Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Phương trình
( )( )( )( ) ,
+ + + + =
x a x b x c x d e
với
+ = +
a b c d

Dạng 2: Phương trình quy hồi
4 3 2
0
+ + + + =
ax bx cx bx a

Dạng 3: Phương trình
4 4
( ) ( )
+ + + =
x a x b c

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)
4 3 2
3 4 3 1 0
− + − + =

2 2
2 13
6
2 5 3 2 3
+ =
− + + +
x x
x x x x
b)
4 4
( 3) ( 1) 16
+ + + =
x x

c)
4 4
( 2) ( 2) 82
− + + =
x x
c)
4 4
( 1) 97
− + =
x x

Ví dụ 4.
Gi
ả
i các ph
ươ

464
2
+=+− xxx
b)
xxx −=+− 242
2

c)
( )
943
22
−=−− xxx
d)
2193
2
−=+− xxx

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
a)
0323
2
=−−+− xxx
b)
2193
2
−=+− xxx

c)
51333 =−− xx
d)

11265 +=+++ xxx
c) 0321
333
=+++++ xxx
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
a)
1153853
22
=++−++ xxxx
b) 291 −+=+ xx
b)
7925623
222
++=+++++ xxxxxx
d)
279
22
=−−+ xx

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
a)
4 5 3 1 2 7 3
+ + + = + + +
x x x x
HD: Chuyển vế thích hợp rồi bình phương, sau đó thử lại nghiệm.
b)
2 2
2 1 1
+ + = + + −
x x x x x

ả
i ph
ươ
ng trình
2
( 1)( 2)( 3)( 6) 168
x x x x x
+ + + + =

Bài 3:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
( 3)( 2)( 4)( 6) 14
x x x x x
+ + + + =

Bài 4:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
( 6)( 8)( 9)( 12) 2
x x x x x
+ + + + =

Đáp số:
5 13
2
x
±
=

Bài 7:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
4 3 2
2 3 16 3 2 0
x x x x
+ − + + =

Đáp số:
1
2; ; 2 3
2
x x x= = = − ±

Bài 8:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

2
2 2
2 3( 1)
PT x x
⇔ + = +

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
I. ĐẶT 1 ẨN PHỤ
Kiểu 1: Đặt
( )
=
t f x
hoặc
( )
= +
t k f x

Kiểu 2: Đặt
( ) ( )
= +
t f x g x
hoặc
( ) ( )
= +
t a f x b g x

Kiểu 3: Chia cả hai vế cho
n
x

−−=−+ xxxx
d)
7
2
1
2
2
3
3 −+=+
x
x
x
x

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau
a)
4
2
1
2
2
5
5 ++=+
x
x
x
x
b)
3
1

+ − = + −
x x x x

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
a)
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2
− + − = − + − +
x x x x x
b)
2
3 2 6 2 4 4 10 3
+ − − + − = −
x x x x

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
a)
1168143 =−−++−−+ xxxx
b)
2
3
1212
+
=−−+−+
x
xxxx

c)
21212 =−−−−+ xxxx
d)


b)
2
2 3 5 2 4 6 0
− + − + − − =
x x x x

Bài 2:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
02. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - P1

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
a)
xxxxx 141814274926777
2
−=−++−++

b)
2
4 4 2 12 2 16
+ + − = − + −
x x x x

Bài 3: Giải phương trình

x
rồi đặt ẩn phụ.
Ví dụ 1. Giải phương trình sau
( ) ( ) ( )
2
1 2 2 1
− + + =x x x x x
.
Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
( )
1
2 *
0
x
x
x
≥


≤ −


=

( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2

3
1
2
1
=
+
−
+ x
x
x
x
b)
2
2
1 3
1
1
1
= −
−
−
x
x
x

c)
12
35
1
2

a)
2
2 2
1
+ =
−
x
x
x

b)

2
1
2 3 1
+ − = +
x x x x
x

Đ
/s:
1 5
2
±
=x
c)

3
2 4 2
2 1


Ví dụ 5.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 2
5 3 2 1 2 0
+ + + =
x x x

b)

2
12 8 5 3 2 0
+ − − − =
x x x
c)
453423
222
+−=+−++− xxxxxx
d)
2
)2()1( xxxxx =++−

Ví dụ 6.
Gi

Bài 2: Giải phương trình
2 2 2
4 3 3 4 1
+ + + + = + +
x x x x x x

Bài 3: Giải phương trình
3
2 4 2
4 3 4
− + = −
x x x x

Bài 4: Giải phương trình
2 24 4
4
1 1 2
+ + + − + =
x x x x x

Bài 5: Giải phương trình
2
4 8 1
5
2 1
x x
x
x
+ +
=

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
II. ĐẶT 2 ẨN PHỤ
Dạng 1: Đặt hai ẩn đưa về một phương trình
+) Xét phương trình
2 2
2
( )
= +


+ + = + + + ⇒

= + +


u dx e
ax bx c k dx e mx nx p
v mx nx p

Khi đó biến đổi biểu thức
2
( ; ) ( ; )+ + = → =
ax bx c f u v f u v kuv
có dạng phương trình tích hoặc phương
trình đẳng cấp bậc hai theo u, v.
+) Xét phương trình
( ) ( )
α ( ) β ( )
+ = +


HD:
Phân tích
4 2 4 2 2 2 2
1 ( 2 1) 1 . 1
+ + = + + − = + − + +
x x x x x x x x x

Khi
đ
ó
đặ
t
2
2 2 2
2
1
3 1 2
1

= + −

⇒ − + = −

= + +


u x x
x x u v
v x x

)
2 3
2 3 2 3 8
− + = +
x x x
Đ/s:
3 13
= ±x
c)
(
)
638.10
23
+−=+ xxx

Ví dụ 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 2
6 3 1 3 6 19
+ − + − = − +
x x x x x
Đ/s:
23 341
2

5 2 10 7 4
+ + = +
x x x
b)
2 4
2 10 1 4 1 0
− + + + =
x x xBÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các phương trình sau
.
a)
2
7 4
4
2
+ +
=
+
x x
x
x
b)
2 2
2(1 ) 2 1 2 1
− + − = + −
x x x x x


2 2 5 0
+ − =
u v uv
Bài 4. Giải các phương trình sau
.
a)
2 2
6 8 (2 5) 2 2 0
+ − − + − − =
x x x x x HD:
( 2)(3 6 ) 0
− + − =
v v u
b)
2 3
3 2 2 4 1 0
− + − − =
x x x
HD:
( )( 3 ) 0
− − =
u v u v
Bài 5. Giải các phương trình sau
.
a)
2 2
2 1 2 1 2 3
− − + − = −
x x x x x
HD:

3 1 4 4 10 7 9 19
− + + + + = − −
x x x x x x
HD:
2 2
4 7 2
+ = −
a b a b

Bài 7. Giải các phương trình sau
.
a)
2 2 2
1 4 2 1 2 4 3
− + + + + = − +
x x x x x x
HD:
2 2
4 2 2
+ = +
a b a b

b)
2 2
5 1 2 2 1 3 5 3 9
+ + + − = − +
x x x x x
HD:
2 2
5 2 3 5 4


Bài 10. Giải các phương trình sau
.
a)
2 4
5 1 1 0
x x x
− + + + =
HD:
( )(2 3 ) 0
a b a b
+ − =

b)
2 4
10 14 5 4 1 0
x x x
+ + + + =
HD:
( 2 )( 3 ) 0
a b a b
+ − =

Bài 11. Giải các phương trình sau
.
a)
2 2 2
3 16 5 7 2 11 8
x x x x x
+ + + + + = −

3 2
2
( ; ) 0
; 0


= + = +
 
⇒ → =
 
= +

= + ≥



u ax b u ax b
f u v
v cx d
v cx d v

Kết hợp với pt ban đầu ta được hệ phương trình
3 2
;
( ; ) 0
+ =

⇒ →

=

x t x
t a bx

Chú ý:
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p t
ổ
ng quát, v
ớ
i ph
ươ
ng trình
( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )
+ = −
n
n
f x g x h x h x f x g x
thì ta
đặ
t
( ) ( ) ( ). ( )
( ) ( ). ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ). ( )

+ =

= − → ⇒

3
7 1
+ − =
x x
d)
xx =+− 55

Ví dụ 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
3
3 1
+ − =
x x
b)
3
4 4 3 1
+ = +
x x

b)
3
2 3 2 3 6 5 8 0
− + − − =
x x

+ = +
x x x

Ví dụ 4.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
6 3 3
− + = +
x x x
HD: Đặ
t
3 3
+ = −
x t

02. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - P4

Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
b)
2
2 2 2 1
− = −

+
= +
x
t

b)
2
9
3 3 1
4
− − = +
x x x
HD: Đặ
t
1
3 1
2
+ = −
x t

c)
2
13
2 2 2
4
+ + = −
x x x
HD: Đặ
t
1

4 7 1 2 2
+ + = +
x x x
Đ/s:
7 1
1; ;
4 4
= − = − =
x x x

c)
3 2
3
3 3 4 4 4 1
+ + + = +
x x x x

Ví dụ 7.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2
4 7 2 2 1
+ + = +
x x x
HD: Đặ

ề
d
ạ
ng
2
(2 3) (2 3)
+ − = − −
x x x x

Đặ
t
2
2 2
2
(2 3)
(2 3)
1
(2 3)

− − = =


− − = → ⇒ + = + ⇔


= − −
+ − =




2 1 3 3 2 0
≤ − ≤ −
 
− −
= − − ⇔ − − = − ⇔ ⇔ ⇒ =
 
+ + = − + − =
 
x x
t x x x x
x x x x x

Ví dụ 8.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 2
3 1 2
+ − = +
x x x x

HD:
Ta d
ễ
dàng phân tích ph
ươ

( 1) ( 1)
1
( 1) ( 2) ( 1)

+ + − = + =


⇒ + − + = − ⇔


= − −
+ + − = +



t x x x t x
t x x t
t x
x x x t

Đế
n
đ
ây, vi
ệ
c gi
ả
i các ph
ươ
ng trình thành ph

− − + = −
x x x t
, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau
.
a)
2 2
1 ( 2) 2
− + = + −
x x x x
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng
2
( 1) ( 2) ( 1)( 1)
− + = + + − −
x x x x x x

Đặt
( 2)( 1) 1
+ − − = −
x x x t
, từ đây ta đưa về hệ đối xứng loại 2 đã biết cách giải.
b)
2 2
4 5 ( 2) 2 4 3
+ = + + +
x x x x x
HD: Ta dễ dàng phân tích phương trình về dạng
2
(2 1) ( 1) ( 2) ( 2)(2 1) ( 1)
+ + − = + + + − −

x x x x x
b)
2
4 8 2 4 7
+ + = +
x x x
c)
2
2 2 3 7 6
− − = +
x x x d)
2
( 1) 3 3
− = −
x x
e)
2
3 2 6 5
+ = +
x x

Lời kết cho một bài toán đẹp:
Việc tại sao thầy viết dễ dàng phân tích được vế trái của các ý trong các ví dụ 8 và 9 thầy tin là sẽ làm nhiều
bạn cảm thấy bứt rứt và ngạc nhiên! Các em hãy khám phá điều kỳ diệu đó để thấy hết được vẻ đẹp sửng sốt
của những bài toán này!
2 2
10 3 1 (1 6 ) 3
+ + = + +
x x x x
HD: Đặt
2 2 2
3 2
3 (1 6 ) (9 3 2) 0
3 1
= +

= + ⇒ − + + + − = ⇒

= −

t x
t x t x t x x
t x

c)
2 2
12 2 ( 2) 8 1
+ + = − + +
x x x x x

HD: Đặt
2 2 2
1
8 1 3 2( 2) 1 0
1

t x
t x
t x

b)
2
3 2 2
2 4 1
1
− −
+ =
−
x x
x
x
HD: Đặt
1
4 1
1 3
= +

= + ⇒

= −

t x
t x
t x

c)

=

t x
t x
t x

b)
2
3 7 8
8
4 2
+ +
+ =
+
x x
x
x
HD: Đặt
3
8
2
=

= + ⇒

= +

t x
t x
t x

b)
2 2 1
2
2 1
+ + +
+ =
+ +
x x x
x
x x
HD: Đặt
2
2 1
=

= + ⇒

= +

t x
t x
t x

Bài 3.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.

3
1
5 2
= −

= + ⇒

= +

t x
t x
t x

Bài 4. Giải các phương trình sau
.
a)
2
2 3 2 3 2
− + = −
x x x x HD: Đặt
3 2
= −
t x
b)
3 2 3
3 2 ( 2) 6
− + + =
x x x x
HD: Đặ
t

3 7 ( 2) 2 7
+ + = + + +
x x x x x

Lời kết:
Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phương pháp khó (khi cần tìm hệ số của
2
t
cho thích hợp), tuy nhiên lời giải của
bài toán lại rất sáng sủa và đầy tính bất ngờ!
Thầy hy vọng bài giảng và các ví dụ mang đến cho các em một cái nhìn trực quan hơn về một phương pháp giải
phương trình vô tì cũng rất hay gặp!

TAM BIỆT ẨN PHỤ, NGÀY MAI TA SẼ SỬ DỤNG LIÊN HỢP KẾ!

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 1. Giải phương trình
2
4 6 2 13 17.
− + − = − +
x x x x

Hướng dẫn giải:

− − − + − − − +
⇔ + − − + =
− + − +

( )( )
5 5
5 2 3 0
4 1 6 1
x x
x x
x x
− −
⇔ + − − − =
− + − +

( )
5
1 1
5 (2 3) 0
1 1
(2 3) 0
4 1 6 1
4 1 6 1
x
x x
x
x x
x x
=


2 3 5, 4;6
x x− ≥ ∀ ∈
nên ph
ươ
ng trình (1) vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x = 5.
Ví dụ 1.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
xxx
=−−+
1222
b)

ả
i các ph
ươ
ng trình sau
.
a)
2 2 2 1
+ − − =
x x x
b)
3 1 1
+ − − = +
x x x

c)
2 2
12 5 3 5
+ + = + +
x x x
d)
2 2
15 3 2 8
+ = − + +
x x x
(Đ
/s: x = 1)
Ví dụ 3.
Gi
ả
i các ph

ươ
ng trình sau
.
a)
2
5 3 2 1 6 2 0
− + − + − − =
x x x x
(Đ/s:
2
3
=
x
)
b)
2
3 2 7 1 5 2 14 0
+ + − + + − =
x x x x
(Đ/s:
3
= −
x
)
Bài 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau

2 2
2 9 2 1 4
+ + + − + = +
x x x x x
(Đ/s:
8
0;
7
= =
x x
)
b)
2 2
2 1 1 3
+ + + − + =
x x x x x

Bài 4. Giải các phương trình sau
.
a)
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4
− + − − = − − − − +
x x x x x x x
(Đ/s:
2
=
x
)
b)

33

c)
11 2 2 9 7 3
+ + − = + + −
x x x x

Bài 6. Giải các phương trình sau:
a)
( )
(
)
3
2 1 3 2 1 7
x x x x
− + + − = +
b)
(
)
(
)
3 2 2
3
1 2( 1) 2 2 7 7
x x x x x x
+ + + + − = − +

Bài 7.
Gi
ả

x
+ + + +
+ =
+
+

b)
2
2
2
1 2
2 3
4
1
x x
x
x
x
+ +
+ − =
+
+

Bài 9:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)

+ + + =
x x
c)
2
4 1 4 1 1
− + − =
x x
d)
5 3
1 3 4 0
+ − − + =
x x x
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau
.
a)
3
2 (5 3 ) 5 3 2 5 3
+ = − − + −
x x x x x

b)
2 2
2 1 2 ( 1) 2 3 0
+ + + + + + + =
x x x x x x
c)
(
)
(
)
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)
3 2
2 3 6 11 5 2 3
− + + − − =x x x x
(Đ
/s: x = 2)
b)

(
)
2
2 1 2 3 7 3 0
+ + − − − =
x x x x
HD:
Bi
ế
n
đổ
i v

3
3
5 1 2 1 4
− + − + =
x x x

(Đ
/s: x = 1)
Bài 3:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

a)
3
3 2 3 2
6 12 7 9 19 11
x x x x x x
− + − = − + − +
(Đ
/s: x = 1; x = 2; x = 3)
b)

3 2
3 4 2 (3 2) 3 1
x x x x x
+ + + = + +


3 2
3 2 6 3
x x x x
− − = −

04. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề PT – BPT và HỆ PT
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Bài 6*: Giải phương trình
3
3 2 6 3 2
3 4 1 2
x x x x x
+ − = + +

Bài 7: Giải phương trình
( )
(
)
(
)
2 2
2 4 7 1 3 1 0
x x x x x
+ + + + + + + =

Bài 8: Giải phương trình
33 2
8 6 1 12 2 1

Bài 12. Giải phương trình
3 2
3
3 4 3 2
x x x x
+ = + + −

Bài 13. Giải phương trình
(
)
(
)
3 1 3 1 2 0
x x x x x
+ + + − − + =
.
Bài 14. Giải phương trình
2 3 2
8 3 4 2
x x x x
− = − + −
.
Bài 15*. Giải phương trình
( )( ) ( )( )
2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2
x x x x x x
+ − − + = − + − + +
.
Bài 16*. Giải phương trình
(