INEQ

Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

Chúng ta sẽ rèn luyện chuyên đề tìm GTLN, GTNN thông qua hai bước chính
1. Ôn tập các kiến thức về bất đẳng thức (tập trung vào AM - GM và CBS).
2. Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức AM - GM và CBS kết hợp với công cụ khảo sát hàm
số để giải quyết các bài toán tìm GTLN, GTNN.

1
/>

INEQ

Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

2
/>

Phần I
LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

3
/>

/>

Chương 1
Kiến thức căn bản
1.1. Bất đẳng thức AM - GM và Cauchy - Bunyakovky Schwarz
Đây là hai bất đẳng thức được sử dụng rất nhiều trong việc chứng minh. Sau đây chúng ta


1 1 1
+ +
a b b

≥9

(a + b)3
(ii) a + b ≥ ab(a + b), a + b ≥
.
4
3

(iii)

3

1
1
≤
a+b
4

3

3

1 1
1
1


√
a2 + x2 +

√

b2 + y 2 +

c2 + z 2 ≥

a, b, c ∈ R

(a + b + c)2 + (x + y + z)2 ,

∀a, b, c, x, y, z ∈ R.
(vi) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 +

√

ab)2 , (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 +

(vii)

1
1
1
+
≥
.
(1 + a)2 (1 + b)2

1 + y3 + z3
+
yz

√

√
1 + z 3 + x3
≥ 3 3.
zx

Dấu “=” xảy ra khi nào?
Giải. Trước khi giải bài toán ta cần phân tích một chút: bài toán cho những biểu thức chứa
mũ bậc 3 và các số đều dương. Vậy ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM được không?
Nếu áp dụng thì cho mấy số và đó là những số nào? Trở lại yêu cầu của bài toán, dấu “=” xảy
ra khi nào? Ta nhận thấy bài toán có tính đối xứng với x, y, z , thế thì có khả năng dấu bằng
xảy ra khi x = y = z . Kết hợp với giả thiết xyz = 1 dẫn đến x = y = z = 1. Với việc dự
đoán điểm rơi này, ta sẽ khống chế toàn bộ các dấu “=” trong quá trình chứng minh của mình.
Theo quá trình phân tích, ta áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho ba số 1, x3 , y 3 như sau

1 + x3 + y 3 ≥ 3 3 1.x3 .y 3 = 3xy
suy ra

1 + x3 + y 3
≥
xy

√
√
3xy

+
xy

1 + y3 + z3
+
yz

√

√
1 + z 3 + x3 √ √
√
≥ 3 x+ y+ z
zx
√
√
√ √ √
≥ 3.3 3 x y z = 3 3.

1 = x3 = y 3
hay x = y = z = 1.
x=y=z
Với việc dự đoán điểm rơi x = y = z = 1 đã giúp chúng ta lựa chọn bất đẳng thức và số

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

thích hợp để áp dụng. Tiếp theo là một ví dụ thể hiện rõ điều đó.
1.2.2 Ví dụ. Cho x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

√

√

z−4
≤m
z

√

Biểu thức z − 4 làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức AM - GM, nhiệm vụ là ta chọn số k
sao cho biểu thức sau khi đánh giá có thể đơn giản với z ở mẫu

k(z − 4) ≤

k+z−4
2

Nhận thấy ngay giá trị k nhận chính là 4. Từ phân tích đó ta có lời giải như sau:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 4, z − 4 ta có

√

Tương tự ta có

Cộng theo vế ta có P ≤

4(z − 4) ≤

4+z−4
z
= hay

2
2
3
max P =

1
2

1
1
1
+√ +√
2
2
3

khi x = 4, y = 6, z = 8.
Kế tiếp chúng ta xét một ví dụ để làm rõ kĩ thuật chọn điểm rơi trong việc sử dụng CBS.
7
/>

INEQ

Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

1.2.3 Ví dụ. Cho 3 số thực dương a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c =

3a2 + 4b2 + 5c2 ≥

47

√ 1
√ 1
≥ a 3√ + b 4 + c 5√
2
3
5
2
≥ (a + b + c)
472
≥ 2
12

1 1 1
+ +
(3a + 4b + 5c )
3 4 5
2

2

2

2

Suy ra

472 60
235
3a + 4b + 5c ≥ 2 . =
.


47
a + b + c =
12

5


a=


3
5
b=


4


c=1

Trong các hệ quả của bất đẳng thức AM - GM thì (iii) có nhiều ứng dụng. Bây giờ ta sẽ
bàn đến ứng dụng của chúng
1.2.4 Ví dụ. Cho x, y, z > 0 và

1 1 1
+ + = 4. Chứng minh rằng
x y z

1

Áp dụng lần nữa ta được

1
1 1 1 1 1 1
≤
+ + +
2x + y + z
4 4 x y x z
1 2 1 1
+ +
≤
16 x y z
Tương tự ta thu được


1
1


≤



2x + y + z
16


1
1
≤

1
+
+
≤
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
4

4 4 4
+ +
x y z

=1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
Bất đẳng thức khó một phần vì hình dáng cồng kềnh của nó. Bằng phương pháp đổi biến
sẽ phần nào giúp cho hình dáng của chúng nhẹ nhàng hơn.
1.2.5 Ví dụ. Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức sau

x2 (y + z)
y 2 (z + x)
z 2 (x + y)
√
√
√
√
P = √
+
+
√ .
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y

a
b
c
+
+
b + 2c c + 2a a + 2b

9
/>

INEQ

Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

Dựa vào hình dáng mới, ta thấy có thể ăn khớp với bất đẳng thức CBS dạng angel, nhưng ở
tử chưa có dạng bình phương. Do đó

a2
b2
c2
P ≥2
+
+
ab + 2ac bc + 2ab ac + 2bc
(a + b + c)2
≥2
3(ab + bc + ca)
Sử dụng một kết quả khá quen thuộc (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) ta thu được

P ≥ 2.


9x
9y
9z
3x + 3y + 3z
.
+
+
≥
3x + 3y+z 3y + 3z+x 3z + 3x+y
4
(3) Cho x, y là các số thực không âm. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức sau

(x − y)(1 − xy)
.
(1 + x)2 (1 + y)2

P =

(4) Cho x, y, z > 0. Tìm GTNN của biểu thức

P =x

1
x
+
2 yz

+y


y2
(7) Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 thì

(1 + x) 1 +

y
x

9
1+ √
y

2

≥ 256.

10
/>
.


Chương 2
Hàm hai biến
2.1. Công cụ đạo hàm
Ta đã biết đến công cụ đạo hàm dùng để khảo sát hàm số, qua đó giúp ta tìm được GTLN,
GTNN. Thế nhưng nó chỉ áp dụng được cho 1 biến, thế nhiều biến thì thế nào? Ta sẽ tiến hành
qua các bước sau
1. Biến đổi hoặc đánh giá biểu thức P về một biến mới t (thay thế hoặc đặt ẩn phụ).

g(t) ≤ P ≤ f (t).

nên a = 4 − 3b, khi đó b ∈ 0,

f (t) =
Suy ra f (t) =

4 − 3t
3t
4
+
, t ∈ 0,
.
5 − 3t 1 + t
3

−3
3
+
, do đó f (t) = 0
(3t − 5)2 (t + 1)2
⇔

3
−3
t = 3 (loại)
+
⇔
t=1
(3t − 5)2 (t + 1)2

Ta có bảng biến thiên

4

(2) Tìm giá trị nhỏ nhất của

A=

(x − 1)2 + y 2 +

(x + 1)2 + y 2 + |y − 2|.

(3) Cho hai số thực không âm thỏa mãn x + y = 1. Tìm max, min của biểu thức

S = (4x2 + 3y)(4y 2 + 3x) + 25xy.
(4) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x2 − xy + 3 = 0 và 2x + 3y ≤ 14. Tìm GTLN và
GTNN của biểu thức

P = 3xy − xy 2 − 2x(x2 − 1).
(5) Cho các số√thực x, y thỏa mãn
√
thức P = x + 2 + y + 9.

√

2x + 3 +

√

y + 3 = 4. Tìm GTNN và GTLN của biểu

2.2. Xử lí biểu thức đối xứng

12
/>

INEQ

Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

Nhận thấy A chỉ chứa x + y và xy nên ta sẽ đánh giá để đưa A chỉ còn chưa một biểu thức.
Vì cần tìm giá trị nhỏ nhất nên ta đánh giá A ≥ A như sau

A = (x + y)3 − 6xy − 3(x + y) + 6
(x + y)2
3
− 3(x + y) + 6
≥ (x + y) − 6
4
3
≥ (x + y)3 − (x + y)2 − 3(x + y) + 6
2
Vậy là ta đạt được yêu cầu thứ nhất là đánh giá A theo hàm một biến t = x + y . Tiếp theo
ta tìm điều kiện cho t. Sử dụng giả thiết ta được

(x − 4)2 + (y − 4)2 + 2xy ≤ 32
⇔ x2 + y 2 − 8x − 8y + 32 + 2xy ≤ 0
⇔ (x + y)2 − 8(x + y) ≤ 0
⇔0≤x+y ≤8
3
2

Đến đây ta chỉ còn việc khảo sát hàm số f (t) = t3 − t2 − 3t + 6 với t ∈ [0, 8]. Hàm số có

√
√
1+ 5
17 − 5 5
khi x = y =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
4
4


Việc đưa biểu thức đối xứng về biểu thức xuất hiện tổng tích ở ví dụ trên tương đối dễ
dàng. Song những biểu thức đối xứng (tổng của nhiều phân số) lại khiến chúng ta khó khăn
trong việc tạo ra x + y hoặc xy . Để khắc phục điều này, chúng sẽ sử dụng một số kết quả đã
biết về bất đẳng thức.
2.2.2 Ví dụ. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x, y ∈ [1, 2]. Tìm GTNN của biểu thức

P =

x2

y + 2x
1
x + 2y
+ 2
+
+ 3y + 5 y + 3x + 5 4 (x + y − 1)

Giải. Dựa vào dạng phân số của P ta sẽ biến đổi ở hai phân số đầu để làm xuất hiện biểu
thức tổng. Ý tưởng này làm cho chúng ta có suy nghĩ sẽ qui đồng, biến đổi để đưa về chung

+
+
3x + 3y + 3 3y + 3x + 3 4 (x + y − 1)
1
x+y
+
≥
x + y + 1 4 (x + y − 1)

P ≥

Công việc còn lại là chúng ta chỉ cần khảo sát hàm số f (t) =

t
1
+
với t ∈ [2, 4].
t + 1 4 (t − 1)

Đạo hàm có nghiệm là t = 3. Do đó

f (t) ≥ min{f (2), f (3), f (4)} = min
Suy ra P ≥

11 7 53
, ,
12 8 60

7
= .

1
1
+ 3.
3
x
y

(4) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =4

a3 b3
+
b3 a3

−9

a2 b2
+
b2 a2

.

(5) Cho hai số thực x, y ∈ (0, 1] thỏa mãn x + y = 4xy . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
của biểu thức M = x2 + y 2 − 7xy .
(6) Cho x, y thỏa mãn x, y ≥ 1 và 3(x + y) = 4xy . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu
thức

P = x3 + y 3 + 3

1
.
x+y

(8) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x4 + y 4 +

1
= xy + 2. Tìm giá trị lớn
xy

nhất của biểu thức

P =

2
2
3
+
−
.
1 + x2 1 + y 2 1 + 2xy

(9) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a2 + b2 + a + b = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

a2 + 1 b2 + 1
P =2
+
a2 + a b2 + b


. Do đó P = .
2
4
Nếu y = 0, chia tử và mẫu của A cho y 2 ta được

A=

x
y
x
3
y

2

+2
2

+2

x
y
x
y

−1
+1

x
t2 + 2t − 1

−

1
1
, max f (t) = f (2) = .
3
3

Kết hợp lại hai trường hợp, ta có giá trị lớn nhất của P là 1 khi (x, y) =
hoặc (x, y) =

−2

hoặc (x, y) =

−

1
,−
7
3
,3
7

1
7

và giá trị nhỏ nhất của P là -6 khi (x, y) =

1

(3) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức

P =

x+y

x2 − xy + 3y 2

−

x − 2y
.
6(x + y)

(4) Cho các số thực x, y thỏa mãn xy ≥ 0 và x + y > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức

x2 y − 4y 3
P = 3
.
x + 8y 3

16
/>

Chương 3
Hàm ba biến
3.1. Xét hàm từng biến
3.2. Xử lí biểu thức đối xứng

3

3.2.1 Ví dụ. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức

M = 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2

a2 + b2 + c2 .

Giải. Sử dụng các kết quả trên, ta biến đổi đánh giá M về biểu thức chỉ toàn chứa ab + bc + ca

M = 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2

a2 + b2 + c2

= 3 (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 + 3(ab + bc + ca) + 2 a2 + b2 + c2
(ab + bc + ca)2
≥ 3.
+ 3(ab + bc + ca) + 2 1 − 2(ab + bc + ca)
3
≥ (ab + bc + ca)2 + 3(ab + bc + ca) + 2 1 − 2(ab + bc + ca).
Tiếp theo ta tìm điều kiện cho biến t = ab + bc + ca. Sử dụng điều kiện a + b + c = 1 nên ta
được

1 = (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) = 3t
1
⇒t≤
3
17
/>

2
2
2
a + b + c ≥ ab + bc + ca thì có gì khác biệt? Câu trả lời là khi đó f (t) = t + 3t + 2 t ≥ 0
3.2.2 Nhận xét. - Trong ví dụ trên, chúng ta đánh giá (ab)2 +(bc)2 +(ca)2 ≥

nhưng dấu “=” không xảy ra được. Một lần nữa cho thấy việc khống chế điểm rơi có giá trị
như thế nào.
- Về mặt phương pháp tương đối giống như biểu thức hai biến.
3.2.3 Bài tập. (1) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn của
biểu thức

P =

2
+
3 + ab + bc + ca

3

abc
.
(1 + a)(1 + b)(1 + c)

(2) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện

3(a2 + b2 + c2 ) + ab + bc + ca = 12.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

P =

1+a
1+b
1 + c3

18
/>

INEQ

Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

3.3. Xử lí biểu thức đối xứng hai biến
Giả sử chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức P chưa ba biến a, b, c.
Trong đó hai biến a, b có tính đối xứng với nhau. Trong các trường hợp này ta có thể giải quyết
bằng cách đánh giá P theo hàm f (t) với

t=

a+b
c

,

t = c,

t=a+b+c

Chú ý: trong trường hợp t = a + b + c thì phải kiểm soát dấu “=” thật chặt vì có thể dấu “=”
xảy ra khi a = b = c hoặc a = b = c.


+3
c

3

+

b
c

3

a
+3
c




−
3


a
c

2

+


+
−
(y + 3)3 (x + 3)3

x2 + y 2

với (x + 1)(y + 1) = 4 hay xy + x + y = 3. Bài toán tìm cực trị cho biểu thức hai biến đối
xứng.
19
/>

INEQ

Để học giỏi toán điều đầu tiên cần làm đó là học toán

Sử dụng kết quả a3 + b3 ≥

x
y
P ≥8
+
y+3 x+3

(a + b)3
ta được
4
3

x2 + y 2


(x + y)2 − 2(3 − x − y) + 3(x + y)
≥8
12 + 2(x + y)

≥ (x + y − 1)3 −

−

(x + y)2 − 2(3 − x − y)

3

(x + y)2 + 5(x + y) − 6
≥8
12 + 2(x + y)
(x + y − 1)(x + y + 6)
≥8
2(x + y + 6)

3

−

(x + y)2 + 2(x + y) − 6

3

−

(x + y)2 + 2(x + y) − 6

≥
. Do đó f (t) ≥ 3 −
> 0, nên
2
2
2
t √
+ 2t − 6
√
f (t) ≥ f (2) = 1 − 2 hay P ≥ 1 − √2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 − 2 khi a = b = c.
f (t) = 3(t − 1)2 − √

3.3.2 Bài tập. (1) Cho x, y, z ∈ [1, 4] và x ≥ y, x ≥ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P =

x
y
z
+
+
.
2x + 3z y + x z + x

(2) Chứng minh rằng với mọi số tực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3yz , ta có

(x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3 .
(3) Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức


(6) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức

P =

a
b
3c
√
+
+
.
1 + a2 1 + b2
1 + c2

21
/>