GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HOÀNG MAI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP DẠY GIẢI TOÁN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA BIỂU THỨC
Môn: Toán học
\
Năm học 2014 – 2015
MỤC LỤC
Trang
Mục lục 1
Phần mở đầu: Những vấn đề chung 2
I. Lí do chọn đề tài 2
II. Mục đích của đề tài 2
III. Nhiệm vụ của đề tài 3
IV. Phương pháp nghiên cứu 3
V. Thực trạng 4
Phần nội dung: Nội dung đề tài 5
I. Cơ sở lí luận của đề tài 5
II. Cơ sở thực tiễn 5
III. Biện pháp giải quyết 5
1. Các giải pháp thực hiện 6
2. Các biện pháp tổ chức thực hiện 6
IV. Kết quả bước đầu 18
V. Bài học kinh nghiệm 18
Phần kết luận: Kết luận chung 20
Tài liệu tham khảo 21
2/21

trừu tượng tốt nhất. Và trong đề tài này tôi sẽ đề cập đến vấn đề "Phương pháp
dạy giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức".
II. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
Tìm các cách dạy giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để từ đó áp
dụng vào bài giảng nhằm góp phần tạo sự hứng thú học tập đối với việc giải các
bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, qua đó rèn luyện trí thông minh
sáng tạo, phát triển các năng lực trí tuệ cho học sinh.
3/21
Qua việc dạy học sinh các phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất trực tiếp trên lớp giúp bản thân tôi đúc kết được một số
kinh nghiệm, trau dồi được chuyên môn, nghiệp vụ, góp phần nâng cao chất
lượng và hiệu quả cho công tác giảng dạy bộ môn Toán ở trường trung học cơ
sở.
III. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
Nắm được mục đích cơ bản, đề tài cần phải giải quyết các nhiệm vụ sau:
- Nghiên cứu lí luận làm cơ sở cho đề tài, tìm hiểu vai trò quan trọng của việc
dạy các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
- Tìm hiểu thực trạng về việc dạy và học các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất trong trường THCS:
+ Giáo viên sử dụng các phương pháp nào để dạy học sinh giải bài toán tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
+ Học sinh tiếp thu như thế nào đối với các phương pháp dạy học giải bài
toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của giáo viên.
+ Hiệu quả đạt được khi áp dụng việc sử dụng các phương pháp khác cho
việc dạy giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. (Thái độ và chất
lượng tiếp thu kiến thức của học sinh).
- Đưa ra một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
- Rút kinh nghiệm và bài học cho bản thân và đề xuất ý kiến.
- Tiến hành thực nghiệm sử dụng các giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất tương ứng với từng khối lớp, áp dụng vào giảng dạy và đánh giá kết

vậy, thông qua giải toán mà rèn luyện năng lực và tích luỹ kinh nghiệm đồng
thời nhờ năng lực và kinh nghiệm mà khả năng giải toán được nâng cao.
Nhưng để học sinh không cảm thấy nhàm chán và xem việc giải bài tập
toán là một gánh nặng, tôi xin mạnh dạn đưa ra một vài kinh nghiệm khi dạy học
giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Để giải các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức thì
ngoài việc nắm vững kiến thức người giải toán còn phải có phương pháp suy
luận khoa học và kinh nghiệm. Phương pháp suy luận khoa học và kinh nghiệm
đó được hình thành qua quá trình học tập, rèn luyện và tích luỹ. Nó phụ thuộc
vào mỗi con người để đạt đến trình độ mà ta gọi là kĩ năng giải toán, chúng ta
cần học tập kinh nghiệm kết hợp với việc tự rèn luyện và vận dụng những điều
đó qua thực hành giải toán. Với mục đích đó đề tài của tôi sẽ đề cập đến nội
dung: “Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức”.
5/21
PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
- Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng và phát triển những học sinh có năng lực về
bộ môn Toán, từ đó xây dựng cho học sinh kĩ năng nhận dạng và giải toán.
- Thúc đẩy việc tìm hiểu và mở rộng thêm kiến thức của giáo viên cũng như học
sinh.
- Xây dựng một tài liệu hoàn chỉnh về một số dạng toán khó ở cấp THCS.
- Với nội dung của đề tài, học sinh có thể tự học, tự nghiên cứu.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN
- Thực tế, chương trình bộ môn Toán THCS chưa xây dựng hoàn chỉnh về nội
dung và phương pháp của một số dạng toán khó, thường chỉ mang tính chất giới
thiệu, chưa sâu.
- Nhiều học sinh muốn tìm hiểu nhưng còn lúng túng với việc chọn các tài liệu
nghiên cứu.
- Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ hơn một số dạng toán để xây dựng chuyên
đề về Toán học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy và học tốt hơn.

là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, ký hiệu m = minf(x) nếu hai điều kiện sau
được thoả mãn:
- Với mọi x thuộc D thì f(x
0
) ≥ m, với m là hằng số.
- Tồn tại x
0
thuộc D sao cho f(x
0
) = m.
Ta cũng định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x,y, )
giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y, ) bằng cách tương tự.
b) Sử dụng các tính chất:
+ Biểu thức A
n
(x)
³
0 với mọi x
Î
R (với n là số tự nhiên chẵn). Dấu bằng xảy
ra khi và chỉ khi A(x) = 0.
+ Biểu thức |A(x)|
³
0 với mọi x
Î
R. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A(x) = 0.
c) Thành thạo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Đặc biệt là hằng đẳng thức
(A ± B)
2
; A

= a(x +
b
2a
)
2
–
Δ
4a
- Nếu a > 0 thì minf(x) = –
Δ
4a
khi và chỉ khi x = –
b
2a
.
- Nếu a < 0 thì maxf(x)= –
Δ
4a
khi và chỉ khi x = –
b
2a
.
Như vậy, khi biến x nhận mọi giá trị thuộc R thì đa thức f(x) đạt cực trị tại
x = –
b
2a
. Nhưng có những bài toán yêu cầu tìm cực trị tại những giá trị của biến
x không phải nhận giá trị –
b
2a

+ (y – 1)
2
+ 5
b) |x – 3| + x
2
+ y
2
+ 1
c) |x – 100| + (x – y)
2
+ 100
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau
a) 10 – (y
2
– 25)
4
b) –125 – (x – 4)
2
– (y – 5)
2
Đây là loại toán có mức độ dễ và thuộc trình độ học sinh lớp 7. Tuy nhiên
với học sinh chưa bao giờ gặp thì cũng có thể hầu hết đều chưa biết giải.
Giáo viên đưa ra tính chất: biểu thức A
n
(x)
³
0 với mọi x
Î
R với n là số
tự nhiên chẵn, dấu bằng xảy ra ⇔ A(x) = 0; |A(x)|

Dấu “=” xảy ra ⇔ (x – 3)
2
= 0 và (y – 1)
2
= 0
8/21
⇔ x = 3 và y = 1
b) Không tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x – 3| + x
2
+ y
2
+ 1 vì không
có giá trị của biến để biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất (|x – 3| = 0 ⇔ x = 3 và x
2
=
0 ⇔ x = 0 ⇒ x ∈ ∅)
c) Lập luận tương tự câu a tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức |x – 100| + (x
– y)
2
+ 100 là 100 khi x = y = 100.
Lời giải ví dụ 2
a) Vì (y
2
– 25)
4

³
0 với mọi y
Î
R nên 10 – (y

A
nhỏ nhất.
Lời giải ví dụ 3
Nhận xét: x
2
– 6x + 17 = (x – 3)
2
+ 8
³
8 nên tử và mẫu của A là các số
dương ⇒ A > 0. Do đó A lớn nhất ⇔
1
A
nhỏ nhất ⇔ x
2
– 6x + 17 nhỏ nhất.
Ta có min(x
2
– 6x + 17) = 8 ⇔ x = 3.
Vậy maxA =
1
8
⇔ x = 3.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B =
2 2
x + y
biết x + y = 4.
Học sinh thường mắc một số sai lầm khi lập luận như sau:
Ta có: A=

Từ (1) và (2) suy ra
2 x +y 16 x + y 8
2 2
2 2
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
³ Û ³
.
minA = 8 khi và chỉ khi x = y = 2.
Ví dụ 5: Cho x, y là các số thực không âm thay đổi thoả mãn x + y = 1. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=
3 3
x + y
Nhận xét: Khi x = y =
1
2
thì A =
1
4
, khi xy = 0 thì A = 1. Từ đó dự đoán A sẽ đạt
giá trị nhỏ nhất khi x = y =
1
2
.


A =
1
4
Û
x = y =
1
2
Vậy minA =
1
4
.
Cách 2: Với k là một số thực không âm bất kỳ, ta có
( )
2
1
x x k 0
2
 
− + ≥
 ÷
 
⇔
( )
2
1
x x x k 0
4
 
− + + ≥

≥
3
4
(x + y) – =
* Nhận xét 1: Từ bài toán trên ta có thể mở rộng theo một số hướng sau đây.
Bài toán 5.1: Cho trước a là một số thực dương, x và y là các số thực không âm
thay đổi thoả mãn x + y = a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x
3
+ y
3
.
Lời giải: Tương tự cách giải 1 của bài toán trên ta chứng minh được:
2
a
xy
4
£
; B
3
a
4
³
Từ đó ta có B
min
=
3
a
4
tại x = y =
a

1
x x k 0
n
 
− + ≥
 ÷
 
⇔
( )
2
2
2 1
x x x k 0
n n
 
− + + ≥
 ÷
 
⇔
3 2
2 2
2 1 2k k
x k x x 0
n n n n
   
+ − + − + ≥
 ÷  ÷
   
Chọn k =
2

2 2 2
3 2 1
x x x
n n n
+ + + − =

C =
2
1
n
⇔
1 2 n
1
x x x
n
= = = =
Vậy C
min
=
2
1
n
* Nhận xét 2: Bằng cách giải tương tự bài toán 1.2 ta có thể giải bài toán sau:
Bài toán 5.3: Cho trước a là một số thực dương; n là một số tự nhiên, n > 1; x
1
,
x
2
, x
3

là các số thực không âm thay đổi thoả mãn:
x
1
t
+ x
2
t
+. + x
t
n
= a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E = x
1
m
+ x
2
m
+. + x
m
n
.
DẠNG 2: CỰC TRỊ CỦA ĐA THỨC BẬC HAI VỚI ĐIỀU KIỆN RÀNG
BUỘC CỦA BIẾN
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = (2x – 3)
2
– 7 với x ≤ –1 hoặc x ≥ 3
Lời giải:
+ Với x ≥ 3 thì 2x – 3 ≥ 2.3 – 3 = 3 ⇒ (2x – 3)
2

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a và b ta có:
a b 2 ab
+ ≥
;
1 1 2
a b
ab
+ ≥
⇒
( )
1 1
a b 4
a b
 
+ + ≥
 ÷
 
.
Mà a + b > 0 ⇒
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
Dấu bằng xảy ra khi a = b.
* Nhận xét: Vận dụng kết quả của bài toán trên để giải các bài toán sau:
Bài toán 7.1: Cho a > 0, b > 0; a + b = 1. Tìm min M =
2 2
1 1
a b ab

2
.
Vậy min M = 6 khi a = b =
1
2
.
Bài toán 7.2: Cho x, y, z > 0;
1 1 1
1
x y z
+ + =
.
Tìm max M =
1 1 1
2x y z 2y z x 2z x y
+ +
+ + + + + +
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức
1 1 4
a b a b
+ ≥
+
với a, b > 0 ta có
12/21
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
;
y z

+ + + +1 1 4
y z z x x y 2z
+ ≥
+ + + +

1 1 4
z x x y 2x y z
+ ≥
+ + + +
Do đó:
2 4
1 1 1 1 1 1
x y y z z x 2x y z 2y z x 2z x y
   
≥
 ÷  ÷
   
+ + + +
+ + + + + + + + +
⇒ 4M ≤
2
1 1 1
x y y z z x
 
 ÷
 
+ +

2
)(x
2
+ y
2
) – (ax + by)
2
= (ay – bx)
2
≥ 0
⇒ (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) ≥ (ax + by)
2
hay (ax + by)
2
≤ (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2

Lời giải
Có x + y = 2 ⇒ x = 2 – y. Thay vào biểu thức A ta có:
A = (2 – y)
2
+ (2 – y)y + y
2

= 4 – 4y + y
2
+ 2y – y
2
+ y
2

= (y – 1)
2
+ 3 ≥ 3 với mọi y
Dấu “=” xảy ra khi y = 1 và x + y = 2 ⇔ x = y = 1
Vậy min A = 3 khi x = y = 1
* VD2 (Đề thi HSG lớp 7 – Quận Hoàng Mai năm học 2007 - 2008):
Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất A =
7
x -2

Lời giải:
Xét |x| > 2 thì A > 0
Xét |x| < 2 thì do x ∈ Z nên |x| = 0 hoặc |x| = 1
Với |x| = 0 thì A =
7
2

Lời giải:
Ta có: x + x + 1 = (x + ) + > 0 và x – x + 1 = (x – ) + > 0 với mọi x.
Vậy tập xác định của hàm số là R.
Nhận thấy y > 0 nên y ⇔ y
14/21
Mà y = 2x
2
+ 2 + 2
( ) ( )
x x 1 x x 1+ + − +
2 2
= 2x + 2 + 2
x x 1+ +
4 2
≥ 4
⇒ y ≥ 2. Dấu bằng xảy ra ⇔ x = 0.
Suy ra y= 2 ⇔ x = 0.
* VD5 (Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Hà Tây năm học 2008 – 2009):
a) Cho hai số x, y ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức
≥
x+ y
xy
2
(1)
b) Áp dụng bất đẳng thức (1), chứng minh:
Với các số a, b, c dương sao cho a ≥ c; b ≥ c, ta có:
( )
( )
≤c a-c + c b -c ab
Lời giải:

Cộng từng vế với vế ta có:
c a c c b c
. . 1
b a a b
− −
+ ≤
⇔
( )
( )
c a -c + c b-c ab≤
Dấu “=” xảy ra khi
c a c
b a
=
−
và
c b c
a b
=
−
⇔
ab
c
a b
=
+
.
* VD6 (Đề thi vào lớp 10 THPT TP Hà Nội năm học 2008 – 2009):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết:
A = (x – 1)

2
– 1)
2
= 8a
4
+ 8 ≥ 8
Dấu “=” xảy ra khi a = 0 ⇔ x = 2
Vậy min A = 8 khi x = 2.
* VD7 (Đề thi vào lớp 10 THPT TP Hà Nội năm học 2011 – 2012):
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
2
1
4x -3x + + 2011
4x

Lời giải:
Cách 1: M =
2
1
4x -3x + + 2011
4x
= (4x
2
– 4x + 1) + (x –1 +
1
4x
) + 2011
15/21
= (2x – 1)
2

1
4x
) + 2010
= (2x – 1)
2
+ (x +
1
4x
) + 2010
Có (2x – 1)
2
≥ 0 với mọi x
Áp dụng bất đẳng thức Côsi có x +
1
4x
≥ 2
1
x.
4x
= 1.
Suy ra (2x – 1)
2
+ (x +
1
4x
) + 2010 ≥ 2011.
Dấu “=” xảy ra khi 2x – 1 = 0 và x =
1
4x
⇔ x =

x y
4y x
+
≥
x y
2 .
4y x
= 1
Mặt khác: x ≥ 2y ⇒
3x 3
4y 2
≥
Do đó M ≥
5
2
. Khi x = 2y thì M =
5
2
Vậy min M =
5
2
.
* VD9 (Đề thi vào lớp 10 THPT TP Hà Nội năm học 2014 – 2015):
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức Q =
2a +bc + 2b+ca + 2c +ab
Lời giải:
16/21
Có
( ) ( )

2a b c 2b c a 2c a b
2 2 2
+ + + + + +
+ +

⇒ Q ≤ 2(a + b + c) = 4
Dấu “=” xảy ra khi a + b = b + c = c + a và a + b + c = 2 ⇔ a = b = c =
2
3
Vậy max Q = 4 khi a = b = c =
2
3
.
* VD10 (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên TP Hà Nội năm học 2014 – 2015):
Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức Q =
x y z
+ +
x + x + yz y + y + zx z + z + xy
.
Lời giải:
Có
( )
2
x x yz x x x y x yz x x xy xz yz
+ + = + + + + = + + + +

Áp dụng bất đẳng thức Côsi có:
( )
( )

3
.
Vậy max Q = 1 khi x = y = z =
1
3
.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1) Tìm giá trị của x để A = x
2
– 2x + 5 đạt giá trị nhỏ nhất.
17/21
2) a. Cho biểu thức: B =
( )
2
x
x 2014+
với x > 0. Tìm MinB
-1
.
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: C =
( )
2
x
x 2015+
với x > 0.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
D =
( ) ( ) ( )
2 2 2
x 1999 x 2000 x 2001− + − + −

 
 
 ÷
 ÷
 
 
− −
.
7) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức I =
1 4
x y
+

8) Với ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
1 1 1
+ + = 3
a b c
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức K =
2 2 2 2 2 2
1 1 1
+ +
a -ab +b b -bc+c c -ca +a

(Đề thi HSG lớp 9 - TP Hà Nội năm học 2014 – 2015):
18/21
IV. KẾT QUẢ BƯỚC ĐẦU:
Trong năm học vừa qua, tôi đã thử nghiệm các bài toán này trên đối tượng học
sinh lớp 7 và học sinh lớp 9 trường THCS.

- Nắm vững các tính chất, các phương pháp giải quyết dạng bài toán tìm giá trị
lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, từ đó biết cách vận dụng các kiến
thức một cách linh hoạt vào việc giải các bài toán.
- Học phải đi đôi với hành, việc phải làm bài tập vận dụng không chỉ là mục
đích của học toán mà thông qua bài tập học sinh sẽ hiểu sâu sắc về định lý.
19/21
- Tập trung suy nghĩ, phát biểu, ghi chép, tích cực thực hiện việc học theo sự
hướng dẫn của giáo viên.
20/21
PHẦN KẾT LUẬN
Chủ đề về giải toán cực trị đã được sử dụng phổ biến trong các đề thi, đặc
biệt là đề thi học sinh giỏi và đề thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, mỗi một bài
toán lại được khai thác theo nhiều hướng khác nhau, và phụ thuộc vào năng lực
sư phạm tài tính, khéo léo của mỗi giáo viên để có cách giải quyết bài toán một
cách hợp lý.
Đề tài "Phương pháp dạy giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức" sử dụng chương trình sách giáo khoa, đặc biệt những bài toán
trong các đề thi được triển khai khi dạy học đã rất gây được hứng thú tìm tòi
sáng tạo cho học sinh. Đặc biệt, sau khi giải bài toán cụ thể học sinh có thể áp
dụng ngay cho bài toán tương tự và hơn nữa có những học sinh còn tìm ra được
những cách làm khác với ý đồ của tôi, khiến tôi vô cùng ngạc nhiên và sửng sốt
với mức độ tiếp thu và sáng tạo của học sinh. Từ cảm hứng đó, tôi viết ra một
vài ý tưởng của mình để đóng góp một vài kinh nghiệm nhỏ cùng đồng nghiệp.
Chương trình sách giáo khoa Toán đang được triển khai thực hiện đã đổi
mới cả nội dung lẫn phương pháp, giúp người dạy và người học dễ tiếp cận. Tuy
nhiên các dạng bài tập đều đòi hỏi trí thông minh sáng tạo và phương pháp
giảng dạy phải được ứng dụng phù hợp cho từng dạng bài tập. Trong quá trình
giảng dạy, tôi rất trăn trở về những bài tập đòi hỏi tư duy. Học sinh không chỉ
được ôn lại mà còn mở rộng và khắc sâu nhiều kiến thức, phát triển được trí
thông minh, sáng tạo của học sinh.