bằng công cụ véctơ.
3. Các ví dụ minh họa.
Kết luận.


1.4 Trọng tâm, tâm tỉ cự.
Cho n điểm phân biệt A1,A2,...An và n số thực 1 , 2 ,... n ( 1 2 ... n 0 ) thì tồn tại duy








nhất điểm G thõa mãn: 1 GA1 2 GA2 ... n GAn 0 (*) và mọi điểm O ta có:



OA OA ... OA
1
1
2
2
n
n
OG
(**)
1 2 ... n

Điểm G thõa mãn (*) gọi là tâm tỉ cự của hệ n điểm { A1,A2,...An} ng vi h { 1 , 2 ,... n }.





suy
Với
đó ta
ra:
3 điểm A,B,C thẳng hàng lúc đó O bất kì ta có sự phân tích
OC OA OB + =1
Quan hệ đồng phẳng.

Ba vetơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số k,l , n sao cho
Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian

2


Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh
ka lb mc
0 . Ba véctơ a, b, c không đồng phẳng thì từ ka lb mc 0 k=l=m=0.
Bốn điểm
A,B, C,
Dđồng
phẳng.
m,n AB mAC nAD
.


a song song với


đường thẳng b có véc tơ chỏ phương b ta chứng minh a, b phân biệt và a,b
cùng phương.
Để chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng
(P) hoặc nằm trên mặt

phẳng (P) ta lấy trong mặt phẳng (P) hai véctơ b, c không cùng phương rồi

chứng minh ba vectơ a, b, c đồng phẳng tức là tồn tại m,n sao cho



a mb nc
Các bài toán về đồng qui.
Bài toán chứng minh một số hữu hạn dường thẳng nào đó đồng qui tại điểm O, ta
đưa bài toán này về chứng minh thẳng hàng tức là lấy trên mỗi đường thẳng đó hai
điểm rồi chứng minh rồi chứng minh nó đi qua O.
Các bài toán về đồng phẳng.

Để chứng minh 3 véctơ trong không gian a, b, c đồng phẳng ta tìm cách



biểu diển một vec tơ qua hai véctơ còn lại: a mb nc

Để chứng minh 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng ta chọn 3 vécơ AB,AC,AD
và chứng minh 3 vec tơ đồng
phẳng

Để tính toán độ dài đoạn thẳng hay các tỉ số ta chuyển đổi mối liên hệ giữa các độ dài
Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian

3


Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh


hình học AB, đại số AB , độ dài vectơ AB , chuyển bình phương vô hướng sang bình
2
2
phương vectơ AB

AB

, chuyển từ ngôn ngữ hình học sang vectơ.
AB kAC AB kAC (A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng),....
Các bài toán cực trị hình học.
2. Qui trình giải bài toán bằng công cụ véctơ
Bước 1: Chuyển cách diển đạt ngôn ngữ hình học thông thường sang ngôn ngữ vectơ
Bước 2: Chọn hệ véctơ cơ sở và thực hiện các yêu cầu bài toán thông qua các biến đổi
véctơ
Bước 3: Chuyển các kết luận véctơ sang ngôn ngữ hình học tương ứng.
3. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. ( Đề thi HSG 11 năm 2012 Tỉnh QB). Cho t din SABC cú SA = SB = SC
= 1, mt phng (P) i qua trng tõm M ca t din, ct cnh SA, SB, SC ln lt ti
D, E, F (khỏc S).
1 1 1 1
a) Chng minh rng: SM

SE
SF
1 1 1 1

SD
SE SF
4 SD
SE
SF
F
Cách 2:
Gi S' SG (ABC)
G
SG 3
D

S l trng tõm ca tam giỏc ABC nờn
SS' 4

A
C
4SG 3SS' SA SB SC
E
SA SB SC

SD
SE
SF
S'
SD

4  SD
SE
SF 
 1  1  1  1   
C©u b:Theo câu a, ta có SM  
SD 
SE  SF   0
4  SD
SE
SF 
Mà M,D,E,F đồng phẳng nên:
1 1
1
1 
1 


0
4  SD SE SF 
1
1
1



4
SD SE SF
2
1
1

cắt (INJ) theo giao tuyến LM’//NK
Ta

có

NK//BC’//AD’/M’L

nên

A

M

D

I

BN KC'

 BN  C' K
BB ' C ' B

B

Ta có: AIM '  C ' JK  C’K=AM’Suy
ra BN=AM’ nên M trùng M’, hay M

C

L

 


5


Nguyễn Thanh Hậu- tổ toán trường THPT Chuyên Quảng Bình
 
mà IM, IN không cùng phương nên MN và IJ đồng phẳng

      a  
MN  MA  AB  BN , IJ. MN 
IM  IN





  
MA  AB  BN  0



k

 

Nên MN vuông góc IJ giả sử HN  x MN , HM  yMN .
 
1

AE  x AM  xa  xc , BF  yBN  ya  yb
2
2
2
    1
 1 

Suy ra: EF  EA  AB  BF   y  x  a  yb   x  1 c
2
2
 1 
  1  
 1
 
y

x
a

yb

x

1
c






2 y  x  0  y  1

3
2

 2

3
1  1  1
 1  1  1
nên EF   a  b  c Do đó | EF | EF    a  b  c  
6
6
3
6
3 
3
 6

Phương pháp véctơ giải toán hình học không gian

6


Nguyn Thanh Hu- t toỏn trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh

Vớ d 4: Cho hình hộp ABCDABCD .
a)Chứng mnmh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác
BDA1 và đỉnh C1 thẳng hàng.
AG


3 AG GB GA ' GD = a b c


mà G là trọng tâm của tam giác DBA nên GB + GA' + GD = 0


Vậy AG =

C

b

D

G

C'

B'
D'

1
( a b c ). (1)
3

Mặt khác theo qui tắc hình hộp ta có:
' '
'




AG và GC ' cùng phương, tuy nhiên ta cũng có thể sử dụng điều kiện A, G, C thẳng hàng



khi và chỉ khi DG xDA yDC ' với x+y=1 .
Thật vậy:


2

G là trọng tâm của tam giác BDA nên DG DM với M là trung điểm của AB
3
1

1 '
1 ' 1 '
' '
Mà DM ( DB DA ) do đó DG ( DB DA ) = ( DC CB DD D A ) = (a 2b c )
2
3
3
3
'
Ta biểu diển các vectơ DA, DC qua hệ vectơ cơ sở ta được


DA b , DC ' a c



li gii:
Ta xác định I, J :
Trong mặt phẳng (SAB) gọi C là giao điểm của AN và BM. B là giao điểm của MC với
AP trong mặt phẳng (SAC) và trong mặt phẳng (SAB) gọi A là gia điểm của BP với CN.
Lúc đó trong mặt phẳng (BCM) có I là giao điểm của BB với CC


Trong mặt phẳng (ANP)
giaođiểm
cóJ là
của
NB và PC
Chọn
véctơ
a , SB
cơ
sở{
SA

hệ
b , SC c } Đặt
S
SM xMA , SN yNB , SP zPC
với x,y,z >0. lúc đó




x

'




Do đó : SC '

N

A

'

C

'

s




tương tự khi C thuộc AN ta có SC ' lSN (1 l )SA



k SM (1 k ) SB = l SN (1 l ) SA


kx


x
y
a
b
1 x y
1 x y





z
x
y
z
Tương tự ta tính được SA'
c
a
b
c , SB '
1 x z
1 x z
1 z y
1 z y



.
Vì I là giao điểm




z
xz
c
a
1 x z
(1 x z )(1 x )



xy
y
tương tự: MC '
a
b
(1 x y )(1 x )
1 x y


x
x
mà MB SB SM b
a , MC SC SM c
a
1 x
1 x
Thay các giá trị này vào (*) ta được:


(1 l ) x
)b (
(1 k ))c 0


)a + (1 k
1 x y
1 x z
(1 x y )(1 x ) (1 x z )(1 x) 1 x



vì a, b, c là cơ sở nên :


lxy
kxz
1 l x 0



1 x
1 x y 1 x 1 x z 1 x

lk
0
1 k
1

x




1 x z
z
xz
1 z x
y
x
MI
.
c
a
(b
a)
1 x y z 1 x z
(1 z x )(1 x) 1 x y z
1 x y z
1 x




z
y
x
yz
hay MI
c
b

1
SJ hay SJ (1 x y z ) JI
1 x y z
SI
MS NS PS
1 x y z 1


điều này chứng tỏ S,I,J thẳng hàng và ta có:
IJ
MA NB PC
Ví dụ 6: Cho hình hộp chử nhật ABCABCD .Gọi M,N lần lượt chia AC và CD theo
các tỉ số m,n. Xác định m,n để MN// BD.
Li gii:


'

' '
'
'
Chọn hệ véctơ cơ sở là B A a , B B b , B C c
'

B
C

Vì M chia AC theo
tỉ
số

tương tự NB '
n 1

c

'
Ta có: MN B ' N B ' M
'
C
a




n
1
1
m
B

)a
b (1
)c
MN (
n 1 m 1
m 1
m 1
A'
(*)
D'

1
Từ (*) và (**)
k
n 1 Vậy với m=-3 và n=-1 thì MN//BD.
m 1

1
m

k

4
1 m 1 k

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD gọi I,K,E,F lần lượt chia các đoạn AB,DC,BC,AD theo các tỉ
số lần lượt là -2,-2,

3 3
, .
2 2

a)Chứng minh rằng BC, IK, AD đồng phẳng và AB, EF ,CD đồng phẳng.
b) Chứng minh 4 điểm I,E,F,K đồng phẳng.
Li giải:

Chọn hệ véctơ cơ sở là { BC a, BD b, BA c}
3

Hay IK BC AD IK , BC , AD đồng phẳng.
3
3

3 3
+Tacó EF EB BA AF
BC BA AD =
5
5



3
2
(b a) c
5
5


3
5

2
5



hay EF CD BA EF , CD, BA đồng phẳng.

I



2
1
1
1 3 y
Giả sử tồn tại x,y sao cho IK xIE y IF a b c xc xa c
3
3
3
3
5
15

2
2
3 x 3
10

x
1
3

9
y

3
5
y 5
1

AB a
1 ' 1
1 1
BN BB c nên MN b a c
2
2
2
2

'
'
ta cũng có A C A A AD DC a b c

A

D

N

A'

Phng phỏp vộct gii toỏn hỡnh hc khụng gian

M

B

'

c

Do ABCDA 
B C D lµ h×nh lËp
ph­¬ng nªn a.b  b.c  c.a  0
 '

Do ®ã: MN . A C  0  MN  A'C .
Bài tập tương tự:
Bài 1:Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác cân đỉnh A, D là trung điểm BC, vẽ DE  AB
( E  AB ), Biết SE  ( ABC) . Gọi M là trung điểm DE. Chứng minh AM  (SEC) .
Bài 2: Cho tam diện O.ABC vuông tạo O. Gọi OH là đường cao của O.ABC, I là trung điểm
AH. Giả sử SO, SA,S B,SC là diện tích của các mặt (ABC), (OBC), (OAC) và (OAB).










Chứng minh rằng : S 2O . IO  S 2A . IA  S 2B . IB  S 2C . IC  0 .
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là một điểm bất kì thuộc phần trong của tứ diện. Gọi VA, VB,
VC,VD lần lượt là thể tích của các khối chóp O.BCD, O.ACD, O.ABD, O.ABC.



 
Chứng minh rằng: VA .OA  VB .OB  VC OC  VD OD  0