Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức
= = =
( ) ' '( )
dy df x y dx f x dx

Ví d
ụ
:
 d(x
2
– 2x + 2) = (x
2
– 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
 d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx



Chú ý:
Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

( ) ( )
1
2 2 2
2
d x dx dx d x

x dx d d x d x a d a x
 
= = = ± = − −
 
 
 



(
)
( ) ( )
ax
1 1
ln ax ln
ax
d b
dx dx
d b d x
ax b a b a x
+
= = + → =
+ +



( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1 1

+ + +
= + = → =


( )
(
)
( )
( ) ( )
2 2 2
ax
1 1 1
tan tan2
2
cos cos cos 2
d b
dx dx
d ax b d x
a a
ax b ax b x
+
= =  +  → =
 
+ +



( )
(
)

ọ
i là nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x) n
ế
u F’(x) = f(x) và
đượ
c vi
ế
t là
( )
f x dx
∫
. T
ừ

đ
ó ta có :
( ) ( )
f x dx F x
=
∫

Nh
ậ
n xét:
V
ớ

ố
f(x). V
ớ
i m
ộ
t giá tr
ị
c
ụ
th
ể
c
ủ
a C thì ta
đượ
c m
ộ
t nguyên hàm
c
ủ
a hàm s
ố

đ
ã cho.
Ví d
ụ
:

Hàm s

t 1:
( )
( ) ( )
f x dx f x
′
=
∫

Tài liệu bài giảng:

01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Chứng minh:
Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
f x dx F x f x
′
′
= = ⇒
∫
đpcm.
b) Tính chất 2:
[
]
(
)

ừ

đ
ó ta có
[
]
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
∫ ∫ ∫

c) Tính chất 3:
(
)
. ( ) ( ) , 0
k f x dx k f x dx k
= ∀ ≠
∫ ∫

Ch
ứ
ng minh:
T
ươ
ng t
ự
nh
ư

ứ
c là nguyên hàm c
ủ
a m
ộ
t hàm s
ố
ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào hàm,
mà không ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ế
n.
IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM


 Công thức 1:
dx x C
= +
∫

Ch

, ta
đượ
c
du u C
= +
∫



 Công thức 2:
n 1
n
x
x dx C
n 1
+
= +
+
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
1 1
1 1

, ta
đượ
c
1
1
n
n
u
u du C
n
+
= +
+
∫

+ V
ớ
i
1
2 2 2
2
2
dx dx du
n x C u C
x x u
= − ⇒ = = + ←→ = +
∫ ∫ ∫

+ V
ớ


c)
1 1
2
2 2 2 2
3
3 3
3
3
3
1
2 2 2
3
x x x x x x x
dx dx xdx x dx C x C
x x
−
−
= − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫ ∫

d)
( ) ( ) ( )
( )
5
4 4
2 1
1
2 1 2 1 2 1
2 5

)
( )
( )
2
2 2
2 1
1 1 1 1
.
2 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1
du
u
d x
dx
I I C C
x x
x x
+
= = → = − + = − +
+ +
+ +
∫ ∫

g)
( ) ( ) ( )
3 3
2 2
1 1 2 3
4 5 4 5 4 5 . 4 5 4 5
4 4 3 8

=
, ta được ln
du
u C
u
= +
∫

+
( )
1
ln 2
1 1
2x 2
ln ax
1
ax ax
ln 2
2 2
dx
x k C
d ax b
dx
k
b C
dx
b a b a
k x C
k x


 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
(
)
3 2
1 1
ln 3 2
3 2 3 3 2 3
du
u
d x
dx
I I x C
x x
+
= = → = + +
+ +
∫ ∫

c)
(
)
2
2 2
2 1
2 3 3 3 3
2 2 3 ln 2 1

( )
cos sin x sinx cos
x C dx x C
′
− + = ⇒ = − +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c sinu cos
du u C
= − +
∫


∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5
2
2 1
cos ln 2 1
5 2
x
x x C
= − + − +

b)
( )
(
)
4 3
3 1 3 1 3
sin2 sin 2 3 sin 2 2 os2 ln 4 3
4 3 4 3 2 4 4 3 2 4
d x
dx
x dx xdx xd x c x x C
x x x
−
 
+ = + = + = − + − +
 
− − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x dx dx xdx xdx d xd x xd x
   
+ + = + + = + +
   
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
1 1
2cos os2 os3
2 2 3
x
c x c x C
= − − − +



 Công thức 5:
cos sin
xdx x C
= +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v

∫

+
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
os ax os ax ax sin ax os2 sin 2
2
c b dx c b d b b C c xdx x C
a a
+ = + + = + + → = +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
a)
4 1 5
cos sin cos sin x 4 sinx cos 4 5ln 1
1 1
x
x x dx xdx dx dx x x x C
x x
−
   
− + = − + − = + + − + +
   
+ +
   
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )

dx
x C
x
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
( )
2 2
1
tan tanx
cos cos
dx
x C C
x x
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x
=
, ta được
2
tanu
os

cos cos 2
dx
x x dx xdx xdx x x x C
x x
 
+ − = + − = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( ) ( )
(
)
( )
(
)
2 2 2
2 1 5 4
1 2 1 2
2
cos 2 1 5 4 cos 2 1 5 4 2 cos 2 1 4 5 4
d x d x
dx dx
I dx
x x x x x x
 
− −
= + = + = −
 

du
c u
d x
dx
I I x C
x x
−
= = − → = − − +
− −
∫ ∫



 Công thức 7:
2
cot x
sin
dx
C
x
= − +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ

đượ
c
2
cotu
sin
du
C
u
= − +
∫

+
( )
(
)
( )
( )
2 2 2
ax
1 1 1
cot ax cot2
sin ax sin ax sin 2 2
d b
dx dx
b C x C
b a b a x
+
= = − + + → = − +
+ +
∫ ∫ ∫

1 1 1
cot 1 3 cot 1 3
sin 1 3 3 sin 1 3 3 3
du
u
d x
dx
I I x C x C
x x
−
= = − → = − − −  + = − +
 
− −
∫ ∫

c)
2
sin
2 2
2
2 2cot
2
sin sin
2 2
du
u
x
d
dx x
I I C

∫


Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x
=
, ta được
u u
e du e C
= +
∫

+
( )
2 2
2 2
1
1 1
2
ax
1
2
x k x k
ax b ax b ax b
k x k x
e dx e C
e dx e d b e C
a a

d x
dx
e dx e dx dx e d x x
x x x
x x
− + − + − +
 
− + = − + = − − + − +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫2 1
1 1
cot3 8
2 3
x
e x x C
− +
= − + + +

b)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3 2 3 2
4 1
4 os 1 3 4 os 1 3 3 2 os 1 3 1 3
3 3

ln
ln ln ln
x x x
x x
a a a a
C a a dx C
a a a
′
 
+ = = ⇒ = +
 
 
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=

I dx dx dx d x d x I C
= + = + = + → = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )
( ) ( )
1 2
1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 4 3
1 3 2 3
2 2 3 2 1 2 4 3
2 4 2ln2 4
x
x x x x x x x
e dx dx e dx d x e d x e C
−
− + − + − + +
− = − = − − − + = − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
•
0
dx C
=
∫



•

x x
e dx e C
= +
∫

•

(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ≠
∫

•

cos sin
xdx x C
= +
∫

•

sin cos

ax b dx ax b C a
a
+ = + + ≠
∫

•

1
sin( ) cos( ) ( 0)
ax b dx ax b C a
a
+ = − + + ≠
∫

•

1
, ( 0)
ax b ax b
e dx e C a
a
+ +
= + ≠
∫

•

1 1
ln
dx ax b C

= + −


= + +



c)
2
2
2 2
4
( ) ln
3
2
( )
( 4)( 3)
x
F x
x
x
f x
x x

 
+
=

 



+ +

−

=

+


Ví dụ 2.
Tìm các nguyên hàm sau
1)
2
1
– 3

x x dx
x
 
+ =
 
 
∫

2)
4
2
2 3


x
−
=
∫

5)
(
)
3
4
x x x dx+ + =
∫

6)
3
1 2dx
x x
 
− =
 
 
∫

7)

dx
x x
=
∫

11)
2 2
cos2sin .cos
x
dx
x x
=
∫

12)
2sin3 cos2

x xdx =
∫

13)
(
)
– 1

x x
e e dx =

 
+ =
 
−
 
∫

Ví dụ 3.
Tìm nguyên hàm
F
(
x
) c
ủ
a hàm s
ố

f
(
x
) tho
ả

đ
i
ề
u ki
ệ
n cho tr
ướ


e)
−
= − =
3
2
1
( ) ; ( 2) 0
x
f x F
x
f)
1
( ) ; (1) 2
f x x x F
x
= + = −

g)
 
π
= =
 
 
( ) sin2 .cos ; ' 0
3
f x x x F
h)
4 3
2

 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1.
Cho hàm s
ố

g
(
x).
Tìm nguyên hàm
F
(
x
) c
ủ
a hàm s
ố

f
(
x
) tho
ả

đ
i
ề
u ki
ệ

là một nguyên hàm của hàm số
f(x)
:
a)
3 2
2
( ) (3 2) 4 3
. .
( ) 3 10 4
F x mx m x x
Tìm m
f x x x


= + + − +

= + −


b)
2
2
( ) ln 5
. .
2 3
( )
3 5
F x x mx
Tìm m
x



= + + −

= − −

b)
2
( ) ( )
. , , .
( ) ( 3)
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x e


= + +

= −



Bài 4. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
2 2
2 2
( ) ( )
. , , .

= + +

= − +



Bài 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
a)
( ) ( 1)sin sin2 sin3
. , , .
2 3
( ) cos
b c
F x a x x x
Tìm a b c
f x x


= + + +


=


b)
2
2
( ) ( ) 2 3
. , , .
20 30 7

2
7
1
3
I x dx
x
 
= −
 
 
∫
3)
(
)
5
2 3 3
3
4 2
I x x x dx
= − +
∫

4)
3
4
2
5
1 2
4
x

∫

Bài 7. Tính các nguyên hàm sau:
7)
(
)
2
7
1x
I dx
x
−
=
∫
8)
(
)
2
3
8
2 1
I x dx
= −
∫
9)
(
)
2
2
9

12
3
1 1
I dx
x x
 
= −
 
 
∫

Bài 8. Tính các nguyên hàm sau:
13)
3
13
1
I x dx
x
 
= −
 
 
∫
14)
2
14
3
1
I x dx
x

17)
17
5
1
(2 3)
I dx
x
=
−
∫
18)
18
4
1
( 3)
x
I dx
x
+
=
−
∫

Bài 9. Tính các nguyên hàm sau:
19)
19
π
sin
2 7
x

22
π 1
sin 3 sin
4 2
x
I x dx
 
+
 
= + −
 
 
 
 
∫
23)
2
23
cos
2
x
I dx
=
∫
24)
2
24
sin
2
x

tan 2
I x x dx
= +
∫

29)
4
29
tan
I x dx
=
∫
30)
2
30
cot
I xdx
=
∫
31)
( )
31
2
sin 2 3
dx
I
x
=
+
∫

I x
x
 
= +
 
+
 
∫

35)
2
35
1
sin
2 5
I x dx
x
 
= −
 
−
 
∫
36)
36
2
dx
3
x
I

2
39
11
3
x x
I dx
x
+ +
=
+
∫
40)
2
40
2 5
1
x x
I dx
x
− +
=
−
∫

41)
3 2
41
3 2 1
2
x x x

∫

Bài 13. Tính các nguyên hàm sau:
44)

2x 3
44
I e dx
− +
=
∫

45)

3 1
45
cos(1 )
x
I x e dx
−
 
= − +
 
∫

46)

2
1
46

I e dx
x
−
 
= +
 
 
∫
49)
(
)
1 2 4 3
49
2
x x
I e dx
− +
= −
∫

Bài 14.
Tính các nguyên hàm sau:
50)
50
1
2
x
I dx
=
∫

1.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2 2 2
xdx d x d x a d a x
= = ± = − − 6.
( ) ( ) ( )
2
cot cot cot
sin
dx
d x d x a d a x
x
= − = − ± = −
2.
( ) ( ) ( )
2 3 3 3
1 1 1
3 3 3
x dx d x d x a d a x
= = ± = − −
7.
( ) ( ) ( )
2
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −


( ) ( ) ( )
2
tan tan tan
cos
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −
10.
( ) ( )
1 1
dx d ax b d b ax
a a
= + = − −

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

1
2
1
x
I dx
x
=
+
∫b)

( )
2
2 2
1 1
2 2 2
ln
x
xdx d d x d x a
du
d u
u

 
= = = ±

 

 


=



Ta có
(
)
(
)
( )

ứ
c vi phân
( ) ( )
2
2 2
1
1 1
2 2 2
1
n
n
x
xdx d d x d x a
u
u du d
n
+

 
= = = ±

 
  

 

=
 

+

( )
( )
3
2 3
1
3 3
2
x
x dx d d x a
du
d u
u

 
= = ±

 

 


=



Ta có
(
)
(
)

dx
I
x
=
−
∫
c)
6
5 2
I x dx
= −
∫

Tài liệu bài giảng:

02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Lời giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
2
2 2
1
1 1
2 2 2
1
n
n

2 2
4
1
1 1
1 1 1 1 .
2 2 3
x
I x x dx x d x x d x C
−
= − = − = − − − = − +
∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
( ) ( )
( )
1 1
ax ax
2
dx d b d b
a a
du
d u
u

=
− −
= = = ←→ = − +
− − −
∫ ∫ ∫

c) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
1
1 1
ax ax
1
n
n
dx d b d b
a a
u
u du d
n
+

= + = − −



 

=
 


5
4
2
5
x
I dx
x
=
−
∫
b)
8
5
(3 2 )
dx
I
x
=
−
∫
c)
3
9
ln
x
I dx
x
=
∫


− +
 


( ) ( )
( )
( )
4
4
4
4
4
5
5
1
3
4 4
5
7
5 5
4 4
5 5
5 5
4
2 1 1
2 5 5 . .
2 2 4 8
5 5
x
d

I x d x C
x
−
= = − − − = − +
−
∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c vi phân
( )
ln
dx
d x
x
= ta được
( )
3 4
3
9
ln ln
ln ln .
4
x x
I dx xd x C

∫

Lời giải:
a)
Ta có

( )
( ) ( )
( )
( )
2009
2010
10
2010 2009
4 2
3 3 3 3
4 2 4 2 .
2 2 2009
4 2 4018 4 2
x
dx
I x d x C C
x x
−
−
−
= = − − − = − + = +
−
− −
∫ ∫

cos cos
2 2 os 2sin .
2
x x
I dx dx c x d x x C
x x
= = = = +
∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
(
)
( )
cos sin
sin x cos
udu d u
dx d x

=


= −


14
5
sin
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
4
15
sin cos
I x xdx
=
∫

Lời giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
(
)
( )
sin cos
cos sin
udu d u
xdx d x

= −



 
= = ←→ = + = +
∫ ∫

b)
Ta có

( )
4
14
5 5 4
cos
sin (cos ) 1
.
cos cos 4 4cos
x
x d x
I dx C C
x x x
−
= = − = − + = +
−
∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th

( )
5
4
5
5
4 4
15 15
sin
sin cos sin sin .
5
u
u du d
x
I x xdx xd x I C
 
=
 
 
 
= = ←→ = +
∫ ∫

Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
16
tanx
I dx
=
∫
b)

u
= −



= +


∫

Ta có
(
)
16
cos
sin
tan ln cos .
cos cos
d x
xdx
I xdx x C
x x
= = = − = − +
∫ ∫ ∫

b)
Ta có
( ) ( )
17
1 1

1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3
d x d x
xdx
I x C
x x x
+
= = − = − = − + +
+ + +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
19
2
2cos
2 5sin
xdx
I
x
=
−
∫
b)
20
cos
4sin x 3
xdx
I =
−


( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
19
2 2 2
2 sin 2 5sin
2cos 2 2
.
5 5 2 5sin
2 5sin 2 5sin 2 5sin
d x d x
xdx
I C
x
x x x
−
⇒
= = = − = +
−
− − −
∫ ∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn

4sin x 3 4sinx 3 4sin x 3 2 4sin x 3
d x d x d x
xdx
I C
−
= = = = = − +
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c nguyên hàm c
ơ
b
ả
n
(
)
2
cos
sin
tan ln cos
cos cos
2

x
I x x dx x dx x x d x
x x
= = = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫

2 2
21
ln (cos ) ln (cos )
.
2 2
x x
C I C
= − + → = − +

Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
22
2
tan
cos
x
I dx
x
=
∫
b)
3
23
4

u
u du C

=




= +


∫

Ta có
( )
2 2
22 22
2 2
tan tan tan
tan . tan tan .
2 2
cos cos
x dx x x
I dx x xd x C I C
x x
= = = = + → = +
∫ ∫ ∫

b)
S

Ta có
( ) ( )
3
3 3 2 5 3
23
4 2 2
tan 1
tan . . tan . 1 tan (tan ) tan tan (tan )
cos cos cos
x dx
I dx x x x d x x x d x
x x x
= = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

6 4 6 4
23
tan tan tan tan
.
6 4 6 4
x x x x
C I C
= + + → = + +

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th

cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
x xdx dx xd x d x
I dx
x x x x x
+
= = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2
24
1 1 tan 2 tan2 tan 2 tan 2
tan2 (tan2 ) (tan2 ) .
2 2 4 2 4 2
x x x x
xd x d x C I C
= + = + + → = + +
∫ ∫

Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
25
2
cot
sin
x
I dx
x
=
∫
b)

cot
sin
2
dx
d x
x
u
udu C

= −




= +


∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Ta có
( )
2 2
25 25
2 2
cot cot cot
cot . cot cot .
2 2
sin sin

3
26 26
3 4 4 3 3
cos cos
tan sin 1 1
.
cos cos cos 3 3cos 3cos
d x x
x xdx
I dx C C I C
x x x x x
−
= = = − = − + = + → = +
−
∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( )
2
cos sin
π
cos sin
2

sin . sin sin sin sin sin
cos
2
x x xdx d x
I dx dx C I C
x x x x x x
x
= = = − = − = + → = +
−
 
+
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
28
3
x
e
I dx
x
=
∫
b)
tan 2
29
2
cos

e
I dx
x
+
=
∫

Lời giải:
a) Sử dụng các công thức
( )
2
u u
dx
d x
x
e du e C

=



= +

∫

Ta có
( )
28 28
3
3.2 6 6 6 .


= +

∫

Ta có
( )
tan 2
tan 2 tan 2 tan 2 tan 2
29 29
2 2
tan 2 .
cos cos
x
x x x x
e dx dx
I e e d x e C I e C
x x
+
+ + + +
= = = + = + → = +
∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ

∫ ∫ ∫

d) Sử dụng các công thức
(
)
sin cos
u u
xdx d x
e du e C

= −


= +


∫

Ta có
(
)
cos cos cos cos
31 31
sin cos .
x x x x
I e xdx e d x e C I e C
= = − = − + → = − +
∫ ∫

e) Sử dụng các công thức

+ + + +
= = = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Vậy
2ln 3
2ln 3
32
1
.
2
x
x
e
I dx e C
x
+
+
= = +
∫LUYỆN TẬP TỔNG HỢP
1. Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn
•
3 4
1
(4 5 )

I dx
x
= =
−
∫

•
3
5
4
3
2 3
x
I dx
x
= =
+
∫

•
( )
6
2
2
2 3
xdx
I
x
= =
−

10
2
x
e dx
I
x
= =
∫

•
3
11
2
x
e dx
I
x
= =
∫

•
12
3
dx
I
x x
= =
+
∫


= − =
∫

•
5
sin
2 5cos
xdx
I
x
= =
+
∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
•
6
sin
1 3cos
xdx
I
x
= =
−
∫

•
( )
7

∫

•
10
2
tan
3cos
xdx
I
x
= =
∫

•
11
4
tan
cos
xdx
I
x
= =
∫

•
3cos 2
12
sin .
x
I x e dx

sin 4cot 3
dx
I
x x
= =
−
∫

3. Vi phân nhóm hàm mũ, loga

•
1
2 1
x
x
e
I dx
e
= =
−
∫

•
3
2
3
1 5
x
x
e

= =
∫

•
5
1 5ln
dx
I
x x
= =
−
∫

•
( )
6
2
2 3ln
dx
I
x x
= =
+
∫

•
7
2
ln
1 4ln

x
I dx
x
=
∫

4)
4
cos sin
I x xdx
=
∫
5)
5
3
sin
cos
x
I dx
x
=
∫
6)
3
6
sin cos
I x xdx
=
∫


x
I dx
x
=
∫
11)
2
1
11
.
x
I xe dx
+
=
∫
12)
4
12
sin cos
I x xdx
=
∫

13)
13
5
sin
cos
x
I dx

∫
17)
17
x
e
I dx
x
=
∫
18)
2
18
1
I x x dx
= +
∫

19)
19
5
(3 2 )
dx
I
x
=
−
∫
20)
2 3
20

2
24
1
I x x dx
= +
∫

25)
cos
25
sin
x
I e xdx
=
∫
26)
2
2
26
.
x
I x e dx
+
=
∫
27)
27
sin
1 3cos
xdx

I dx
x
+
=
∫Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Dạng 1. Đổi biến số cho các hàm vô tỉ
Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa
( )
n
g x
thì
đặ
t
1
( ) ( ) . '( )
n n
n
t g x t g x n t g x dx
−
= ⇔ = → =
Khi
đ

Ố
VÍ D
Ụ
M
Ẫ
U:
Ví dụ 1.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

1
4 1
xdx
I
x
=
+
∫b)

3 2
2
2
I x x dx

4 1 4 1 ( 1)
1
8
4 1
4
t tdt
tdt dx
xdx
t x t x I t dt
t
t
x
x
−
=


= + ⇔ = + → → = = = −

−
+
=


∫ ∫ ∫

3
3
(4 1)
1 1

2 3 2 4 2
2
2 2 2
2. . 2 2 2.
5 3 5 3
x x
t t
I x x dx t t tdt t t dt C C
+ +
= + = − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫

c) Đặ
t
( )
(
)
2
2
2
2 2
2
3
2 2
2
1 .
1 1 1 2
1 1
dx tdt
t tdt

 
= − − = − − + = − − + + = − − + − +
 
 
 
 
∫ ∫

Khi
đ
ó

( ) ( )
( ) ( )
5 3
2 2
5 3
2 3 2 4 2
2
2 2 2
2. . 2 2 2. .
5 3 5 3
x x
t t
I x x dx t t tdt t t dt C C
+ +
= + = − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 2.

∫c)

6
ln 3 2ln
x x dx
I
x
+
=
∫

Lời giải:
a) Đặt
( )
2
2
2
4
ln 1
1 .2
ln
1 ln 1 ln
1 ln
2
x t
t tdt
x dx

+ +
 
 
= − = − + = − + + → = − + +
 
 
 
 
∫

b) Đặ
t
3
2 3 2 2
3
3
5
2
3
ln 2
ln (2 ) .3
2 ln 2 ln .
2 ln
3
x t
x dx t t dt
t x t x I
dx
x t
x

8 5 8 5
x x
t t
t t t dt t C x C
 
− − 
 
= − + = − + + = − + − +
 
 
 
 
∫

c) Đặt
2
2
3
ln
2
3 2ln 3 2ln
2
2
t
x
t x t x
dx
tdt
x


 
∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )
5 3 5 3
5 5 3
3
6
3 2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln
1
.
2 5 10 2 10 2 10 2
x x x x
t t t
t C C C I C
+ + + +
 
= − + = − + = − + → = − +
 
 

Ví dụ 3.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

7

+
∫
d)
10
4
1
dx
I
x x
=
+
∫

Lời giải:
a) Đặt
2
2
2
2
1
1
1 1
2
2
1
x
x
x x
x
e t

I dt
t t t t t t
t t t
e
+ − −
= = = = = = −
− + − + − +
− −
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

7
1 1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln ln .
1
1 1 1 1
x x
x x
t e e
t t C C C I C
t
e e
− − − − −
= − − + + = + = + → = +
+
− + − +

b) Đặt
( ) ( )
(

= + ⇔ = + → → = = =

=


+ +
∫ ∫ ∫

(
)
2
2
3 2 2
1 .2
1 1 1
2 2 2 2 1 .
1
x
x
t tdt
t dt
dt dt t C e C
t
t t t
e
−
 
−
   
= = = − = + + = + + +

 
= + ⇔ = + → ←→
 
=
= =



−


Khi
đ
ó,
9
2 2
2 2
1 1 1 ( 2) ( 2) 1
.
4 ( 2)( 2) 4 2 2
4 4
4 4
dx dx tdt dt t t dt dt
I dt
x t t t t t
t t
x x x
+ − −
 
= = = = = = −

4 2 4
3
3
4 2
1
1
1 1
4 2
2( 1)
x t
x t
t x t x
dx x dx tdt
x dx tdt
x
x t

= −

= −


= + ⇔ = + → ←→
 
= =
=



−

4 1 1 4 4 1 4
1 1
dt dt t x
t t C C C
t t t
x
− + −
 
= − = − − + + = + = +
 
− + +
 
+ +
∫ ∫

Ví dụ 4.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
a)
11
1 2 5
dx
I
x
=

d)
2
14
1 4ln ln
x x
I dx
x
+
=
∫

Lời giải:

a)

Đặ
t
2
2
2 5 2 5 2 5
5
tdt
t x t x tdt dx dx= − ⇔ = − ⇔ = − → = −
Khi đó,
( )
11
2 2 1 1 2 1 2
1 ln 1
5 1 5 1 5 1 5
1 2 5

ó,
12
2
1 (1 ) 1 (1 )
1 ln 1
1 1 1 1
1 2
xdx t dt t d t
I dt dt dt t t C
t t t t
x
− − −
 
= = = = − = − − = − − − +
 
− − − −
 
− +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2
12
ln 1 2 2 .
I x x C
→ = − − + − + +

c) Đặt
( )
2 3
2 3



( )
( )
( ) ( )
5 2
2 2
3 2
3 3
3 5
4 2
13
3
2
3 4 3 4
4
3 3 3
4 2 .
2 2 2 5 10 4
4
x x
t t dt
x dx t
I t t dt t C C
t
x
+ +
−
 
→ = = = − = − + = − +

+
→ = + = = = + = +
∫ ∫ ∫BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1)
1
4 3
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
2)
2
2 1
xdx
I
x
=
+
∫

3)
3
1

= −
∫

7)
3
7
4
I x x dx
= +
∫
8)
2
8
3 2
I x x dx
= −
∫

9)
3
9
3
2
1
x dx
I
x
=
+
∫


13)
2
13
1 1
x
x
e dx
I
e
=
+ −
∫

14)
( )
14
2
1
dx
I
x x
=
+
∫
f
(
x
) có chứa
2 2
a x
+
thì đặt
2
2 2 2 2 2
( tan )
cos
tan
tan
cos

= =


= →


+ = + =


adt
dx d a t
t
x a t
a

I a
xb)

( )
2
2
1 ; 1
= − =
∫
I x dx a
c)
( )
2
3
2
; 1
1
= =
−
∫
x dx
I a
x
d)
( )
2 2
4


= → → = = = = +

− = − =
−


∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
1
2sin arcsin arcsin
2 2
x x
x t t I C
   
= ⇔ = → = +
   
   

b) Đặ
t
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos

sin sin2 2sin .cos 2 1
arcsin
t t x
x t t t t x x
t x


= − = −
= ⇒ → = = −

=



2
2
arcsin 1
1
2 2
x
I x x C
→ = + − +

c) Đặt
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos
dx d t t dt
x t

2
cos 1 sin 1
sin sin2 2sin .cos 2 1
arcsin
t t x
x t t t t x x
t x


= − = −
= ⇒ → = = −

=



2
3
arcsin 1
1
2 2
x
I x x C
→ = − − +

d) Đặt
2 2
(3sin ) 3cos
3sin
9 9 9sin 3cos

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

81 1 1 81 1
os4 sin4
4 2 2 4 2 8
t
dt c tdt t C
   
= − = − +
 
 
   
∫ ∫

Từ
2
2
2
cos 1 sin 1
2
9
3sin sin2 1
3 9
arcsin
3
x
t t
x x

 
 
 
 

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
2 2
4
arcsin
81 2
3
1 . 1 .
4 2 6 9 9
x
x x x
I C
 
 
 
 
 
 
 
= − − − +

2
2 5
I x x dx
= + +
∫c)

( )
2
3
2
; 2
4
x dx
I a
x
= =
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Đặ

∫ ∫

T
ừ
gi
ả
thi
ế
t
đặ
t
1
tan arctan arctan .
x t t x I x C
= ⇔ = → = +

b)
Ta có

1
2 2 2
2
2 5 ( 1) 4 ( 1) 4
t x
I x x dx x d x I t dt
= +
= + + = + + + → = +
∫ ∫ ∫
= =


= → → = = =


+ = + =


∫ ∫ ∫

2
(sin ) 1 (1 sin ) (1 sin ) 1 (sin ) 1 (sin ) 1 1 sin
(sin ) ln .
1 sin 2 (1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin
d u u u d u d u u
d u C
u u u u u u
+ + − +
= = = + = +
− + − − + −
∫ ∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
2 2
2 2

u
t x x
I C C C
t x
u
t x x
+
+ +
+
+ + +
= + = + = +
+
−
− −
+ + +

c) Đặ
t
2
2
2 2
2
(2tan ) 2(1 tan )
os
2tan
4 4tan 4
dt
dx d t t dt
c t
x t

+
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Đặ
t
( )
2
2
2
3
2 2
2
1 (1 ) (1 )
sin 4 4 4
1 2 (1 )(1 )
1
u u u u
u t I du du du
u u u
u
 
+ − −
 
= → = = =
 
 
− + −
 
 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

3
1 1 1 1 1 1 1 1 sin 1
ln ln ln .
1 1 1 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1
u u t
C I C C
u u u u u u t t t
− − −
= − + + → = − + + = − + +
− + + − + + − + +

Từ giả thiết
2 2
2 2 2
2 2 2
1 4
2tan tan 1 tan 1 os sin
2 os 4 4 4
x x x
x t t t c t t
c t x x
= ⇔ = → = + = + ⇔ = → =
+ +


sau:
a)

1
2
1
dx
I
x
=
−
∫b)

2
2 2
4
dx
I
x x
=
−
∫c)

3

sin
sin sin .cot
1
1
1 cot
1 1
sin
t dt
t dt
dx d
dx
t t
dx t dt
t
x I
t t t
x
x t
x
t
 −
 
−
= =

 

=
−
 

2
2 2
1
2
2
1
1
1 1 1 1
os 1 sin 1 cos ln .
sin 2
1
1
x
x
x
x c t t t I C
t x x
x
x
−
+
−
= → = − = − ⇔ = → = +
−
−

b)

Đặ
t

t

−
 
−

= =
=
 


 
 
= → ←→
 
 
− =
⇒
− =
− = −





Khi
đ
ó,
2
2 2

x x
x c t t t I C
t x x x
− −
= → = − = − ⇔ = → = +

c)

( )
1
3 3
2 2 2 2
2
( 1)
2 2 ( 1) 3 3
3
t x
dx d x dt dt
I I
x x x t
t
= −
−
= = → = =
− − − − −
−
∫ ∫ ∫ ∫

Đặ
t

= =
 −
 
 
=


 
= → ←→
 
 
− =
− = −




3
2 2
2
2
3cos sin (cos ) (cos )
sin 1 cos (1 cos )(1 cos )
sin . 3cot
3
dt udu u du d u d u
I
u u u u
u u
t

sin 2 2
3 2 2
1 1
1
t x x
t
t x
t c u t I C C
u t t
t x x
t x
− − −
+ +
−
−
=
⇒
= − ⇔ = → = + = +
− − −
− −
−

Chú ý: Tổng hợp các kết quả ta thu một số kết quả quan trọng sau:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4


2 2
1

C
a x a x a
−
= +
− +
∫


2
2
ln .
dx
x x a C
x a
= + ± +
±
∫BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
2
1
2
4
x dx
I
x
=
+

=
−
∫
5)
2
5
2 1
I x dx
= +
∫
6)
6
2
2 5
dx
I
x
=
−
∫Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
( )
( )

=
−
∫
b)
2
1
1
x
I dx
x
+
=
−
∫
c)
3
2 1
3 4
x
I dx
x
+
=
−
∫
d)
2
4
4
3


2
1 1 2 2
1 2 2ln 1 .
1 1 1 1
x x dx
I dx dx dx dx x x C
x x x x
+ − +
 
= = = + = + = + − +
 
− − − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c)

( )
( )
( )
3
1 5
3 4
3 4
2 1 1 5 1 5 1 5
2 2
3 4 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 8 3 4
x
d x

3 3 3 2
d x
x x x
I x dx x dx x x C
x x x
+
+ +
 
= = − + = − + = − + + +
 
+ + +
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
5
7
2 5
x x
I dx
x
− +
=
+
∫
b)
3 2
6

x x
x x
x x
− +
= − + −
+ +

Khi đó
3
2 2
5
49
7 1 5 21 1 5 21 49
8
2 5 2 4 8 2 5 2 4 8 8 2 5
x x dx
I dx x x dx x x dx
x x x
 
 
− +
 
= = − + − = − + −
 
 
+ + +
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

= = + + + = + + + − +
 
− −
 
∫ ∫

c)
Chia t
ử
s
ố
cho m
ẫ
u s
ố
ta
đượ
c
4 2
3 2
5
4 3 2 1
2
2 2
2 1 2 2 1
x x x
x x x
x x
+ + +
= − + − +