Trang 1

A. ĐẶT VẤN ĐỀ

Hình học không gian là một chủ đề tương đối khó đối với học sinh, khó cả
cách tiếp cận vấn đề và cả trong tìm lời giải bài toán. Làm sao để học sinh học
hình học không gian dễ hiểu hơn, hoặc chí ít cũng giải được một số bài tập điển
hình nào đó là câu hỏi thường trực đối với giáo viên bộ môn Toán mà từng
ngày, từng giờ tìm câu trả lời.
Vectơ cùng với các tính chất của nó giúp cho việc nghiên cứu hình học định
lượng hơn, một phần nào đó giúp ta giải một số bài toán hình học được thuận
lợi. Để học sinh thấy và khai thác được điểm mạnh của vectơ giải các bài toán
hình học, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương
pháp vectơ giải một số bài toán hình học không gian” ngõ hầu trao đổi với
các bạn đồng nghiệp những kinh nghiệm của mình trong lĩnh vực này. Đề tài chỉ
xin đưa ra một số ví dụ cho các dạng toán sau:
 Chứng minh các điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song
 Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng
 Chứng minh quan hệ vuông góc; tính góc và độ dài đoạn thẳng
 Chứng minh các hệ thức hình học

B. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I. Nội dung chủ đề vectơ trong chương trình Toán THPT
Ở chương trình lớp 10 vectơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức
lượng trong tam giác và trong đường tròn. Nó cũng là cơ sở để trình bày phương
pháp tọa độ trên mặt phẳng.
Chương 1 – Vectơ, trình bày các khái niệm cơ bản nhất về vectơ (vectơ,
vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ bằng nhau) và các phép toán cộng,
trừ vectơ, nhân vectơ với một số. Đồng thời trình bày những kiến thức mở đầu

tập hình học. Sau đây là một số kết quả thường được sử dụng:
 Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng ta chứng
minh các vectơ
AB

,
AC

,
AD

đồng phẳng, tức là
AB k AC lAD
 
  
.
 Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song (có thể trùng nhau)
ta chứng minh các vectơ
AB

và
CD

cùng phương, tức là
AB kCD

 
.
 Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P), hoặc nằm
trên mặt phẳng (P) ta lấy trong (P) hai vectơ


 
.
Trang
3
 Để tính độ dài của đoạn thẳng AB ta hãy biểu diễn vectơ
AB

theo các
vectơ đã biết và tính
.
AB AB
 
. Khi đó
.
AB AB AB

 
.
 Để tính góc

AOB
ta xét tính vô hướng
.
OAOB
 
và dùng công thức

.
cos

 
.
Ví dụ 1.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác
A’BD và CB’D’. Chứng minh rằng A, G, G’, C’ thẳng hàng.
Bước 1: Phân tích bài toán
Để chứng minh A, G, G’, C’ thẳng hàng, ta chứng minh các vectơ
AG

,
' '
C G

,
'
AC

cùng phương.
Chọn một hệ vectơ cơ sở (gồm 3 vectơ không đồng phẳng) sao cho thuận lợi
nhất cho việc biểu diễn
AG

,
' '
C G

,
'
AC






1 1
'
3 3
AG AD AB AA a b c
     

   
 
(2)
Vì G’ là trọng tâm tam giác CB’D’ nên:
Trang
4
c
b
a
G'
G
A
D
C
C'
A'
D'
B'
B


tức là A, G’, C’ thẳng hàng.
Vậy bốn điểm A, G, G’, C’ thẳng hàng.
Ví dụ 2.
Cho hai tia Ax, By chéo nhau, M di chuyển trên Ax, N di chuyển trên By. Giả
sử
AM BN

, I là điểm chia trong MN theo tỉ số
IM
k
IN

. Chứng minh I di
chuyển trên một tia cố định.
Bước 1. Phân tích bài toán
Để chứng minh I di chuyển trên một tia cố định, ta cần dự đoán tia cố định
đó, muốn vậy ta xét một vài trường hợp đặc biệt:
- Khi M trùng với A, N trùng với B, gọi O là điểm chia trong đoạn AB theo
tỉ số
OA
k
OB

.
- Lấy
0
M Ax

và
0

k
IN

, ta
chứng minh O, I
0
, I thẳng hàng. Hay các vectơ
0
OI

và
OI

cùng phương.
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
Gọi O là điểm chia trong đoạn AB theo tỉ số
OA
k
OB

; tức là:
0
OA kOB
 
  
.
Trang
5
Lấy
0

 
.
Đặt
a OB



,
0
b AM



,
0
c BN



với
b c



.
Khi đó:
0 0 0 0
OI OA AM M I
  
   

0 0 0
1 1
1 1 1 1
k k
OI BN AM b c
k k k k
   
   

 



Thực hiện tương tự ta có:
1
1 1
k
OI BN AM
k k
 
 
 


Vì
0 0
AM BN

,
AM BN

  



Do đó I nằm trên OI
0
(đpcm).
Ví dụ 3.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm điểm M thuộc đoạn AC và điểm N thuộc
đoạn C’D sao cho MN song song với BD’.
Bước 1. Phân tích bài toán
Đường thẳng MN song song với BD’, tức là có số thực k sao cho
'
MN kBD



.
Giả sử điểm M thuộc đoạn AC và điểm N thuộc đoạn C’D xác định bởi các
hệ thức
MC mAC

 
,
' '
C N nC D

 
. Biểu diễn
MN

Đặt
BA a



,
'
BB b



,
BC c



.
Giả sử điểm M thuộc đoạn AC và
điểm N thuộc đoạn C’D xác định bởi
các hệ thức
MC mAC

 
,
' '
C N nC D

 
.


 

Từ (1) và (2) ta có
1
3
1
2
3
n m k
m k
n k
n
m k



 
 
 



 
 
  



Vậy, điểm M và n xác định bởi các hệ thức:
1

a

và
b

không cùng phương và chứng
minh ba vec tơ
AB

,
a

,
b

đồng phẳng; hoặc tìm một vectơ
c

trong (P) sao cho
AB

và
c

cùng phương.
Ví dụ 4.
Cho tứ diện ABCD, I là trung điểm của AB, J là trung điểm của cạnh CD, M
chia trong AD theo tỉ số
MA
k

IM

và
IN


đồng phẳng. Hay có sự biểu diễn
IJ mIM nIN
 
  
.
Muốn vậy, ta chọn một hệ vectơ cơ
sở và biểu diễn các vectơ
IJ

,
IM

,
IN


theo chúng, từ đó ta suy ra I, J, M, N
đồng phẳng.
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
Đặt
AB a




     

hay
1
k
AM c
k









1
k
BN kNC BN k BC BN BN AC AB
k
      

   
   
hay


1
k
BN b a

 
 
  
  
(2)




1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
IJ IC ID IA AC IA AD a b c
         

    
 
 
(3)
Từ (1), (2) và (3) ta thấy:


2
1 1
k k
IM IN a b c IJ
k k
     
 



MN

,
MP

đồng phẳng.
Nghĩa là phải chỉ ra sự tồn tại hai số
thực x và và y sao cho:
' . .
C D x MP y MN
 

 
.
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
Đặt
AB a



,
AD b



,
'
AA c



C D x MP y MN
 

 

1 1 1 1
2 2 2 2
a c x a b c y a b c
   
   
   
        
 
     

1 1 1 1
2 2 2 2
a c x y a x y b x y c
     
     
     
         

   

1
1
2
1 1 2
0

b
a
N
P
M
A
D
C
C'
A'
D'
B'
B
Trang
9
Từ đó suy ra ba vectơ
'
C D

,
MN

,
MP

đồng phẳng. Dễ thấy C’ không thuộc
mặt phẳng (MNP) nên suy ra C’D song song với mặt phẳng (MNP).
C. Chứng minh quan hệ vuông góc; tính góc và độ dài đoạn thẳng
Để chứng minh đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD ta chứng
minh

.
OAOB
AOB
OA OB

 
 
.
Ví dụ 6.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm
của AD va BB’. Chứng minh rằng
'
MN A C

.
Bước 1. Phân tích bài toán
Để chứng minh
'
MN A C

, ta chỉ cần khẳng định tích vô hướng
. ' 0
MN A C



. Muốn vậy, ta chọn hệ vectơ
cơ sở thích hợp, biểu diễn các vectơ
MN


MN MA AB BN b a c
      

 
 
 

' ' ' ' '
A C A B A D A A a b c
     

   
 

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên:
. . . 0
ab bc ca
  
 
   
và
a b c x
  

 
(với x là độ dài cạnh hình lập phương)
Từ đó ta có:
c
b
a

2 2 2 2 2 2
ab b b a ab ac ac bc c
c
          
    
         

2
2 2
1 1 1 1
2 2 2
0
2 2 2 2
b a c x x x
        

 

Vậy
'
MN A C



, suy ra
'
MN A C

.
Ví dụ 7.

 
.
Một mặt phẳng đi qua D’M song song với DA’ và AB’ nên ba vectơ
'
D M

,
'
A D

và
'
AB

đồng phẳng, tức là
' . ' . '
D M p A D q AB
 
  

Hay




 
' . . . . .
D M p b a q c b p a p q b qc
        
  


. . 1 .
a b kp a k p q b k q c
        
 
  

 
 
1
1
1
2
1
1 0
kp
p
k p q
q
k q



 
 
 





2
2
2 2 2
1 1 1 1 1
' . . . . .
2 2 4 4 2
D M x y z x y z x y x z y z
 
 
 
          

           

2 2 2 2
1 1 3
4 4 2
a a a a
   
Vì thế:
6
'
2
a
D M 
.
Ví dụ 8.
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Tìm góc giữa hai đường thẳng AB’
và BC’, biết
'


từ đây ta xác định được giữa hai đường
thẳng AB’ và BC’.
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
Đặt
AB x

;
'
AA a



,
AB b



,
AC c



, với
5
x
a 

,
b c x

3
'. ' . . . .
5 2 10
x x x
AB BC a b a b c a ab ac ba b bc x              
     
 
        

2
2 2 2
6
' '
5
5
x x
AB AB BB x    
c
b
a
A'
B'
C
A
B
C'
Trang
12
2
2 2 2

1
cos
4


.
D. Chứng minh các hệ thức hình học
Ví dụ 9.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung
điểm của cạn SC. Mặt phẳng qua AK cắt
các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N.
Chứng minh rằng:
3
SB SD
SM SN
 
.
Bước 1. Phân tích bài toán
Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD
lần lượt tại M và N, tức là bốn điểm A, K,
M, N đồng phẳng. Từ đó tồn tại hai số m
và n sao cho:
. .
AK m AM n AN
 
  
. Hay


1 . .

SB b



,
SC c



. Thay vào (*), đồng nhất hai vế, ta tìm được
x y

.
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
Đặt
SA a



,
SB b



,
SC c



là ba vectơ không đồng phẳng.

SM SB b
x x
 

 
;
1 1
SN SD c
x x
 
 

;




1 1 1
2 2 2
SK SC SK SD DC c b a
      

    
 
.
Theo giả thiết có: A, K, M, N đồng phẳng nên tồn tại hai số m và n sao cho:
. .
AK m AM n AN
 
  

m n
m n
m
x m x y
x
y n
n
y







 
 
 


   
 
      


(điều phải chứng minh)
IV. Một số bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi B
0
, C

, k là một số dương. Tìm tập hợp trung điểm của đoạn
thẳng MN.
Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Trên đoạn thẳng BD và AD’
lần lượt lấy hai điểm thay đổi M và N sao cho
DM AN x
 



0 2
x a 
.
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố
định.
Bài 5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, O
là trung điểm AG.
Trang
14
1. Tính độ dài AG theo a.
2. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau.
3. Chứng minh OB, OC, OD đôi một vuông góc.
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc với đáy. Gọi M, N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho
2
a
BM

,
3
4

' ' ' '
SA SB SC SG
SA SB SC SG
   .
C. ĐÔI LỜI KẾT
Trên đây là những ví dụ sử dụng phương pháp vectơ để giải bài toán hình
học không gian, các ví dụ tác giả lựa chọn đưa ra nhằm minh họa sự thuận lợi
của vectơ để giải một số bài tập. Tác giả mong được các đồng nghiệp góp ý xây
dựng để làm tốt hơn công tác giảng dạy của mình. Hy vọng đề tài này là một ý
kiến trong khai thác vectơ giải các bài toán.
Bá Thước, tháng 4 năm 2009
Người viết: Đỗ Đường Hiếu